3.2.3 双曲线方程及性质的应用课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.2双曲线 第三章 圆锥曲线的方程 课时3 双曲线方程及性质的应用 新知生成 知识点一 直线与双曲线的位置关系 直线：，双曲线：，两方程联立消去 ， 得 . 位置关系 公共点 判定方法 相交 2个或1个 或 相切 1个 且 相离 0个 且 2 一、直线与双曲线的位置关系 例题1 已知直线与双曲线.当为何值时，直线与双曲线满足下列关系： (1)有两个公共点？ (2)有一个公共点？ (3)没有公共点？ 【解析】由消去，得 . 当，即 时，方程无解. 当时， ， 当，即 时，方程有两解； 当，即或时，方程无解. 综上所述， (1)当 时，直线与双曲线有两个公共点； (2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的 值； (3)当或时，直线与双曲线没有公共点. 3 反思感悟 方法总结 讨论直线与双曲线的位置关系时，一般联立直线与双曲线的方程，将其化为关 于𝑥(或𝑦)的一元二次方程，这时首先要看二次项的系数是否等于0. 当二次项系数等于0时，就转化成关于𝑥(或𝑦 )的一元一次方程； 当二次项的系数不为0时，利用根的判别式，判断直线与双曲线的位置关系. 4 新知运用 跟踪训练1 已知直线与双曲线，则当为何值时，直线与双曲线只有一个公共点？ 【解析】由 得 ，因为直线与双曲线只有一个公共点， 所以或 解得或 . 5 新知探究 探究二：与双曲线有关的弦长及中点弦问题 情境设置 问题：类比求椭圆弦长的方法，若斜率为的直线与双曲线相交于 ， 两点，如何求 ？ 【解析】 同求椭圆弦长的方法，有 . 6 新知生成 知识点二 与双曲线有关的弦长及中点弦问题 解决与双曲线有关的中点弦问题的方法 第一种方法：联立消元法，即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程 的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解. 第二种方法：点差法，根据双曲线弦中点的性质，求出直线的斜率，再用点斜式 得出直线方程. 特别提醒：中点弦问题中判断点的位置非常重要. (1)若中点𝑀在双曲线内（含焦点区域），则被点𝑀 平分的弦一般存在. (2)若中点𝑀在双曲线外，则被点𝑀 平分的弦可能不存在.注意检验所求的直线和双曲线是否相交. 7 二、与双曲线有关的弦长及中点弦问题 例题2 若双曲线被斜率为4的直线解得的弦的中点为，求双曲线的离心率. 8 反思感悟 方法总结 中点弦问题：可以联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；也可以用点差法和中点坐标公式求解.注意都需要检验. 9 新知运用 跟踪训练2 已知双曲线，离心率 ，虚轴长为2. (1)求双曲线𝐶 的标准方程； (2) 经过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，求直线 的方程. 【解析】(1) ，，， ， ，，解得 ， 双曲线的标准方程为 . (2) 设以为中点的弦的端点坐标分别为， ，可得， ，由点，在双曲线上，可得两式相减可得以 为中点的弦所在的直线的斜率 ， 则以为中点的弦所在的直线方程为，即 ，联立方程组得 ， ，符合题意， 直线的方程为 . 10 三、弦长问题 例题3 已知双曲线，，分别是双曲线的左、右焦点. 为双曲线上一点，. ①求 的面积； ②求 的值. (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于,两点，求弦长 的值. 【解析】(1) 不妨设点在第二象限，如图所示.根据题意得 ， 又因为 ， 所以 ，由余弦定理结合焦点三角形的性质可得 ， 所以 解得 ，所以 ， . 11 三、弦长问题 例题3 已知双曲线，，分别是双曲线的左、右焦点. 为双曲线上一点，. ①求 的面积； ②求 的值. (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于,两点，求弦长 的值. 【解析】(2) 由(1)可知双曲线的右焦点，且由题意知直线的斜率为 ，则直线的方程为 ， 联立消去得,且 ， 设,，则, ，由弦长公式有 . 12 反思感悟 方法总结 若直线与双曲线交于， 两点，则或 . 13 新知运用 跟踪训练3 已知点和，动点到， 两点的距离之差的绝对值为2， 记点的轨迹为 ． (1)求轨迹𝐸 的方程； (2)设𝐸与直线𝑦=𝑥−2交于𝑀，𝑁两点，求线段𝑀𝑁的长度. 【解析】(1) 设，则 ， 所以点的轨迹为双曲线 ， 且，，则，， ，所以轨迹 的方程为 ． (2)由得 ，设， ， 则， ， 故 ， 即线段的长度为 ． 14 新知运用 P126例题6 过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线于两点,求. 【解析】由双曲线的标准方程可知,双曲线的焦点分别为. 因为直线的倾斜角是,且经过右焦点,所以直线的方程为 由消去,得 解方程,得 将的值分别代人(1),得 于是,两点的坐标分别为.所以 15 四、双曲线性质的综合应用 P124例题4 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为,上口半径为,下口半径为,高为.试建立适当的坐标系,求出此双曲线的方程（精确到). 【解析】根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系,使小圆的直径在轴上,圆心与原点重合.这时,上、下口的直径都平行于轴,且. 设双曲线的方程为,点的坐标为,则点的坐标为.因为直径是实轴,所以.又两点都在双曲线上,所以 由方程(2),得(负值舍去).代人方程(1),得 化简得 解方程(3),得 因此所求双曲线的方程为 16 四、双曲线性质的综合应用 P125例题5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,求动点的轨迹. 【解析】根据双曲线的设是点到直线的距离,根据题意,动点的轨迹就是点的集合 由此得 将上式两边平方,并化简,得 即 所以,点的轨迹是焦点在轴上,实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 17 随堂检测 1. 已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为 的直线与的右支有且仅有一个交点，则的离心率的取值范围为( ) . A. B. C. D. 2. 直线与双曲线相交所得的弦长为( ) . A. B. C. D. 3. 已知斜率为2的直线与圆锥曲线交于，两点，若弦长 ， 则 ___. A B 18 随堂检测 4. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且双曲线 . (1)求双曲线𝐶 的方程； (2)若直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥−1与双曲线𝐶交于𝐴,𝐵两点,线段𝐴𝐵中点的横坐标为−2 ,求线段𝐴𝐵 的长. 【解析】(1) 设双曲线 ，由题意可得解得 的方程为 .(2)设， ，联立方程组消去得 ，因为与有两个交点，所以，即 ，且 ，解得且 ，所以且 ， ① 由根与系数的关系可得， ，中点的横坐标为，所以，即，解得 或 ， ②结合①②可知 ，此时直线，， ，所以 ，即线段的长为 . 19 课堂小结 1.知识清单： (1)直线与双曲线的位置关系； (2)与双曲线有关的弦长及中点弦问题； (3)双曲线性质的综合应用. 20 $$