第11讲 直线与圆的位置关系（5考点8题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第11讲 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 ①了解三角形的内心； ②了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念； ③作三角形的内切圆； ④*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线 ⑤探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等． 1. 掌握直线与圆的位置关系并能够数量的判断直线与圆的位置关系； 2. 掌握切线的性质与判定方法，并能在题目中熟练的对切线进行判定以及对切线的性质进行应用； 3. 掌握切线长的定理以及切线长定理，并能够在题目熟练应用； 4. 掌握三角形内切圆的定义以及内切圆的性质，并能够熟练的运用其解决相关题目． 知识点一：直线与圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d＞r d=r d＜r 【即学即练】 1．如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相割 2．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 4．如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 知识点二：切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）； （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【即学即练】 5．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 6．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 7．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 8．如图，的半径与直径垂直，点在上，的延长线交于点，在的延长线上取点，使． (1)求证是的切线； (2)当，时，求线段的长． 9．如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 知识点三 ：切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点； （2）切线到圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径． 【即学即练】 10．如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 ． 11．如图，是的弦，延长线交过点的切线于点，如果，则为 ． 12．如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 13．已知：如图，是的直径，直线与相切于点，连接、． (1)尺规作图：过点作，垂足是（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：平分． 14．如图，的半径与弦互相垂直，垂足为D，连接，．    (1)求证：； (2)延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数及的长． 知识点四 ：切线长定理 1、定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长； 2、线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角． 【即学即练】 15．如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 16．如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 17．如图，，是的切线，切点分别是点，点，是的直径．若，，则的长为 ． 18． 如图所示，的半径是4，、分别与相切于点A、点B，若与之间的夹角． (1)若点C是圆周上的一动点，的大小为定值吗？若是定值，请求出它的度数． (2)求的周长． 19．如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 知识点五 ：三角形的内切圆 1、与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形 2、圆心的确定：到三角形三条角平分线的交点 内心的性质： 3、到三角形的三条边的距离相等 【即学即练】 20．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（    ） A． B． C． D． 21．已知中，，，若的外接圆半径是，则此三角形内切圆的半径为 ． 22．边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 23．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 24．已知：在中，， (1)利用直尺和圆规作的外接圆； (2)若，求的半径． 题型01 由直线与圆的位置关系求半径范围标 例：已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 26．已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 27．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ． 28．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，则的半径可以为 （写出一个即可）． 29．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 30．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 31．在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ．    题型02由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 例：已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 33．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 34．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 36．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 37．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    38．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 39．已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 题型03 切线的证明 例：如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，延长分别与、切线相交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，，求的值． 41．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求的长． 42．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于，已知平分． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径． 43．如图，是的直径，弦于点E，连接，过点A作于点M，交过点C的直线于点G，连接并延长，交直线于点N，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径和的长． 44．在四边形中，，，经过点A，B，C． (1)如图①，求证：是的切线． (2)如图②，连接，与，分别交于点E，F，连接． ①求证：； ②若，，则的长为______． 45．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，； ①求的半径； ②求的长． 题型04 切线的性质定理 例：如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D、C，连接，若，则 ． 47．如图1，中，，将扇形按图1摆放，使扇形的半径、分别与、重合，．    如图2，若不动，让扇形绕点逆时针旋转一周，连接线段、，设旋转角为． 发现：直接写出、的数量关系____________． 探究：若 （1）扇形绕到点的左侧，当时，旋转角_____________； （2）扇形绕到点的右侧，当与弧相切时，求； （3）若点是弧上任意一点，在扇形绕点逆时针转过程中，当的面积最大时，求出的度数 48．如图，线段经过圆心，交于点，，直线与切于点，则的度数是 ． 49．如图，是的直径，点A 在上，过点A 作的切线交的延长线于点 D， 的平分线交 于点 E，交 于点 G， 的平分线交于点 F． (1)若 ， 的半径为2，求的长； (2)求证： ； (3)求证： 50．如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连接交于点，连接，过点的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连结交于点，若的半径为，， ①求的周长； ②若，求的面积． 51．【问题提出】 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】 如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】 小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，． （1）按照小明的思路完成证明过程； 【问题解决】 （2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示） 题型05 切线的作图 例：已知：P为外一点，求作：经过点P的的切线． 作法： ①如图，连接，作线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点； ③作直线，； 所以直线，就是所求作的切线． 根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)如果切线，所夹的锐角为，点D为优弧上的一动点（点D不与B、C重合），求的度数． 53．如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接       54．下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点A在上． 求作：直线和相切． 作法：①连接，以A为圆心，长为半径作弧，与的一个交点为B（点B在点A右侧）； ②连接，以B为圆心，长为半径作圆； ③作的直径； ④作直线． 所以直线就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接． ∵， ∴． ∴点A在上． ∵是的直径， ∴ ① （ ② ）（填推理的依据）． ∴． ∵是半径， ∴是的切线（ ③ ）（填推理的依据）． 55．如图，经过格点的圆与网格线交于点． (1)在图1中，先画的中点，再将弦平移，得到弦； (2)在图2中，是格点，先画圆的切线和为切点，再画弦． 56．古希腊数学家欧几里得（约公元前325-公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果从圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线为边所构成的正方形的面积． 命题解读：直线为的切线，直线为圆的割线，以为边构造正方形，以为边构造矩形，可得正方形的面积等于矩形的面积，由此可得． 根据以上问题，完成尺规作图并计算．                    (1)尺规作图步骤如下： ①以点B为圆心，小于的长为半径作弧，交射线于P，Q两点； ②分别以P，Q为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E； ③作射线，射线与射线交于点A； ④可得直线为的切线．请按描述完成作图； (2)依据所作图形，若以为边的正方形的面积为24，，则以为边的矩形的周长为________． 57．下面是小明设计的“过圆外一定点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，点P是外一定点． 求作：的过点P的切线． 作法： （1）连接； （2）作线段的垂直平分线，交于点C； （3）以点C为圆心，长为半径作圆，分别交于点A，B； （4）作直线，． ∴直线，就是所求作的的切线． 请根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： 使用直尺和圆规，按照上述作法完成作图（保留作图痕迹），并证明直线，是的切线． 58．下面是小亮设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图． 已知：如图，及外一点P． 求作：过点P的的切线 作法：①连接交于点A，分别以点O，点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，点N，作直线交于点B；②以点B为圆心，的长为半径作圆，交于点D，点E；③作直线．所以直线就是所求作的的切线． (1)根据小亮设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)试说明（1）中的直线是的切线． 题型06切线长定理的应用 例：如图，是半圆的直径，和是它的两条切线，切点分别为，平分． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，，求的长． 60．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 61．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 62．如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A． B． C． D． 63．已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线交，于点，，则周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 64．如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 65．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 66．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 题型07 三角形的内切圆 例：如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 68．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 69．在边长为的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，则该圆的半径是（　　） A． B． C． D． 70．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 71．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    72．中，，点是内心，那么 ． 73．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 74．如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则 ． 75．如图，已知是的内切圆． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 76．如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．    （1）外接圆的直径的最小值是 ； （2）内切圆的半径的最大值是 ． 77．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，内切于，反比例函数的图象经过点P，交直线于点C，D（C在点D的左侧）． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求线段的长． 78．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 题型08 切线的性质与判定的综合应用 例：在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 80．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 81．如图①，在矩形中，对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接 ． (1)求证：． (2)如图②，以点O为圆心，长为半径作圆，与相切．求证：． 82．如图，在中，，，． (1)求、的长； (2)点从点出发，沿着方向以个单位长度秒的速度匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向也以个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为秒以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连结，． ①当为何值时，点与点重合？ ②若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 83．如图，在中，，，以点为圆心，2为半径画圆，过点作的一条切线，切点为，连接．将绕点按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为． (1)当弧的长为时，求的度数，并求出此时线段扫过的面积； (2)如图，当时，求证：是的切线； (3)直接写出的最大值与最小值的差． 84．如图，过上的动点作的切线，在上取点（异于点），使得，弦，连接交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)记，；的面积分别为，，，当时，求的值； (3)设的半径为，当时，求四边形的面积．（用含的式子表示） 85．如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若是中点，求的长． 试卷第2页，共118页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 ①了解三角形的内心； ②了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念； ③作三角形的内切圆； ④*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线 ⑤探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等． 1. 掌握直线与圆的位置关系并能够数量的判断直线与圆的位置关系； 2. 掌握切线的性质与判定方法，并能在题目中熟练的对切线进行判定以及对切线的性质进行应用； 3. 掌握切线长的定理以及切线长定理，并能够在题目熟练应用； 4. 掌握三角形内切圆的定义以及内切圆的性质，并能够熟练的运用其解决相关题目． 知识点一：直线与圆的位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 数量关系 d＞r d=r d＜r 【即学即练】 1．如图所示，A是上一点，且，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相割 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理逆定理的应用，熟练掌握切线的判定，是解题的关键．先证明为直角三角形，，得出，即可证明与相切． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵A是上一点， ∴与相切． 故选：B． 2．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 3．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 4．如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：根据题意为的直径，， ∴的半径为3． 又∵，， ∴则直线 与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 知识点二：切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）； （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【即学即练】 5．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 6．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 7．在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 8．如图，的半径与直径垂直，点在上，的延长线交于点，在的延长线上取点，使． (1)求证是的切线； (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）首先连接，，易证得，又由的半径与直径垂直，可证得，即可判定是的切线； （2）先求出，设的长为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如下图． ∵是圆的半径， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是圆的切线． （2）解：，， ∴． 设的长为， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 答：线段的长为8． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，准确作出辅助线是解此题的关键． 9．如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论； （2）如图，过点作于点，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ． ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的直径， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定． 知识点三 ：切线的性质 （1）切线与圆只有一个公共点； （2）切线到圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于经过切点的半径． 【即学即练】 10．如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ； ， ， 故答案为：32 11．如图，是的弦，延长线交过点的切线于点，如果，则为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键． 直接利用切线的性质得出度数，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出度数． 【详解】解：连接， ∵的延长线交过点的的切线于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 13．已知：如图，是的直径，直线与相切于点，连接、． (1)尺规作图：过点作，垂足是（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：平分． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据作垂线的作法即可； （）由切线的性质得，故有，根据平行线的性质得，又，则，从而求证； 本题考查了尺规作图——作垂线，等腰三角形的性质，切线的性质，角平分线定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，以为圆心，任意长的半径画弧，交于点； 分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 交于点； ∴即为所求； （2）证明：∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 14．如图，的半径与弦互相垂直，垂足为D，连接，．    (1)求证：； (2)延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数及的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）根据圆周角定理得出，由，即可得证； （2）根据平行线的性质得出，根据（1）的结论得出，即可求得，根据是的切线，在中，勾股定理求得的长，继而求得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴．   ∴ ∵是的切线， ∴． ∵， ∴ 在中，由勾股定理，得． ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识点四 ：切线长定理 1、定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长； 2、线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角． 【即学即练】 15．如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，平分， ∴，， ∴，即的半径等于， 故答案为：． 16．如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长进行计算即可． 【详解】解：切相切于点， ， 切相切于点， ， 切相切于点， ， 的周长为18， ， ， 故答案为：． 17．如图，，是的切线，切点分别是点，点，是的直径．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的切线的性质和锐角三角函数，连接，可得，进而求得为等边三角形，进而求得，结合锐角三角函数即可求得答案． 【详解】如图所示，连接． ∵，是的切线， ∴，． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为： 18． 如图所示，的半径是4，、分别与相切于点A、点B，若与之间的夹角． (1)若点C是圆周上的一动点，的大小为定值吗？若是定值，请求出它的度数． (2)求的周长． 【答案】(1)的大小为定值，定值为或； (2)． 【分析】（1）根据切线性质得出，求出，根据圆周角定理求出即可； （2）连接，求出是等边三角形，，求出和，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵、分别与相切于点A、点B， ∴， ∵， ∴， 当C在优弧上时，， 当C在劣弧上时，； （2）解：连接， ∵、分别与相切于点A、点B，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，由勾股定理得：， ∴的周长是． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 19．如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，切线长定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，根据角平分线的性质得到．根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到．根据和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 过点作于点， ，平分， ． 是的半径，， 是的切线； （2）解：． 与相切， 是的切线， ． ，， ，． 在中， 设，则根据勾股定理得：， 解得：． ． 知识点五 ：三角形的内切圆 1、与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形 2、圆心的确定：到三角形三条角平分线的交点 内心的性质： 3、到三角形的三条边的距离相等 【即学即练】 20．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内心的定义，作图—基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．掌握三角形内心为三角形内角平分线的交点是解题关键．利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可． 【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线． 故选B． 21．已知中，，，若的外接圆半径是，则此三角形内切圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了外接圆半径和内接圆半径，根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半求出半径，根据直角三角形的面积公式求出内接圆半径． 【详解】解：∵中，，， ∴是等腰直角三角形， ∵根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半得圆的半径为4． ∴ ∴ 设内切圆半径为，则有， ∴此三角形内切圆的半径 故答案为：． 22．边长为的三角形的内切圆半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆及面积，设的三边分别与相切于点，连接，的半径为，利用等面积法进行计算即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，，，，设的三边分别与相切于点，的半径为，连接， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， 解得， ∴它的内切圆半径是， 故答案为：． 23．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 24．已知：在中，， (1)利用直尺和圆规作的外接圆； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）分别作的垂直平分线，二者的交点为圆心，以为半径作圆，即可求解； （2）连接，，根据圆周角定理得出，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图即为所作． （2）解：如图，连接，， 则：， ， ， 是等边三角形， ， 即：的半径为6． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的性质和判定等，掌握作法及相关的定理是解题的关键． 题型01 由直线与圆的位置关系求半径范围标 例：已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 26．已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况． 【详解】解：依题意，， 根据勾股定理求得． 当圆与相切时，此时半径最小，即； 当点在圆上，此时半径最大，即， 综上：即． 故选：D． 27．在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据三角形的面积求出斜边上的高，可知当时，所作的圆与斜边相切，进而即可求解，掌握直线和圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作，则， 即， 解得， 当时，所作的圆与斜边相切， ∴当时，所作的圆与斜边有两个公共点， 故答案为：． 28．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，则的半径可以为 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元二次方程，直线与圆的位置关系，因式分解法求出方程的根，根据圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，求解即可． 【详解】解：，解得：， ∵的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ∴的圆心到直线的距离为， ∵与直线相离， ∴的半径小于5， ∴的半径可以为1； 故答案为：1（答案不唯一） 29．如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含的直角三角形是解题的关键． 如图，作于，则，当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线只有一个交点；然后作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴当时，与射线相切，此时只有一个交点； 当时，与射线有两个交点； ∴当时，与射线只有一个交点； 综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 30．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了圆与直线的位置关系、反比例函数图象的位置关系的一道综合题，熟练运用分类讨论的思想和准确把握动圆与坐标轴相切时点P的坐标特征是解此题的关键．分两种情况进行讨论：与x轴相切或与y轴相切，分别求解即可． 【详解】解：∵与坐标轴相切， ∴分两种情况讨论： ①当与x轴相切时， 则点P的纵坐标为2， ∴ ， ∴点P的坐标为． ②与y轴相切时， 则点P的横坐标为2， ∴ ∴ ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为：或， 故答案为：或． 31．在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】过点O作于点E，根据勾股定理得到，然后根据，得到，根据题意分两种情况，当线段在外时和当线段在内时，分别得到r的取值范围即可． 【详解】解：过点O作于点E， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵与有公共点，且与边没有公共点， 当线段在外时，如图，此时， 当线段在内时，如图，此时    ∴的半径r的取值范围是：或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系，相似三角形的判定以及性质，掌握圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系是解题的关键． 题型02由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 例：已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理， （1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论； 正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， ∵，的半径是，， ∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大， 最大值为：， 故答案为：； （2）如图2， ∵，是直线与的公共点，线段的长度最大， ∴线段是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 33．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 34．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 35．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，-3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， 设⊙P与直线AB相切于D， 连接PD， 则PD⊥AB，PD=1， ∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴， ∴， ∴AP=， ∴OP=或OP=， ∴P或P， 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键． 36．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 37．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 38．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 39．已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 题型03 切线的证明 例：如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，延长分别与、切线相交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)为边上的中线，若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）要证明是的切线，只要证明即可，根据题意可以证明，从而可以解答本题； （2）根据题意和勾股定理的知识，可以求得的值． 【详解】（1）证明：连接， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接，设，则， ∵，，， ∴即， 解得，， ∴，， 设，则， ∵是圆的切线， ∴， ∴，， 解得，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴． 41．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． （2）解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 42．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于，已知平分． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据已知条件证明即可解决问题； （2）取中点F，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，取中点F，连接， ∴于点F． 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 43．如图，是的直径，弦于点E，连接，过点A作于点M，交过点C的直线于点G，连接并延长，交直线于点N，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)半径为3，． 【分析】此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识． （1）证明，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，证明，则，设，则，则，在中得到，解得（舍去），则，得到，则的半径为3，，即可得到，则，由勾股定理得到，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）连接，由（1）证知：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中有：，即：， ∴（舍去）， ∴，                      ∴， ∴的半径为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 44．在四边形中，，，经过点A，B，C． (1)如图①，求证：是的切线． (2)如图②，连接，与，分别交于点E，F，连接． ①求证：； ②若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②6 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质定理得到，利用全等三角形的判定与性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）①连接，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，得到，利用线段垂直平分线的判定定理得到为的垂直平分线，结论可得； ②连接并延长，交于点，利用垂径定理的推论得到，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质求得的长． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）①证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线， ∴； ②解：连接并延长，交于点，如图， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 45．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上． (1)求证：是的切线； (2)若点、的坐标分别为，； ①求的半径； ②求的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②． 【分析】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）①连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； ②过点作于，利用勾股定理求得、的长，再利用矩形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ∴， ， ， 为半径， 即是的切线； （2）解：①连接， 由A、D的坐标得，； 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得， 解得，， 即的半径为； ②过点作于， 在中， ， 在中，， ，， 在中， ， 由（1）得， ， ， 四边形是矩形， ． 题型04 切线的性质定理 例：如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D、C，连接，若，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了切线的性质，三角形外角性质和等腰三角形的性质．连接，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵边与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 47．如图1，中，，将扇形按图1摆放，使扇形的半径、分别与、重合，．    如图2，若不动，让扇形绕点逆时针旋转一周，连接线段、，设旋转角为． 发现：直接写出、的数量关系____________． 探究：若 （1）扇形绕到点的左侧，当时，旋转角_____________； （2）扇形绕到点的右侧，当与弧相切时，求； （3）若点是弧上任意一点，在扇形绕点逆时针转过程中，当的面积最大时，求出的度数 【答案】发现：；探究：（1）；（2）；（3）或 【分析】发现：根据，结合旋转角，证明即，即可得到； 探究：（1）根据题意画出图形，由得到，即可求出旋转角； （2）由与相切得到是直角三角形，根据勾股定理求出即可得到； （3）根据的面积乘以过点A作的高线的积的一半，故当高线恰好是时，的面积最大，由此得到的度数． 【详解】发现：，理由如下： 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴； 探究：（1）如图：   ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角； （2）解：∵与相切， ∴即是直角三角形， ∴， ∴； （3）∵点Q在上， ∴， 的面积乘以过点A作的高线的积的一半，故当高线恰好是时，的面积最大， ∴或 【点睛】此题考查全等三角形与旋转问题，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，圆的切线的性质，是一道较为综合的题型． 48．如图，线段经过圆心，交于点，，直线与切于点，则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，先根据切线的性质和三角形内角和定理求出，然后根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线与切于点， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 49．如图，是的直径，点A 在上，过点A 作的切线交的延长线于点 D， 的平分线交 于点 E，交 于点 G， 的平分线交于点 F． (1)若 ， 的半径为2，求的长； (2)求证： ； (3)求证： 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连结，根据切线的性质，得到，根据圆周角定理可得，再通过解直角三角形即可求得答案； （2）先证明，再证明，得到，最后根据等腰三角形的三线合一性质，即可证明结论； （3）先证明，得到，再证明，得到，最后代入计算，即可证得答案． 【详解】（1）解：连结， 是的切线， ， ， ， ， ； （2）证明：是直径， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ； （3）证明：连结， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，解直角三角形，圆周角定理及推论，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 50．如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连接交于点，连接，过点的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连结交于点，若的半径为，， ①求的周长； ②若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；  ② 【分析】（）根据点是的三等分点，得出，根据是的直径，可得，根据切线的性质可得，即可证明； （）如图，连接，可证，得到，再根据平行线等分线段定理可得，进而由直角三角形的 性质可得，设，则，，利用勾股定理解得，则，，证明，，进而根据相似三角形的性质即可求解；②如图，过点作于点，则，设，则，，，证明 ，得出，则，得出，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的三等分点， ∴， ∵是的直径 ， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴ （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 由勾股定理得, 即, 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，则 设，则，，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理的推论，切线的性质，平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 51．【问题提出】 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？ 【数学眼光】 如图①，设墙壁上的展品最高处点A距离地面a米，最低处点B距离地面b米，观赏者的眼睛点C距离地面m米，当过A，B，C三点的圆与过点C的水平线相切于点C时，视角最大，站在此处观赏最理想． 【数学思维】 小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点C的水平线上任取异于点C的点，连接交于点D，连接，． （1）按照小明的思路完成证明过程； 【问题解决】 （2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点A距地面3米，最低处的点B距地面米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点C与地面的距离？ （3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含a，b，m的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米 （3） 【分析】（1）由圆周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此视角最大，站在此处观赏最理想； （2）连接，，，，作于点，利用圆周角定理得到，证明为等边三角形，推出米，结合等边三角形性质得到米，再证明四边形为矩形，利用矩形的性质求解，即可解题； （3）根据等腰三角形性质结合题意得到，由（2）同理可知，四边形为矩形，结合矩形性质得到，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1）， ， ， ， 视角最大，站在此处观赏最理想． （2）连接，，，，作于点， 由题知，米，， ， ， 为等边三角形， 米， ， 米， ， 四边形为矩形， 米， 米， 距地面的距离为（米)， 即点C距地面的距离为1.2米． （3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米， 米， ，， 米， 米， 由（2）同理可知，四边形为矩形， 米， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质等知识点，解题的关键是熟练综合运用相关性质和定理． 题型05 切线的作图 例：已知：P为外一点，求作：经过点P的的切线． 作法： ①如图，连接，作线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，的长为半径作圆，交于B，C两点； ③作直线，； 所以直线，就是所求作的切线． 根据尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)如果切线，所夹的锐角为，点D为优弧上的一动点（点D不与B、C重合），求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查作图一复杂作图，过圆外一点作切线，圆周角定理等知识. （1）根据要求画出图形即可解决问题； （2）根据切线的性质以及圆周角定理解决问题即可． 【详解】（1）解：如图所示直线，就是所求作的切线， （2）解：∵，是的切线 ∴， ∴， ∴ 53．如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 【答案】D 【分析】利用圆周角性质定理，中位线性质定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行分析，从而判断出结果． 【详解】解：A、连接，   为直径， ，可得到为切线． B、过点O作，垂足为E，为以为圆的直径，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，可得到为切线． C、先用尺规过点作垂线，再以为圆心，为半径画弧交垂线于，再以为圆心，为半径画弧交圆于点，连接， ， ，可得到为切线．    D、以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，连接交圆于点，连接，如果为切线，则，必须为中点，    故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆的切线的作法，包含了圆周角的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线性质定理，相似三角形的判定与性质，熟悉性质是本题的关键． 54．下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点A在上． 求作：直线和相切． 作法：①连接，以A为圆心，长为半径作弧，与的一个交点为B（点B在点A右侧）； ②连接，以B为圆心，长为半径作圆； ③作的直径； ④作直线． 所以直线就是所求作的的切线． 根据小亮设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接． ∵， ∴． ∴点A在上． ∵是的直径， ∴ ① （ ② ）（填推理的依据）． ∴． ∵是半径， ∴是的切线（ ③ ）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理推论，正确作出图形并对作图证明，是解题的关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）补全图形，如图所示；        （2）证明：连接． ∵， ∴． ∴点A在上． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）． ∴． ∵是半径， ∴是的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 55．如图，经过格点的圆与网格线交于点． (1)在图1中，先画的中点，再将弦平移，得到弦； (2)在图2中，是格点，先画圆的切线和为切点，再画弦． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）连接，作线段垂直平分线，连接，作交圆于点即可得到答案； （2）取圆心，连接，作线段的垂直平分线交圆于，连接，再连接交于，连接并延长交圆于，连接即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 点、弦即为所求； （2）解：如图所示： 切线和、弦即为所求． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及垂直平分线的尺规作图、相等角的尺规作图、圆的性质、平行线的判定与性质等知识，熟记垂直平分线的尺规作图、相等角的尺规作图及圆的基本性质是解决问题的关键． 56．古希腊数学家欧几里得（约公元前325-公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中第3卷给出其中一个命题：如果从圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线为边所构成的正方形的面积． 命题解读：直线为的切线，直线为圆的割线，以为边构造正方形，以为边构造矩形，可得正方形的面积等于矩形的面积，由此可得． 根据以上问题，完成尺规作图并计算．                    (1)尺规作图步骤如下： ①以点B为圆心，小于的长为半径作弧，交射线于P，Q两点； ②分别以P，Q为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E； ③作射线，射线与射线交于点A； ④可得直线为的切线．请按描述完成作图； (2)依据所作图形，若以为边的正方形的面积为24，，则以为边的矩形的周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)22 【分析】本题主要考查了尺规作图、解一元二次方程等知识点，理解题意成为解题的关键． （1）根据作图步骤作图即可； （2）根据题意设，则得，；由题目知，，由此求得x的值，则可求得周长的值． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：由，设， 则，； ，， ， 解得（负值已舍去） 则以为边的矩形的周长为； 故答案为：22． 57．下面是小明设计的“过圆外一定点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，点P是外一定点． 求作：的过点P的切线． 作法： （1）连接； （2）作线段的垂直平分线，交于点C； （3）以点C为圆心，长为半径作圆，分别交于点A，B； （4）作直线，． ∴直线，就是所求作的的切线． 请根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： 使用直尺和圆规，按照上述作法完成作图（保留作图痕迹），并证明直线，是的切线． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作图、切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角等知识，准确作图和熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．按照作图步骤补全图形即可；根据切线的判定定理进行解答即可． 【详解】解：（1）连接； （2）作线段的垂直平分线，交于点C； （3）以点C为圆心，长为半径作圆，分别交于点A，B； （4）作直线，． ∴直线，就是所求作的的切线． 证明：连接，． 由作法可知，是的直径， 则， ∴，， ∴直线，就是所求作的的切线． 58．下面是小亮设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图． 已知：如图，及外一点P． 求作：过点P的的切线 作法：①连接交于点A，分别以点O，点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，点N，作直线交于点B；②以点B为圆心，的长为半径作圆，交于点D，点E；③作直线．所以直线就是所求作的的切线． (1)根据小亮设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)试说明（1）中的直线是的切线． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定．掌握圆周角定理和切线的判定方法，是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形即可； （2）连接，根据圆周角定理，得到，得到，即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． 题型06切线长定理的应用 例：如图，是半圆的直径，和是它的两条切线，切点分别为，平分． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）过作，垂足为，再由角平分线的性质得到，从而可知是半圆的切线； （）由切线长定理可知，，再由线段和差可求得的长； 本题主要考查了切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过作，垂足为， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵平分， ∴， ∴是半圆的半径， ∴是半圆的切线； （2）解：∵是半圆的两条切线，切点分别为， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆的两条切线，切点分别为， ∴． 60．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，连接，，，，在矩形中，得到，，由于，，分别与相切于E，F，G三点，得到，推出四边形，是正方形，得到，由勾股定理列方程即可求出结果． 【详解】解：连接，，，， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵，，分别与相切于E，F，G三点， ∴， ∵， ∴四边形，是正方形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 61．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 62．如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过D作交于F，由切线的性质可证四边形是矩形，，根据切线长定理得到，，则，在中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，再判断其函数图象即可． 【详解】解：过D作交于F， 与切于点A、B， ， 又， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 切于E，与切于点A、B， ，则， 在中， 由勾股定理得：， 整理为， ∴y与x的函数关系式是， y是x的反比例函数， 故选：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识． 63．已知是边长为3的等边三角形，的半径为1，是上一动点，，分别切于点，，的另一条切线交，于点，，则周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，根据垂线段最短可得，当时，最小，求出最小值为，当点D与点B（或C）重合时，最长，此时，即可得出，从而可求得l最大与是最小值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，设切于G， ∵，分别是的切线， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴周长， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，l最小，当最大时，l最大； 根据垂线段最短可得，当时，最小， ∵是边长为3的等边三角形，， ∴， 由勾股定理得：， 当点D与点B（或C）重合时，最长，此时， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，垂线段最短．根据切线长定理和切线性质、勾股定理求得，以及当时，最小，点D与点B（或C）重合时，最长是解题的关键． 64．如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理可得，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别切⊙于两点， ∴ 又∵过点作⊙的切线分别交于两点， ∴ ∵的周长为10， ∴ ∴， 故答案为：． 65．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图1，设运动时间为秒，则，由，，证明，可求，如图1，记的中点为，则在以为直径的上运动，由题意知，、均为的切线，如图1，作的切线，交于，切点为，由题意知，的最小值为，由切线长定理可知，，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图1， ∵矩形， ∴，，， 设运动时间为秒，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图1，记的中点为， ∴在以为直径的上运动， 由题意知，、均为的切线， 如图1，作的切线，交于，切点为， 由题意知，的最小值为， 由切线长定理可知，，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦为直径，切线长定理，勾股定理等知识．明确线段最小值的情况是解题的关键． 66．在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒： (1)如图1，几秒后，的面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为______．（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)2秒或4秒 (2) (3)①0或或；② 【分析】（1）由题意可知，，从而得到，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①先判断不与，相切，然后分与相切；与相切，根据半径等于构建方程求解即可． ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，，，则， ∵ ∴， 解得或， 故当运动时间为2秒或4秒时，的面积为； （2）解：如图1，设切点为，连接． ∵， ∴与相切， ∴分别与，相切， ∴． ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可得． ∴． ∵， ∴，． 在中，依据勾股定理可得，， 解得； （3）解∶①由题意知不与，相切， 当与相切时，设切点为E，连接， 则，， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得或； 当与相切时， 则， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当t的值为0或或时，正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切； ②解：（Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 得方程， 解得： （舍），， ∴当，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 题型07 三角形的内切圆 例：如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 68．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 69．在边长为的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，则该圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形的内切圆．剪下最大的圆是该三角形的内切圆，根据勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形，设该圆的半径为r，利用面积法列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意知，剪下最大的圆是该三角形的内切圆， ， 该三角形为直角三角形， 设该圆的半径为r， 则， 解得， 即该圆的半径是， 故选B． 70．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内接圆半径，令，根据选项中关系式计算比较判断即可． 【详解】解：为直角三角形， 令． 选项A：，选项B：，选项C：，选项D：， 只有D选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是D选项， 故选：D． 71．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ，，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ．， ， （） 解得：． 即的直径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 72．中，，点是内心，那么 ． 【答案】/124度 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 73．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 74．如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理、三角形外角与内角的关系．首先连接、、，根据三角形内切圆的性质可知：，，平分，平分，在中，，根据，可以求出，从而可以求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 是的内切圆， ，，平分，平分， ， ， ，， 在中，， ， 又， ， 是的外角， ， ． 故答案为：． 75．如图，已知是的内切圆． （1）若，，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是三角形的内切圆的性质，作出过切点的半径是解本题的关键； （1）如图，记，与切于点，，可得，，，再利用三角形的面积公式计算即可； （2）证明，， ，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1）如图，记，与切于点，， ∴，，， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， 是的内切圆， ， ， ， 故答案为：，． 76．如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．    （1）外接圆的直径的最小值是 ； （2）内切圆的半径的最大值是 ． 【答案】 / /0.2 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键． （1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解； （2）令，，,内切圆半径为，则，由相似三角形可得，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，进而即可求解 【详解】解：（1）为直角三角形， 外接圆直径为斜边的长， 当时，作为外接圆的直径最小，如图， ，，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：    （2）令，，,内切圆半径为，则 ，， ， ，， ， ，即， ∴， ，即最小时，r最大， 作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 77．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，内切于，反比例函数的图象经过点P，交直线于点C，D（C在点D的左侧）． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B两点的坐标，由勾股定理则可求得；设圆P的半径为R，由内切圆的性质得；由求得R的值， 从而求得点P的坐标，再代入反比例函数解析式中即可求得函数解析式； （2）联立一次函数与反比例函数两个解析式，求得C、D的坐标，从而得点E的坐标，则可求得的长． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B， 令，即，得；令，得， ∴， ∴由勾股定理得：， 设圆P的半径为R， ∵内切于，设分别切x轴、y轴于点E、F， 平分，， ， ∴四边形是正方形； ∴； ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：联立方程组得， 解得或， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内切圆，待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标轴交点，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握这些知识是关键． 78．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【答案】(1)剩余步骤见解析，的内切圆的半径为 (2)1 【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解题的关键． （1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出，再根据计算的内切圆的半径； （2）先利用勾股定理求出，进而求出的周长的一半和，根据即可求出的内切圆的半径，再证四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）解： ， 又的周长的一半， 的内切圆的半径． （2）解：如图，连接和， 在中，， ， 设，p为的周长的一半， 则，， 的内切圆的半径． ； 又为的内切圆， ，， ， 四边形是正方形， ． 故答案为：1． 题型08 切线的性质与判定的综合应用 例：在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)当t为2秒或4秒时，的面积等于． (2)①当或或或或时，与四边形的一边相切．②当时，与四边形有四个交点． 【分析】（1）根据题意得，，由此根据三角形面积公式建立方程求解即可； （2）①由题意可知圆Q与不相切．如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．此时与相切；如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接，结论方程即可，当正好与四边形的边相切时，如图3所示．建立方程即可．如图4，当重合，重合，同理可得：此时，与相切，②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点．由①可得，此时，如图，当过时，连接，可得，（舍去）．可得当时，与四边形有四个交点． 【详解】（1）解：∵当运动时间为t秒时，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积等于， ∴． ∴． 解得：，． 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于． （2）解：①由题意可知圆Q与不相切． 如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合． ∵， ∴． ∴． ∴为圆Q的切线． 此时与相切； 如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接， 此时四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， 当正好与四边形的边相切时，如图3所示． 由题意可知：． 在中，由勾股定理可知：，即． 解得：，（舍去）； 如图4，当重合，重合， 同理可得：此时，与相切， 综上所述可知当或或或时，与四边形的一边相切． ②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点； 如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点． 由①可得，此时， 如图，当过时，连接， 由题意可知：． 由勾股定理可知：，． ∵， ∴，即． 整理得：． 解得：，（舍去）． ∴当时，与四边形有四个交点． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理，一元二次方程的解法，根据题意画出图形是解题的关键． 80．如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若交直线于点D，交于另一点F． ①求证：； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②5 【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题． （2）①连接，想办法证明即可解决问题． ②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，． 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 是的切线； （2）①证明：连接． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． ②解：，， ， ， ，，， ，设， 在中，， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 81．如图①，在矩形中，对角线相交于点O，点A关于的对称点为，连接交于点E，连接 ． (1)求证：． (2)如图②，以点O为圆心，长为半径作圆，与相切．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，根据四边形是矩形，得出，从而，从而得出； （2）设与切于点F，连接，并延长交于点G，可证得，从而得出，进而得出，从而． 【详解】（1）证明：∵点A关于的对称点为， ∴，， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴； （2）证明：如图2，设与切于点F，连接，并延长交于点G， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 由（1）知： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）知： ∴，即， ∴ 【点睛】本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 82．如图，在中，，，． (1)求、的长； (2)点从点出发，沿着方向以个单位长度秒的速度匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向也以个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为秒以为圆心，长为半径的与、的另一个交点分别为、，连结，． ①当为何值时，点与点重合？ ②若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)6，10 (2)①；②或 【分析】本题为圆的综合题，涉及到圆与直线的关系、三角形相似等知识点． （1）在中，，，即可求解； （2）①利用、，即可求解； ②分与圆相切、两种情况，求解即可． 【详解】（1）在中，，， ， ， ∴； （2）①，， 是圆直径， ， ， ∴， ，即：， ， 当与重合时，， ， 解得； ②当与圆相切时，， ， ，， ，， ∴， ，即：， ； 当时，圆与只有一个交点， 当时，、重合，由（1）知：， 时，圆与线段只有一个交点， 故：当圆与线段只有一个交点，的取值范围为：或． 83．如图，在中，，，以点为圆心，2为半径画圆，过点作的一条切线，切点为，连接．将绕点按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为． (1)当弧的长为时，求的度数，并求出此时线段扫过的面积； (2)如图，当时，求证：是的切线； (3)直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由弧长公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案； （2）由是的切线，可得，证明，则，即，进而结论得证； （3）由勾股定理得，，如图3，过作，交圆于，如图所示，根据的最大值与最小值的差为，计算求解即可． 【详解】（1）解：的半径是，弧的长为， ，解得； 线段扫过的面积； （2）证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：由勾股定理得，， 过作，交圆于，如图所示： ∴的最大值与最小值的差为， ∴的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等知识．熟练掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 84．如图，过上的动点作的切线，在上取点（异于点），使得，弦，连接交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)记，；的面积分别为，，，当时，求的值； (3)设的半径为，当时，求四边形的面积．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)． 【分析】（1）如图，连接、，，由切线的性质得，由，，得，，从而得，进而根据切线的性质定理即可证明结论成立； （2）证明，得，进而得，又，得，求解一元二次方程得，或（舍去），从而得，于是即可得解； （3）连接并延长交于，交于，连接，，，，证明，得，进而得，再证，得，，得，，得，从而，得，进而证明，，，在和中，利用勾股定理求解得，，，从而即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接、，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵和等高， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍去） ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：连接并延长交于，交于，连接，，，， ∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， 由得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定及性质，切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，线段垂直平分线的判定，熟练掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 85．如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若是中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质可知．证明得出，即，说明是圆O的切线； （2）证明得出，整理得； （3）设，则．由勾股定理求出x的值，得出．由，可设，则，，即可求出，从而得出，解出y的值，即可求出，即半径为．由直角三角形斜边中线的性质得出，结合等边对等角，得出，进而可证，得出，代入数据，即可求出，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与圆相切于点， ，即， ， ， ，即， 是圆的切线； （2）证明：， ． ， ． 又， ， ， ； （3）解：， ， 设，则． ， ， 解得：舍去负值， ． ， ， 设， 则， ， ， 解得：， ，即半径为． 是中点， ， ． ， ， ， ， ，即， 解得：， ． 【点睛】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． 试卷第2页，共118页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$