专题17 旋转最值问题（共40道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题17 旋转最值问题（共40道） 一、单选题 1．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在的上方作，且使，连接．设，则，根证明得出，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ， ， 设，则， ， ， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长过点C作于点G，先证明点A、C、E在同一直线上，根据，得出，根据垂线段最短，得出点F在点G处时，最小，根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：延长过点C作于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知：，，， ∴， ∴点A、C、E在同一直线上， ∵， ∴， ∴点F在直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点G处时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质和垂线段最短，旋转的性质，解题的关键是恰当作辅助线，确定点E的运动轨迹． 3．如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示： 则， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当在点E处时，最小，且最小值为的长度， ∴最小值为：， ∴的周长最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 4．如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，因为是直线上的一个动点，所以将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动，再根据垂线段最短可得当时，最短，再证明，即可由等边三角形与直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，当点M在点D处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，当点M在点C处时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ∵是直线上的一个动点， ∴将线段绕点逆时针旋转得到线段，在点M运动过程中，点N在线段上运动， 根据垂线段最短可得，当时，最短， 由旋转可知：，， 连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边三角形中，为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，垂线段最短的性质，点N在线段上运动是解题的关键，也是本题的难点． 5．如图，边长为4的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， 由旋转性质得，， ， ∵三角形是等边三角形，是等边的高线， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，此时最短， ，， ∴在中，， ∴线段长度的最小值是1， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 6．如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键． 取的中点，可得 ，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则当（点和点重合）时，最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点E作于F， 在中，， ， ∴ ， ∴ ， 由旋转知，，， ∴，即有： ∴， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点， ∴当（点和点重合）时，最小，即点与点重合，最小，最小值为， 在中，， ∴，， 故线段长度的最小值是， 故选：C． 7．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，连接．解直角三角形求出，，再根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ，， 是的中点，是的中点， ，， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 即， 的最小值为， 故选：B． 8．如图，在矩形中，已知，，点是边上的一点（含，两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题中，两点间距离的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口． 据题中条件确定出点的轨迹是线段，则线段的最小值是当与重合时，线段取得最小值； 【详解】解：作，且， ，， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， 点为定点， 无论点在边上的何处，都有垂直， 作垂直于，当与重合时，线段取得最小值； 在中， ，， ，， ， ， 在中， ，， ， ， 线段的最小值为； 故选：A 9．如图，中，，点P为内一点，，．若，且的长度不小于4，则长度的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】把绕点逆时针旋转得到， 则，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理得到，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到， 则，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为6， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的性质与判定，正确用含的式子表示出是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点Q作轴于点F，过点作轴于点G，由旋转的性质得，，，证得，可得，，设，则，，进而可得，，在中，利用勾股定理可得，根据二次函数的性质可得当时，有最小值，最小值为8，即可求解． 【详解】解：过点Q作轴于点F，过点作轴于点G， 由旋转的性质得，，， ∵轴，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴，， ∴， 在中，， 当时，有最小值，最小值为8， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形全等的性质与判定、二次函数的性质、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质证得，是解题的关键． 11．在平面直角坐标系，点A 的坐标为， P 是x轴上一动点， 把线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质及旋转的性质．连接，以为边作等边，连接，则，可得是等边三角形，可证明，从而得到，进而得到点P在x轴上运动时，点F在直线上运动，作，交直线于点，于点E，则，即当F在直线上运动到点的位置时，线段取得最小值，即可求解． 【详解】解：连接，以为边作等边，连接，则， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点P在x轴上运动时，点F在直线上运动， 作，交直线于点，于点E，则， 即当F在直线上运动到点的位置时，线段取得最小值， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 即线段的最小值为2． 故选：D 12．如图，正方形的边长为8，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，则的最小值为（    ）    A．1 B．5 C． D．4 【答案】B 【详解】本题考查了线段极值问题，矩形的性质，旋转的性质，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键． 由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，得到．则点G在垂直于的直线上．作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．作，则四边形为矩形，求出．，得出，最后根据，即可求解． 【分析】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接， 由旋转可得， ∴，， ∴为等边三角形．    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在垂直于的直线上． 作，由垂线段最短可知，的长即的最小值． 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴． ， ， ∴，即的最小值为5． 故选：B． 13．如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点， 和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直线的动点， 在直线上运动， 的最小值为， ， ． 故选：B 14．如图，在中，，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上取一点E，连接，证明，得出，说明要使最小，则有最小，点P是上的动点，根据垂线段最短，得出当（点P和点F重合）时，最小，求出最小值即可． 【详解】解：如图，在上取一点E，连接， 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小， 即：点P与点F重合，最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故线段长度最小值是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键． 15．如图，在正方形中，，O是的中点，，连接，将线段逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得的长，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，   ， ， 在与中， ， ， ， 正方形中，，是边的中点， ， ， ， ， ， 线段长的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质． 16．如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，从而得到四点共圆，结合，，得到，继而得到，得到，故平分，作于点M，根据垂线段最短原理，得到当G与M重合时，最短，结合，根据，解答即可． 【详解】∵，， ∴， ∴四点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 作于点M，根据垂线段最短原理，得到当G与M重合时，最短， ∵， ∴， 故选B． ． 【点睛】本题考查旋转的性质，对角互补的四边形内接于圆，垂线段最短，直角三角形的有关计算等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，判定四点共圆是解决问题的关键． 17．如图，为等腰直角三角形，，点D为上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，则面积的最大值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、二次函数的性质等知识点，得到三角形的面积关于x的函数解析式是解题的关键． 如图：过点E作交的延长线于N，根据证得，得出，根据三角形三边关系可得，设，则，根据三角形面积公式得到二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点E作交的延长线于N， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为． 故选：D． 18．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，过B作交延长线于H，由旋转性质和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，，进而证明得到，则有，设，利用直角三角形的性质得到则，进而得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过B作交延长线于H，则， 由旋转性质得，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则，， ∵，，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和二次函数的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形，利用二次函数性质求解几何最值问题是解答的关键． 19．如图，在中，，，，将绕顶点逆时针旋转得到，若点、分别是、的中点，连接．则线段的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形，熟知30度角所对直角边等于斜边的一半及图形旋转的性质是解题的关键．根据题意可得出点的轨迹，画出示意图，结合旋转的性质，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：，，， ． 由旋转可知， ，． 点是的中点， ， 则点在以点为圆心，2为半径的圆上， 如图所示， 当点在的延长线与的交点处时，取得最大值． 点是的中点， ， ， 即的最大值为3． 故选：B 20．如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】D 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，（三点共线时取等号）， ∴的最大值为， 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题 21．如图，在中，，，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点．把绕点A在平面内自由旋转，面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用三角形的中位线得出是等腰直角三角形，所以当最大时，则的面积最大，进而求出此时，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点P，N是，的中点， ，， 同理可得：，， ∵，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 如图2，∵， ∴当最大时，的面积最大， ，在顶点A上面，点A在线段上， 连接， ∴最大， 在中，，， ， 在中，，则有， ， ∴面积最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 22．如图，在中，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，取的中点，过点作，且使，连接，，根据证明得出，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：，，取的中点，连接， ， 如图，过点作，且使，连接，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ∴， ， ，， ， ， ∴当三点共线时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 23．如图，在中，为边上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角行的判定和性质，二次函数最值的计算方法，过点E作，交的延长线于点N，可证，设，则，根据三角形面积可得，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点N， ． 由旋转得， ， ， ∴， ，设，则， ∴， ∴当时，有最大值为． 24．如图，在中，，是的中位线，点是线段上一动点（点除外），将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，，若，，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】过点G作 的延长线于点H，根据是的中位线，得出，，，证出四边形是直角梯形，根据旋转可得，证明，得出，设，则，勾股定理得出，从而得出 ，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点G作 的延长线于点H， ∵是的中位线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， 根据旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴开口向下， ∴时，最大，最大值为， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，二次函数的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 25．如图，在中，，，点为中点，且以为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点旋转一周，在整个旋转过程中，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查斜边上的中线，勾股定理，连接，勾股定理求出的长，斜边上的中线得到的长，根据，进行求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 26．如图，在中，，以为边作，点D与点A在的两侧，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，（三点共线时取等号）， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键． 27．在中，是斜边的中点，把绕点A顺时针旋转，得，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接，在旋转的过程中，面积的最大值 【答案】/ 【分析】过点A作交的延长线于点G，求出，然后由旋转的性质得到，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线的距离最大，求出距离的最大值，然后计算即可． 【详解】解：如图，在中，，，点是斜边的中点， ∴， ∴，， ∴， 过点A作交的延长线于点G， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点F到直线的距离的最大值为，（如图，G、A、F三点共线时） ∴面积的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，勾股定理等等，根据旋转的性质求出点F到直线距离的最大值是解答本题的关键． 28．如图，与均是等腰三角形，且，连接，，在绕点旋转的过程中，四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形及图形的旋转，根据题意得出点C、D在以点P为圆心，长为半径的圆上运动，当运动到时，四边形为梯形，面积最大，过点P作，确定点E、P、F在同一直线上，然后利用勾股定理及等腰直角三角形的性质确定，即可求出面积，依据题意作出相应辅助线是解题关键． 【详解】解：如图所示：点C、D在以点P为圆心，长为半径的圆上运动，当运动到时，四边形为梯形，面积最大，过点P作， ∴点E、P、F在同一直线上， ∵与均是等腰三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为， 故答案为：． 29．如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】正确作出辅助线见解析，然后证明，再根据勾股定理得出的长，最后得出结论． 【详解】解：， 点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接， ， 取的中点，连接，为的中点， 为的中位线， ，， 如图所示，过点作，且，连接，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，中位线，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理． 30．菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的性质与判定，延长到点，使得，连接，，由三角形的中位线定理得，当、、依次在同一直线上时的值最大，据此求得的最大值便可求得的最大值． 【详解】解：延长到点，使得，连接，，如图， 四边形是菱形， ，， ， ， 为等边三角形， ， 点是的中点， ， 当取最大值时，的值就最大， 由题意知，点在以为圆心，以为半径的圆上， 当、、依次在同一直线上时，的值最大，如图， 由旋转性质知，， 的最大值为 ， 故答案为：． 31．如图，在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值 和最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理，旋转性质．连接，作于．当与共线，且时，面积最大，共线面积最小，利用，求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：连接，作于， ， 当与共线，且时，面积最大， 由题意：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积最大值为， 共线，面积最小为0， 故答案为：；． 32．如图，O 是矩形 对角线的交点，点E 在 边上，连接，将线段绕着点O 逆时针旋转得到线段（ 点F 在矩形内部），连接．若，，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】，，取的中点M，则，连接，则点O是的中点，连接，于是得到是的中位线，得到，设，分点E在M的左侧和右侧两种情形，结合三角形全等的判定和性质，构造二次函数计算最值即可． 【详解】∵O 是矩形 对角线的交点，，，取的中点M， ∴，， 连接，则点O是的中点， 连接， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 当点E在点M的右侧或重合时，设， 过点F作，垂足分别H，N， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴有最大值，且时，最大，最大值为 ； 当点E在点M的左侧时，设， 过点F作，垂足分别H，N， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，取得最大值，且最大值为 ； 故最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线定理，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，分类思想，熟练掌握构造二次函数求最值的基本思想是解题的关键． 33．如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为 cm． 【答案】9 【分析】本题考查了旋转的性质、四边形内角和以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得，，，，设，则，根据四边形内角和可得，取的中点H，连接、，则，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：取的中点H，连接、，如图： ∵是由绕C点旋转得到， ∴，，， 设，则 在四边形中， 在中，，，， 在中，， ∵是中位线， 而， ∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为， 故答案为：9． 34．如图，在中，，，点是边上一动点（点B除外），绕点逆时针旋转，得到，则面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】如图，过点作，交延长线于，，交延长线于，作于，首先证明，之后利用等积法求出的长，设，则，表示出面积，利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于，，交延长线于，作于， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 在中，， 设，则， ， 的面积为， 当时，的面积最大值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 35．如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，轴对称—最短路线，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用相关知识．线段，，共端点，呈放射状，求线段的最小值，符合费马点模型的拓展特征．由于带有系数““，所以需要旋转． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接． 则． 由旋转的性质，得， ． ， 连接，当且仅当，，，四点共线时，取得最小值．过点作的延长线于点． ，，， ，．， ． ，． ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 36．如图，中，，点为内一点，，若，则PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则 ， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 37．如图，在中，，点分别是边和上的动点，连接，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折，平移的性质，勾股定理，作图翻折和平移图形是解答关键． 将沿翻折，使点落在处，将沿翻折，使点落在处，连接，将沿射线方向平移，使点与点重合，得到，连接，，根据翻折得到，再利用图形变化得到当三点共线时，最小，最后用勾股定理求解． 【详解】解：将沿翻折，使点落在处，将沿翻折，使点落在处，连接，将沿射线方向平移，使点与点重合，得到，连接，，如下图． 由翻折得，． ， ， ，， ． 由图形变化可知：， 当三点共线时，最小． 由平移得到， 在中 ， 即的最小值是． 故答案为：． 38．如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，过点作于点，证明得出，设，根据平移的性质可得，，勾股定理表示出，即到点和的距离和的最值，进而根据轴对称的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 过点作于点， ∵在中，，，．将绕着点逆时针旋转得到线段， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则，， ∴ 即到点和的距离和的最值， 如图所示，，取，则的最小值为的长， 即 ∴的周长的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，平移的性质，将问题转化为的最小值为的长是解题的关键． 39．如图，四边形中，，，，，为射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．将绕点顺时针旋转至，连接，可证得，从而得出，可得出，，从而得出，从而，故当点在处时，最小，从而，从而得出的最小值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在处时，最小， ， 的最小值为：． 故答案为：． 40．中，，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作于H，交延长线于J．证明，推出，推出点N的运动轨迹是线段，该线段所在的直线与直线平行，在的下方，与的距离是1，作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G，在中，，则，求出， 得到，则，在中，，则的周长的最小值为． 【详解】解：如图，作于H，交延长线于J, ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是线段，该线段所在的直线与直线平行，在的下方，与的距离是1， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 旋转最值问题（共40道） 一、单选题 1．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长的最小值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 4．如图，在等边三角形中，为边上的高，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则在点的运动过程中，线段的长的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 5．如图，边长为4的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 6．如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D． 7．如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D． 8．如图，在矩形中，已知，，点是边上的一点（含，两点），连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，，点P为内一点，，．若，且的长度不小于4，则长度的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系，点A 的坐标为， P 是x轴上一动点， 把线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 12．如图，正方形的边长为8，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，则的最小值为（    ）    A．1 B．5 C． D．4   13．如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在中，，，，P是边上一动点，连接，把线段绕点A逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，，O是的中点，，连接，将线段逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 16．如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 17．如图，为等腰直角三角形，，点D为上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，则面积的最大值为（　　） A．3 B． C．4 D． 18．如图，在中，，为边上的一点，当时，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．若，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，，，将绕顶点逆时针旋转得到，若点、分别是、的中点，连接．则线段的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．8 二、填空题 21．如图，在中，，，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点．把绕点A在平面内自由旋转，面积的最大值为 ． 22．如图，在中，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则的最大值为 ． 23．如图，在中，为边上一动点，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，则面积的最大值为 ． 24．如图，在中，，是的中位线，点是线段上一动点（点除外），将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，，若，，则面积的最大值是 ． 25．如图，在中，，，点为中点，且以为一个顶点作正方形，且，连接，将正方形绕点旋转一周，在整个旋转过程中，的最大值为 ． 26．如图，在中，，以为边作，点D与点A在的两侧，则的最大值为 ． 27．在中，是斜边的中点，把绕点A顺时针旋转，得，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接，在旋转的过程中，面积的最大值 28．如图，与均是等腰三角形，且，连接，，在绕点旋转的过程中，四边形面积的最大值为 ． 29．如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ． 30．菱形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最大值是 ． 31．如图，在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值 和最小值 ． 32．如图，O 是矩形 对角线的交点，点E 在 边上，连接，将线段绕着点O 逆时针旋转得到线段（ 点F 在矩形内部），连接．若，，则面积的最大值是 ． 33．如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为 cm． 34．如图，在中，，，点是边上一动点（点B除外），绕点逆时针旋转，得到，则面积的最大值是 ． 35．如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 36．如图，中，，点为内一点，，若，则PC的最小值为 ． 37．如图，在中，，点分别是边和上的动点，连接，若，则的最小值是 ． 38．如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 39．如图，四边形中，，，，，为射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，的最小值为 ． 40．中，，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为 ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$