第10讲 确定圆的条件（3考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第10讲 确定圆的条件 课程标准 学习目标 ①了解三角形的外心； ②能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆． 1．掌握确定一个圆的条件，能画出三角形的外接圆； 2．会求出特殊三角形的外接圆的半径． 知识点一：确定圆的条件 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆； (2)经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 【即学即练】 1．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 2．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 4．如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 5．已知点，和线段（如图）．求作，使过点，，且半径为．这样的圆能作几个？ 知识点二：外心、外接圆 (1)经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心； (2)三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等； 【即学即练】 6．下列说法：①三点确定一个圆；②每一个三角形都确定一个外接圆；③三角形的外心在其外部；④经过两个定点的圆的圆心在一条定直线上．其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 9．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（   ）． A．三角形的外心在三角形外 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．等腰三角形的外心在三角形内 10．如图，已知点O是的外心，连接OA，OB，OC，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 知识点三：三角形外接圆的尺规作图 三角形的外接园的圆心是三边的垂直平分线的交点． 【即学即练】 11．按要求作图． (1)作的外接圆；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)是外的一点，以为旋转中心，将按顺时针方向旋转90度，作出经旋转后的图形，（尺规和量角器作图，保留作图痕迹，不写作法） 12．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，作的外接圆； （2）若是等边三角形，．则的外接圆的半径为__________． 13．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点C是的边上的一点，求作，使它经过O、C两点，且圆心在的平分线上． 结论： 14．如图，中，． (1)试用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求出的半径． 题型01 求外接圆的坐标 例：如图，平面直角坐标系中，点，，作过点、、的圆． (1)依题意补全图形； (2)圆心坐标为_____； (3)若点为圆上任意一点（不与、点重合），则的度数为_____． 16．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，则外接圆的圆心坐标是 ． 18．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，若的三个顶点都在格点上，则的外心坐标为 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 21．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 题型02 求外接圆的半径 例：在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 23．在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 24．方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 25．在中，，，则面积的最大值为 ． 26．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； (2)在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． (3)的外接圆半径长 ． 27．如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 28．如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 29．（1）如图，已知三角形，，. ①，_______ ②，_______ （2）正弦定理证明_； （3）在中， ①_______； ②当时，的最大值为_______. 题型03 三角形的外心与三角形的形状的关系 例：如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 31．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 33．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 34．在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 35．已知O为的外心，，则 36．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 37．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 题型04三角形外接圆的综合问题 例：按照下列要求作出图形(不写作法，保留作图痕迹) (1)尺规作图：将图1中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内．请仅用无刻度的直尺画出图2中的圆心O． 39．如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． (1)设．若点E是边的中点，且．求的值； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； (3)如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 40．如图，在正方形中，线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点使得，取线段的中点，连接、、． (1)求证：； (2)如图（2），当恰好是中点时，求证：； (3)在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； (4)若，在旋转过程中，请直接写出的面积最大值． 41．和为圆上两定点，为圆上不与重合的动点．的垂心为点为中点，连交于．连． （1）直接写出与的位置关系； （2）探究和的数量关系，并证明； （3）直接写出点和点在运动过程中所经过距离的比； 【思考题】以为例证明：三角形的内心、外心、重心共线． 42．已知菱形的边长为1，，等边两边分别交、于E，F． (1)如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心； (2)如图2，当E，F分别是边、的中点时，过等边的外心点O的一直线交边于M，边于G，边的延长线于N，求：的值； (3)如图3，若点E，F始终在边，上移动，等边外心为P，求：的度数． 43．如图，为等边三角形的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连接． (1)求的长； (2)求证：是的平分线； (3)当时，求的长； (4)若点M、N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______． 44．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作顺；若逆时针旋转，记作逆． 例如：如图①，先将绕点B逆时针旋转，得到，再将以点B为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作逆． (1)如图②，经过顺得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过逆得到，经过顺得到，连接．求证：四边形AFDE是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形，请直接写出的长． 45．（1）如图①，在中，，，则外接圆的半径为______； （2）如图②，在四边形中，连接，，，，，点是上一动点，连接，求的最小值； （3）弓形是一个人工湖，其示意图如图③所示，弓形是由弦和劣弧组成，、是两座石桥，交于点，点在上，点在上，，，点是的中点，点到的距离为，．现要对这个人工湖进行扩建，在的上方扩建，点是所在圆的圆心，设计师计划沿线段修建木制小桥，点在上，，动点分别在上，设计师测得．为节约成本，要求修建的木制小桥的总长尽可能的短（即最短），问的值是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的长；若不存在，请说明理由． 46．【问题提出】 (1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】 (2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 47．【问题提出】 （1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】 （3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    48．如图①，点D为上方一动点，且． (1)在左侧构造，连接，请证明； (2)如图②，在左侧构造，在右侧构造，连接求证：四边形是平行四边形； (3)如图③，当满足，，．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形； （Ⅰ）求证：四边形是矩形； （Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段的最大值． 49．如图，在中，，，点在的延长线上，连接． (1)如图，当，时，求的长； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：； (3)如图，在第（）问的条件下，取的中点，点为线段上的一动点，连接，将沿HQ翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积． 50．如图①是一个边长为的等边三角形，点、分别是边、上的动点（点从点向点运动，点从点向点运动），且．连接、，线段、相交于点．    (1)线段、有怎样的大小关系？请证明你的结论； (2)我们发现：点不是一个定点，随着点、的运动，交点的位置也在改变． 请完成下面两个问题： 问题：观察、测量、猜想是否为定值？如果是请直接写出的度数； 问题：尺规作图，在图②作出点运动的轨迹（包括点与点）； (3)过点作的垂线（如图③），垂足为点，当点从点运动到点，点从点运动到点时，求出点运动的路径长； (4)再过点作的垂线（如图④），垂足为点，根据以上证明、作图、猜想，请探究的最小值（直接写出结论，不必说明理由）． 试卷第76页，共76页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 确定圆的条件 课程标准 学习目标 ①了解三角形的外心； ②能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆． 1．掌握确定一个圆的条件，能画出三角形的外接圆； 2．会求出特殊三角形的外接圆的半径． 知识点一：确定圆的条件 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆； (2)经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 【即学即练】 1．过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 2．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键． 【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆， ∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个， 故选：A． 4．如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可． 【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：B． 5．已知点，和线段（如图）．求作，使过点，，且半径为．这样的圆能作几个？ 【答案】作图见解析，这样的圆能作1个或2个 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，解答本题的关键是熟练掌握五种基本作图方法，分，当，三种情况，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交的垂直平分线于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求． 【详解】解：当时，则为的弦，如图所示，为所求： 故这样的圆能作2个； 当时，则为的直径，如图所示，为所求： 故这样的圆能作1个； 当时，点，不能同时在上； 则不能作出这样的； 综上，这样的圆能作1个或2个． 知识点二：外心、外接圆 (1)经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心； (2)三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等； 【即学即练】 6．下列说法：①三点确定一个圆；②每一个三角形都确定一个外接圆；③三角形的外心在其外部；④经过两个定点的圆的圆心在一条定直线上．其中假命题的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是定圆的条件，三角形的外接圆与外心，掌握确定圆的条件、三角形的外心是各边垂直平分线的交点是解题的关键． 根据确定圆的条件、三角形的外心的概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故①说法错误； ②三角形有且只有一个外接圆，故②说法正确； ③三角形的外心是各边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边上，钝角三角形外心在三角形外部，故③说法错误； ④经过两个定点的圆的圆心在连接两定点的线段垂直平分线上，即在一条定直线上，故④说法正确； 故正确的有②④，共两个， 故选：B． 7．下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④． 【详解】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题； ②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题； ③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题； ④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题． ∴真命题只有1个， 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 9．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（   ）． A．三角形的外心在三角形外 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．等腰三角形的外心在三角形内 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心的性质逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的外心的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、三角形的外心可能在三角形内部，也可能在三角形外部，还可能在斜边上，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故原说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三个顶点的距离相等，故原说法正确，符合题意； D、等腰钝角三角形的外心在三角形外部，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 10．如图，已知点O是的外心，连接OA，OB，OC，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由点O是的外心，可得，根据等腰三角形的性质知，因此可求出，再根据圆周角定理即可得到结果． 【详解】点O是的外心， ， ， ， 由题意可知是的圆周角，是的圆心角， ， 故选：C． 知识点三：三角形外接圆的尺规作图 三角形的外接园的圆心是三边的垂直平分线的交点． 【即学即练】 11．按要求作图． (1)作的外接圆；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)是外的一点，以为旋转中心，将按顺时针方向旋转90度，作出经旋转后的图形，（尺规和量角器作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，三角形的外接圆与外心，旋转作图． （1）分别作和的垂直平分线交于点，再以为圆心为半径画圆即为的外接圆； （2）分别画出，，按顺时针方向旋转90度后的对应线段，，，再连接三角形即可． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）如图，即为所求： 12．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，作的外接圆； （2）若是等边三角形，．则的外接圆的半径为__________． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）分别作，的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求； （2）连接，，设的垂直平分线交于点E，首先求出，然后得到，根据垂直平分线的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，作，的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作，即为所求． （2）如图所示，连接，，设的垂直平分线交于点E ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的垂直平分线 ∴， ∴， ∴ ∴，负值舍去． ∴的外接圆的半径为． 【点睛】本题考查了作三角形的外接圆，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，含角直角三角形的性质和等边三角形的性质等知识，掌握基本作图是解题的关键． 13．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点C是的边上的一点，求作，使它经过O、C两点，且圆心在的平分线上． 结论： 【答案】见解析 【分析】本题考查基本作图，首先作出的角平分线，再作出的垂直平分线，两线的交点就是圆心，再以为圆心，长为半径画圆即可．掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键． 【详解】解：如图所示： 14．如图，中，． (1)试用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，做外接圆，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）做其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任何一顶点的距离为半径作圆； （2）连接交于D，连接，先在三角形中求出的值，然后在三角形中，用半径表示，根据勾股定理求出半径． 【详解】（1）解：如图，分别作，的垂直平分线，交于点O，以O为圆心为半径画圆，即为所求； （2）如图，连接交于D，连接． ， ，． 在中， ， 设，则， 在中，由， 得， 解得． 题型01 求外接圆的坐标 例：如图，平面直角坐标系中，点，，作过点、、的圆． (1)依题意补全图形； (2)圆心坐标为_____； (3)若点为圆上任意一点（不与、点重合），则的度数为_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线的性质． （1）根据的外接圆圆心为的外心，易得圆心在线段，的垂直平分线上，即可作图； （2）由（1）知，圆心在线段的垂直平分线上，设，由，即可求解； （3）由勾股定理及其逆定理可得，，分两种情况讨论：点在劣弧上；点P在优弧上；根据圆周角定理求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示； （2）点M在线段的垂直平分线上，，， ， 设， ，， ，即， ， ， 故答案为：； （3）由（2）得，， 连接，， ， ， ， 则， ， 如图，点P在优弧上时， ， ； 点在劣弧上时， ，，，四点共线，， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 16．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 17．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，则外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由于是直角三角形，根据直径所对的圆周角为直角，可得外接圆的圆心是斜边的中点，再利用中点坐标公式即可得解． 【详解】解：∵是直角三角形，, ∴外接圆的圆心是斜边的中点， ∵点A、B的坐标分别为和， ∴外接圆的圆心坐标是， 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点，的坐标分别是，， ∴ ∴是直角三角形， ∵是的外接圆， ∴ ∴在上，且为的中点 ∴， 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系中，若的三个顶点都在格点上，则的外心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、两点间的距离公式，假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为，设点，由三角形外接圆的性质得，得出，求出的值，即可得出答案． 【详解】解：假设的外接圆的圆心为点，则点必在线段的垂直平分线上，即点的纵坐标为， 设点， 由图可得：，， 由三角形外接圆的性质得， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，点、、，    (1)利用网格线画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D（保留作图痕迹）；D点的坐标为________； (2)的半径为________，的度数为________； (3)点M是第一象限网格中的一个格点，当时，点M的坐标为________． 【答案】(1)画图见解析， (2)， (3)（答案不唯一） 【分析】（1）如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，再进一步可得答案； （2）利用勾股定理分别求解圆的半径，再判断为直角三角形即可； （3）分别求解直线，的解析式，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，作，的垂直平分线，交于点，    ∴即为所求，； （2）解：∵，，， ∴；，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵， ∴设直线为， ∵， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 当时，， ∴当点M是第一象限网格中的一个格点时，或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，一次函数的应用，坐标与图形，掌握以上基础知识是解本题的关键． 21．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求：    （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 题型02 求外接圆的半径 例：在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．5 B．10 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键．先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【详解】解：在中，，，， 斜边， 这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 23．在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，则的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，在中，利用勾股定理可得，然后利用三角形的中位线定理可得：，，，从而利用平行线的性质可得，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】如图： ∵，，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点D，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴外接圆半径， 故答案为：． 24．方程的两个根是直角三角形的两边边长，则这个直角三角形的外接圆半径为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，掌握直角三角形外接圆半径的求法是解题的关键． 先解一元二次方程求出直角三角形的两边边长，然后分两种情况求出斜边，最后利用直角三角形外接圆半径是斜边的一半求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 则或， 解得 ． ∵方程的两个根分别是直角三角形两边边长， 当是两直角边长时， 则斜边长为， 这个直角三角形的外接圆半径为， 当是斜边边长时， 则另一条直角边长为， 则这个直角三角形的外接圆半径为， 故答案为：或． 25．在中，，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接、，过点O作于H，则，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质得出、得出当边上的高最大时，的面积最大，则边上的高的最大值为，然后根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、，过点O作于H，则， ∵，， ∴由圆周角定理得：， ∴，， ∴， 当边上的高最大时，的面积最大， 由题意可知，边上的高的最大值为：， ∴面积的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质等知识，掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； (2)在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． (3)的外接圆半径长 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，； (3) 【分析】本题考查了作图——旋转变换，旋转的性质，坐标两点的距离公式，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）①根据旋转的性质作图即可；②根据旋转的性质作图即可； （2）设旋转中心为，由旋转的性质可知，，，，结合坐标两点的距离公式，求出、值，即可得到旋转中心坐标，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，证明，得到，进而得出，从而推出，即可得到旋转角的度数； （3）由直角坐标系可知，是等腰直角三角形，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作； ②如图，即为所求作； （2）解：设旋转中心为， 由旋转的性质可知，，，， 由（1）可知，，，，， ，， 整理得：，， 解得：，， 旋转中心坐标为， 如图，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点， 则，，， ，， ， ， ， ， ，即旋转角的度数为， 故答案为：，； （3）解：由直角坐标系可知，是等腰直角三角形， 的外接圆半径长等于斜边的一半， ，， ， 的外接圆半径长是． 27．如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 28．如图，在中，，，，是的角平分线，过，，三点的圆与斜边交于点，连接． (1)求证：； (2)求外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）观察图形可以看出和这两条边分别在和两个三角形中，所以只要证明就可以解答． （2）用上述的结论，可推出的长，再证得，运用相似三角形的性质可得．从而可求得，即可求得．再由勾股定理求得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， 为直径， ． 是的角平分线， ． 在和中， ， ， ； （2）解：在中，，，， ． ，， ． ， ． ，， ， ． ，，，， ， ． 在中，，，， ， 的外接圆的半径为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 29．（1）如图，已知三角形，，. ①，_______ ②，_______ （2）正弦定理证明_； （3）在中， ①_______； ②当时，的最大值为_______. 【答案】（1）①，②；（2）证明见详解；（3）①60，② 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，圆周角定理，三角形的外接圆的性质，对于“定弦定角”类问题，构造外接圆是解题的关键． （1）过点作于点，①②中解直角三角形即可求解； （2）作的外接圆记为，连接并延长交于点，连接，中的对边分别记为，记半径为，由圆周角定理得，，在中，，则，即，后面同理可得，，即可证明； （3）①过点作于点，在中，求得，而，故，因此在中，，故可求；②构造的外接圆，记为，过点A作于点H，过点作的垂线交于点，则，当点A与点F重合时，面积最大，解三角形得和，则，因此． 【详解】解：（1）①过点作于点， ∴在中，，， 在中，，， ②过点作于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵ ∴， 解得：， 故答案为：，； （2）证明：作的外接圆记为，连接并延长交于点，连接， 中的对边分别记为，记半径为， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴ 同理可证明：，， ∴，， ∴； （3）①过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：60； ②构造的外接圆，记为，过点A作于点H，过点作的垂线交于点， 则， ∴当点A与点F重合时，面积最大， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 题型03 三角形的外心与三角形的形状的关系 例：如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 31．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为（　　）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置． 【详解】解：∵的外心为O， ∴， ∵， ∴， ∵B、C是方格纸格线的交点， ∴B、C的位置如图所示，    ∴． 故选：D． 32．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．根据图形作线段的垂直平分线，与的垂线平分线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图： 作线段的垂直平分线，与的垂线平分线交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 33．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点，，，，，，在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【详解】解：根据图形可知，直线是的边上的中垂线，点F在的边上的中垂线上， ∴点F是外心． 故选：C． 34．在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圆与外心是解题的关键． 根据题意画出图形，使，，点在射线上，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得的长，再由和的长作比较即可判断甲乙；由和的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可以在的上、下两侧，即可判断丙． 【详解】解：如图，，，点在射线上，作于点， ， ， 不存在的，故甲不符合题意； ，，， 而， 存在的，使得的长唯一成立，如上图中的点即是，故乙符合题意； ，， 当的外接圆半径为4时， 如图， ， ， ， ， 存在两个使的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在的上、下两侧，故丙不符合题意； 综上所述，只有乙符合题意． 故选：B． 35．已知O为的外心，，则 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．分圆心与点在的同侧和圆心与点在的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长交于点，连接，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论． 【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图， ； 当圆心与点在的两侧时，如图， 延长交于点，连接， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ． 综上，或． 故答案为：或 36．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 37．若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或． 题型04三角形外接圆的综合问题 例：按照下列要求作出图形(不写作法，保留作图痕迹) (1)尺规作图：将图1中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心； (2)如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内．请仅用无刻度的直尺画出图2中的圆心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，圆的对称性，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）尺规作、的垂直平分线交点即为圆心，再以为半径，圆心画圆即可把破轮子复原； （2）延长交圆于点H，延长交圆于点M、N，连接、并延长，交于点E，连接、交于点F，延长交圆于点G，连接，连接并延长，交于点O．理由为：由和圆周角定理可得，得到，结合可得，则，可得垂直平分弦，即过圆心，再由圆周角可得为直径，则与的交点即为圆心O． 【详解】（1）图1中的破轮子复原后图形及该轮的圆心如图： （2）圆心O如图： 39．如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． (1)设．若点E是边的中点，且．求的值； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； (3)如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)①，，②见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的相似的判定定理与性质得到，代入a，b值并化简即可得出结论； （2）①利用线段的中点的定义，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； ②利用①中的方法类比解答即可； （3）利用矩形的对角线即可得到该圆的圆心，再利用（2）中的方法找到的中点M，过O，M画直线即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴． ∴， ∴点M是的中点； ②证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点M是的中点； （3）解：①．连接，与交于点O．则点O为圆心， ②．在边上任意取一点E，连接并延长交的延长线于点F，连接交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ③．过点O，M作直线，交圆于点Q，H，则线段为垂直于的一条直径．如图， 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的性质，线段的中点的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确理解题干中的结论并熟练运用是解题的关键． 40．如图，在正方形中，线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点使得，取线段的中点，连接、、． (1)求证：； (2)如图（2），当恰好是中点时，求证：； (3)在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； (4)若，在旋转过程中，请直接写出的面积最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据正方形的性质和等腰三角形的性质得到，然后根据证明即可； （2）根据可得，，然后证明，，可得是平行四边形，即可得到，然后根据勾股定理解题； （3）根据即可得到结论； （4）连接和交于点O，连接交于H，则可知点G在以为直径的圆上运动，即当时，的面积最大，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵G是的中点， ∴，， ∴点G在的垂直平分线上， 又∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴， 又∵， ∴， 又∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴是平行四边形， ∴， ∴； （3）解：，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴； （4）如图，连接和交于点O，连接交于H， 则， 又∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动，即当时，的面积最大，这时 ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 41．和为圆上两定点，为圆上不与重合的动点．的垂心为点为中点，连交于．连． （1）直接写出与的位置关系； （2）探究和的数量关系，并证明； （3）直接写出点和点在运动过程中所经过距离的比； 【思考题】以为例证明：三角形的内心、外心、重心共线． 【答案】（1）；（2）；（3）点和点在运动过程中所经过距离的比为；思考题：见解析 【分析】（1）根据垂心的定义以及垂径定理，即可证明结论成立； （2）作的直径，连接，，可证明四边形是平行四边形，结合三角形中位线定理得到，再证明，即可求得； （3）作点关于直线的对称点，则点的运动轨迹为，再得到点的运动轨迹为以为直径的圆；据此求解即可； 思考题：同（2）即可证明三角形的内心、外心、重心共线． 【详解】解：（1）， ∵点为的垂心， ∴， ∵点为的外心，点为中点， ∴， ∴； （2）作的直径，连接，， ∵点为的垂心， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作点关于直线的对称点，则点的运动轨迹为，与是等圆； 当点在直线的垂直平分线上时，点的运动轨迹为以为直径的圆； 设的半径为，则的半径为， ∴点的运动距离为； 由（2）知，， ∴， ∴点的运动距离为， ∴点和点在运动过程中所经过距离的比为； 思考题：如图，点为的垂心，点为的外心， 作的直径，连接，， ∵点为的垂心， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为的重心， ∴三角形的内心、外心、重心共线． 【点睛】本题考查了圆内接三角形的性质，垂径定理，垂心和重心的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 42．已知菱形的边长为1，，等边两边分别交、于E，F． (1)如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心； (2)如图2，当E，F分别是边、的中点时，过等边的外心点O的一直线交边于M，边于G，边的延长线于N，求：的值； (3)如图3，若点E，F始终在边，上移动，等边外心为P，求：的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接、，由四边形是菱形，得出，平分，，又由、分别为、中点，证得，即可得证； （2）连接、交于点，设，，则，易证，得出，，再通过，得出，进而求出的值； （3）连接、，过点分别作于，于，求出的度数，又由点是等边的外心，易证，可得，即点在的平分线上，即点落在直线上，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接、， 四边形是菱形， ，平分，，， ， 又、分别为、中点， ，，， ， 点即为的外心． （2）解：如图2，连接、交于点，设交于点， 设，，则， ， ，， 又由（1）知， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 即． （3）解：如图3，分别连接、，过点分别作于，于， ， ， ， 点是等边的外心， ，， ， ， ， ， 点在的平分线上，即点落在直线上， ． 【点睛】此题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，菱形的性质等知识． 43．如图，为等边三角形的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连接． (1)求的长； (2)求证：是的平分线； (3)当时，求的长； (4)若点M、N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，易得，设，三线合一求出的长，进而表示出的长，再在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据等边三角形的性质，圆周角定理，得到，即可得证； （3）过点作，解非直角三角形，求出得长即可； （4）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，易得，得到的周长，过点作，得到，进而得到当最大时，的长最大，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，连接， ∵为等边三角形的外接圆，半径为4， ∴， ∴， 设，则：，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：或（舍去）； ∴； （2）∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线； （3）过点作， 由（1）可知：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴； （4）作点关于的对称点，关于的对称点，连接， 则：，， ∴，即：， ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最小，， ∴当最大时，最大， 过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵是的一条弦， ∴当为直径时，最大，为， ∴的最大值为，即：的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段最短问题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 44．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作顺；若逆时针旋转，记作逆． 例如：如图①，先将绕点B逆时针旋转，得到，再将以点B为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作逆． (1)如图②，经过顺得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过逆得到，经过顺得到，连接．求证：四边形AFDE是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法．并求出的长． 【详解】（1）解：如图1， 1．以B为圆心，为半径画弧，以C为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点D，分别以A，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点E， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：∵和位似，与位似， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图2， 证明：由上知：，， ∴，，，， ∴， 要使是正方形，应使，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的位似，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解决问题的关键，需要较强的分析能力． 45．（1）如图①，在中，，，则外接圆的半径为______； （2）如图②，在四边形中，连接，，，，，点是上一动点，连接，求的最小值； （3）弓形是一个人工湖，其示意图如图③所示，弓形是由弦和劣弧组成，、是两座石桥，交于点，点在上，点在上，，，点是的中点，点到的距离为，．现要对这个人工湖进行扩建，在的上方扩建，点是所在圆的圆心，设计师计划沿线段修建木制小桥，点在上，，动点分别在上，设计师测得．为节约成本，要求修建的木制小桥的总长尽可能的短（即最短），问的值是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在最小值，最小值为，此时的长为 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长度，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可得出答案． （2）连接，由图可得，的最小值即为的长，过点作于点，过点作交的延长线于点，进而可得四边形是矩形，勾股定理求得的长，即可求解； （3）过点作于点，点在的延长线上，设点的位置如图所示，连接，设所在的圆的半径为，在中，勾股定理得出，证明垂直平分线段，连接，分别交于点连接则，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，即分别在的位置时，的最小值为，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∴外接圆的半径为 （2）连接，由图可得 ∴的最小值即为的长， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即的最小值为； （3）过点作于点，点在的延长线上，设点的位置如图所示，连接 ∵点是的中点， ∴， 设所在的圆的半径为 在中， 即 解得： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴垂直平分线段 连接，分别交于点连接则， ∴ 根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，即分别在的位置时，的最小值为， 根据圆周角定理可得 ∵ 在中，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴ ∴ ∴的最小值存在，此时的长为． 【点睛】本题主要考查勾股定理及直角三角形外接圆半径，两点之间线段最短，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识，线段的转化，是解题的关键． 46．【问题提出】 (1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____ 【问题探究】 (2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解； （2）延长到使得，连接，证明，，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，得出，过点作于，作于，则四边形是矩形，则，得出当的面积最小时，的面积最小；作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，当最小时，的面积最小，进而求得当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵等边的边长为， ∴，， ∴ 又∵， ∴的面积为， 故答案为：． （2）如图所示，延长到使得，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ∠， ， ， ， 又， ， ，， 又， ； （3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到， ，， ， ， 过点作于，作于，则四边形是矩形， ， ， ， 当的面积最小时，的面积最小； 如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于， 设， ， ， ，， ， 当最小时，的面积最小， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为米， 平方米 存在一个面积最小的，其最小值为平方米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键． 47．【问题提出】 （1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长； 【问题解决】 （3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．    【答案】（1）；（2）；（3）种植花卉的最少费用为元；草坪的最少费用为元 【分析】（1）过点作于点，进而可得，，解，即可求解； （2）作的外接圆交于点，连接，得出，证明，根据即可求解． （3）将绕点顺时针旋转得到，根据是等腰梯形，，，得出，作的外接圆，连接，则当最小时，种植花卉的面积最小，即当重合时，即为的直径时，最小，进而求得种植花卉的最少费用，当面积最大时，则四边形面积最小，当重合时，最大，则最大，进而求得最大值，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示， 过点作于点，    ∵是的外心， ∴， ∵， ∴ 即外接圆的半径为 （2）如图所示，作的外接圆交于点，连接，    ∵四边形是矩形， ∴ ∴是直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ 设，则， ∵，，， ∴ ∵ ∴ 解得：或（负值舍去） ∴ （3）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，    ∴ ∴ ∵梯形，，，， ∴是等腰梯形，， ∴ ∴在直线上， ∴ ∵， ∴ 作的外接圆，连接， ∴ ∴， 而 ∴当最小时，种植花卉的面积最小， ∴当重合时，即为的直径时，最小， 此时 ∴平方米． ∵种植花卉每平方米元， ∴种植花卉的最少费用为元； ∵在四边形内部种植草坪， 即当面积最大时，则四边形面积最小， ∵在上， ∴当重合时，最大，则最大 此时，如图所示，    ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴到的距离相等， 设 ∵ ∴ ∵，， 在中， ∴ ∵是等腰梯形， ∴ ∴ ∴平方米． ∵种植草坪每平方米元， ∴种植草坪的最少费用为元； 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 48．如图①，点D为上方一动点，且． (1)在左侧构造，连接，请证明； (2)如图②，在左侧构造，在右侧构造，连接求证：四边形是平行四边形； (3)如图③，当满足，，．运用（2）中的构造图形的方法画出四边形； （Ⅰ）求证：四边形是矩形； （Ⅱ）直接写出在点D运动过程中线段的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【分析】（1）根据题意得，，进而可得，即可求证； （2）分别证、，即可求证； （3）（Ⅰ）由（1）（2）可得，即可推出，即可求证；（Ⅱ）作的外接圆，圆心为O，可得，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， （2）证明：由（1） ∵， ∴，， ∴， 由（1）同理可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：（Ⅰ）由（1）（2）可得 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形 （Ⅱ），理由如下： 由（Ⅰ）得 作的外接圆，圆心为O ∵ ∴ ∴圆心O为定点，且半径 ∴ 求得 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形以及矩形的判定、三角形与圆的综合问题，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 49．如图，在中，，，点在的延长线上，连接． (1)如图，当，时，求的长； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：； (3)如图，在第（）问的条件下，取的中点，点为线段上的一动点，连接，将沿HQ翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）作于，可得，解直角三角形即可求解； （）作于，连接，在上截取，可得，可推出四点共圆，得到，，进而可得，得到，又根据，可得，即可求证； （）由折叠可得，从而推出点在以为圆心，为半径圆上运动，进而得到当与相切时，最大，此时，作于，求得，根据，可得，得到，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图， 作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图， 作于，连接，在上截取， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：如图， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以为圆心，为半径圆上运动， ∴当与相切时，最大，此时， 作于，由()知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，折叠的性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 50．如图①是一个边长为的等边三角形，点、分别是边、上的动点（点从点向点运动，点从点向点运动），且．连接、，线段、相交于点．    (1)线段、有怎样的大小关系？请证明你的结论； (2)我们发现：点不是一个定点，随着点、的运动，交点的位置也在改变． 请完成下面两个问题： 问题：观察、测量、猜想是否为定值？如果是请直接写出的度数； 问题：尺规作图，在图②作出点运动的轨迹（包括点与点）； (3)过点作的垂线（如图③），垂足为点，当点从点运动到点，点从点运动到点时，求出点运动的路径长； (4)再过点作的垂线（如图④），垂足为点，根据以上证明、作图、猜想，请探究的最小值（直接写出结论，不必说明理由）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)问题1：是为定值，； 问题2：尺规作图见解析 (3)点运动的路径长为 (4)的最小值为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，结合已知条件，证明，即可得证； （2）问题：观察、测量、猜想得出； 问题：以为边作等边三角形，作出的外心，以为圆心，为半径，作出，则即为点的轨迹； （3）由（2）可得在上运动，过点作，当在点时，与点重合，当与点重合时，与点重合，得出时，取得最大值，进而得出，根据题意，即可得出点运动的路径长 （4）过点作，则， 过点作于点，则，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，即取得最小值，由（3）可得的最小值为，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）问题：观察、测量、猜想得出； ∵ ∴， ∴ ； 问题：如图所示，以为边作等边三角形，作出的外心，以为圆心，为半径，作出，则即为点的轨迹；    （3）解：由（2）可得在上运动， 如图所示，    过点作， ∵， ∴， 当在点时，与点重合，当与点重合时，与点重合， ∵，则， 当时，则四边形是矩形，则点到的距离等于 即时，取得最大值， 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ ∴点运动的路径长为 （4）解：如图所示，过点作， ∵ 则， 过点作于点    ∴ ∴ ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，则当取得最小值时，取得最小值，即取得最小值， 由（3）可得的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 试卷第76页，共76页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$