专题16 旋转综合题（共40道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题16 旋转综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，已知正方形中，，点E为边上一动点（不与点B、C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，设与相交于点G，连接．以下说法：①；②最小值为；③平分；④当最小时，四边形的面积是3．其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 2．如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：点与的距离为； ； ； ； ．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且． 给出以下四个结论：  ①， ②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 4．如图，正方形和正方形边长分别为4和，正方形绕点C旋转，连接与交于点O，下列结论正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤点E落在线段上时的长度为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，O是等边内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③点；④；⑤．其中正确的有多少（　　）个 A．5 B．4 C．3 D．2 6．等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．其中正确个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段'，下列结论：①点与的距离为；②；③；④；⑤若，点为内一点，则点到三个顶点的距离和最小为．其中正确的结论是(　　) A．①③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤ 8．如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 9．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，，分别与交于，两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论： ；DA平分；若，，则；若，则．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点旋转，当（即）与交于一点，（即）同时与交于一点时，下列结论正确的是（    ） ①，②，③，④的周长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设；下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数m，使得；④取中点，连接，，的面积随着的变化而变化．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，正方形中，E、H 分别为边、上的点，连接、、，在的延长线上取一点F，连接，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，下列结论：；四边形是正方形，若，则；若，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 15．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个    A．5 B．4 C．3 D．2 16．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 18．如图，分别是四边形的边上的点，，连接交于点，交于点，以下结论正确的有（    ） ①的周长为4；②；③；④    A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 19．如图，已知为的角平分线，且，为延长线上一点，．过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，矩形的边上有一点E，，，，垂足为F，将绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在上，点E恰好落在点B处，连接．有下列结论：①；②平分；③；④在上存在一点P，使的值最小为．其中结论正确的是（      ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 21．如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 22．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 23．如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．给出结论：①是等边三角形；②；③；④若正方形的边长为，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是 ．      24．如图，在中，， ， 把绕点A逆时针旋转得到， 点D与点B对应，点 D 恰好落在上，过E作交 的延长线于点F， 连接并延长交于点G，连接交于点 H． 下列结论： ①；  ②；③；④其中正确的有 （填正确的序号）． 25．如图，在正方形中，，点E，F分别是和边上的动点，且始终保持，连接与，分别交于点N，M，过点A作于点H．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号是 ． 26．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接 ，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 27．如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论中：①；②；③平分；④，⑤若，，则．正确的有 ．（填序号） 28．如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论： ①；②若，则；③平分；④平分． 其中正确的是 （填写序号）． 29．在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中错误的序号为 ． 30．在中，，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得，连接，下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③；④；其中正确的是 ． 31．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，，，垂足为F，将绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①；②四边形EFBC是正方形；③；④，其中结论正确的为 ．（填写序号即可） 32．如图，在中，，，，点为的中点，若直角绕点旋转，分别交于点，交于点，则下列说法： ①； ②； ③； ④若的面积为一个定值，则的长也是一个定值． 其中正确的有 ． 33．如图，菱形的形状和大小保持不变，将菱形绕点B旋转适当角度得到菱形，边与，交于E，F（D，E，F不重合），连接，．在旋转过程中①平分；②平分；③的周长是一个定值；④，判断正确的是 ． 34．如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转60°得到；②点与距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 35．如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α(0°≤a≤90°)，连接BG，DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．以下四个结论：①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④．其中结论正确的是 ． 36．如图，等边△ABC内有一点O，OA＝3，OB＝4，OC＝5，以点B为旋转中心将BO逆时针旋转60°得到线段，连接，下列结论：①可以看成是△BOC绕点B逆时针旋转60°得到的；②点O与的距离为5；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+4；⑤＝6+．其中正确的结论有 ．（填正确序号） 37．如图，和都是等腰直角三角形，，点D是边上的动点（不与点B、C重合），与交于点F，连接．下列结论：①；②;③；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是 ．    38．如图，点P是在等边内一点，，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．下列结论：①可以看作由绕点A逆时针旋转得到；②线段；③四边形的面积为；④．正确的是 （只填序号）． 39．如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的动点不与端点重合，连接，，分别交对角线于点，点，在运动过程中，始终保持，连接，下列结论：①；②的周长为；③；④若过点作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是 ． 40．如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中：①；②是等腰直角三角形；③点P为中点；④，错误的是 ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 旋转综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，已知正方形中，，点E为边上一动点（不与点B、C重合），连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，设与相交于点G，连接．以下说法：①；②最小值为；③平分；④当最小时，四边形的面积是3．其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据旋转得出：，，根据三角形内角和定理求出，判断①正确；延长，过点F作于点M，连接，延长，过点D作于点N，证明，得出，，说明点F一定在过点C，与垂直的直线上，根据垂线段最短，得出点F在点N处时，最小，根据为等腰直角三角形，得出，判断②正确；根据求出四边形的面积，判断④正确；根据，得出，说明，判断③错误． 【详解】解：根据旋转可知：，， ∴，故①正确； 延长，过点F作于点M，连接，延长，过点D作于点N，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F一定在过点C，与垂直的直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点N处时，最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即的最小值为，故②正确； 当最小时，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴一定不平分，故③错误； 综上分析可知：①②④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：点与的距离为； ； ； ； ．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形、勾股定理的逆定理，由题意可得，是等边三角形，可得，，可判断是直角三角形，可判断，由，可判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故正确； 过点作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴，故错误； 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故正确； 将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点， 易知是边长为的等边三角形，是边长为的直角三角形， ∴，故正确； ∴①②④⑤正确， 故选：． 3．如图，在正方形中，，若点在对角线上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．点在上，且． 给出以下四个结论：  ①， ②，③线段的最小值是，④面积的最大是16．其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】①根据旋转的性质证明为等腰直角三角形，即可得出结论； ①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“”证明，得出，，证明，根据勾股定理即可证明结论； ③根据，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作垂足为点H，此时最小值即为的长，求出的长即可； ④根据，得出，表示出，即可求出最大值． 【详解】解：根据旋转可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，故①正确，符合题意； ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴点F总是在过点C与垂直的直线上运动，过点P作垂足为点H，如图所示：    ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， i∴， 即的最小值为，故③正确，符合题意； ④∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，的面积最大，且最大值为16，故④正确，符合题意； 综上分析可知，其中正确的是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据“”证明，是解题的关键． 4．如图，正方形和正方形边长分别为4和，正方形绕点C旋转，连接与交于点O，下列结论正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤点E落在线段上时的长度为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】由“”可证，可得，，，即可判断①②③，连接，由勾股定理可推出，故④正确，运用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形和是正方形 ∴，且， ∴， ∴ ∴，，故①符合题意， 如图，设与交于点P，与交于点O， ∵，， ∴， ∴，故②符合题意， 如图2，过点G作，过点E作， ∴，且， ∴，且， ∴ ∴， ∴， ∴，故③正确； 连接，如图所示， ∴，， ∴，故④正确； 如图，连接，交于点M，则 由勾股定理得，， ∴， 在中， ∴，故⑤正确， 所以，正确的结论有5个， 故选：D 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，证明是解题的关键． 5．如图，O是等边内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③点；④；⑤．其中正确的有多少（　　）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】证明，又，所以可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确；由是等边三角形，可知结论②正确；在中，三边长为3，4，5，结合勾股定理的逆定理证明是直角三角形；进而求得，故结论③正确；，故结论④错误；如图②，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将转化为，计算可得结论⑤错误． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 又∵，     在和中， ∴， 又∵， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故结论①正确； 如图①，连接， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴． 故结论②正确； ∵， ∴． 在中，，，且， ∴是直角三角形，， ∴， 故结论③正确； ， 故结论④错误； 如图②所示，将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点． 同理可得是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， 则 ， 故结论⑤错误． 综上所述，正确的结论为：①②③． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将向不同方向旋转，体现了结论①—结论④解题思路的拓展应用． 6．等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③S四边形ODBE＝；④△BDE周长最小值是9．其中正确个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断． 【详解】解：连接、，如图， 为等边三角形， ， 点是等边三边垂直平分线的交点， ，、分别平分和， ， ，即， 而，即， ， 在和中， ， ， ，，①正确； ， 四边形的面积，③错误； 作，如图，则， ， ， ，， ， ， 即随的变化而变化， 而四边形的面积为定值， ；②错误； ， 的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值，④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 7．如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段'，下列结论：①点与的距离为；②；③；④；⑤若，点为内一点，则点到三个顶点的距离和最小为．其中正确的结论是(　　) A．①③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤ 【答案】A 【详解】由旋转的性质和正三角形的性质可判断①；根据三角形的全等的判定与性质可判断②；由三角形的面积公式可以判断；根据③的结论可判断④的正误；再由费马点的性质可以确定⑤正误． 【解答】解：如图，连接， 线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段， ， 是正三角形，， ①正确，符合题意； 由①可得， 为正三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 无法判断 ∴②错误，不符合题意； 过点作垂直的延长线于点，如图所示： 由①知 又， 在， ， ③ ③正确，合题意； ， ④错误，不合题意； 如图所示，把绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点），连接，则，． ， 为等边三角形， ， ， 当四点在同一直线上时，的值最小，此时 由旋转的性质可得，， 又 ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ∴， 设交于点，则 ∴，则 ∴ ∴，即 ∴ 则 ⑤正确，符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．如图，是正内一点，，，，将线段BO以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论，①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为5；③；④四边形面积；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤ 【答案】C 【分析】根据正三角形性质，得，；根据旋转的性质，得，，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④；绕点A逆时针旋转得到，根据等腰三角形、勾股定理及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案． 【详解】解：连接，如下图： ∵正 ∴， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形 ∴，即②错误； ∵， ∴ 和中 ∴ ∴，可以由绕点B逆时针旋转得到，即①正确； ∵， ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴，即③正确； ∵ ∴ 过点B做，交于点N ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积 ，即④正确； ∵正 ∴绕点A逆时针旋转得到，如下图： ∵，，， ∴为等边三角形 ∴ 过点A做，交于点G，如下图： ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解． 9．如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，，分别与交于，两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论： ；DA平分；若，，则；若，则．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得，，判断出正确；利用勾股定理得到，过作于点，再利用勾股定理求出，故正确；根据角的度数得到，然后利用“角角边”证明 和全等，根据三角形面积公式即可求得，判断出错误，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， 由旋转性质可知， ∴，，，， ， ∴，故正确； ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故正确； 在中，， ∵，， ∴， 当，时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， 设到边距离为， ∴，， ∴， ∴，故错误； 综上正确， 故选：． 10．如图，平行四边形中，，，，连接，将绕点旋转，当（即）与交于一点，（即）同时与交于一点时，下列结论正确的是（    ） ①，②，③，④的周长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题干条件得到，为等边三角形，结合旋转的性质证明，利用全等三角形性质即可判断①、②、③，根据的周长为，得到当最小时，的周长最小．证明是等边三角形，得到，进而可得当时，长度最小，即长度最小，利用直接三角形性质得到，进而得到，即可判断④． 【详解】解：，， ，为等边三角形， ， 将绕点旋转到位置， ，，， ， ，，， ， 故①正确，③错误； ，， ， 故②正确， 的周长， 当最小时，的周长最小． ，， 是等边三角形， ， 当时，长度最小，即长度最小， ，，， ， ，， ， 的周长最小值为， 故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，平行四边形的性质，最短路径问题（垂线段最短），关键是灵活运用这些性质解决问题． 11．如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，，从而证得，得到，即可求得，可判断①正确；根据正方形的性质可得的长，再根据可得的长，再利用勾股定理可得，可判断②正确；根据题意列出关于面积的一元二次方程，求得有且只有一个实数，使得，可判断③正确；连接，作于点，可得，由，点为的中点，可得，则，从而求得，可判断④错误；即可解题． 【详解】解：四边形是正方形，为对角线， ，，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 又，， ， 在和中： ， ， ， ， 是直角三角形， 故①正确； 正方形边长为， ， ，，， ， ， 故②正确； 由题可知：， 要，则， 整理得：， 解得：， 有且只有一个实数，使得， 故③正确； 如图，连接，作于点，则， ， 与的边上的高相等， ，点为的中点， ， ， ， 的面积不随着的变化而变化， 故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，直角三角形性质，综合运用以上知识是解题的关键． 12．如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设；下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数m，使得；④取中点，连接，，的面积随着的变化而变化．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由正方形的性质得，，则，由旋转得，，可证明，得，所以，可判断①正确；由，，求得，则，可判断②正确；由，求得，可判断③正确；连接，作于点，则，由，点为的中点，得，则，求得，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是边长为的正方形， ，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直角三角形， 故①正确； ，， ， ， 故②正确； ，且，，， ， 解得， 有且只有一个实数m，使得， 故③正确； 连接，作于点，则， ， 与的边上的高相等， ，点为的中点， ， ， ， 的面积不随着的变化而变化， 故④错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 13．如图，正方形中，E、H 分别为边、上的点，连接、、，在的延长线上取一点F，连接，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】将绕点逆时针旋转，得到，证明，即可得出，可判断①正确；过点作，交延长线于，证明，得，，从而可证明是等腰直角三角形，得，则，可判断②正确；由勾股定理，得，可判断③正确；求得，得出，可判断④正确． 【详解】解：正方形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到，如图， 由旋转可得：，，，， ， 、、三点共线，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； 过点作，交延长线于，如图， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故②正确； 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理，得， 故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确． ∴正确结论有①②③④，共4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，下列结论：；四边形是正方形，若，则；若，其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断正确；过点作于，由等腰三角形 的性质可得，，由“ ”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，可判断正确；由等边三角形的性质得到，可得，再根据正方形的面积可得，可判断正确；灵活运用以上性质进行推理是解题的关键． 【详解】解：设交于，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵将绕点按顺时针方向旋转， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴ 四边形是正方形，故正确； 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵， ∴，即， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，故正确； ∴正确的有， 故选：． 15．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】证明即可说明可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为8，故②错误； 利用：四边形的面积等边面积面积，进行计算即可判断，故④错误； ，故③正确； 过作交的延长线于，根据三角形的面积公式即可得到，故⑤正确． 【详解】解：在和中， ， ， ． 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 如图1，连接，根据旋转的性质可知是等边三角形，   点与的距离为8，故②错误； 在中，，，， 是直角三角形，． 面积， 又等边面积， 四边形的面积为，④错误； ，③正确； 如图2，过作交的延长线于，   ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解，使得问题迎刃而解． 16．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论． 【详解】解：连接， ， 点D为中点，， ．，． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， 始终为等腰直角三角形． ， ． ， ． ∴正确的有4个． 故选：D． 17．在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中正确的序号是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】先由绕点逆时针旋转得到，则，则可判断是等边三角形，即可判断①；由等边三角形的性质得到，再根据旋转的性质得到，所以，则根据平行线的判定方法即可得到，即可判断②；由等边三角形的性质得到，由旋转得，即可得到的周长，即可判断③；设与相交于点，由三角形内角和定理、等边三角形性质、对顶角相等即可得到，由旋转性质得到，得到，即可判断④． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，熟记旋转和等边三角形的各种性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，所以①正确； ∵为等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴的周长，所以③正确． 设与相交于点，如图， ∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以④错误； 故选：D． 18．如图，分别是四边形的边上的点，，连接交于点，交于点，以下结论正确的有（    ） ①的周长为4；②；③；④    A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】先说明四边形是正方形，再将绕点C逆时针旋转得到，在上取一点F，使，根据旋转的性质及证明≌，然后根据全等三角形的性质判断①②；再证明≌，可得，，，然后说明≌，得出，，可知是直角三角形，进而说明③；最后根据全等三角形的面积相等判断④即可． 【详解】∵，， ∴四边形是正方形， ∴，． 将绕点C逆时针旋转得到，在上取一点F，使．    根据旋转的性质可知，，． ∵，， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴≌， ∴， ∴的周长 ． 所以①②正确； ∵，，， ∴≌， ∴． ∵，，， ∴≌， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即． 所以③正确； ∵≌，≌， ∴， ∴． 所以④不正确． 正确的有①②③． 故选：C．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 19．如图，已知为的角平分线，且，为延长线上一点，．过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由“”可证，可得可由绕点旋转而得到，故①正确；由全等三角形的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，故③正确；通过证明，可得，由线段的和差关系可求解，故④正确，即可求解． 【详解】解：①为的角平分线， ， 在和中， ， ， 可由绕点旋转而得到， 故①正确； ②， ， ， 故②正确； ③，，， ， ， ， ，故③正确； ④过作于点，   是上的点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 20．如图，矩形的边上有一点E，，，，垂足为F，将绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点G落在上，点E恰好落在点B处，连接．有下列结论：①；②平分；③；④在上存在一点P，使的值最小为．其中结论正确的是（      ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先判定四边形是矩形，四边形是正方形，根据特殊四边形的性质和旋转的性质，得出，再利用等角对等边，即可判断①结论；根据正方形和旋转的性质，得到，即可判断②结论；过点G作于点H，利用矩形和旋转的性质，得到，再利用角平分线的性质定理，得到，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理，求得，然后利用三角形面积公式，即可判断③结论；连接，根据正方形性质和两点间线段最短可知，与交点即为点P，当点C、P、G三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出的长，即可判断④结论． 【详解】解： 四边形是矩形， ， ， ， 四边形和四边形是矩形， 由旋转的性质可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 平分，②结论正确； 如图，过点G作于点H，    四边形是矩形， ， 由旋转的性质可知，， 平分，，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， 和是等高三角形， ， ，③结论正确； 由正方形的性质可知，点F和点C关于对称， 点P在上， ， 如图，连接，与交点即为点P，    ， 当点C、P、G三点共线时，有最小值，最小值为的长， 四边形是正方形， ， 在中，， 的值最小为，④结论错误； 综上可知，正确的结论有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质定理，勾股定理，最短线段问题等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 二、填空题 21．如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，由可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 将绕点旋转一定角度后，得到， ，，，， ， ，故①正确， ，，， ∴ ，，， 平分，故③正确， ， ， ，故②正确， ， ， ∴， ∴的面积，故④错误； 故答案为：①②③． 22．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】连接，过点作，垂足为，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点，将的面积转化为计算即可判断⑤． 【详解】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ， 点与的距离为4；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，故③正确； 在中，， ，故④错误； 如图所示， 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点． 易知是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， 则，故结论⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．给出结论：①是等边三角形；②；③；④若正方形的边长为，则点在射线上运动时，有最小值．其中结论正确的是 ．      【答案】②③④ 【分析】延长交的延长线于点，证明，可得，由直角三角形的性质可得，可判断①；结合旋转的性质，可判断②；根据，可得，，由四边形内角和定理可求，可得，可判断③；连接，过点作于，由，知点在上运动，即得当时，有最小值为的长度，根据点是的中点和旋转的性质可推出，得到此时点在射线上运动，而，即有最小值为，可判断④正确． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，   点是的中点， ， 在正方形中，， ，， ， ， 又 ， ， 是等腰三角形，故①错误； 绕点顺时针旋转得到， ，， ，故②正确； ， ，， ， ， ， ，故③正确； 如图，连接，，过点作于，      ， 点在上运动， 当时，有最小值为的长度， 由旋转可得：，即， 又点是的中点， ， 此时点在射线上运动， ，， ，即有最小值为，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 24．如图，在中，， ， 把绕点A逆时针旋转得到， 点D与点B对应，点 D 恰好落在上，过E作交 的延长线于点F， 连接并延长交于点G，连接交于点 H． 下列结论： ①；  ②；③；④其中正确的有 （填正确的序号）． 【答案】①②③④ 【分析】连接、，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；根据勾股定理证明④的准确性． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是的中点， 即，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设交于， ∵是等腰直角三角形，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 即，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，综合性较强． 25．如图，在正方形中，，点E，F分别是和边上的动点，且始终保持，连接与，分别交于点N，M，过点A作于点H．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号是 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】将绕点A顺时针旋转得，过点B作平分，与交于点K，连接，则，证明，得，便可判断结论①；由得，再根据等角的余角性质，便可判断结论②；由A，根据角平分线的性质便可判断结论③；证明，得，若不在上，则， 此时，根据三角形外角性质可得，便可判断结论④；证明，得，再由勾股定理得，进而得，再证明，可得，便可判断结论⑤． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得，过点B作平分，与交于点K，连接，则， ∵， ∴G、B、C共线， ∵， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 若不在上，则， 此时，， ∵， 此时，故④不正确； ∵平分，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上所述，结论正确的为①②③⑤． 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分的性质以及勾股定理等知识，图形复杂，涉及的知识点多，综合性强，难度大，解题关键在于构造与证明全等三角形． 26．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接 ，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 【答案】①④⑤ 【分析】 ①根据菱形的性质，运用“”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线对称，可知最小为长；③先假设，而后逆推即可判断；④连接，根据两点之间线段最短可得，当点M落在的中点时，的值最小；⑤根据图形特征得出当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，过E点作，交的延长线于F，在中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 即． 又∵， ∴，故本答案正确； ②∵，， ∵，， ∴， ∴，故本答案错误； ③假设，且， ∴是的垂直平分线． 连接， 由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∴点M是上一定点， 而M为对角线（不含B点）上任意一点， 所以，无法得到是的垂直平分线，故本答案错误； ④连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴． ∴点A和点C关于直线对称， ∴当M点与O点重合时，的值最小为的值． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 即的值最小为1，本答案正确； ⑤由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 根据“两点之间线段最短”，得最短． ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 过E点作，交的延长线于F， 则，设菱形的边长为a， ∴，． 在中，， 解得．故本答案正确． 综上所述①④⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键． 27．如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，下列结论中：①；②；③平分；④，⑤若，，则．正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】题目主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据旋转的性质得出，再由等腰直角三角形及各角之间的关系即可判断①；根据全等三角形的判定即可判断②；根据全等三角形的判定和性质即可判断伞；根据全等三角形的性质及勾股定理即可判断④；根据勾股定理求解即可判断⑤． 【详解】解：由旋转性质得， ∴； ∵，， ∴， ∴，即，则①正确； 只有，，不能得到，则②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，则③正确； ∵，所以， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，则④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或，故⑤错误； 故答案为①③④． 28．如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论： ①；②若，则；③平分；④平分． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确地利用图形特征作出辅助线是解题的关键．将绕点顺时针旋转得到，可证明即可判断①；由，但与不一定相等，推导出与不一定相等，则与不一定相等，可判断②；由全等三角形的性质得，可判断③；作于点，于点，可证明，得，即可判断④． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， ，，， ，， ，， 点、、共线，， 在和中， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定相等， 故②错误； ， ， 平分， 故③正确； 过点作于点，延长线于点， 则， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分， 故④正确， 故答案为：①③④． 29．在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9；④．其中错误的序号为 ． 【答案】④ 【分析】由旋转性质得，则可判定①正确；由旋转性质得，则可判定②正确；由等边三角形的性质得，则的周长为，则可判定③正确；由及知，，则，故可判定④错误． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，； 由旋转性质得，， ∴是等边三角形； 故①正确； ∵， ∴， ∴； 故②正确； ∵是等边三角形； ∴，， ∴的周长为， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误． 综上，错误的是④； 故答案为：④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定，旋转的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 30．在中，，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得，连接，下列结论：①；②的面积等于四边形的面积；③；④；其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】①根据旋转的性质知，，AD=AF，因为，，所以，可得，由此即可证明； ②根据旋转的性质知，，进而得到的面积等于四边形的面积； ③因为，，所以，又因为，所以，根据三角形一个外角等于不相邻两个内角的和得，进而得出； ④根据①及BF=CD，EF=DE， ，根据勾股定理判断即可． 【详解】解：①根据旋转的性质知，，AD=AF， ∵，， ∴， ∴， ∵AD=AF，AE=AE， ∴，故①正确； ②根据旋转的性质知，， ∴的面积等于四边形的面积，故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故③正确； ④∵，，旋转至， ∴， 根据旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得， ∴ ∴BF=CD， ∵EF=DE， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换，勾股定理以及全等三角形的判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系． 31．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，，，垂足为F，将绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①；②四边形EFBC是正方形；③；④，其中结论正确的为 ．（填写序号即可） 【答案】①②④ 【分析】延长BM交AE于N，连接AM，由垂直的定义可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF＝67.5°，从而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，FB＝FE，易得∠BEA=∠EAB＝67.5°，所以AB=BE，故④正确． 【详解】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM， ∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝∠EFB＝90°， ∵∠DAE＝22.5°， ∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°， ∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB， ∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°， ∴∠EAF+∠FBM＝90°， ∴∠ANB＝90°， ∴BM⊥AE，故①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠C＝90°， ∵∠EFB＝90°， ∴四边形EFBC是矩形， 又∵EF＝BF， ∴矩形EFBC是正方形，故②正确； ∴∠EBF＝45°， ∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM ＝45°﹣22.5° ＝22.5°， 故③错误； 由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，FB＝FE， ∴∠BEF=45°， ∴∠BEA=∠AEF+∠BEF=22.5°+45°＝67.5°=∠EAB， ∴AB=BE，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键． 32．如图，在中，，，，点为的中点，若直角绕点旋转，分别交于点，交于点，则下列说法： ①； ②； ③； ④若的面积为一个定值，则的长也是一个定值． 其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】①如果连接，可证，得出； ②由①知，，而为等腰直角的直角边，由于斜边，由勾股定理可求出； ③由①知； ④的面积，如果这是一个定值，则是一个定值，又，根据，从而可唯一确定的长也是一个定值． 【详解】解：①连接． 在中，，，点为的中点， ，， 在与中，，，， ， ．说法正确； ②在中，，，， ． 由①知， ．说法正确； ③由①知， ．说法正确； ④的面积，如果这是一个定值，则是一个定值， 又， ， 的面积为一个定值，则的长也是一个定值，故说法正确． 故答案为①②③④． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是证明． 33．如图，菱形的形状和大小保持不变，将菱形绕点B旋转适当角度得到菱形，边与，交于E，F（D，E，F不重合），连接，．在旋转过程中①平分；②平分；③的周长是一个定值；④，判断正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】如图，过点B作BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N．利用角平分线的判定定理证明选项①②正确，再利用全等三角形的性质证明△DEF的周长=2DM=定值，即可判断③正确，利用全等三角形的性质可得S△BEM=S△BEH，S△BMA=S△BNC，S△BFN=S△BFH，可得S△DEF+2S△BEF=S四边形DMBN，由∠A不一定等于60°，则S△DEF+2S△BEF≠S菱形ABCD，故④错误，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N． ∵菱形BA′D′C′是由菱形ABCD旋转得到，菱形的每条边上的高相等， ∴BM=BH=BN， ∵BH⊥A′D′于H，BM⊥AD于M，BN⊥CD于N， ∴BE平分∠AED′，BF平分∠A′FC，故选项①②正确， ∵∠BME=∠NHE=90°，BE=BE，BM=BH， ∴Rt△BEM≌Rt△BEH（HL）， ∴EH=EM， 同法可证，FH=FN， ∴△DEF的周长=DE+EF+DF=DE+EM+DF+FN=DM+DN， ∵∠BMA=∠BNC=90°，BM=BN，BA=BC， ∴Rt△BMA≌Rt△BNC（HL）， ∴AM=CN， ∵DA=DC， ∴DM=DN， ∴△DEF的周长=2DM=定值，故③正确， ∵Rt△BEM≌Rt△BEH，Rt△BMA≌Rt△BNC，Rt△BFN≌Rt△BFH， ∴S△BEM=S△BEH，S△BMA=S△BNC，S△BFN=S△BFH， ∴S△DEF+2S△BEF=S四边形DMBN， ∵∠A不一定为60°， ∴AM不一定等于AB， ∴S△DEF+2S△BEF≠S菱形ABCD，故④错误； 故选①②③． 【点睛】本题考查旋转变换的性质，菱形的性质，角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 34．如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转60°得到；②点与距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=，故结论④正确；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确． 【详解】解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3， 又∵OB=O′B，AB=BC， ∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°， ∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到， 故结论①正确； 如图①，连接OO′， ∵OB=O′B，且∠OBO′=60°， ∴△OBO′是等边三角形， ∴OO′=OB=4． 故结论②正确； ∵△BO′A≌△BOC， ∴O′A=5． 在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°， ∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°， 故结论③正确； S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=， 故结论④正确； 如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点． 易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形， 则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=， 故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论为：①②③④⑤． 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①-结论④解题思路的拓展应用． 35．如图，将小正方形AEFG绕大正方形ABCD的顶点A顺时针旋转一定的角度α(0°≤a≤90°)，连接BG，DE相交于点O，再连接AO、BE、DG．以下四个结论：①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④．其中结论正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】由“SAS”可证△DAE≌△BAG，可得BG=DE，∠ADE=∠ABG，S△DAE=S△BAG，即可判断①②③，过点G作GH⊥AD，过点E作EQ⊥EQ，由“AAS”可证△AEQ≌△GAH，可得AQ=GH，可得S△ADG=S△ABE，可判断④即可求解． 【详解】∵四边形AEFG和ABCD都是正方形， ∴∠DAB=∠EAG=90°， ∴∠DAE=∠BAG，且AD=AB，AG=AE， ∴△DAE≌△BAG（SAS） ∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，故①符合题意， 如图，设点DE与AB交于点P， ∵∠ADE=∠ABG，∠DPA=∠BPO， ∴∠DAP=∠BOP=90°， ∴BG⊥DE，故②符合题意， 过点A作AM⊥DE，AN⊥BG， ∵△DAE≌△BAG， ∴S△DAE=S△BAG， ∴DEAM=BGAN，且DE=BG， ∴AM=AN，且AM⊥DE，AN⊥BG， ∴AO平分∠DOG， ∴∠AOD=∠AOG，故③符合题意， 如图2，过点G、点E作DA的垂线，分别交DA的延长线于H、Q， ∴∠EAQ+∠AEQ=90°，且∠EAQ+∠GAQ=90°， ∴∠AEQ=∠GAQ，且AE=AG，∠EQA=∠AHG=90°， ∴△AEQ≌△GAH（AAS）， ∴AQ=GH， ∴ADGH=ABAQ， ∴S△ADG=S△ABE， 故④不符合题意， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 36．如图，等边△ABC内有一点O，OA＝3，OB＝4，OC＝5，以点B为旋转中心将BO逆时针旋转60°得到线段，连接，下列结论：①可以看成是△BOC绕点B逆时针旋转60°得到的；②点O与的距离为5；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+4；⑤＝6+．其中正确的结论有 ．（填正确序号） 【答案】①③⑤ 【分析】如图，首先证明△OBO′为等边三角形，得到OO′＝OB＝4，故选项②错误；证明△ABO′≌△CBO，得到选项①正确；运用勾股定理逆定理证明△AOO′为直角三角形，求出∠AOB的度数，得到选项③正确；运用面积公式求出四边形AOBO′的面积，可判断选项④错误；将△AOB绕A点逆时针旋转60°至△AO″C，可得△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3，4，5的直角三角形，再根据S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″进行计算即可判断选项⑤正确． 【详解】解：如下图，连接OO′， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝CB； 由题意得：∠OBO′＝60°，OB＝O′B， ∴△OBO′为等边三角形，∠ABO′＝∠CBO， ∴OO′＝OB＝4；∠BOO′＝60°， ∴选项②错误； 在△ABO′与△CBO中，， ∴△ABO′≌△CBO（SAS）， ∴AO′＝OC＝5， 可以看成是△BOC绕点B逆时针旋转60°得到的， ∴选项①正确； 在△AOO′中，∵32+42＝52， ∴△AOO′为直角三角形， ∴∠AOO′＝90°，∠AOB＝90°+60°＝150°， ∴选项③正确； ∵S四边形AOBO′＝×42×sin60°+×3×4＝4+6， ∴选项④错误； 如下图，将△AOB绕A点逆时针旋转60°至△AO″C，连接OO″， 同理可得，△AOO″是边长为3的等边三角形， △COO″是边长为3，4，5的直角三角形， ∴S△AOC+S△AOB ＝S四边形AOCO″ ＝S△COO″+S△AOO″ ＝×3×4+×32×sin60° ＝6+． 故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查旋转的性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 37．如图，和都是等腰直角三角形，，点D是边上的动点（不与点B、C重合），与交于点F，连接．下列结论：①；②;③；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是 ．    【答案】①②③ 【分析】①正确．证明，可得结论；②正确．根据得到，得到证明即可；③正确．根据得到，根据三角形外角性质，得到，证明即可；④错误．将绕点B顺时针旋转得到，连接，当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，此时，，设，则，构建方程求出t，可得结论． 【详解】∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故②正确； ∵， ∴， 根据三角形外角性质，得到， ∴， 故③正确； 将绕点B顺时针旋转得到，连接， 根据旋转性质，得到是等边三角形， 当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，此时，，，    设，则，根据题意，得， 解得， 故 故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 38．如图，点P是在等边内一点，，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．下列结论：①可以看作由绕点A逆时针旋转得到；②线段；③四边形的面积为；④．正确的是 （只填序号）． 【答案】①②④ 【分析】由旋转的性质可知，，即可证明为等边三角形．由为等边三角形，可得出，，进而可证，从而可证，即可以看作由绕点A逆时针旋转得到，故①正确；由等边三角形的性质可直接得出，故②正确；由全等三角形的性质可知．再根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且．过点A作交的延长线于点H，易求出，进而可求出，由三角形的面积公式求出和，进而即可求出，故可判断③；易求出．再根据全等的性质即得出，故④正确． 【详解】由旋转的性质可知，， ∴为等边三角形． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴可以看作由绕点A逆时针旋转得到，故①正确； ∵为等边三角形， ∴，故②正确； ∵， ∴． ∵，即， ∴为直角三角形，且． 如图，过点A作交的延长线于点H， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴． ∵， ∴，故④正确． 综上可知正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理和勾股定理逆定理，旋转的性质等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 39．如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的动点不与端点重合，连接，，分别交对角线于点，点，在运动过程中，始终保持，连接，下列结论：①；②的周长为；③；④若过点作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】正确．证明，可得结论； 正确．证明可得结论； 错误．可以证明； 利用两点之间线段最短,利用三角形两边之和大于等于第三边证明即可． 【详解】如图，四边形是正方形， ，， 在和中， ， ≌， ，故正确， 将延长到点M，使得， ∵四边形正方形， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的周长为：． 故正确， 将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ， ， ，， ≌， ， ， ，故错误， 连接，， ，， ， 的最小值为，故④正确， 故答案为：④． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 40．如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中：①；②是等腰直角三角形；③点P为中点；④，错误的是 ． 【答案】④ 【分析】①证明四边形为平行四边形，得，得，再由正方形的性质得，即可判断选项正误； ②证明，进而得出是等腰直角三角形，即可判断选项正误； ③过H作，与交于点M，连接，证明四边形为矩形，再证明得，即可判断选项正误； ④将绕点A顺时针旋转，得，连接，证明得，进而得，即可判断正误． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ，①正确； ②是正方形，是正方形， ，，， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形，②正确； ③过H作，与交于点M，连接，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点P为中点，③正确； ④将绕点A顺时针旋转，得，连接，则，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， ， 由旋转性质知，，， ， ， ，④错误； 故答案为：④． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$