精品解析：四川省丹棱中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026届高二上学期半期考试 数学试题 一、单选题 1. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 3. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 4. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 6. 6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（ ）种. A. 720 B. 450 C. 360 D. 180 7. 已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 若x，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有种 B. 有空盒子的方法共有种 C. 恰有个盒子不放球的方法共有种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 10. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921（mod 6），若，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数有两个零点，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 若，则 三、填空题 12. 已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数________． 13. 已知函数，则___________ 14. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为________；第行的所有数的和为________． 四、解答题 15. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得，，，. （1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程； （2）判断变量与之间是正相关还是负相关，并利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额.附：线性回归方程系数公式. 中，，，其中，为样本平均值. 16. 已知二项式   的展开式中， . 给出下列条件： ①第二项与第三项的二项式系数之比是； ②各项二项式系数之和为512； ③第7项为常数项； 从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题. （1）求实数的值； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中的常数项. 17. 设，． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性． 18. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 （1）求第二次抽到红的概率 （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 （3）小明获得4块月饼的概率 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求余弦曲线曲率的最大值； （3）余弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二上学期半期考试 数学试题 一、单选题 1. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数公式和排列数公式化简即可得解. 【详解】由得， 解得. 故选：D 2. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解. 【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，， 剔除两对数据后的平均数分别为，， 因为， 所以，， 则， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：C. 3. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ） 男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附:， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断. 【详解】依题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 篮球迷 30 15 45 非篮球迷 45 10 55 合计 75 25 100 所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关， 又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关. 故选：A 4. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得. 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增，得，，而恒有， 则，又时，，在上单调递增， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 5. 现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出事件发生的个数和事件同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案. 【详解】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为, 事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，故. 故选：D. 6. 6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（ ）种. A. 720 B. 450 C. 360 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】考虑6人的分组情况，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱，根据分类计数加法原理即可求得答案. 【详解】由题意可知，6名研究员的安排可以是按平均分组，即每2人一组分到三个研究舱， 或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱， 每2人一组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案， 按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱时，共有（种）安排方案， 故共有（种）安排方案， 故选：B 7. 已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数值的特征排除A，利用导数说明函数的单调性，即可排除B、D. 【详解】因为，所以当时，当时，，故排除A， 又， 令，则， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以当时，即，则单调递增， 当时，即，则单调递增， 且在上有解，即在上有解， 所以在上存在单调递减区间，故排除B、D. 故选：C 8. 若x，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用可得，再利用同构可判断的大小关系，从而可得正确的选项. 【详解】设，则（不恒为零）， 故在上为增函数，故， 所以，故在上恒成立， 所以， 但为上为增函数，故即， 所以C成立，D错误. 取，考虑的解， 若，则，矛盾， 故即，此时，故B错误. 取，考虑， 若，则，矛盾， 故，此时，此时，故A错误， 故选：C. 【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数. 二、多选题 9. 现有个编号为的盒子和个编号为的小球，要求把个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 没有空盒子的方法共有种 B. 有空盒子的方法共有种 C. 恰有个盒子不放球的方法共有种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有种 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，没有空盒即4个球4个盒子全排列即得；对于B，可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解； 对于C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，求解即得； 对于D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即得． 