3.2.2 双曲线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.2双曲线 第三章 圆锥曲线的方程 课时2 双曲线的简单几何性质 新知探究 探究一：双曲线的范围、对称性和顶点 情境设置 双曲线的定义： 标准方程： 问题：类比椭圆几何性质，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 2 新知探究 探究一：双曲线的范围、对称性和顶点 情境设置 1.双曲线的范围：或 双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域. 3 新知探究 探究一：双曲线的范围、对称性和顶点 情境设置 2.双曲线的对称性、顶点： (1)坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心; (2)双曲线的顶点有两个：即 注意：线段、 分别叫做双曲线的实轴和虚轴， 它们的长分别为 分别叫双曲线的实半轴长和虚半轴长. 4 新知生成 知识点一 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 标准方程 性质 焦距 范围 或， 或， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 ， ， 性质 轴 实轴：线段，长为；虚轴：线段，长为 . 实半轴长为，虚半轴长为 5 一、双曲线的简单几何性质 例题1 求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长，并作出该 双曲线的草图. 【解析】将化为标准方程，得，即 ， 所以，， . 故顶点坐标为， ，焦点坐标为， ，实轴长为， 虚轴长为 . 6 反思感悟 方法总结 利用双曲线的方程来研究其几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定𝑎，𝑏 的值. (3)由求出的值，从而写出双曲线的几何性质. 7 新知运用 跟踪训练1 已知双曲线方程 ，则下列说法正确的是( ) . A.焦点坐标为 B.该双曲线过点 C.焦距为10 D.双曲线上存在点，使得且 C 【解析】易知焦点坐标在轴上，由，得焦点坐标为 ，A错误； ，B错误； 由上知，焦距为 ，C正确； 若，则，重合，显然 不在双曲线上，D错误. 故选C. 8 新知探究 探究二：双曲线的渐近线 情境设置 探究：利用信息技术画出双曲线和两条直线，在双曲线的右支上取一点,测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点,观察与的大小关系,你发现了什么? 9 新知生成 知识点二 双曲线的渐近线 一般地,双曲线的两支向外延伸时,与两条直线 逐渐接近,我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上,双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交. 等轴双曲线：若,则双曲线为, 渐近线方程为,它们互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 特别提醒：与双曲线或共渐近线的双曲线方程可 设为 或 . 10 二、双曲线的渐近线 例题2 (1)已知双曲线与双曲线有相同的焦点，则的渐 近线方程为( ) . A. B. C. D. (2) 已知双曲线的渐近线方程为，则 ____. 【解析】(1) 由，得，由题意得，解得 ， 所以C的标准方程为，所以C的渐近线方程为 ，故选C． (2) 双曲线的标准方程为，所以，则 ， ，又双曲线的渐近线方程为 ， 所以，即，解得 . C 11 新知运用 跟踪训练2 (1)已知双曲线的焦距为 ，则其渐近线方程为( ) ． A. B. C. D. (2) 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线的实轴长为( ) . A. B. C. D. 【解析】(1) 由焦距，，得，解得 ， ， 渐近线方程为 . (2) 由题意知，，，又 ，， ，故双曲线的实轴长为 .故选C. A C 12 新知生成 知识点三 双曲线的离心率 双曲线的离心率：双曲线的焦距与长轴长的比，就称为双曲线的离心率，用表示，即离心率的取值范围： 注意： (1)离心率的变式： (2)等轴双曲线的离心率： . (3)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小. 13 三、双曲线的离心率 例题3 (1)已知双曲线的离心率为， 的一条渐近线与圆交于，两点，则 ( ) . A. B. C. D. (2) 已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为___________. 【解析】(1) 根据双曲线的离心率,得,即,即 ,所以 ,则,所以双曲线的渐近线方程为,易知渐近线与圆相交. 因为圆心到渐近线的距离 , 所以 .故选D. (2) 令双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为,，显然双曲线的中心为原点，焦点在轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得 ，则，所以双曲线的方程为 . D 14 反思感悟 方法总结 求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知，，则可直接利用求解，若已知， ，则可利用 求解； (2)方程法：若无法求出，，的具体值，但根据条件可确定，， 之间的关系，则可通过，将关系式转化为关于，的齐次方程，借助于 ， 转化为关于𝑒的𝑛 次方程求解. 15 新知运用 跟踪训练3 已知双曲线的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心 率为( ) . A. B.2 C.或2 D. 【解析】依题意得，双曲线的渐近线方程为，因为两条渐近线的夹角为 ， 所以直线的倾斜角是或，即或，解得或 ， 又，所以 ， 又，则有，所以双曲线的离心率 . 故选A. A 16 随堂检测 1. 若双曲线的离心率为2，过点 ，则该双曲线的方程为( ) . A. B. C. D. 2. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线 渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为( ) . A. B. C. D.2 3. 双曲线的渐近线方程为__________. B B 17 随堂检测 4. 求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程． 【解析】把方程化为标准方程 ，由此可知，实半轴长 ，虚半轴长， ，焦点坐标为 ，，离心率， 顶点坐标为 ，，渐近线的方程为 ． 18 课堂小结 1.知识清单： (1)双曲线的范围、对称性和顶点； (2)双曲线的渐近线； (3)双曲线的离心率. 19 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $$