期末模拟测试卷01（一模）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

2024-2025年九年级数学上册期末模拟测试卷01（一模） 一、单选题 1．下列各组图形一定相似的是（    ） A．两个菱形； B．两个矩形； C．两个直角梯形； D．两个正方形． 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【解析】A．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意； C．任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意； D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 2．如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（　　） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的 C．都没有变化 D．都不能确定 【答案】C 【解析】试题分析：根据锐角的三角比的定义可知，锐角的大小确定后，锐角的四个三角比的值与边长无关，固定不变，故选C. 考点：锐角的三角比. 3．如果线段a是线段b、c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；根据题意易得，则有，然后问题可求解． 【解析】解：由线段a是线段b、c的比例中项，可知：， ∵， ∴，即， ∴； 故选B． 4．下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 【答案】D 【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可． 【解析】解：A、，所以A错误，不符合题意． B、如果是单位向量，那么，所以B错误，不符合题意． C、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意． D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意． 故选：D． 5．如果二次函数的图像如图所示，那么（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据开口方向可得，根据与y轴的交点可知，根据对称轴在y轴右侧可知，由此即可得到答案． 【解析】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，看开口方向可确定a的符号；看对称轴在y轴的左边还是右边可确定b的符号；看抛物线与y轴交点的位置可确定c的符号；注意数形结合是本题的最大特点．． 6．如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，再利用相似三角形的性质和面积公式，逐一判断即可解答，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． 【解析】解：， ， ， ， ，故A不成立； , ，即，故B不成立； ， ， ，即，故C成立； , ，故D不成立， 故选：C． 二、填空题 7．在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【答案】40 【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【解析】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：40． 8．已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【解析】解：由题意知，， ∵点是线段 的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， ∴ 故答案为：． 9．两个相似三角形的对应边上的中线之比，则这两个三角形面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行解答即可． 【解析】两个相似三角形的对应边上的中线之比， 两个相似三角形的相似比为， 两个相似三角形的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，熟练掌握其性质是解题的关键． 10．函数的图象与轴的交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】求与y轴的交点坐标，令x=0可求得y的值，可得出函数与y轴的交点坐标． 【解析】解：令x=0，代入解得y=5， ∴二次函数的图象与y轴交点坐标是(0，5)． 故答案为：(0，5)． 【点睛】本题主要考查函数与坐标轴的交点坐标,掌握求函数与坐标轴交点的求法是解题的关键，即与x轴的交点令y=0求x，与y轴的交点令x=0求y． 11．如图，在中，点D是边上一点，且．设，，那么 ．(用、表示) 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 【解析】解：由题意知 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于明确各向量之间的关系． 12．在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解即可． 【解析】解：∵在直角坐标平面内有一点， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理等知识点，掌握锐角三角函数的定义成为解答本题的关键． 13．拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意可知，在对称轴左侧y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案． 【解析】解：∵拋物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴拋物线在对称轴左侧y随x增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线与相交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设，则，，根据平行四边形的性质可得，，，根据平行线分线段成比例即可解决问题． 【解析】解：设， 由，则，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 15．中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；先根据正方形的性质得出，再根据相似三角形的性质列方程求解． 【解析】解：设正方形是灭一面城墙的长度为里， 正方形的中心为， 里，， ， 即 解得：，或不合题意，舍去， ， 故答案为：． 16．如图，在中，，，点是的重心，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 由重心的定义和等腰三角形三线合一的性质，得到，，，作，交于点G，由相似三角形的性质得，，然后利用利用勾股定理列式求出，进而求解即可． 【解析】解：，，点是的重心， ，，， 如图，作，交于点G， ，， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为：12． 17．如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当时，利用，列式计算即可求解；当时，即是的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解． 【解析】解：当时，，即，是“倍角互余三角形”， 则 ∴ ∴ ∴； 当时，，即，是“倍角互余三角形”，此时是的角平分线， 作于E，则， ∵，∴，∴， ∵，，，，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得，解得． 综上，的长等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键． 18．中，，，，将此三角形绕点旋转，当点落在直线上的点处时，点落在点处，此时点到直线的距离为 ． 【答案】． 【分析】过作于，利用旋转的性质及勾股定理求得，再利用，得，过作交的延长线于，利用∽，得，故，即可求出EH. 【解析】解：如图，过作于， ∵将绕点旋转得到， ∴，，， ∵中，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查旋转的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线. 三、解答题 19． 计算：； 【答案】 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【解析】解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数的值是解题的关键． 20．如图，已知中，，，，． 设， (1)请直接写出向量、关于、的分解式，______；______． (2)连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）过点A作的平行线，过点C作的平行线，两直线相交于点F，得出，，进而得出，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答； （2）连接，过点E作的平行线，交于点G，即可进行解答． 【解析】（1）解：过点A作的平行线，过点C作的平行线，两直线相交于点F， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则，， ∴，， 故答案为：，． （2）如图所示：向量分别在、方向上的分向量为、． 【点睛】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 21．二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【解析】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 22．如图，在距某输电铁塔（垂直地面）的底部点H左侧水平距离45米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度，山坡坡底点B到坡顶A的距离等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔与山坡在同一平面内）． (1)求山坡的高度； (2)求铁塔的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)山坡的高度为15米 (2)米 【分析】（1）过点A作，交的延长线于点D，由坡度的定义计算出与的关系，根据勾股定理求出即可得到答案； （2）过点A作于点H，则四边形是矩形，解直角三角形即可得到结论． 【解析】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点D， ∴， ∵山坡AB的坡度，米， ∴，； 又∵，即， ∴米， ∴山坡的高度为15米； （2）解：过点A作于点H，则四边形是矩形， 由题意可知：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， 又∵米， ∴米， 答：铁塔的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，掌握锐角三角函数、坡度的意义是解题的关键． 23．已知：如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，，与相交于点F，的延长线与相交于点G．      (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）先判断出是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，然后根据即可得证． 【解析】（1）证明：∵点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）证明：∵，点是边的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 由（1）已证：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点． ①求的值； ②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，求得，由此得到答案． （2）①根据题意得到，平移后的抛物线表达式为，根据已知条件，令，求出，得到答案． ②先利用已知条件，求出点，点，由此得到轴，过点，作轴于点，得到，又，设，，由此得到答案． 【解析】（1）解：根据题意得： 点，点在抛物线上， ， 解得：， 该抛物线的表达式为：． （2）①根据题意得： 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后的表达式为： ， 令， 解得：， ， ， 解得：； ②由①抛物线的表达式为： ， 其对称轴为， 则点， 当时，， 即点， 点、的纵坐标相同， 轴， 过点，作轴于点， 由的坐标，得到， 则， ， 设，， 在中， ， 解得：， 则点坐标为：． 25．如图，正方形ABCD中，，点M是射线BA上的一动点，，垂足为P，，与射线BC交于点N，连接DN． (1)若点M在边AB上（与点B、A不重合）． ①求证：； ②连接DN，设，，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域； (2)若，求出BM的长． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)BM的长为或 【分析】（1）①通过证明，可得=，可得结论；②先求出，由勾股定理可求，通过证明，可得，即可求解； （2）分类讨论：①当点M在线段AB上时和②当点M在线段BA的延长线上时，由面积关系列出方程，即可求解． 【解析】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴=， ∴； ②解：如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）分类讨论：①如图，当点M在线段AB上时，过点P作于F，于E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②如图，当点M在线段BA的延长线上时， 同理可得：， ∴， ∴， 综上所述：BM的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年九年级数学上册期末模拟测试卷01（一模） 一、单选题 1．下列各组图形一定相似的是（    ） A．两个菱形； B．两个矩形； C．两个直角梯形； D．两个正方形． 2．如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的值（　　） A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的 C．都没有变化 D．都不能确定 3．如果线段a是线段b、c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（    ） A． B．如果是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么 5．如果二次函数的图像如图所示，那么（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 8．已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 9．两个相似三角形的对应边上的中线之比，则这两个三角形面积之比为 ． 10．函数的图象与轴的交点的坐标为 ． 11．如图，在中，点D是边上一点，且．设，，那么 ．(用、表示) 12．在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么的值为 ． 13．拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 14．如图，在平行四边形中，点是上的点，，直线与相交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 15．中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 16．如图，在中，，，点是的重心，，则 ． 17．如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ． 18．中，，，，将此三角形绕点旋转，当点落在直线上的点处时，点落在点处，此时点到直线的距离为 ． 三、解答题 19． 计算：； 20．如图，已知中，，，，． 设， (1)请直接写出向量、关于、的分解式，______；______． (2)连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】 21．二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 22．如图，在距某输电铁塔（垂直地面）的底部点H左侧水平距离45米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度，山坡坡底点B到坡顶A的距离等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔与山坡在同一平面内）． (1)求山坡的高度； (2)求铁塔的高度．（结果保留根号） 23．已知：如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，，与相交于点F，的延长线与相交于点G．      (1)求证：； (2)求证：． 24．如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是． (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点． ①求的值； ②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标． 25．如图，正方形ABCD中，，点M是射线BA上的一动点，，垂足为P，，与射线BC交于点N，连接DN． (1)若点M在边AB上（与点B、A不重合）． ①求证：； ②连接DN，设，，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域； (2)若，求出BM的长． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$