【详解】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有种方法，所以选项A正确， 对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，所以选项B错误； 对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球， 先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起， 再对三个盒子全排共有种方法，故C正确； 对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误. 故选：AC. 10. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921（mod 6），若，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先逆用二项式定理得出,再化简得出再结合展开式得出余数即可. 【详解】因为， 又，所以被除得余数为， 又，且和被除得余数为， 故选：BD. 11. 已知函数有两个零点，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A．将问题转化为有两根，然后构造函数，根据的图象与的图象有两个交点求解出的取值范围； B．先求解出的单调递增区间，然后判断出与的单调递增区间的关系，由此可完成判断； C．考虑当时的取值情况，故的取值情况可分析出，由此作出判断； D．根据与的大小关系结合的单调性判断出的取值范围，由此确定出与的大小关系. 【详解】令得，记 ，令得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 且时，，，时， 据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，， 所以，故A选项正确； 因为 所以当时，，递增， 因为，所以，故B选项正确； 当时，，， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以C选项错误； 因为在递增，在递减，且 所以，， 因为，所以 因为，所以 所以，故D选项正确 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法： （1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围； （2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集. 三、填空题 12. 已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性列式计算即可. 【详解】因为， 所以，根据对称性可得， 又， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，则___________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用特殊角的三角函数值，即可求出结果. 【详解】因为，得到， 所以， 故答案为：. 14. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为________；第行的所有数的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由杨辉三角及二项式系数得出新的三角数阵中第行的第个数为；从而得到新的三角数阵中第行的和为：，令，，两边求导得，再通过赋值，即可求解. 【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为， 则新的三角数阵中第行的第个数为，故第10行的第3个数为， 新的三角数阵中第行的和为：， 设，， 两边求导得，， 令得，， 所以新的三角数阵中第行的和为. 故答案为：90，． 四、解答题 15. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，计算得，，，. （1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程； （2）判断变量与之间是正相关还是负相关，并利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额.附：线性回归方程系数公式. 中，，，其中，为样本平均值. 【答案】（1）＝0.3x－0.4 （2）正相关，分析见解析，1.7(千元) 【解析】 【分析】（1）由题意得到n＝10，求得，进而求得，写出回归方程；. （2）由判断变量与之间是正相关，将x＝7代入回归方程求解. 【小问1详解】 由题意知 n＝10，. 则. 所以所求回归方程为＝0.3x－0.4. 【小问2详解】 因为， 故x与y之间是正相关， 2021年该地区居民月收入随月储蓄的增加而增加. 将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元) 16. 已知二项式   的展开式中， . 给出下列条件： ①第二项与第三项的二项式系数之比是； ②各项二项式系数之和为512； ③第7项为常数项； 从上面三个条件中选择一个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题. （1）求实数的值； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中的常数项. 【答案】（1）选择①或②或③， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先看条件①②③分别可以得到什么结果，然后分别选取求解即可； （2）由（1）知，利用二项式系数的性质，即可求解； （3）根据（1）知，然后将前面括号打开，利用二项式  展开式的通项公式为分别求常数项计算即可. 【小问1详解】 因为二项式  展开式的通项公式为， 选①，由题知，解得， 选②，令，得到，解得， 选③，由题知，解得. 【小问2详解】 由（1）知，所以二项式系数最大的项为第项或第项， 又二项式  展开式的通项公式为， 所以展开式中二项式系数最大的项为或. 【小问3详解】 由（1）知，又， 因为展开式的通项公式为， 由，得到，由，得到， 所以的展开式中的常数项为. 17. 设，． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1），； （2）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【解析】 【分析】（1）利用导数求出极值即可； （2）求出，分、、、、讨论，可得答案； 【小问1详解】 的定义域为，因为， ， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， ，； 【小问2详解】 由题：， 1°当时：， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 2°当时：， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 3°当时： ①若即，所以时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增， ②若即，，则在单调递增； ③若即，所以时，，单调递增， 时，，单调递减；时，，单调递增； 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用分类讨论思想，结合二次函数的性质解题． 18. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 （1）求第二次抽到红的概率 （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 （3）小明获得4块月饼的概率 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【小问1详解】 记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， 【小问2详解】 如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， 【小问3详解】 若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求余弦曲线曲率的最大值； （3）余弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】（1） （2）1 （3） 在区间上有且仅有2个零点. 证明：，所以， ①当时，因为，，则，， ∴，在上单调递增，又，. ∴在上有一个零点， ②设，则，当时，，单调递增， ，又， ∴恒成立， ∴在上无零点. ③当时，，， ∴在上单调递减，又，. ∴在上必存在一个零点， 综上，在区间上有且仅有2个零点. 【解析】 【分析】（1）求出，，再根据所给定义计算即可； （2）根据所给定义表示出，即可得到，再令，设，，利用导数求出函数的最大值，即可得解； （3）首先得到，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合零点存在性定理判断函数的零点个数. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以，∴. 【小问2详解】 因为，，， 所，， 令，则，， 设，，则，显然当时，，在上单调递减， 所以， 所以最大值为，所以的最大值为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $