专题1.5 分式全章知识典例详解（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（人教版）

专题1.5 分式全章知识典例详解 【人教版】 知识点1 分式 1．分式的概念 （1）分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． （2）一个式子是分式需满足的三个条件： ①是形如的式子； ②A，B为整式； ③分母B中含有字母．三个条件缺一不可． 【注意】 （1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志． （2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式． 2．分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0． （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0． 【注意】 （1）分式有无意义与分母有关，与分子无关． （2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了． 3．分式的值为0的条件 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且__________不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 【拓展】对于分式， （1） 若的值为正数，则或； （2） 若的值为负数，则或； （3） 若的值为1，则A=B且B≠0； （4）若的值为-1，则A+B=0且B≠0． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 分式的基本性质是分式变形的理论依据． 【注意】 ①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件． ②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式． ③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C． （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为： 或 5．约分、最简分式 （1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【归纳】 （1）约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式． （2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式． （3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分． （4）约分的结果是整式或最简分式． （5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变． 6．通分 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 约分与通分的联系与区别： （1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值． （2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言． （3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式． 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 【注意】 （1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变． 确定最简公分母的方法： （1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定． 通分的步骤： （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【典例1】下列各式，，，，，，，中，分式共有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据分式的定义，形如，B中含有字母且B≠0，判断即可． 【解答】解：在，，，，，，，中， 分式有，，，，，共6个， 故选：B． 【典例2】下列分式中，不论x取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，可得答案． 【解答】解：A、当x+1＝0即x＝﹣1时，该分式无意义，不符合题意； B、当x＝0时，该分式无意义，不符合题意； C、当x2﹣1＝0即x＝±1时，该分式无意义，不符合题意； D、∵x2+1＞1， ∴不论x取何值，该分式都有意义，符合题意． 故选：D． 【典例3】若分式有意义，则x的值为（　　） A．x≠±3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≥﹣3且x≠3 【分析】根据分母不为零的条件是解题的关键． 【解答】解：由题可知， |x|﹣3≠0， 解得x≠±3． 故选：A． 【典例4】若分式的值为0，则x的值为（　　） A．±2 B．0或2 C．0 D．﹣2 【分析】根据分式值为零的条件是分子为零，分母不为零进行求解即可． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴， 解得x＝0， 故选：C． 【典例5】如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【分析】根据题意列出分式，然后化简，与原来的分式比较即可得出答案． 【解答】解：， 所以将分式中的x，y都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A． 【典例6】已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】由得，x，代入所求的式子化简即可． 【解答】解：由得，x， ∴． 故选：C． 【典例7】下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等式的性质即可一一判断． 【解答】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【典例8】计算． （1）约分：； （2）通分：，． 【分析】（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 【解答】解：（1） ； （2）∵，， ∴， ， 知识点2 分式的运算 1．分式的乘除 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为 【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习． （1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算． （4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式． （5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算． 2．分式的乘方 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 【注意】 （1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体． 3．分式的加减 （1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． （2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 【注意】 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． （2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母． （3）异分母分式相加减的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：写成分母不变，分子相加减的形式； ③合并：分子去括号，合并同类项； ④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 4．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． （2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边． 5．整数指数幂与科学记数法 （1）整数指数幂： 若m，n为正整数，a≠0，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数． 整数指数幂的运算性质 ①；②；③； ④；⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． （2）科学记数法 用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10． 【典例1】2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻≤8nm技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米＝0.000000008米，0.000000008用科学记数法可表示为（　　） A．8×109 B．8×10﹣9 C．8×1010 D．8×10﹣10 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000000008＝8×10﹣9． 故选：B． 【典例2】若，则它们的大小关系是（　　） A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜c＜d D．c＜a＜d＜b 【分析】先将各选项进行化简再进行比较即可． 【解答】解：∵，b＝﹣32＝﹣9，，， ∴它们的大小关系是：b＜a＜d＜c， 故选：A． 【典例3】计算； （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【分析】（1）先算乘方，再进行约分即可； （2）先算乘方，同时把除法变成乘法，再进行约分即可； （3）先算乘方，同时把除法变成乘法，再进行约分即可； （4）先分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可； （5）先分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可． 【解答】解：（1）原式•（）• ； （2）原式＝4x2y• ＝y3； （3）原式• ； （4）原式•• ； （5）原式•• ． 【典例4】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）、（2）先通分，再把分子相加减即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【典例5】计算化简 ①； ②； ③； ④． 【分析】①原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果； ②原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果； ③原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； ④原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解：①原式••； ②原式； ③原式； ④原式•（m+1）（m﹣1）＝m2+1． 【典例6】已知分式A＝（a+1）． （1）化简这个分式； （2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a＞2时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由． （3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值． 【分析】（1）根据分式的混合运算顺序进行计算即可； （2）把分式化简后分子分母同时加上3得分式B，再根据求差法进行大小比较即可； （3）根据（1）的化简结果，分情况计算出a和A都是整数即可． 【解答】解：（1）A ． （2）∵A，A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B， ∴B， ∴A﹣B ． ∵a＞2， ∴A﹣B＞0， ∴A＞B． 答：分式B的值较原来分式A的值是变小了． （3）A1，是整数，a也是整数， 所以a﹣2是4的因数， 所以a﹣2＝±1，±2，±4， ∴a＝3，1，4，0，6，﹣2． 因为a＝1，不符合题意， 所以所有符合条件的a的值为0、3、4、6、﹣2． 【典例7】先化简，然后从﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【分析】先按照分式的混合运算对式子进行化简，再求分式有意义时a的取值，代入求值即可． 【解答】解：原式 ； ∵要使分式要有意义，则a﹣2≠0，a≠0，a2﹣4a+4≠0， ∴a≠0，a≠2， 当a＝1时，原式； （当a＝﹣1时，原式也正确）． 知识点3 分式方程 1．分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 【归纳】 （1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程． （2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别． （3）分母中含有字母的方程未必是分式方程． 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． （2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． （3）解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解． 3．分式方程的应用 分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义． 【典例1】下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【解答】解：（1）关于x的方程分母中含有未知数，（1）是分式方程； （2）关于x的方程分母中不含有未知数，（2）不是分式方程； （3）关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，（3）不是分式方程； （4）关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，（4）不是分式方程； （5）关于x的方程分母中π是常数，不含有未知数，（5）不是分式方程． 综上所述：是分式方程的有1个． 故选：A． 【典例2】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m＞5 B．m≥5 C．m≥5且m≠6 D．m＞5且m≠6 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可． 【解答】解：分式方程去分母得：m﹣6＝x﹣1， 解得：x＝m﹣5， 由分式方程的解是非负数，得到m﹣5≥0，且m﹣5≠1， 解得：m≥5且m≠6， 故选：C． 【典例3】关于x的方程有整数解，则满足条件的整数m的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】去分母，整理的（m﹣2）x＝﹣2，根据关于x的方程有整数解，得x，且x≠2，进一步可得m﹣2＝﹣1或m﹣2＝±2，分别列方程即可． 【解答】解：去分母，得mx﹣1﹣1＝2（x﹣2）， 整理，得（m﹣2）x＝﹣2， ∵关于x的方程有整数解， ∴x，且x≠2， ∴m﹣2＝±1或m﹣2＝±2， ∵x≠2， ∴m﹣2≠﹣1， 解得m＝3或m＝4或m＝0， ∴满足条件的整数m有3个， 故选：C． 【典例4】对于关于x的分式方程，以下说法错误的是（　　） A．分式方程的增根是x＝0或x＝3 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是x＝3 【分析】分式方程的增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，让最简公分母为0即可得到增根，未知数系数为0也使分式方程无解，由此解答即可． 【解答】解：， 方程两边同乘x（x﹣3），得（2m+x）x﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3）， 即（2m+1）x＝﹣6， 若分式方程有增根，则x＝0或x﹣3＝0，即x＝0或x＝3， 当x＝0时，（2m+1）x＝﹣6，无解； 当x＝3时，6m+3＝﹣6，解得m； 若分式方程无解，则2m+1＝0，解得m； 所以A错误，B、C、D正确， 故选：A． 【典例5】某文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去游览，面包车的租金为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设实际参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：，根据每个同学比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系． 【解答】解：设实际参加游览的同学共x人， 根据题意可得：， 故选：A． 【典例6】某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（　　） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成 C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成 【分析】根据题意和题目中的方程，可以写出“×××”表示的缺失的条件． 【解答】解：设实际每天改造人行道x米，则可得方程， ∴根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充“每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成”， 故选：A． 【典例7】某化工厂用A，B两种型号的机器人搬运化工原料，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小时多搬运30kg，每个A型机器人搬运900kg所用的时间与每个B型机器人搬运600kg所用的时间相等． （1）求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少化工原料？ （2）某化工厂有4500kg化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由8个A型机器人搬运2小时，再增加若干个B型机器人一起搬运，问至少增加多少个B型机器人才能按要求完成任务？ 【分析】（1）设B型机器人每个每小时搬运xkg原料，则A型机器人每个每小时搬运（x+30）kg原料，由题意：每个A型机器人搬运900kg所用的时间与每个B型机器人搬运600kg所用的时间相等，列出分式方程，解此方程即可求解； （2）设增加y个B型机器人，根据题意：先由8个A型机器人搬运2小时，再增加若干个B型机器人一起搬运，共需要搬运4500kg化工原料，且所用时间不超过5小时，列出一元一次不等式，解不等式取最小整数值即可． 【解答】解：（1）设每个B型机器人每小时搬运xkg原料，则每个A型机器人每小时搬运（x+30）kg原料， 根据题意，得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解且符合题意； 则每个A型机器人每小时搬运原料为：x+30＝90； 因此，每个A型机器人每小时搬运90kg原料，每个B型机器人每小时搬运60kg原料． （2）设增加y个B型机器人， 依题意，得：8×90×5+60（5﹣2）y≥4500， 解得：y≥5， ∵y为正整数， ∴y的最小值为5． 因此，至少要增加5个B型机器人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 分式全章知识典例详解 【人教版】 知识点1 分式 1．分式的概念 （1）分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． （2）一个式子是分式需满足的三个条件： ①是形如的式子； ②A，B为整式； ③分母B中含有字母．三个条件缺一不可． 【注意】 （1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志． （2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式． 2．分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0． （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0． 【注意】 （1）分式有无意义与分母有关，与分子无关． （2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了． 3．分式的值为0的条件 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且__________不等于0时，分式的值为0． 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可． 【拓展】对于分式， （1） 若的值为正数，则或； （2） 若的值为负数，则或； （3） 若的值为1，则A=B且B≠0； （4）若的值为-1，则A+B=0且B≠0． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式． 分式的基本性质是分式变形的理论依据． 【注意】 ①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件． ②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式． ③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C． （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为： 或 5．约分、最简分式 （1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 【归纳】 （1）约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式． （2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式． （3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分． （4）约分的结果是整式或最简分式． （5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变． 6．通分 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 约分与通分的联系与区别： （1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值． （2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言． （3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式． 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 【注意】 （1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变． 确定最简公分母的方法： （1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定． 通分的步骤： （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 【典例1】下列各式，，，，，，，中，分式共有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【典例2】下列分式中，不论x取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【典例3】若分式有意义，则x的值为（　　） A．x≠±3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≥﹣3且x≠3 【典例4】若分式的值为0，则x的值为（　　） A．±2 B．0或2 C．0 D．﹣2 【典例5】如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【典例6】已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 【典例7】下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例8】计算． （1）约分：； （2）通分：，． 知识点2 分式的运算 1．分式的乘除 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为 【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习． （1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算． （4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式． （5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算． 2．分式的乘方 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 【注意】 （1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把写成． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体． 3．分式的加减 （1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． （2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 【注意】 （1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式． （2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母． （3）异分母分式相加减的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：写成分母不变，分子相加减的形式； ③合并：分子去括号，合并同类项； ④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分． 4．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便． （2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边． 5．整数指数幂与科学记数法 （1）整数指数幂： 若m，n为正整数，a≠0，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数． 整数指数幂的运算性质 ①；②；③； ④；⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． （2）科学记数法 用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a×10-n的形式，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a<10． 【典例1】2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻≤8nm技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米＝0.000000008米，0.000000008用科学记数法可表示为（　　） A．8×109 B．8×10﹣9 C．8×1010 D．8×10﹣10 【典例2】若，则它们的大小关系是（　　） A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜c＜d D．c＜a＜d＜b 【典例3】计算； （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【典例4】计算： （1）； （2）． 【典例5】计算化简 ①； ②； ③； ④． 【典例6】已知分式A＝（a+1）． （1）化简这个分式； （2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a＞2时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由． （3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值． 【典例7】先化简，然后从﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 知识点3 分式方程 1．分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 【归纳】 （1）分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程． （2）方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别． （3）分母中含有字母的方程未必是分式方程． 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解． （2）解分式方程的一般方法和步骤： ①去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程； ②解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等； ③检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 简称为一化，二解，三检验． （3）解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解． 3．分式方程的应用 分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量； 二找：找出等量关系； 三设：设未知数； 四列：列出分式方程； 五解：解这个方程； 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求； 七答：写出答案． 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义． 【典例1】下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m＞5 B．m≥5 C．m≥5且m≠6 D．m＞5且m≠6 【典例3】关于x的方程有整数解，则满足条件的整数m的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例4】对于关于x的分式方程，以下说法错误的是（　　） A．分式方程的增根是x＝0或x＝3 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是x＝3 【典例5】某文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去游览，面包车的租金为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【典例6】某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（　　） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成 C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成 【典例7】某化工厂用A，B两种型号的机器人搬运化工原料，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小时多搬运30kg，每个A型机器人搬运900kg所用的时间与每个B型机器人搬运600kg所用的时间相等． （1）求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少化工原料？ （2）某化工厂有4500kg化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由8个A型机器人搬运2小时，再增加若干个B型机器人一起搬运，问至少增加多少个B型机器人才能按要求完成任务？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$