专题18 旋转解答压轴题分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题18 旋转解答压轴题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 压轴题求面积】 1 【题型2 压轴题求角度】 5 【题型3 最值问题】 10 【题型4 压轴题探究数量关系】 14 【题型1 压轴题求面积】 1．综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转 得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积． 2．（1）如图1，在和中，，，．求证：； （2）如图2，在和中，，，，，，点在内，延长交于点，求证：点为线段的中点； （3）如图3，在中，，点为外一点且，，，请直接写出四边形的面积． 3．如图，在中，，且，点E是上一点． (1)若，求． (2)过点C作，N为上一点，连接，恰有，求证： (3)如图3，若为等边三角形，F为上一点，连接，点P是内部一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，使，将沿翻折到同一平面内的，在线段上截取，连接，已知，请直接写出的面积． 4．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      5．为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． (1)如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； (2)如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 6．如图1，已知，是等边三角形，点P为射线上任意一点（点P与点B不重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点F． (1)如图2，当时，　　°，猜想　　°； (2)如图1，当点P为射线上任意一点时，猜想的度数，并加以证明； (3)已知线段，，当时，求四边形的面积． 7．如图①，在矩形中，点E 在边上，点 F 在边上，连接 ，已知 (1)求证：平分； (2)如图②，若矩形 为正方形，求的度数； (3)如图③，在（2）的基础上，将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点，已知点 恰好落在边的延长线上，连接，若，求的面积. 8．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，， ，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形， ，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 9．已知正方形中，点为对角线上一点，点在的延长线上，连接． (1)如图1，若，连接，若，求的长； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 10．已知，点为边中点，点为线段中点． (1)如图1，若，，，求的长： (2)如图2，过点作直线，分别过点，，作直线的垂线段，，，求证：； (3)在（1）条件下，点与点分别是射线与射线上两动点，且，点关于的对称点为，将绕点顺时针旋转得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 【题型2 压轴题求角度】 11．如图，中，，，点D为上一动点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针旋转得到，，，连接AE． (1)求的值； (2)若的面积为5，时，求的长； (3)G为所在平面内一点，且，，，请画出草图并直接写出的度数． 12．如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 13．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 14．如图，为等边三角形，直线与边交于点，，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接． (1)如图，若，与交于点，且，，求的长度； (2)如图，若与交于点，且为中点，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，连接，当最短时，在直线和线段上分别取点和点，且，连接、，直接写出（或者表示出）当取得最小值时的度数． 15．如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． (1)求证：． (2)如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 16．探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题： 【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？    【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点． 【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数． 17．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，延长到点使，分别连接，，交于点．求证：； (3)如图3，若，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，点是边上一点，，是线段上的一个动点，连接，．当的值最小时，请直接写出的度数． 18．如图，，，绕着点C旋转．    (1)如图1，若，求证平分； (2)如图2，在图1的位置上将绕着点逆时针旋转（旋转角小于），延长、交于点，则与的数量关系为 ； (3)如图3，在图1的位置上将绕着点顺时针旋转（旋转角小于），连接、，若，求的度数． 19．已知是等边三角形．    (1)将绕点A逆时针旋转角θ（），得到，和所在直线相交于点O． ①如图a，当时，与是否全等？___ （填“是”或“否”），___ 度； ②当旋转到如图b所在位置时，求的度数； (2)如图c，在和上分别截取点和，使， ，连接，将绕点A逆时针旋转角（），得到，和所在直线相交于点O，请利用图c探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．   20．如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上， ，连接、，与相交于P． (1)求证：； (2)如图2，过点A作，分别交、于M、N，比较与的大小并证明； (3)如图3，连接，若，求的度数． 【题型3 最值问题】 21．已知，在中，，．点是边上的一点，连接．将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，过点作，交直线于点．设的长为，当点在边上移动时，求的长；（用含的式子表示） (3)当为何值时，的值最小，并求出最小值． 22．如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形． (1)当点在何处时，的值最小，说明理由； (2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 23．如图，中，，点为边上一点．    (1)如图1，若于点，，．求的长； (2)如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连接、，若于点．求证：； (3)如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式：） 24．如图，在中，，点D是边上一动点，连接．把绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，时，求的长； (3)在点D运动的过程中，线段上存在一点P，使的值最小，设的长为m，直接写出的最小值（用含m的式子表示）． 25．如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM． （1）AM+PM的最小值等于 　 　； （2）求证：△BNM是等边三角形； （3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标． 26．已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点B、C、E在同一直线上， （1）写出两个不同类型的结论； （2）连接BD，P为BD上的动点（D点除外），DP绕点D逆时针旋转60º到DQ，如图2，连接PC，QE， ①判断CP与QE的大小关系，并说明理由； ②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值． 27．边长为的等边中，点分别在边上，，． (1)如图，将沿射线方向平移，得到，边与的角平分线交于点，当多大时，四边形为菱形？并说明理由 (2)如图，将绕点旋转（），得到，边的中点为 ①在旋转过程中，和有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接，当最大时，求的值．（结果保留根号） 28．如图，正方形的边长为，射线是外角的平分线，点在边上运动（不与点、重合），点在射线上，且，与相交于点，连结、、．    (1)求证：； (2)求的周长（用含的代数式表示）； (3)试探索：点在边上运动至什么位置时，的面积最大．   29．如图1所示，是等边三角形，点D和点E分别在边和上（D，E均不在所在线段的端点上），且，点M，P，N分别是线段上的中点，连接．    (1)请说明．并求出的大小； (2)把绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状并说明理由； (3)把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出的最大面积．   30．图1是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）的图形． (1)操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____． (2)操作：若将图1中的，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3． ①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系； ②求的度数． (3)若将图1中的，绕点C按逆时针方向旋转一个角，当等于多少度时，的面积最大？请直接写出答案． 【题型4 压轴题探究数量关系】 31．操作与探究：如图1，在锐角的边、上分别取点、，使，在上取点，作，连接交于点，作射线． (1)求证：平分． (2)移动点使，求证：是矩形． (3)如图3，在（2）的条件下，去中点连接，将绕点逆时针旋转适当的角度，得到（点、分别是的两边与的延长线、的交点）．猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 32．在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点P． (1)如图1，当点P落在线段上时，求证：； (2)如图2，当C的对应点E落在上时，连接．若求的周长． (3)如图3，当点P落在的延长线上，且时，连接，判断线段与的数量关系并说明理由． 33．【课本再现】（1）如图1，，都是等边三角形．与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 【探究应用】（2）如图2，绕着点逆时针旋转得到，连接，，，． ①下列说法正确的是_____；（多选题，填序号即可） A．，的形状都是等腰直角三角形 B．， C． D．的面积与的面积相等 ②如图3，点是的中点，猜想与之间的数量关系，并证明． 34．在中，为线段的中点．为外一点，． (1)如图1，当时，求证：三点共线； (2)如图2，连接，将其绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①补全图形； ②请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 35．综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 36．如图，为等边三角形，点M为边上一点（不与点A，B重合），连接，过点A作于点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形，直接写出的大小，并证明； (2)连接并延长交于点F，用等式表示与的数量关系，并证明． 37．如图1，正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处． (1)当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； (2)如图2，作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你写出与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 38．已知中，，． (1)如图1，当B、C、M、N在同一直线上，且，，时， ；（直接写出计算结果） (2)如图2，当B、C、M、N在同一直线上，且时，写出线段、、之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当于点B，于点C， ，且时，直接写出线段的值． 39．如图1，已知是等边三角形，点E在线段上，点D在直线上，且，将绕点C顺时针旋转至，连接． (1)证明：是等边三角形； (2)证明：； (3)如图2，如果点E在线段的延长线上，其它条件不变，线段，，之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 40．如图，在中，，点Q是的中点，点P是内部一点，连接，满足，点D、E分别在线段上，连接． (1)已知． ①如图1，直接写出的度数； ②如图2，若平分，，依题意补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图3，连接，若，用等式表示和的数量关系，并证明． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 旋转解答压轴题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 压轴题求面积】 1 【题型2 压轴题求角度】 31 【题型3 最值问题】 60 【题型4 压轴题探究数量关系】 83 【题型1 压轴题求面积】 1．综合与实践已知：，在和上截取，将线段边绕点A逆时针旋转 得到线段，点E在射线上，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，若旋转角，则与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，试探究在旋转的过程中与的数量关系是否发生改变？若不变，请求与的数量关系；若改变，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点E在直线上，，，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）保持不变，理由见解析；（3）的面积为或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理； （1）当可得四边形是正方形，此时、重合，可得； （2）过作于，过作于，由旋转结合等腰三角形三线合一可得，再证明，得到，最后由，得到，，即可得到； （3）参考（2）中作辅助线，过作于，过作于，先证明，得到，，再由，得到，利用勾股定理求出，，最后根据计算，需要利用点与点位置去分类讨论． 【详解】解：（1）∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E在射线上，， ∴此时、重合， ∴， ∴； （2）在旋转的过程中不变，理由如下： 如图，过作于，过作于，则， ∵将线段边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当在点右边时，如图，过作于，过作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，当在点左边时，如图 ， ∴； 综上所述，的面积为或． 2．（1）如图1，在和中，，，．求证：； （2）如图2，在和中，，，，，，点在内，延长交于点，求证：点为线段的中点； （3）如图3，在中，，点为外一点且，，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3） 【分析】（1）首先推导，再利用“”证明即可； （2）连接，延长至点，取，连接，由（1）可知，，由全等三角形的性质可得，， 再证明，易得，则有，即可证明结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于点，过点作于点，易得，，由（1）可知，，可得，根据等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质可得，，利用勾股定理解得，进而可得，即可求得的值；再求得，，的值，可确定的长度，进一步计算的值；然后根据，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ； （2）证明：连接，延长至点，取，连接，如下图， 由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：如下图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于点，过点作于点， 则，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 3．如图，在中，，且，点E是上一点． (1)若，求． (2)过点C作，N为上一点，连接，恰有，求证： (3)如图3，若为等边三角形，F为上一点，连接，点P是内部一点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，使，将沿翻折到同一平面内的，在线段上截取，连接，已知，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点E作于点H，根据题意易证是等腰直角三角形，求出，利用含30度角的直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，求出，进而得到，再利用勾股定理求出，即可求出的长； （2）过点作交于点，根据题意结合三角形外角的性质易证，再根据，推出，进而求出，证明，推出，结合，证明，推出，即可证明结论； （3）根据，如图，将绕D逆时针旋转至，连接；将绕M旋转至，连接；过M作交延长线于K；证明是正三角形，将绕G旋转得到，连接，证明是正三角形，证明，同理可证，是等边三角形，求出， ，，由旋转的性质得：，根据，过点K作，则，设，求出，计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点H， ，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点， 由（1）知，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解： ， 如图，将绕D逆时针旋转至，连接， ∴，，，， ∵，，， ∴是正三角形， 将绕M旋转至，连接；过M作交延长线于K；将绕G旋转得到，连接， ∴，，， ∴是正三角形， ∴， 在中，， 同理可证，是等边三角形， ∴，， 在中，，， ， ， 在中， ，， ， 由旋转的性质得：， ∴ 如图过点K作，则，设， ， ， ，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的旋转、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，还考查了勾股定理以及角所对的直角边等于斜边的一半的应用；通过转换证明全等、运用割补法求面积是解题的关键． 4．【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 5．为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． (1)如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； (2)如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据直角三角形的性质得出，根据为等边三角形，得出，，证明，为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，根据中位线性质得出，即可得出结论； （3）根据等边三角形性质得出，，根据，利用三角形三边关系得出，且当、B、E三点共线时，等号成立，画出图形，先根据等边三角形性质求出，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：连接，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：；理由如下： 延长，取，连接，如图所示： 根据解析（1）可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点M为的中点， ∴， ∴； （3）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，绕点A逆时针旋转， ∴，且当、B、E三点共线时，等号成立， ∴当点E在线段上时，最小，如图所示： 过点D作于点N， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 此时， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，中位线的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 6．如图1，已知，是等边三角形，点P为射线上任意一点（点P与点B不重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接并延长交射线于点F． (1)如图2，当时，　　°，猜想　　°； (2)如图1，当点P为射线上任意一点时，猜想的度数，并加以证明； (3)已知线段，，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)30,60 (2)不变，见解析 (3) 【分析】（1）根据计算，证明，利用全等三角形的性质可以证明度数； （2）根据三角形全等证明即可； （3）利用平行线的性质，等腰三角形的性质，图形的面积性质，解答即可． 本题考查了三角形的全等，旋转的性质，等腰三角形性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴； ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； ∴； ∴， 故答案为：30,60． （2）解：．理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，， ∴； ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； ∴； ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴重合， ∴，， ∴四边形的面积为： ． 7．如图①，在矩形中，点E 在边上，点 F 在边上，连接 ，已知 (1)求证：平分； (2)如图②，若矩形 为正方形，求的度数； (3)如图③，在（2）的基础上，将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点，已知点 恰好落在边的延长线上，连接，若，求的面积. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的的判定和性质，正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质. （1）设，则，得到，，即可得到，结论得证； （2）过点D作于H，证明，则，证明，则，则，即可得到答案； （3）证明，则，得到是等腰直角三角形，即可得到. 【详解】（1）证明：设，则， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分； （2）过点D作于H， ∴， 由（1）可知，， 又∵ ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ （3）将点E绕点D顺时针旋转使点E的对应点落到点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴的面积 8．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，， ，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形， ，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据题意由勾股定理可得长度，作，交于，利用旋转及互余可证得，则得，，可求出，再由勾股定理可得的长度； （2）由旋转可知，为等腰直角三角形，根据其性质再利用互余可证得，则有，，由，可证，由，利用三角形内角和定理可得，作，交延长线于，连接，易知，为等腰直角三角形，可得，，，易得，可证四边形是平行四边形，即，利用可得证结论； （3）作，交于，将绕点逆时针旋转，证明，进而证得，作点关于的对称点，连接，，由对称易知，易知当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图，作，交于，易知四边形是矩形，证得是等边三角形，求出，的高，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵为的中点，，，， ∴， 则由勾股定理，可得：， 作，交于， 由题意可知，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 则， 由勾股定理可得：； （2）证明：由旋转可知，为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 则：， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， 由三角形内角和定理可得：， 即：， ∴， 作，交延长线于，连接，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴； （3）作，交于， ∵是等边三角形， ∴，，平分， 则， 将绕点逆时针旋转，则，， ∴， ∴， ∴ ∴， 作点关于的对称点，连接，，由对称易知，， ∴ 当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图： 作，交于，则， ∴，， ∵，， ∴，，四边形是矩形， 则，，即， 由轴对称可知，， ∴是等边三角形，则：， ∵， ∴，， ∴，， 则由勾股定理可得：，， ∵，， 则为，之间的距离， ∴，即的高 ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，第（2）问证明，解决问题的关键，第（3）问弄清点的运动轨迹是解决问题的关键． 9．已知正方形中，点为对角线上一点，点在的延长线上，连接． (1)如图1，若，连接，若，求的长； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）本题考查正方形的性质及勾股定理，过作于，先根据正方形的性质得到和都是等腰直角三角形，求出、，在中根据勾股定理求解即可得到答案； （2）本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，过作于点，交于点，连接，根据正方形的性质及辅助线先证明，再证明即可得到证明； （3）本题考查正方形的性质及最短距离问题，先找到动点所在直线，根据垂线段最短结合特殊直角三角形边的关系求解即可得到答案； 【详解】（1）解：过作于， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在中，，，, ∴； （2）证明：过作于点，交于点，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，    ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴，   ∴； （3）解：由（2）得，，如图， ∴点轨迹：直线， ∵绕点顺时针旋转得， ∴点轨迹：直线，且， 当点在点时有等边三角形，， 由，，垂直于，， ，， 当直线时，最小即的长， ，，， ，，， ， ． 10．已知，点为边中点，点为线段中点． (1)如图1，若，，，求的长： (2)如图2，过点作直线，分别过点，，作直线的垂线段，，，求证：； (3)在（1）条件下，点与点分别是射线与射线上两动点，且，点关于的对称点为，将绕点顺时针旋转得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，得到，求出的长，在中，应用勾股定理，即可求解， （2）作，延长，交于点，由，得到，由，得到，，结合，得到，等量代换，即可求解， （3）作中点，作，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出的长度，根据对称的性质求出的长度，由旋转的性质，得到，的长度，在中，应用勾股定理，求出的长度，在中，，当点在线段上时，取得最大值，在中，，求出的长度，代入，即可求解， 本题考查了，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，三角形的中位线，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：根据中点，连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）解：∵，点为边中点，， ∴，， 在中，， （2）解：过点，作，交直线于点，延长，交于点， ∵点为线段中点，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平行于 ∴，， ∵为边中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）在（1）条件下，点与点分别是射线与射线上两动点，且，点关于的对称点为，将绕点顺时针旋转得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 解：作中点，连接，，，过点作，交于点， ∵，是中点， ∴， 由对称的性质可得：， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， 在中，， 在中，， 当点在线段上时，取得最大值， 在中，，即：，解得：， ∴， 【题型2 压轴题求角度】 11．如图，中，，，点D为上一动点（不与A，B重合），连接，将绕点C顺时针旋转得到，，，连接AE． (1)求的值； (2)若的面积为5，时，求的长； (3)G为所在平面内一点，且，，，请画出草图并直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或4 (3)或，图见解析 【分析】（1）通过旋转性质，先证得，再通过直角等腰三角形的基本性质即可求解； （2）先通过的面积求出，再求出，再在中，利用勾股定理求解即可； （3）分两种情况点可以在的内部或者的外部，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵由旋转的性质可知，，， 又∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴． （2）连接，如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可知，，得到， 设，即，， 在中，， ∴， 解得， ∴为2或4． （3）点可以在的内部或者的外部， 当点在的内部时，将逆时针绕点旋转与重合，连接，如图 ∴，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 当点在的外部时，将逆时针旋转与重合，连接，如图， ∴，，， ∴ ，∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． ∴或． 【点睛】本题考查三角形的全等，旋转的基本性质，勾股定理等知识点，综合性强，能够正确做出辅助线是解题关键． 12．如图1，在中，为边上一点，于，连接为中点． (1)连接，判断与的数量关系，并直接写出的度数； (2)如图2，将绕点顺时针旋转度． ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①补全图形见详解，②度数不变，为 【分析】（1）∵，，点P为中点，则故，而，代入即可求解； （2）①依据题意画出图形即可；②取中点为，连接，利用三角形的中位线定理和直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图： ∵，，点P为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①补全图形如图： ②取中点为，连接， ∵， ∴， 由旋转得，，， ∴， 同上可得，， ∴是等边三角形， ∴， 同理是等边三角形， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， 同理可得：为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可得，， ∴， 同上可得，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 13．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 【点睛】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． 14．如图，为等边三角形，直线与边交于点，，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接． (1)如图，若，与交于点，且，，求的长度； (2)如图，若与交于点，且为中点，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，连接，当最短时，在直线和线段上分别取点和点，且，连接、，直接写出（或者表示出）当取得最小值时的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)的度数为或． 【分析】（）由，则可证明，通过角所对直角边是斜边的一半得，根据旋转性质可知，，等边对等角有，则，最后再由角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）延长至，使，连接，证明，则，，设，，通过角度和差得，，从而得到，再证明，则，，再通过性质证明为等边三角形即可； （）分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∵为等边三角形， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时， 作点关于直线对称点，当时，最短， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 绕点顺时针旋转，再截取， 在和中， ， ， ∴，， ∴当三点共线时，取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段延长线上时， 作点关于直线对称点，当时，最短，绕点顺时针旋转，再截取， 在和中， ， ， ∴，，， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴， ∴， 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等边对等角，角所对直角边是斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 15．如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． (1)求证：． (2)如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； ． 【分析】根据旋转的性质可得：，，根据是等边三角形，可得，，所以可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； ①首先设，把和分别用含的代数式表示出来，可得，根据同旁内角互补两直线平行可证中结论成立； ②由可知，根据可得，可以得到角之间的关系，根据角之间的关系列方程，解方程求出的度数． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 点与点关于直线对称， ，， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ； 如下图所示，连接 点与点关于直线对称， ， ， 由知， ，， 由可知， ， ， ， 由知， ， ， 解得：， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解决本题的关键运用代数方法表示各角的度数． 16．探究学习是课程学习的一种重要方式．请依次解答下列问题： 【初步感知】（1）如图1，、均为顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？    【深入探究】（2）如图2，为等边三角形，点为边上一点（不与点重合），于点．将绕点顺时针旋转后得到．连接并延长交于点．补全图形，并说明点是的中点． 【解决问题】（3）如图3，点在等边外部，已知，，连接，求的取值范围，并直接写出取最值时的度数． 【答案】（1）将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到 （2）见解析 （3）；当取最小值时，点落在线段上，；当取最大值时，点落在的延长线上，． 