专题3.2 导数的概念及其意义与运算（练习）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题3.2 导数的概念及其意义与运算 【新高考专用】 题型一 导数的定义及其应用 1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 3．（23-24高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 4．（2024·全国·模拟预测）已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求 ； . 题型二 求（复合）函数的导数 5．（2024·福建漳州·三模）已知函数是函数的导函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·新疆喀什·二模）已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 7．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则 . 8．（2024·海南·模拟预测）已知函数的导函数为，若，为的导函数，则 . 题型三 求曲线切线的斜率（倾斜角） 9．（2024·河北唐山·模拟预测）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 10．（23-24高二下·湖北·期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·陕西渭南·开学考试）函数在处的切线的倾斜角为 . 12．（23-24高二下·广东·阶段练习）函数的图象在点处的切线斜率为 ． 题型四 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程 13．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·四川·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 ． 16．（2024·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 题型五 与切线有关的参数问题 17．（2024·陕西·模拟预测）函数的图象与直线相切，则以下错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 18．（2024·海南·模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（2024·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则 ． 20．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，若曲线与直线相切，则 ． 题型六 切线的条数问题 21．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 22．（23-24高三上·湖北·期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 23．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 24．（23-24高二下·陕西西安·期末）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 . 题型七 两条切线平行、垂直、公切线问题 25．（2024·陕西渭南·一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 26．（2024·辽宁辽阳·二模）若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 28．（2024·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ． 题型八 与切线有关的最值问题 29．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 30．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·江西赣州·期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 32．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数，若曲线的一条切线为直线l：，则的最小值为 ． 一、单选题 1．（2024·重庆·模拟预测）（   ） A．72 B．12 C．8 D．4 2．（2024·贵州黔南·一模）曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．2023 6．（2024·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南·一模）抛物线在其上一点处的切线方程为，点A，B为C上两动点，且，则的中点M到y轴距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南·三模）已知定义域为的函数是的导函数，且满足：是奇函数，则下列判断正确的是（    ） A．是奇函数 B． C． D． 11．（2024·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（    ） A．、两点的纵坐标之积为定值 B．直线的斜率为定值 C．线段AB的长度为定值 D．面积的取值范围为 三、填空题 12．（2024·四川宜宾·一模）设曲线在处的切线与直线垂直，则 . 13．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 14．（2024·全国·二模）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则 . 四、解答题 15．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知函数. (1)求该函数在处的切线方程； (2)求该函数过原点的切线方程. 16．（2024·陕西西安·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 17．（2024·四川雅安·一模）已知函数在时有极小值.曲线在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 18．（2024·安徽·三模）若对任意的实数k，b，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”． (1)判断函数是否为“恒切函数”； (2)若函数是“恒切函数”，求证：． 19．（2024·安徽·一模）给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的泰勒展开式； (2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； (3)现已知，试求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 导数的概念及其意义与运算 【新高考专用】 题型一 导数的定义及其应用 1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】利用导数的定义求解. 【解答过程】解：因为， 所以，即， 所以， 故选：B. 2．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【解题思路】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【解答过程】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 3．（23-24高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 80 ． 【解题思路】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度. 【解答过程】因为. 所以该物体时，物体的瞬时速度为. 故答案为：80. 4．（2024·全国·模拟预测）已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求 ； . 【解题思路】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解. 【解答过程】由极限的定义知：①；②， 因为，，可得， 则； 又因为，令，可得， 所以. 故答案为：；. 题型二 求（复合）函数的导数 5．（2024·福建漳州·三模）已知函数是函数的导函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】计算的导数，得到，代值即可. 【解答过程】因为， 所以， 即， 所以， 所以. 故选：D. 6．（2024·新疆喀什·二模）已知函数的定义域均为为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【解题思路】由题意分析可得，再推导得的奇偶性和周期性，利用特殊值求出，进而分析得到，计算可得答案. 【解答过程】由题意，可知，①， 令可得，，所以. 又因为为偶函数，所以，两边同时求导可得，② 令可得，，所以， 联立①②可得，，化简可得，所以是周期为2的函数，所以，， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：A. 7．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则 . 【解题思路】左右两侧同时求导得到，求出原函数后再求即可. 【解答过程】由题意知，令， 得，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 8．（2024·海南·模拟预测）已知函数的导函数为，若，为的导函数，则 . 【解题思路】求出复合函数的导函数，代入求值. 【解答过程】， 所以. 故答案为：. 题型三 求曲线切线的斜率（倾斜角） 9．（2024·河北唐山·模拟预测）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解. 【解答过程】对求导得，，由题意曲线在处的切线的斜率为. 故选：A. 10．（23-24高二下·湖北·期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导得，即，再根据倾斜角的范围及正切函数的图象求解即可. 【解答过程】解：由，可得， 所以，即， 当时，，当时，， 所以角的范围是. 故选：B. 11．（23-24高三上·陕西渭南·开学考试）函数在处的切线的倾斜角为 . 【解题思路】利用导数求得函数在处的切线的倾斜角. 【解答过程】， ，所以函数在处的切线的倾斜角为. 故答案为：. 12．（23-24高二下·广东·阶段练习）函数的图象在点处的切线斜率为 ． 【解题思路】利用导数的几何意义可得切线斜率. 【解答过程】因为， ， 所以， 故答案为：. 题型四 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程 13．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分段函数结合导函数求出，再根据点斜式得出直线方程. 【解答过程】当时，， 当时，，则， 所以，． 则所求的切线方程为，即． 故选：B. 14．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的定义域为，为奇函数，且的图像关于对称．若曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得函数的图像关于点对称，关于对称，进而得函数是周期为的周期函数，再结合题意，根据周期性与对称性求解即可. 【解答过程】解：因为为奇函数，即， 所以，函数的图像关于点对称，即， 因为的图像关于对称， 所以的图像关于对称，即， 所以，， 所以，即函数是周期为的周期函数， 所以曲线在处的切线斜率等于曲线在处的切线斜率， 因为曲线在处的切线斜率为，图像关于对称， 所以，曲线在处的切线斜率为， 因为，， 所以， 所以， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：A. 15．（2024·四川·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 ． 【解题思路】根据导数的几何意义求解即可. 【解答过程】，，， 故函数的图象在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 16．（2024·全国·模拟预测）过原点与曲线相切的一条切线的方程为 或或(写出其中一条即可) . 【解题思路】根据曲线表示抛物线的一部分，设其切线方程为，利用判别式法求解；设的切线的切点为，利用导数法求解. 【解答过程】解：设曲线表示抛物线的一部分， 设其切线方程为，代入， 得.由，得. 当时，，符合题意， 当时，，均符合题意， 所以切线方程. 设的切线的切点为. 由，得，， 得切线方程为. 将的坐标代入切线方程，得， 所以，所以切线方程为. 故答案为：或或(写出其中一条即可). 题型五 与切线有关的参数问题 17．（2024·陕西·模拟预测）函数的图象与直线相切，则以下错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【解题思路】根据切点和斜率列方程，从而判断出正确答案. 【解答过程】设与直线相切于点， ，则①， 所以切点为，而斜率为， 所以切线方程为， 则②. 由①②得，，C选项错误，D选项正确. 所以当时，，A选项正确. 当时，，B选项正确. 故选：C. 18．（2024·海南·模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】本题考查导数的计算及几何意义． 【解答过程】由题意知， 因为与曲线相切， 所以，整理得， 同理， 则，是方程的两个实数根， 所以， 所以． 故选：. 19．（2024·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则 ． 【解题思路】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得. 【解答过程】设直线与曲线相切于点， 求导可得，因此切线斜率， 又切线过原点，可得，化简可得， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，，即可得， 因此可得，即可得. 故答案为：. 20．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，若曲线与直线相切，则 ． 【解题思路】设出切点，利用切点在曲线上也在直线上和切点处的导数等于斜率列方程求解。 【解答过程】设，与直线相切的切点为， 则， 故在点处的切线方程可写为， 即， 若切线为，则且，得， 所以，设则，所以， 所以，所以又因为，所以解得． 故答案为：. 题型六 切线的条数问题 21．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【解题思路】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【解答过程】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点是不切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B. 22．（23-24高三上·湖北·期中）函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【解题思路】根据奇函数确定，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算，计算切线得到答案. 【解答过程】，故，， ，， 设切点为，则，且， 整理得到，解得，， 故切线方程为， 故选：A. 23．