第12讲 与圆有关的计算（6大考点与题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第12讲 与圆有关的计算 课程标准 学习目标 ①能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形； ②会计算圆的弧长、扇形的面积； ③了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 1. 了解圆内接正多边形的概念； 2. 掌握正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角 之间的等量关系，并能运用这个等量关系解决具体题； 3. 认识弧长与扇形的面积公式，理解弧长与扇形面积公式的推导过程； 4. 能利用弧长与扇形的面积公式进行计算． 知识点一：正多边形的有关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 3、(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【即学即练】 1．下列关于正多边形说法错误的是（    ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正多边形定义和性质，中心对称和中心对称图形的定义和性质，是解题的关键．每条边都相等，每个角都相等的多边形叫做正多边形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能够与另一个图形重合，那么这个两个图形叫做成中心对称； 根据正多边形的定义和性质，中心对称的定义和性质，中心对称图形的定义和性质，对各个选项一一判断即可得出答案. 【详解】A．正多边形不一定是中心对称图形． 正确，正奇边形绕着中心点旋转后，不能与原来的图形重合， ∴正多边形不一定是中心对称图形， 故本选项正确； B．中心对称图形一定是正多边形． 错误，平行四边形是中心对称图形，不是正多边形， ∴中心对称图形不一定是正多边形， 故本选项错误； C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． 正确，经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线，将该中心对称图形分成的两个图形，绕对称中心转后，互相重合， 故本选项正确； D．关于中心对称的两个图形是全等形． 正确，成中心对称的两个图形，绕着对称中心旋转后互相重合， 故本选项正确． 故选：B． 2．下列四个命题不正确的是（   ） A．各角相等的圆内接五边形是正五边形 B．各边相等的圆内接五边形是正五边形 C．各角相等的圆内接六边形是正六边形 D．各边相等的圆内接六边形是正六边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形与圆的关系，根据正多边形的性质及正多边形与圆的关系逐项判断即可，熟记正多边形的概念及正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：A、如图： ， ，即：， ， ， 同理可得：， 五边形是正五边形，则命题正确，故A不符合题意； B、由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，可以证明该五边形的各角相等，因此命题正确，故B不符合题意； C、如图： ， ， ， ， 同理可得：，， 只能证明该六边形的隔边相等，因此命题不正确，故C符合题意； D、由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系可以证明该六边形的各角相等，因此命题正确，故D不符合题意． 故选：C． 3．给出下列说法： ①各边相等的圆内接多边形是正多边形； ②各边相等的圆外切多边形是正多边形； ③各角相等的圆内接多边形是正多边形； ④各角相等的圆外切多边形是正多边形． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形与圆的关系；根据正多边形的性质，以及正多边形与圆的关系对每小题逐一进行判断即可确定真命题的个数． 【详解】解：①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确； ②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误； ③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误； ④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确； ∴正确的为①④， 故选A． 知识点二：正多边形的有关计算 (1)正n边形每一个内角的度数是； (2)正n边形每个中心角的度数是； (3)正n边形每个外角的度数是. (4)正n边形半径R,边长a，边心距r的关系； (5)正n边形周长； (6)正n边形面积； 【即学即练】 4．下列说法：（1）三点可以确定一个圆，（2）同弦或等弦所对的圆周角相等，（3）等弧所对的圆周角相等，（4）各角都相等的圆的内接多边形一定是正多边形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题综合考查了确定圆的条件、圆周角定理以及正多边形和圆等．根据确定圆的条件对（1）进行判断；根据圆周角定理对（2）进行判断；根据圆心角、弧和弦的关系对（3）进行判断；利用矩形对（4）进行判断． 【详解】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故（1）错误； 同弦或等弦所对的圆周角不一定相等，故（2）错误 等弧所对的圆心角相等，故（3）正确； 各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如圆的内接矩形，故⑤错误． 故选：A． 5．正六边形的周长为6，则它的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的计算，把正多边形的面积转化为包含中心角的三角形的面积计算是解题的关键． 利用正多边形与圆的关系，把图形的面积转化中心角三角形的面积和计算即可． 【详解】解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C， ∵正六边形的周长为6， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为， 故选B． 6．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形中心角．熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键． 根据正n边形的中心角的度数为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 则有， 解得， 是所列方程的解，且符合题意， ∴该正多边形的边数为6． 故选：A． 7．如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 8．如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键． 连接，作，构造出直角，且根据正六边形的性质可知，即可解答； 【详解】解：连接，作于点， ∵正六边形的外接圆半径为， ∴正六边形的半径为， 即， 在正六边形中，， ∴， ∴正六边形的边心距是， 故选：D． 9．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ）    A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，交于，   六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 10．如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，再求出等边的面积，进而可求解． 【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图： 六边形是正六边形， ， ，且， 是等边三角形，且边长， ∴， ∴， 等边的面积为：， 正六边形的面积为：， 故答案为：． 11．正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 【答案】；正六边形的面积为 【分析】本题考查的是正多边形与圆、三角函数、三角形面积的计算，连接，根据正六边形的性质推出，，再利用直角三角形的性质求得，由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴正六边形的面积． 知识点三：正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【即学即练】 12．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点，若与的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．a，b的大小无法比较 【答案】B 【分析】根据圆内接正六边形的性质以及正三角形的判定和性质进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，正三角形的判定和性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点， ， 又， ∴、是正三角形， ， ， 即与的周长相等， ， 故选：B 13．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 14．如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，如图，连接，求出的度数，得到为等边三角形，再根据切线的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，与边相切于点，连接， 则：，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 故选A． 15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算．过作于，求得，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到正十二边形的面积为，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 不妨设圆的半径为， 过作于， 在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为， ， ， 的近似值为3， 故选：C． 16．如图，正五边形的边，与分别相切于点，，点在上，连接，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据正五边形的性质求出的度数，再根据切线的性质得到，由四边形的内角和求出的度数后，由圆周角定理以及圆内接四边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，在优弧上取一点，连接，， 五边形是正五边形， 正五边形的边，与分别相切于点，， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形与圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理以及切线的性质，掌握正五边形的性质，圆内接四边形的对角互补，圆周角定理以及切线的性质是正确解答的关键． 17．如图，点G，H，I，J，K，L分别是正六边形各边的中点，则六边形边长为4，六边形与的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形的相关计算，设正六边形的中心为O，连接，，，可知为等边三角形，通过解直角三角形的相关应用可求出的长，顺次连接正六边形各边的中点G、H、I、J、K、L得到的六边形为正六边形，可知为等边三角形，即可求出结果． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，，，   ，, 为等边三角形， ,, ， ∵顺次连接正六边形各边的中点G、H、I、J、K、L得到的六边形为正六边形， 同理可知为等边三角形， ， 六边形与的周长为， 故答案为：． 18．如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查正多边形和圆的关系，以及同弧所对圆周角是它所对圆心角得一半，先求出正六边形和正方形的边所对的圆心角，求差可得弦所对得圆心角，再分别求出优弧和劣弧所对得圆周角即可． 【详解】如图，连接，， ∵四边形是正方形 ∴ ∵六边形是正六边形 ∴ ∴ ∴弦所对圆周角的度数为或 故答案为：或． 19．一个边长为的正它有一个外接圆⊙O，我们记为第1个圆，它的内切圆记为第2个圆；在第2个圆内作一个内接正三角形的内切圆，记为第3个圆；在第3个圆内作一个内接正三角形的内切圆，记为第4个圆，…，如此作下去，那么第2024个圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，特殊角的三角函数，结合图形找出正三角形的边长规律是解题的关键．设第二个三角形为，正的中心为O，连接，根据正三角形的中心与内切圆的圆心重合，得点D、E、F为边的中点，，然后根据三角形中位线定理和特殊角的三角函数进行求解即可． 【详解】如图， 设第二个三角形为，正的中心为O，连接， ∵正三角形的中心与内切圆的圆心重合， ∴点D、E、F为边的中点， 由三角形的中位线可得：， 同理可得：下一个正三角形的边长为上一个正三角形边长的一半， ∴第2024个正三角形的边长为， 由图得， ∴， ∴第2024个正三角形的外接圆半径为， 故答案为：． 知识点四：正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 【即学即练】 20．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 21．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 22．如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 23．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 24．仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法) (1)如图①，画出的一个内接矩形. (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形. 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形； 【详解】（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形． 解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求； （2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求． 【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 知识点五：弧长公式 【即学即练】 25．如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，与相交于点H，由等腰三角形性质得到,由圆周角定理得出,再由,得出,从而求出,最后由弧长公式可得结果． 【详解】解：连接，与相交于点H， , , , , , , , , , , , , 故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形及平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式及圆周角定理． 26．如图，与正八边形相切于点、，若的半径为7，则的长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正八边形的性质，弧长公式的运用，连接、，利用正八边形的性质计算出半径和圆心角即可． 【详解】解：连接、， ∵与正八边形相切于点A，E， ∴， ∵六边形的内角和为，正八边形内角， ∴， ∵， ∴的长为， 故答案为：． 27．如图，，分别切于点A，B．若的半径为1．，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，根据已知条件即可得，求解，由此可求得的长． 【详解】解：∵、分别切于A、B， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1． ∴的长为， 故答案为：． 28．已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 【答案】 【分析】取点在上的对应点E，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得，然后利用勾股定理求得，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，正确作出辅助线是解题的关键． 29．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、弧长公式；先根据圆周角定理可得等腰是等腰直角三角形，从而可得，再根据勾股定理可得的长，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】连接， ∵为半圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在等腰中， ∴的长 故答案为：． 30．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 知识点六：扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 【即学即练】 31．如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，证明，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 32．如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，则阴影部分图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，关键是找出图中阴影部分面积的计算方法．阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中的扇形面积减去小圆中扇形的面积来求得． 【详解】所求扇环的圆心角为， 阴影部分图形的面积． 故选：C． 33．如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正五边形的每个内角为， ∵正五边形的边长为6， ， 故答案为：． 34．杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出D的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设 ∵小扇形的半径为，弧长为， ∴， 则， 则， ∵大扇形的半径为，扇面的宽度为， ∴， 则 故答案为： 35．如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式           【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系． 根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值． 【详解】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：， 解得：， ∵点是反比例函数与的一个交点， 且 ， ， ， 则反比例函数的解析式是：． 故答案为：． 36．边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，扇形的面积，求出扇形圆心角，利用扇形的面积公式求解 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和=扇形的面积， 故答案为： 37．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，，求阴影部分的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆的基本性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据三角形的内角和定理求出，由得到，从而利用三角形的内角和定理可得； （2）由点D是斜边上的中线可得，又由，得到为等边三角形，从而得到，根据扇形面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ， ， ， ， ， （2）D是的中点，且， ， ， 为等边三角形， ， 阴影部分的面积为． 题型01 正多边形和圆的综合问题 例：如图，正六边形内接于，为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接正多边形，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于，为的中点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 设正六边形的面积为，则 ∴ 故选：C． 39．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 40．如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（    ） A．的直径为2 B．连接，则 C． D．连接，则 【答案】D 【分析】题目主要考查正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， A、∵弦是的内接正六边形的一边， ， ∵， ， ∵是的直径， ， ∵，， ∴，即的直径为2，选项正确，不符合题意； B、∵是的内接正方形的一边， ∴，即，选项正确，不符合题意； C、∵，， ，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； D、如图，作的角平分线交于点E，连接， ， ， ， ∴，故选项错误，符合题意； 故选：D 41．如图，是一个黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，作的外接圆．作的平分线交于点，延长交于点；作的平分线分别交，于点，，延长交于点；连接，分别交，于点，．依次连接，，，．以下说法中不正确的是（   ） A．五边形和五边形都是正五边形 B． C．、分别是的三等分点 D． 【答案】C 【分析】先根据是一个黄金三角形，，得，由三角形的内角和性质得，结合的外接圆O，得，再因为的平分线交于点F，延长交于点E，得出，等角对等边，判断A选项是正确的；再证明，则即可判定B选项是正确的；然后根据圆周角定理，得出，证明，即可判定D选项是正确的，据此即可作答． 【详解】解：∵是一个黄金三角形，， ∴， ∴， ∵的外接圆O， ∴， ∵的平分线交于点F，延长交于点E， ∴， ∴ 同理， ∵B，D点在角平分线上， ∴ ∴五边形是正五边形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理，,,，， ∴， ∵， ∴， ∵对顶角相等， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理得，，，， ∴ ∵ ∴ ∴五边形是正五边形，A选项不符合题意； ∵五边形是正五边形， ∴， ∴ 即 ∴， ∴ 即， ∵外项之积等于内项之积， ∴， 即，故B选项不符合题意； ∵五边形是正五边形， ∴ ∴ ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故D选项不符合题意， 根据已有条件，无法证明、分别是的三等分点， 故C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 42．如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（   ） A． B．5 C． D．19 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，连接，，，，根据正六边形的性质证明，得到，，即可得到B，I，H三点共线，同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且，然后在三角形中计算即可． 【详解】连接，，，，过作于， ∵正六边形和正六边形均以点O为中心， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵A，G，H三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴B，I，H三点共线， 同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边长为， 故选：C． 43．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 44．如图，进行下列尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，是两弧的一个交点；③从点引出的切线与所在的直线围成三角形．此三角形的面积是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图、正多边形与圆、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 如图，连接交于H．解直角三角形求出求出的长，再利用等腰三角形的性质及勾股定理即可的长，如图：从点引出的切线其延长线交直线于M、N,然后运用勾股定理、等腰三角形的性质求得、,进而得到，最后运用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于H． ∵将半径为的六等分， ∴,,三点共线且, ∴， ∴， 在中， ∵， ∴, ∴, ∵, ∵ ∴， ∴, 如图：从点引出的切线其延长线交直线于M、N, ∴, ∵， ∴,即， ∵ ∴， ∴，同理：, ∴， ∴三角形的面积是． 故选A． 45．某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号） 【答案】 二 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，利用圆面积，等边三角形的面积，即可得出答案． 【详解】如图1中，圆的半径为3cm， 底面积为． 如图2中，连接，． ，，， ， ， 等边三角形的边长， 底面积， 等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为， 两种方案底面积差为， 故答案为：方案二，． 46．点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)度 【分析】（1）①根据正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为的长作答即可； ②如图1，连接，证明，则，，然后作答即可； （2）如图2，连接，根据，计算求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； ②解：正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为，证明如下； 如图1，连接， ∵为正方形的中心， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度为； （2）解：如图2，连接， ∵正五边形， ∴， ∴当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正多边形与圆，旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 47．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 题型02 与正多边形有关的作图问题 例：如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，等边三角形的判定、圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系： （1）从A点开始，以为半径．依次画弧，这样把六等份，连接的三等份点得到的内接正三角形； （2）可作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 49．如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程： ①作直径； ②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，； ③连接，，． 结论Ⅰ：是等边三角形； 结论Ⅱ：从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形． 对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解题的关键． 结论Ⅰ：连接，由作图可知是等边三角形，根据同弧（等弧）所对的圆周角相等即可得出结论；结论Ⅱ：在正五边形和中分别求出和所对的中心角的度数，进而可以求出的度数，根据公式即可求出正多边形的边数． 【详解】解：结论Ⅰ：连接， 由作图可知：， ， ， 是等边三角形， ， ， 同理，， ， 是等边三角形； 结论Ⅱ：是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故结论Ⅰ正确，结论Ⅱ错误． 故选：D． 50．尺规作图起源于希腊，是指用没有刻度的直尺和圆规，并且经过有限次的步骤来解决平面几何的作图形式．用尺规作图可以作出正十边形，其作图过程如下（如图所示）：①以为直径作出；②作出的垂直平分线，交于点；③作出的垂直平分线，与交于点；④连接，在上截取；⑤在上依次截取．则十边形就是正十边形．若的半径为，则所作正十边形的边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线，勾股定理的知识，解题的关键是根据题意，尺规作图，得为的直径，，是是垂直平分线，根据勾股定理求出，根据，，即可． 【详解】解：由题意得，是的直径，作出的垂直平分线，交于点， ∴为的直径， ∴， ∵是是垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴正十边形的边长为． 故答案为：． 51．我国伟大的数学家刘徽在《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为弧的中点，连结，，，交于点，则与的面积之比为 ． 【答案】 【分析】连接、，过点作于，由正六边形性质可得，，，再运用解直角三角形及勾股定理可得，，，，再证得，得出． 【详解】解：连接、，过点作于，如图所示： 六边形是圆内接正六边形， ，，， 点为弧的中点， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 52．将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆、翻折变换、勾股定理，由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如）面积占一个小正三角形（如）的，过点G作于点R，过点O作于点T，然后根据三角形面积公式及勾股定理可得方程，通过解方程可得答案． 【详解】解：由折叠的性质知，6个小三角形均为完全相同的三角形，阴影面积与正六边形面积的，则每个小三角形（如）面积占一个小正三角形（如）的． 过点G作于点R，过点O作于点T，    ∵ ∴ ∴ 由勾股定理得， 又正六边形的边长为1， ∴ ∴ ∴， ∴， ， ∴， 解得或（舍）， ∵， ∴； ∴，， ∴，， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：；． 53．在数学综合实践课上，李老师拿出了如图所示的三个边长都为的正方形硬纸板，并提出问题：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，怎样摆放才能使这个圆形纸片的直径最小呢？”全班同学经过讨论后，得出如图所示的三种方案，则下列说法正确的是（    ） A．方案一中圆形纸片的直径最小，直径是 B．方案二中圆形纸片的直径最小，直径是． C．方案二和方案三中圆形纸片的直径都最小，直径都是 D．方案一、方案二和方案三中圆形纸片的直径都不是最小的 【答案】D 【分析】此题考查正多边形与圆，分别求出三个方案中圆形纸片的直径，设计一个直径更小的情况可知选D，解答此题的关键是找出经过以各边顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答． 【详解】解：依题意得：方案一中圆形纸片的直径为； 方案二中圆形纸片的直径为； 方案三中圆形纸片的直径为． 按如图所示位置摆放，连接，，延长交于点P，则，P为中点， 设，则，则有：， ， 则， 此时圆形纸片的直径为． 而， 圆形纸片的最小直径为， 方案一、二、三中圆形纸片的直径都不是最小的．故选D． 54．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质与判定； （1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． （3）根据网格，先计算，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 如图①，正六边形即为所求； （2）如图所示， 如图②，正八边形即为所求． （3）解：如图所示，过点作， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴图②中正八边形的面积为， 故答案为：． 55．【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）；当取得最小值时；（4） 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解． 【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得： （4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆， 则当时，圆的内接正方形的边长为 而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少， ∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 56．古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型03 扇形半径、圆心角、弧长与面积综合运算 例：(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 【答案】 2 /60度 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用扇形弧长公式代入求解即可． 【详解】解：（1）设扇形的半径为R， 则根据题意，得， 解得. 故该扇形的半径是2． （2）根据弧长公式得， 解得， 故扇形圆心角的大小为． 故答案为：2；． 58．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 59．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式求得半径，再根据弧长的公式求弧长即可． 【详解】解：令扇形的半径和弧长分别为和， ， ， ． 扇形的弧长为． 故答案为：． 60．已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，设该扇形的半径是，再根据扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设该扇形的半径是，则 ， 解得． 故答案为：2． 61．已知圆心角为 的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式：、弧长公式：是解题的关键．设扇形的半径为，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式计算． 【详解】设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， 则， 解得，， 扇形的面积， 故答案为：． 62．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了弧长公式，设这个扇形的半径为r，根据弧长公式列出方程求解即可：弧长公式为，其中n为扇形圆心角度数，r为扇形编辑． 【详解】解：设这个扇形的半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个扇形的半径为30， 故答案为：30． 63．如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 64．一个扇形的面积是，圆心角是，则这个扇形的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积和弧长的计算，熟记扇形的面积和弧长公式是解答此题的关键．设扇形的半径为r，由扇形的面积公式求出r的值，再由弧长公式即可得出结论． 【详解】解：设扇形的半径为r， ∵扇形的面积是，圆心角是， ∴， 解得， ∴扇形的弧长． 故答案为：． 题型04图形旋转中的弧长与扇形面积计算 例：已知在平面直角坐标系中位置如图所示． (1)利用格点画出的外接圆，标注出圆心P，并写出圆心P的坐标为 (2)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (3)求（2）中点A旋转到点所经过的路线长（结果保留π）． 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解 (3) 【分析】本题考查图形与坐标、三角形外接圆、平面图形的旋转变换及弧长公式．属于基本题型，掌握基本概念是解题关键． （1）根据三角形外接圆圆心是三角形三条边中垂线的交点即可作图； （2）根据旋转的性质可进行作图； （3）由（2）及图形可进行求解． 【详解】（1）解：所作的外接圆如图所示： 由图可知：点； 故答案为：； （2）解：所作如图所示； （3）解：由图可得：， 点A旋转到点所经过的路线长为． 66．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最低位置秋千底部所经过的路径长为（   ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长，锐角三角函数值的求法，求出圆心角的度数是解答关键． 过点作于点，得出的长度，根据得到，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】解：过点作于点， ∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米， 当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米， ∴． ∵， ∴ ， ∴， ∴秋千底部所经过的路径长． 故选：C． 67．如图所示，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到时，共走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算、勾股定理，由勾股定理可得长方形的对角线长为，结合第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到，即可得出第一次走过的路径，再由第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到，计算出第二次走过的路径，即可得解． 【详解】解：第一次是点以为旋转中心，顺时针旋转得到， 长方形的对角线长为， 此次点走过的路径为， ∵第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角， ∴第二次是点以点为旋转中心，顺时针旋转得到， 此次点走过的路径为， ∴点翻滚到时，共走过的路径长为， 故选：B． 68．将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作,平行四边形的面积就是扫过的面积. 【详解】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作,以B为圆心，的长为半径，作, 扫过的面积为,及，围成的面积，即平行四边形的面积就是扫过的面积. 由旋转可知，， ， 是平行四边形， 中，， ， ， 故选A． 69．如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法： ①的最小值为； ②在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积； ③在运动过程中，点H的运动路径的长为． 其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，弧长和扇形面积计算，取中点，根据得到点H在以为直径，为半径的圆上运动，据此判断各个选项即可． 【详解】解：取中点，连接，，， ∵矩形中，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点H在以为直径，为半径的圆上运动， ∵， ∴当A，H，在同一直线上时，最短， 此时， 即的最小值为，故①正确； 如图所示，当运动到时， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点H的运动路线（轨迹）长为，故③正确； 在运动过程中，扫过的面积， 扫过的面积， ∴扫过的面积不等于扫过的面积，故②错误； 综上所述，正确①③， 故选：B． 70．如图，直角的直角顶点为C，且，将此三角形绕点A顺时针旋转到直角的位置．则在旋转过程中，边扫过的面积是 ．（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，根据题意可得，则边扫过的面积是以为半径的扇形面积减去以为半径的扇形面积，据此即可求解． 【详解】解：∵直角将绕点A顺时针旋转到直角的位置． ∴， ∴边扫过的面积是 故答案为：． 71．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，．将绕圆心O逆时针旋转至 ，点在上，求边扫过区域（图中阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】本题考查旋转和含角的直角三角形的性质以及扇形的面积公式．根据题意结合图形可知是解题关键． 根据旋转和含角的直角三角形的性质，可求出和的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 72．如图，正方形网格的每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上．现将绕点按逆时针方向旋转得到． (1)在正方形网格中画出． (2)计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据旋转的性质作图即可； （）利用勾股定理求出，再根据扇形的面积公式计算即可求解； 本题考查了旋转作图，勾股定理，扇形的面积，掌握旋转的性质和扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由勾股定理可得，， ∴线段在变换到的过程中扫过区域的面积为． 73．在平面直角坐标中，边长为2 的正方形的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O 在原点． 现将正方形绕点 O 顺时针旋转，当点A 第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中，边交直线． 于点M，边交x轴于点N（如图）． (1)求边在旋转过程中所扫过的面积；（结果保留π） (2)旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数； (3)设 的周长为p，在旋转正方形的过程中，p值是否有变化？ 请证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)周长不会变化，证明见解析 【分析】（1）根据扇形的面积公式来求得边在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）延长交y轴于E点，证明，得出，，证明可得，从而可以证到，进而可以推出，是定值． 【详解】（1）解：∵A点第一次落在直线上时停止旋转，直线与y轴的夹角是， ∴旋转了． ∴在旋转过程中所扫过的面积为． （2）解：在正方形中，，， ∵， ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为． （3）解：在旋转正方形的过程中，p值无变化． 证明：延长交y轴于E点， 则，， ∴． 又∵，． ∴． ∴，． 又∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴在旋转正方形的过程中，p值无变化． 题型05不规则图形面积计算 例：如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． （1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O的切线． （2）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 75．如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点E，连结．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 【详解】解：在正方形中，，， ，，， ， ， 故选：D． 76．如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，求扇形面积，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴，则 则阴影部分的面积为， 故选：A． 77．如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．连接，根据勾股定理可求的长，根据题意可得出阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】解：连接， 在扇形中，正方形的顶点是的中点， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积 ． 故选：． 78．如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故选：A． 79．如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用，进行求解即可． 【详解】解∶ ∵半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转， ∴，， ∴ ， 故答案为： ． 80．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 由图形可知，阴影部分面积 ， 故答案为：． 81．如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，扇形的半径，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，扇形的半径， 则图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 82．如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型06 圆锥的常见运算 例：如图，圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆锥的侧面积，根据勾股定理先求解，再结合侧面积公式：，（为底面圆半径，为弧长），从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴圆锥侧面积：， 故答案为： 84．若圆锥的侧面积为18，底面圆的半径为6，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了圆锥的计算，设该圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥的母线长是3． 故答案为：3． 85．某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为9，底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的全面积．熟练掌握圆锥的全面积为，其中为底面圆半径，为母线长是解题的关键． 根据圆锥的全面积为，其中为底面圆半径，为母线长，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 86．已知圆锥的底面半径为，高为，圆锥的表面积为 【答案】 【分析】本题考查圆锥的表面积，勾股定理，解题的关键是根据题意，求出母线长，根据圆锥的表面积公式：底面积加上侧面积，进行计算，即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴母线长为：， ∴圆锥的表面积为：． 故答案为：． 87．如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】216 【分析】本题考查了圆锥侧展开图的圆心角的计算，熟知圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长是解题的关键．根据主视图得到圆锥的母线长和底面圆的直径，可得底面周长，再由扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得可知：圆锥的母线长为5， 圆锥的底面直径为6，则圆锥的底面周长为， 由圆锥的侧面展开图的弧长可得：． ∴ 故答案为：216． 88．在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 【答案】216 【分析】本题考查求圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数，勾股定理求出的长，根据旋转的方式，得到底面圆的半径为，母线为，根据底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 由题意，得：圆锥的底面圆的半径为，母线为， 设展开后扇形的圆心角的度数为，则：， 解得：； 故答案为：216． 89．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 90．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 【答案】 【分析】 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是利用题目已知条件得到扇形的弧长和圆的周长之间的关系．根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 【详解】 解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：． 91．在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 92．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 试卷第2页，共97页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 与圆有关的计算 课程标准 学习目标 ①能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形； ②会计算圆的弧长、扇形的面积； ③了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 1. 了解圆内接正多边形的概念； 2. 掌握正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角 之间的等量关系，并能运用这个等量关系解决具体题； 3. 认识弧长与扇形的面积公式，理解弧长与扇形面积公式的推导过程； 4. 能利用弧长与扇形的面积公式进行计算． 知识点一：正多边形的有关概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 3、(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【即学即练】 1．下列关于正多边形说法错误的是（    ） A．正多边形不一定是中心对称图形 B．中心对称图形一定是正多边形 C．经过任何一个中心对称图形的对称中心的直线都能将该中心对称图形分成两个全等图形． D．关于中心对称的两个图形是全等形 2．下列四个命题不正确的是（   ） A．各角相等的圆内接五边形是正五边形 B．各边相等的圆内接五边形是正五边形 C．各角相等的圆内接六边形是正六边形 D．各边相等的圆内接六边形是正六边形 3．给出下列说法： ①各边相等的圆内接多边形是正多边形； ②各边相等的圆外切多边形是正多边形； ③各角相等的圆内接多边形是正多边形； ④各角相等的圆外切多边形是正多边形． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确 知识点二：正多边形的有关计算 (1)正n边形每一个内角的度数是； (2)正n边形每个中心角的度数是； (3)正n边形每个外角的度数是. (4)正n边形半径R,边长a，边心距r的关系； (5)正n边形周长； (6)正n边形面积； 【即学即练】 4．下列说法：（1）三点可以确定一个圆，（2）同弦或等弦所对的圆周角相等，（3）等弧所对的圆周角相等，（4）各角都相等的圆的内接多边形一定是正多边形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．正六边形的周长为6，则它的面积为（  ） A． B． C． D． 6．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 8．如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是（   ） A． B． C． D． 9．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ）    A．12 B． C． D． 10．如图，正六边形内接于，，则正六边形的面积为 . 11．正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 知识点三：正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【即学即练】 12．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点，若与的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．a，b的大小无法比较 13．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为（    ） A．2 B．1 C． D． 15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算.如图，利用内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（    ） A． B． C．3 D． 16．如图，正五边形的边，与分别相切于点，，点在上，连接，，则的度数为 ． 17．如图，点G，H，I，J，K，L分别是正六边形各边的中点，则六边形边长为4，六边形与的周长为 ．    18．如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ． 19．一个边长为的正它有一个外接圆⊙O，我们记为第1个圆，它的内切圆记为第2个圆；在第2个圆内作一个内接正三角形的内切圆，记为第3个圆；在第3个圆内作一个内接正三角形的内切圆，记为第4个圆，…，如此作下去，那么第2024个圆的半径是 ． 知识点四：正多边形的画法 1.用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 【即学即练】 20．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 21．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 22．如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 23．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 24．仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法) (1)如图①，画出的一个内接矩形. (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形. 知识点五：弧长公式 【即学即练】 25．如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（    ） A． B． C． D． 26．如图，与正八边形相切于点、，若的半径为7，则的长为 （结果保留）． 27．如图，，分别切于点A，B．若的半径为1．，则的长度为 ． 28．已知点在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．，，则的长为 ． 29．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则的长是 ． 30．已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 知识点六：扇形面积公式 1.扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 【即学即练】 31．如图，在矩形中，，以点A为圆心，为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是（    ） A． B． C． D． 32．如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，则阴影部分图形的面积为（   ） A． B． C． D． 33．如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 34．杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留 π）． 35．如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式           36．边长均为5的正五边形与正六边形按如图的方式拼接在一起，连结，则以为半径的与六边形、三角形重叠部分图形的面积之和为 ． 37．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的圆交于点D． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，，求阴影部分的面积； 题型01 正多边形和圆的综合问题 例：如图，正六边形内接于，为的中点，连接，，四边形的面积为，正六边形剩余部分的面积为，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 39．如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 40．如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（    ） A．的直径为2 B．连接，则 C． D．连接，则 41．如图，是一个黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，作的外接圆．作的平分线交于点，延长交于点；作的平分线分别交，于点，，延长交于点；连接，分别交，于点，．依次连接，，，．以下说法中不正确的是（   ） A．五边形和五边形都是正五边形 B． C．、分别是的三等分点 D． 42．如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（   ） A． B．5 C． D．19 43．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 44．如图，进行下列尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，是两弧的一个交点；③从点引出的切线与所在的直线围成三角形．此三角形的面积是（    ） A．4 B． C．6 D． 45．某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形的边长为，目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图收纳方案一和收纳方案二，你认为底面积更小的是方案 ，两种方案底面积差为 （结果保留根号） 46．点O是边长为m的正多边形的中心，将一块足够长，圆心角为的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 若正多边形为正三角形，扇形的圆心角时，通过观察或测量，得到如图1、2中，正三角形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度均为m； (1)若正多边形为正方形，扇形的圆心角时， ①如图3，求正方形的边被扇形纸板覆盖部分的长度； ②如图4，正方形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明； (2)若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角为多少度时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值m． 47．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 题型02 与正多边形有关的作图问题 例：如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 49．如图，正五边形内接于，阅读以下作图过程： ①作直径； ②以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，； ③连接，，． 结论Ⅰ：是等边三角形； 结论Ⅱ：从点开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形． 对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 50．尺规作图起源于希腊，是指用没有刻度的直尺和圆规，并且经过有限次的步骤来解决平面几何的作图形式．用尺规作图可以作出正十边形，其作图过程如下（如图所示）：①以为直径作出；②作出的垂直平分线，交于点；③作出的垂直平分线，与交于点；④连接，在上截取；⑤在上依次截取．则十边形就是正十边形．若的半径为，则所作正十边形的边长为 ． 51．我国伟大的数学家刘徽在《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为弧的中点，连结，，，交于点，则与的面积之比为 ． 52．将边长为1的正六边形折叠成三角形后（如图1）用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕，且，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的，则的值为 ，的值为 ．    53．在数学综合实践课上，李老师拿出了如图所示的三个边长都为的正方形硬纸板，并提出问题：“若将这三个正方形硬纸板互不重叠平放在桌面上，用一个圆形纸片将其完全覆盖，怎样摆放才能使这个圆形纸片的直径最小呢？”全班同学经过讨论后，得出如图所示的三种方案，则下列说法正确的是（    ） A．方案一中圆形纸片的直径最小，直径是 B．方案二中圆形纸片的直径最小，直径是． C．方案二和方案三中圆形纸片的直径都最小，直径都是 D．方案一、方案二和方案三中圆形纸片的直径都不是最小的 54．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 55．【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 56．古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 题型03 扇形半径、圆心角、弧长与面积综合运算 例：(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 58．为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 59．一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为 ． 60．已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 61．已知圆心角为 的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 ． 62．已知扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为 ． 63．如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ． 64．一个扇形的面积是，圆心角是，则这个扇形的弧长是 ． 题型04图形旋转中的弧长与扇形面积计算 例：已知在平面直角坐标系中位置如图所示． (1)利用格点画出的外接圆，标注出圆心P，并写出圆心P的坐标为 (2)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (3)求（2）中点A旋转到点所经过的路线长（结果保留π）． 66．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最低位置秋千底部所经过的路径长为（   ） A．2米 B．米 C．米 D．米 67．如图所示，有一长为，宽为的长方形木板在桌面上作无滑动翻滚（顺时针方向），木板上的顶点的位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到时，共走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 68．将平行四边形的边与边分别绕点A、点B逆时针旋转，得到矩形， 若此时、D、B 恰好共线，，，那么边扫过的面积为（    ） A． B． C． D．9 69．如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法： ①的最小值为； ②在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积； ③在运动过程中，点H的运动路径的长为． 其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 70．如图，直角的直角顶点为C，且，将此三角形绕点A顺时针旋转到直角的位置．则在旋转过程中，边扫过的面积是 ．（结果保留）    71．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，．将绕圆心O逆时针旋转至 ，点在上，求边扫过区域（图中阴影部分）的面积． 72．如图，正方形网格的每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上．现将绕点按逆时针方向旋转得到． (1)在正方形网格中画出． (2)计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积． 73．在平面直角坐标中，边长为2 的正方形的两顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O 在原点． 现将正方形绕点 O 顺时针旋转，当点A 第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中，边交直线． 于点M，边交x轴于点N（如图）． (1)求边在旋转过程中所扫过的面积；（结果保留π） (2)旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数； (3)设 的周长为p，在旋转正方形的过程中，p值是否有变化？ 请证明你的结论． 题型05不规则图形面积计算 例：如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 75．如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点E，连结．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 76．如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 77．如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 78．如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 79．如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 80．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若则的面积为 ． 81．如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 82．如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 题型06 圆锥的常见运算 例：如图，圆锥的底面半径为，高为，那么这个圆锥的侧面积是 ． 84．若圆锥的侧面积为18，底面圆的半径为6，则该圆锥的母线长为 ． 85．某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为9，底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为 ． 86．已知圆锥的底面半径为，高为，圆锥的表面积为 87．如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 88．在直角三角形中，已知，，，如果把该三角形绕直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ． 89．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    90．在如图 ①所示的正方形铁皮中剪下一个圆形和一个扇形，使之恰好围成如图 ②所示的底面直径尽可能大的圆锥模型，设圆形的半径为，扇形的半径为，试探索和之间的关系． 本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是利用题目已知条件得到扇形的弧长和圆的周长之间的关系．根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系． 解：∵恰好围成图2所示的一个圆锥模型， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：． 91．在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 92．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 试卷第2页，共97页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 $$