【分析】本题主要考查了几何变换，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可证，由此即可求解； （2）根据旋转的性质即可作图，过点作，交延长线于点，根据旋转的性质可得是等边三角形，结合垂直的性质可得是等腰三角形，由此可证，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的判定和性质可证，可求出的取值范围即可． 【详解】解：（1）已知，、均为顶角为的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕着点逆时针旋转得到或将绕着点顺时针旋转得到； （2）根据题意，补全图形如下，过点作，交延长线于点，    ∴，， ∵绕点顺时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴是等腰三角形，即， ∴， ∴， ∴，即点是的中点； （3）∵是等边三角形， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则点与点重合，连接，    ∴， ∴是等边三角形，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当取最小值时，如图所示， 点落在线段上，； 当取最大值时，如图所示，    点落在的延长线上，； 综上所述，，当 取最小值时，点落在线段上，；当  取最大值时，点落在  B D  的延长线上，． 17．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作交的延长线于点． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，延长到点使，分别连接，，交于点．求证：； (3)如图3，若，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，点是边上一点，，是线段上的一个动点，连接，．当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的度数为 【分析】（1）设，则，利用三角形的内角和定理列出方程求出值，再利用直角三角形的性质求得值，依据三角形的面积公式即可求得结论； （2）延长到，使，连接，，利用线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，进而得出，再利用三角形的中位线定理解答即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，得到点在过点且垂直于的直线上运动；由三角形的三边关系定理得到，从而得到当，，在一条直线上时，，此时的值最小；由题意画出图形后，通过说明四边形是菱形，再利用菱形的对角相等得出，则结论可求． 【详解】（1）解：，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积； （2）证明：如图，延长到，使，连接，， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ； （3）解：的度数为．理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，，，， ，， ， ， 将线段绕点顺时针方向旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在过点且垂直于的直线上运动， 点关于的对称点， ，， ， ， 当，，在一条直线上时，，此时的值最小． 如图，，，在一条直线上， ，， ， ， ，， ， ，关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，菱形的判定与性质，充分利用旋转的性质解答是解题的关键． 18．如图，，，绕着点C旋转．    (1)如图1，若，求证平分； (2)如图2，在图1的位置上将绕着点逆时针旋转（旋转角小于），延长、交于点，则与的数量关系为 ； (3)如图3，在图1的位置上将绕着点顺时针旋转（旋转角小于），连接、，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角，得出，再根据平行线的性质得出，再根 据等量代换，得出即可得出结论； （2）先证出，再根据三角形内角和，得到，等量代换即可得到结论； （3）在上取一点，使得，连接，证得，得到， 设，，则，得到的关系即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴平分 ； （2）解：，证明如下： ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故 答案为： （3）在上取一点，使得，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、图形的旋转等，灵活运用知识，做出辅助线是解题的关键． 19．已知是等边三角形．    (1)将绕点A逆时针旋转角θ（），得到，和所在直线相交于点O． ①如图a，当时，与是否全等？___ （填“是”或“否”），___ 度； ②当旋转到如图b所在位置时，求的度数； (2)如图c，在和上分别截取点和，使， ，连接，将绕点A逆时针旋转角（），得到，和所在直线相交于点O，请利用图c探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【答案】(1)①是；120；② (2) 【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”证明与全等；根据三角形的内角和等于求出与的度数，再根据旋转角为求出的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；②先利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用四边形的内角和等于推出，再根据等边三角形的每一个角都是得到，从而得解； （2）先求出，证明是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形的内角和定理求出的度数，然后分与两种情况求解． 【详解】（1）解：①是由绕点旋转得到，是等边三角形， ，， 在与中， ， ； ， ， 又， 在四边形中，； ②由已知得：和是全等的等边三角形， ， 是由绕点旋转得到的， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）如图，，， ， ， 是等边三角形， 是等边三角形， 根据旋转变换的性质可得，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，点，点，点共线． 当时，．    【点睛】本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转变换的性质找出证明全等三角形的条件是解题的关键． 20．如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上， ，连接、，与相交于P． (1)求证：； (2)如图2，过点A作，分别交、于M、N，比较与的大小并证明； (3)如图3，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据条件证明，可得，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）将绕点A顺时针旋转至，连接，根据，可得，从而证明，在中，利用三角形三边关系可得，从而证明即可； （3）过点A作，交于点M，N，由（2）可知，可得，进而得到，可证明，即可求解. 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝； （2）解：． 证明：将绕点A顺时针旋转至，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：过点A作，交于点M，N， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型3 最值问题】 21．已知，在中，，．点是边上的一点，连接．将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，过点作，交直线于点．设的长为，当点在边上移动时，求的长；（用含的式子表示） (3)当为何值时，的值最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2) (3)时，有最小值，为 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，最小值问题． （1）设，则，根据勾股定理得计算即可． （2）分和不垂直，两种情况求解即可． （3）根据勾股定理，配方，利用非负性质计算即可． 【详解】（1）设，则． ， ， 故， 解得， 故． （2）时，点与点重合，由（1）知，此时． 当与不垂直，且点在点右侧时，如图，过点作于点，由（1）可得，， ． ，． 为绕点顺时针旋转得到， 且， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 点在点右侧， 此时， 即，， ． 当点在点的左侧时，同理可得． ． （3）由（2）得，， 当，即时，有最小值，为． 22．如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形． (1)当点在何处时，的值最小，说明理由； (2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 【答案】(1)为与的交点．证明见解析 (2)的最小值为：． 【分析】（1）如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，证明，可得当，，，四点共线时，如图，此时最小，可得为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于，证明，可得，，再利用勾股定理可得最小值． 【详解】（1）解：如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，，，四点共线时，如图， 此时最小， ∴为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于， ∵正方形，等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．如图，中，，点为边上一点．    (1)如图1，若于点，，．求的长； (2)如图2，已知，，延长至点，以线段和线段为边作，连接、，若于点．求证：； (3)如图3，已知，，将沿直线翻折，使点落点处．在线段上求一点，使得的值最小．直接写出的最小值．（参考公式：） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，再根据，进行计算即可得到答案； （2）在线段上取一点，使，证明得到，，再证明得到，即可得证； （3）由折叠的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可得，，，，连接，则，则当、、、四点在一条直线上时，的值最小，为，作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，从而得到，最后再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在线段上取一点，使， 于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， 则，，，， ， 连接，则， 当、、、四点在一条直线上时，的值最小，为， 作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．如图，在中，，点D是边上一动点，连接．把绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，时，求的长； (3)在点D运动的过程中，线段上存在一点P，使的值最小，设的长为m，直接写出的最小值（用含m的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)的长为1或3； (3) 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转，得到，根据旋转的性质得到得到； （2）在中，求出，，根据全等三角形的性质得到，求出，设，则，利用勾股定理得到，求解即可； （3）将绕点B顺时针旋转得到 ，连接，得是等边三角形， ，当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，连接，得垂直平分，求出，根据等腰直角三角形的性质得到，，进而求出，得到，，由此求出，得到值最小． 【详解】（1）证明：把绕点A逆时针旋转，得到， ∴ ∵ ∴， ∴ （2）在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得， ∴的长为1或3； （3）如图3-1，将绕点B顺时针旋转得到 ，连接    ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小， 此时，如图3-2，连接，      ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴ ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴ ∵ ∴垂直平分， ∵ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴值最小为． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 25．如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM． （1）AM+PM的最小值等于 　 　； （2）求证：△BNM是等边三角形； （3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】（1）如图①中，连接PC．利用勾股定理求出PC，再证明AM=MC，推出AM+PM=PM+CM≥PC，由此可得结论． （2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可． （3）首先说明E，N，M，C共线时，AM+BM+CM的值最小，此时点M在EC与BD的交点处，求出直线EC，BD的解析式，构建方程组可得结论． 【详解】解：（1）如图①中，连接． 四边形是正方形， ，，， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． （2）证明：由旋转的性质可知， ， 是等边三角形． （3）解：如图②中，过点作轴于，连接． 由旋转的性质可知，， 是等边三角形， ， ， ， ，，，共线时，的值最小，此时点在与的交点处， ，， ， ，， ，， ，， 设直线解析式为，则有， 解得， ， 同法可得直线的解析式为， 由，解得， ，． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的应用，最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，属于中考压轴题． 26．已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点B、C、E在同一直线上， （1）写出两个不同类型的结论； （2）连接BD，P为BD上的动点（D点除外），DP绕点D逆时针旋转60º到DQ，如图2，连接PC，QE， ①判断CP与QE的大小关系，并说明理由； ②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值． 【答案】（1）答案见解析；（2）①CP＝QE，理由见解析；②存在，AP+CP+DP的最小值为 【详解】：（1）答案不唯一，合理即可， 如AD∥BE，四边形ABCD、ACED是菱形； 四边形ABED是等腰梯形；四边形ABED是轴对称图形； （2）①CP＝QE；理由： ∵△AEC是等边三角形， ∴CD=DE，∠CDE＝60º， ∵DP绕点D逆时针旋转60º到DQ， ∴PD=DQ，∠PDQ＝60º， ∴∠PDQ＝∠QDE， ∴△DPC≌△DQE ∴CP＝QE． ②连接AP，由①可知CP＝QE， ∵DP绕点D逆时针旋转60º到DQ， ∴△DPQ是等边三角形， ∴DP=DQ， 要使AP+CP+DP的值最小，关键是AP+QE+QP的值最小，即点A、P、Q、E在同一直线上（AE），构建两点之间，线段最短，过点A作AM⊥BE于点M，可得BM＝1，EM＝3，AM＝， 所以AE＝， 故在BD上存在点P，故AP+CP+DP的值最小，最小值是． 27．边长为的等边中，点分别在边上，，． (1)如图，将沿射线方向平移，得到，边与的角平分线交于点，当多大时，四边形为菱形？并说明理由 (2)如图，将绕点旋转（），得到，边的中点为 ①在旋转过程中，和有怎样的数量关系？并说明理由； ②连接，当最大时，求的值．（结果保留根号） 【答案】(1)当时，四边形是菱形，理由见解析； (2)①，理由见解析；②． 【分析】（）利用平移和等边三角形的性质可得，四边形是平行四边形，和是等边三角形，得到，，由菱形的性质可得，进而得到； （）①分和两种情况，画出图形解答即可求解；②如图，连接，由三角形三边关系得，，可知当点三点共线时，最大，由等边三角形的性质可得，，利用勾股定理求出得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：当时，四边形是菱形． 理由：∵是等边三角形， ∴， 由平移的性质得，，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴，， 当四边形是菱形时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①，理由如下： 当时，由旋转的性质得，， 由（）可知为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图，，， ∵，， ∴； 综上，； ②如图，连接， 在中，由三角形三边关系得，， ∴当点三点共线时，最大， 在中，由为的中点，为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平移的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 28．如图，正方形的边长为，射线是外角的平分线，点在边上运动（不与点、重合），点在射线上，且，与相交于点，连结、、．    (1)求证：； (2)求的周长（用含的代数式表示）； (3)试探索：点在边上运动至什么位置时，的面积最大． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点为边中点 【分析】（1）过点作于，则，证出是等腰直角三角形，得出，，证出，证明≌，即可得出； （2）证出，得出是等腰直角三角形，，把绕点逆时针旋转至位置，则，，，得出，进而得出，证得≌，得到，据此解答即可； （3）设，由（1）得，则的面积，由平方数的非负性质即可得出答案． 【详解】（1）（1）证明：过点作于，如图所示：    则， 平分， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ≌， ； （2）解：≌， ， 在中，， ， ， 由（1）知，， 是等腰直角三角形，， 把绕点逆时针旋转至位置，如图所示： 则E、B、N三点共线，    则，，， ， ， ≌， ， 的周长； （3）解：设， 由（1）得：， 则的面积， 当，即点在边中点时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 29．