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【解题思路】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【解答过程】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 24．（23-24高二下·陕西西安·期末）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 . 【解题思路】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数的取值范围. 【解答过程】设点为曲线上一点，则 又，则， 则曲线在点处的切线方程为 ，又切线过点， 则，即 令，则， 则时，单调递减； 时，单调递增； 时，单调递减， 则时取得极小值，时取得极大值， 又， 当时，恒成立，时，， 又由题意得方程有3个根， 则与图像有3个交点，则. 则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.      故答案为：. 题型七 两条切线平行、垂直、公切线问题 25．（2024·陕西渭南·一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 【解题思路】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【解答过程】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故选：D. 26．（2024·辽宁辽阳·二模）若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导得到范围A，再分，，三种情况讨论得范围B，最后根据条件得A与B包含关系，计算得到答案. 【解答过程】由，得，所以， 由，得，设该导函数值域为B， (1)当时，导函数单调递增，， 由题意得 故，解得； (2)当时，导函数单调递减，，同理可得，与矛盾，舍去； （3）当时，不符合题意. 综上所述：的取值范围为. 故选：D. 27．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【解题思路】设公共点为 ，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 【解答过程】设公共点为 ，则，即， 所以，所以， 由，，所以，， 又在公共点处有相同的切线，所以，即， 所以，则，所以， 所以公共点坐标为. 故答案为：. 28．（2024·河北邯郸·三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ． 【解题思路】易得曲线在点处的切线方程为，再根据切线与圆相切，得到，化简为，根据曲线与圆有三条公切线，则方程有三个不相等的实数根，令，由曲线与直线有三个不同的交点求解. 【解答过程】解：曲线在点处的切线方程为， 由于直线与圆相切，得（*） 因为曲线与圆有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根， 即方程有三个不相等的实数根. 令，则曲线与直线有三个不同的交点. 显然，. 当时，，当时，，当时，， 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 且当时，，当时，， 因此，只需，即， 解得. 故答案为：. 题型八 与切线有关的最值问题 29．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【解答过程】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 故选：D. 30．（2024·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可. 【解答过程】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小. 设切点为，， 所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C. 31．（23-24高二下·江西赣州·期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 【解题思路】 设函数与直线平行的切线为，利用导数的几何意义得出切点，再由距离公式得出的最小值. 【解答过程】 设函数与直线平行的切线为，则的斜率为， 由，得，所以切点为， 则点到直线的距离就是的最小值，即. 故答案为：. 32．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数，若曲线的一条切线为直线l：，则的最小值为 ． 【解题思路】根据题意，设切点为，将切点分别代入函数以及切线上，且，得到方程化简可得，从而求得其最小值. 【解答过程】设切点为，，则在l：上，即①， 因为，则， 又因为直线的斜率为4，则，所以③， 因为在上， 所以②， 由①②可得④， 将③代入④中可得，， 化简可得，即⑤， 由③⑤可得，， 令，则， 当时，即时，， 所以当时，， 故答案为:. 一、单选题 1．（2024·重庆·模拟预测）（   ） A．72 B．12 C．8 D．4 【解题思路】令，根据导数的概念，可求解. 【解答过程】令，根据导数的概念， ， ，所以. 故选：B． 2．（2024·贵州黔南·一模）曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积. 【解答过程】由，求导得，则，而， 因此曲线在点处的切线为，该切线交于点，交轴于点， 所以该切线与两坐标轴围成的三角形的面积. 故选：A. 3．（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【解答过程】 由图可知，为负数，为正数，故不选， 设在处的点为，显然的斜率大于， 则，可转化为， 所以的值最大. 故选：A． 4．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，计算曲线在点处的切线方程，利用切线与曲线相切可得结果. 【解答过程】解法1：由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 由得，， 所以，解得， 故选：D. 解法2：由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 因为，所以， 令，得， 所以与曲线 的切点为， 由切点在切线得，解得， 故选：D. 5．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．2023 【解题思路】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值. 【解答过程】因为，所以两边求导，得， 即① 因为为定义在上的奇函数，则， 所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数， 所以，结合①式可得，， 所以，两式相减得，， 所以是周期为4的偶函数， 所以. 由①式，令，得，所以. 故选：C. 6．（2024·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解. 【解答过程】设切点为，， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为， 又切线过点， 则，， 即， 由过点可作两条切线， 所以有两个正根， 即，整理可得， 故选：C. 7．（2024·河南·一模）抛物线在其上一点处的切线方程为，点A，B为C上两动点，且，则的中点M到y轴距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据抛物线的切线方程，利用求导数，设切点，求出；接着设出，表示出点M到y轴的距离为：，利用抛物线的定义表达式，将其转化为两条焦半径的和，结合图形易得，故得解. 【解答过程】依题意，因切线斜率为1，故切点必在第一象限，设切点为，由求导可得：， 依题，，即化简得，故切点为，代入中，解得，故.    如图，设点则，点M到y轴的距离为：, 当且仅当线段经过点时，等号成立. 故的中点M到y轴距离的取值范围为. 故选：A. 8．（2024·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导分析的图象可得，再设切点坐标为，由题可得有三根，再构造函数求导分析图象单调性与最值即可 【解答过程】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.    此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意    故选：B. 二、多选题 9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论. 【解答过程】选项A中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确； 选项B中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误； 选项C中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得， 当时，切点为，切线方程为，C正确； 选项D中，易知与有三个交点，， 又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误. 故选：AC. 10．（2024·湖南·三模）已知定义域为的函数是的导函数，且满足：是奇函数，则下列判断正确的是（    ） A．是奇函数 B． C． D． 【解题思路】首先利用求导证明为奇函数，再证明是周期为3的函数，再通过合理赋值可核对各选项的对错. 【解答过程】由，得，则， 又是奇函数，即，从而，， 即，则是奇函数，A正确； 对于B，在中，令，可得， 在中，令，可得，从而，B正确； 对于C，在中，以代，可得， 与求和，可得，令，可得，C错误； 对于D，由以及，可得， 从而，则是周期为3的周期函数，，， ，D正确. 故选：ABD. 11．（2024·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（    ） A．、两点的纵坐标之积为定值 B．直线的斜率为定值 C．线段AB的长度为定值 D．面积的取值范围为 【解题思路】根据切线方程的定义，利用分类讨论的思想，可得整理切线方程，根据直线垂直可得切点横坐标的乘积，进而可得纵坐标的乘积，利用直线斜率公式，等量代换整理，可得其值，利用切线方程，求得的坐标，可得答案. 【解答过程】由函数，则， 设，， 当，时，由题意可得，，化简可得，符合题意； 当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立； 当时，由题意可得，，化简可得，显然不成立； 对于A，，故A错误； 对于B，直线的斜率，故B正确； 对于C，易知直线，直线， 令，则，即，同理可得， ，故C正确； 对于D，联立，整理可得，解得， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，则当时，， 所以，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2024·四川宜宾·一模）设曲线在处的切线与直线垂直，则 1 . 【解题思路】由直线的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求得的值. 【解答过程】直线的斜率， ∵切线与直线垂直，∴切线的斜率， ，当时，，∴， 故答案为：1. 13．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 【解题思路】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【解答过程】因为，所以， 令，得，解得，所以切线斜率为2， 因为，令，得， 解得，所以切点坐标为. 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14．（2024·全国·二模）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则 . 【解题思路】首先设出两个曲线的公共点，再根据导数的几何意义，列式求解. 【解答过程】设两个函数的图象的公共点为， 所以，则，且， 所以，得，. 故答案为：. 四、解答题 15．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知函数. (1)求该函数在处的切线方程； (2)求该函数过原点的切线方程. 【解题思路】（1）代入得到切点坐标，再求导代入得出斜率，写出切线方程即可； （2）设切点，切线方程为，根据导数含义得， ，代入切点横坐标得到其纵坐标为1，再代回函数解析式得到切点坐标，最后写出切方程即可. 【解答过程】（1）当时，，所以此时切点为， 由可得， 所以切线的斜率为， 则利用点斜式方程可得到，即， （2）显然切线斜率不存在时，不合题意， 故设切线方程为，切点，斜率， ，又因为切点在上， ，当时，， ，切线方程为，即. 16．（2024·陕西西安·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对进行分类讨论，然后结合恒成立与最值关系转化即可求解. 【解答过程】（1）当时，，则． 又，所以切线方程为，即． （2）． 当时，在上恒成立，则在上单调递增， 又，所以恒成立，满足题意； 当时，，，不符合题意． 综上，的取值范围为． 17．（2024·四川雅安·一模）已知函数在时有极小值.曲线在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）对函数求导，利用在时有极小值和在点处的切线方程，即可求出的值； （2）将函数代入不等式并分离参数，转化成对任意实数恒成立问题，构造函数，通过讨论新函数的单调性，求出新函数的取值范围，进而得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）由题意，， 在中，， 在时有极小值.曲线在点处的切线方程为. ∴即 ， ，， 当时，在上单调递增. 当时，在上单调递减. 当时，在时有极小值. 故符合题意，即为所求. （2）由题意及（1）得，， 在中，，即对任意实数恒成立， 设，则. 当时，，则，故在上单调递增； 当时，，则，故在上单调递减； 当时，，则， 故时有极小值，也就是的最小值， 故即为所求. 18．（2024·安徽·三模）若对任意的实数k，b，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”． (1)判断函数是否为“恒切函数”； (2)若函数是“恒切函数”，求证：． 【解题思路】（1）设函数的切点为，分析“恒切函数”的性质可得，对于函数，则有，解可得，即可得出结论. （2）设函数的切点为，分析可得，设，考查的解，综合即可得答案. 【解答过程】（1）根据题意，若函数为“恒切函数”，切点为，则即，对于函数，，所以解得．因此，函数是“恒切函数”； （2）根据题意，函数是“恒切函数”，设切点为，由，可得，则有即考查方程的解，设，因为，令，得．当时，；当时，．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．所以． （i）当时，因为，，所以，函数在区间上存在唯一零点．又因为； （ii）当时，因为，所以函数在区间上有唯一零点，则，综上所述，． 19．（2024·安徽·一模）给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的泰勒展开式； (2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； (3)现已知，试求的值. 【解题思路】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求， （2）由（1）可求； （3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论. 【解答过程】（1），，，， 所以，，，， 由 所以 （2）由（1）可得 （3）因为 ①， 对， 两边求导可得：， 所以， 所以②， 比较①②中的系数，可得： ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$