如图1所示，是等边三角形，点D和点E分别在边和上（D，E均不在所在线段的端点上），且，点M，P，N分别是线段上的中点，连接．    (1)请说明．并求出的大小； (2)把绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状并说明理由； (3)把绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出的最大面积． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 (3)的面积的最大值为 【分析】（1）由是等边三角形，可得，由，可得，由点M，P，N分别是线段上的中点，可得，则，，，由，可得； （2）由，可得，证明，则，由点M，P，N分别是线段上的中点，可得，则，进而可得是等腰三角形． （3）由（2）可知，，则，由点M，P，N分别是线段上的中点，可得，，，，则，是顶角为等腰三角形，由，可得，即的最大值为14，的最大值为7，如图2中，过点N作的延长线于J，则，，，由勾股定理得，，则的面积的最大值为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵点M，P，N分别是线段上的中点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M，P，N分别是线段上的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：由（2）可知，， ∴， ∵点M，P，N分别是线段上的中点， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴是顶角为等腰三角形， ∵， ∴，即的最大值为14，的最大值为7， 如图2中，过点N作的延长线于J，    ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的面积的最大值为， ∴的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，旋转的性质，含的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 30．图1是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）的图形． (1)操作：固定，将绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____． (2)操作：若将图1中的，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3． ①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系； ②求的度数． (3)若将图1中的，绕点C按逆时针方向旋转一个角，当等于多少度时，的面积最大？请直接写出答案． 【答案】(1)40，BE＝AD (2)①存在，理由见详解；②60° (3)当α＝150°或330°时，的面积最大 【分析】（1）由旋转可得∠BCE=20°，可得出40°，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD＝20°，CE＝CD，可求得BE＝AD； （2）方法同（1）； （3）当BC边上的高最大时，△BCD的面积最大，高最大时CD的长，△BCD的面积最大，由两种情形． 【详解】（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA=60°， ∵旋转20° ∴∠BCE＝∠ACD＝20°， ∴△CBE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝AD（全等三角形的对应边相等）， ∵∠BCA－∠BCE ∴60°-20°=40° 故答案为：40，BE＝AD （2）如图1， ①（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵△ABC和△CDE是等边三角形， BC＝AC， CE＝CD， ∵∠BCE＝∠ACD＝120°， ∴△CBE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝AD； ②∵△CBE≌△CAD， ∴∠CBE＝∠CAD， 又∠AOP＝∠BOC， ∴∠APB＝∠ACB＝60°； （3）如图2， 当D运动到D1或D2，即BC⊥D1D2 S△BCD最大 ab， 此时旋转角是60°+90°＝150°， 或360°﹣30°＝330°， ∴当α＝150°或330°． 【题型4 压轴题探究数量关系】 31．操作与探究：如图1，在锐角的边、上分别取点、，使，在上取点，作，连接交于点，作射线． (1)求证：平分． (2)移动点使，求证：是矩形． (3)如图3，在（2）的条件下，去中点连接，将绕点逆时针旋转适当的角度，得到（点、分别是的两边与的延长线、的交点）．猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据判定，即可得到，进而得出结论； （2）根据三角形内角和可得，再根据等边对等角可得，根据等角对等边可得，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定是矩形； （3）根据旋转的性质，可设，根据等腰内角和为，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质，可得，进而得出，再由旋转的性质可得，最后根据即可判定，进而得到线段与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴是矩形； （3）线段与之间的数量关系为：． 证明：根据旋转的性质，可设，则 等腰中，， ∴， ∵，Q为的中点， ∴中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质以及全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：三条边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形． 32．在中，，将绕点A旋转得到，直线与直线相交于点P． (1)如图1，当点P落在线段上时，求证：； (2)如图2，当C的对应点E落在上时，连接．若求的周长． (3)如图3，当点P落在的延长线上，且时，连接，判断线段与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）连接，证明即可求证； （2）由勾股定理得，由，得到，则．那么，故； （3），理由如下：由（1）的方法可证，，则，由，得到，则，故，下面证明即可得到． 【详解】（1）证明：连接． ∵将绕点A旋转得到， ∴．     ∴， ∴． 又∵， ∴．     ∴． （2）解：如图： ∵， ∴．     ∵， ∴，， ∴． ∴． ∴． 即的周长为． （3）解：，理由如下：由（1）的方法可证， ， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴．     ∵， ∴． ∴ 又∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 33．【课本再现】（1）如图1，，都是等边三角形．与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 【探究应用】（2）如图2，绕着点逆时针旋转得到，连接，，，． ①下列说法正确的是_____；（多选题，填序号即可） A．，的形状都是等腰直角三角形 B．， C． D．的面积与的面积相等 ②如图3，点是的中点，猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2）①A，B，D；②，理由见详解 【分析】（1）根据，都是等边三角形，把绕点A逆时针旋转得到 即可； （2）①由绕着点A逆时针旋转得到，得，再由全等三角形的性质及直角三角形的性质判断各项即可；②延长至点，使，连接，延长交于I证明即可得解． 【详解】解：（1），理由如下： ，都是等边三角形， ，，， ，即， 把绕点逆时针旋转得到， ； （2）①绕着点A逆时针旋转得到， ， ，的形状都是等腰直角三角形， 故选项A正确； 如图设交于点，交于点，   绕着点A逆时针旋转得到， ， ， ， ， ，即， 故选项B正确； ， ， 故选项C错误； 如图过D作于Y，过B作于X，    ， 绕着点A逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， 的面积与的面积相等， 故选项D正确， 故答案为：ABD； ②，理由如下： 延长至点，使，连接，延长交于I，   点M是BC的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加适当的辅助线是本题的关键． 34．在中，为线段的中点．为外一点，． (1)如图1，当时，求证：三点共线； (2)如图2，连接，将其绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①补全图形； ②请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)①作图见详解；②，证明见详解 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一即可求证； （2）①根据旋转作图即可；②延长到点，使得，连接，可证，可得，，根据旋转的性质，等腰三角形的性质可证明，可得，根据四边形的内角和，三角形的内角和可得，可证，可得，且，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵，点是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∵，点是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∵线段的垂直平分线是一条直线， ∴点三点共线； （2）解：①根据题意，作图如下， ②如图所示，延长到点，使得，连接， ∵点是中点， ∴，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，多边形内角和定理的运用，掌握等腰三角形的性质，构造三角形全等是解题的关键． 35．综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1；（3）．理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，证出，得出，则可得出结论； （2）①延长至，使，连接，，证出，则，由等边三角形的性质可得出结论； ②证出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，，同（2）可知是的中位线，得出，证出，得出， 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ； （2）①证明：延长至，使，连接，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， 垂直平分， ， 为的中点，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线； ②解：由①知是的中位线， ， ， ； （3）解：． 理由：延长至，使，连接，， 同（2）可知是的中位线， ， 同（2）可知，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 36．如图，为等边三角形，点M为边上一点（不与点A，B重合），连接，过点A作于点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形，直接写出的大小，并证明； (2)连接并延长交于点F，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，补全图形以及理由见解析， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转变换．熟练掌握旋转性质，旋转作图，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的和性质，是解决问题的关键． （1）根据题意即可补全图形，然后利用旋转的性质得是等边三角形，证明，得，即可解决问题； （2）过点C作，交的延长线于点G，得，根据等边三角形性质得到，，根据全等三角形性质得到，可得，可得，得到，即得． 【详解】（1）如图所示，即为补全的图形， 证明： ∵为等边三角形， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 如图，过点C作，交的延长线于点G， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．如图1，正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处． (1)当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； (2)如图2，作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你写出与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)不会发生变化；理由见解析 (2)；理由见解析 (3)；理由见解析 【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形是正方形，则．证明，则，即可证明； （2）证明四边形是矩形，，则则，四边形是正方形，则垂直平分BD，则，由旋转知：则，得到，由即可得到结论； （3）作交于点E，交于点G，则四边形是平行四边形，得到，证明，由旋转知：则，证明是等边三角形，同理与都是等边三角形，则， 作于点M，则，得到，即可得到． 【详解】（1）的大小不会发生变化，始终有， 理由如下：作于点M，作于点N，如图， 四边形是正方形， ， 又 ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ； （2），理由如下： 四边形是正方形， ， ， ∴四边形是矩形，， ， 四边形是正方形， 垂直平分BD， ， 由旋转知： ， ， ，即， ． （3），理由如下： 如图，作交于点E，交于点G， 则四边形是平行四边形， ∴， 四边形是菱形， 垂直平分， ， 由旋转知： ， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， 同理与都是等边三角形， ， 作于点M，则， ，即， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 38．已知中，，． (1)如图1，当B、C、M、N在同一直线上，且，，时， ；（直接写出计算结果） (2)如图2，当B、C、M、N在同一直线上，且时，写出线段、、之间的数量关系，并加以证明； (3)如图3，当于点B，于点C， ，且时，直接写出线段的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），将绕A点旋转，使与重合，M与重合，先证明，再证明，由全等三角形的性质得出，再由勾股定理求出，即可得出． （2）作，使，连接，，，证明，由全等三角形的性质可得出，，即，再证明，由全等三角形的性质可得出，根据勾股定理可得出，等量代换可得出． （3）延长和交于点H，过点A作交点T，根据题意可得四边形为正方形，且为等腰直角三角形，证得，则，求得，有，设，则，，利用，求得，即可得，进一步证得，则有． 【详解】（1）解：如下图，将绕A点旋转，使与重合，M与重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， 即， 又∵，， ∴ ∴ ， ∴． （2）作，使，连接，，， ∴ ∴， 即， 由∵， ， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴． （3）延长和交于点H，过点A作交点T，如图， 则四边形为正方形，且为等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 设，则，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，旋转的性质，等腰三角形性质，以及勾股定理的应用， 正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 39．如图1，已知是等边三角形，点E在线段上，点D在直线上，且，将绕点C顺时针旋转至，连接． (1)证明：是等边三角形； (2)证明：； (3)如图2，如果点E在线段的延长线上，其它条件不变，线段，，之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）由旋转可得，可得是等边三角形； （2）由（1）可得，进而得，根据是等边三角形，可得，即可证，得，，而，故； （3）由绕点顺时针旋转至，可得是等边三角形，即可得，又是等边三角形，可得；而，可推得，从而，可得． 【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转至， ∴，， ，， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ， 又， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ； （3）解：，理由如下： ∵绕点顺时针旋转至， ，， ∴是等边三角形， ， 又， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ． 40．如图，在中，，点Q是的中点，点P是内部一点，连接，满足，点D、E分别在线段上，连接． (1)已知． ①如图1，直接写出的度数； ②如图2，若平分，，依题意补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图3，连接，若，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)①②，证明见详解 (2)，证明见详解 【分析】（1）①证明是等边三角形，则，结合，得，根据三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答．②运用四边形内角和以及邻补角得，结合所对的直角边是斜边的一半，得，，结合点Q是的中点，得，所以证明，即可作答． （2）运用倍长中线法证明，通过角的运算，得出，证明，再运用垂直平分线的性质得出，因为，所以，然后证明，所以，因为，所以，即． 【详解】（1）解：①∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴在中，； ②，证明如下： 依题意，如图所示： 过Q分别作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图：将绕点A顺时针旋转与相等的角度，与重合，点E的对应点是点F， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， 延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， 则， ∴， ∵，， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$