第二十九章 视图与投影综合题拓展训练（5考点40题）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十九章 视图与投影综合题拓展训练 目录与链接 考点一、几何体表面积（体积）的计算……………………………………………………………2 考点二、组成几何题的小立方体……………………………………………………………………11 考点三、中心投影的综合应用……………………………………………………………………25 考点四、平行投影的综合应用……………………………………………………………………40 考点五、盲区的综合应用…………………………………………………………………………51 考点一、几何体表面积（体积）的计算 1．左图是我国古代南北朝时期独孤信的印章，其俯视图如右图所示，该印章有 条棱，若棱长均为1、则表面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了组合几何体的三视图，根据俯视图可以得出，从上往下看、从下往上看以及中间一圈对应的棱，已经对应的图形，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：从上往下看共有条棱，从下往上看也有条棱，中间一圈还有条棱， 故共有：条棱； 从上往下看，几何体有个正方形和个正三角形， 从下往上看，几何体有个正方形和个正三角形， 中间一圈还有个正方形， 故该几何体由个正方形和个正三角形围成， 棱长均为1的正方形的面积为， 如图：是正三角形，，， 则， ∴， 棱长均为1的正三角形的面积为， 故几何体的表面积为． 故答案为：；． 2．如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号） 【答案】32+96 【分析】根据三视图可得机器零件为正三棱柱，三棱柱的上下底是高为4的等边三角形，三棱柱高为4，求出等边三角形边长，求出表面积即可． 【详解】解： 由三视图得机器零件为正三棱柱， 作CD⊥AB于D， ∵△ABC是正三角形， 在Rt△BCD中， ∴ ． 故答案为：32+96 【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，并求其表面积．根据三视图得到几何体是正三棱柱，并根据三视图原则“长对正，高平齐，宽相等”确定相关数据时解题关键． 3．如图所示是一种棱长分别为3cm，4cm，6cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体： 如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ． 【答案】 228 264 912 【分析】如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长3×3=9cm，宽4cm，高6cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解； 如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长4×2=8cm，宽3×2=6cm，高6cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解； 如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长6×2=12cm，宽4×2=8cm，高3×6=18cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解． 【详解】解：长3×3=9cm，宽4cm，高6cm， （9×4+9×6+4×6）×2 =（36+54+24）×2 =114×2 =228（cm2）． 答：如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是228cm2． 长4×2=8cm，宽3×2=6cm，高6cm， （8×6+8×6+6×6）×2 =（48+48+36）×2 =132×2 =264（cm2）． 答：如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是264cm2． 长6×2=12cm，宽4×2=8cm，高3×6=18cm， （12×8+18×8+12×18）×2 =（96+144+216）×2 =456×2 =912（cm2）． 答：如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是912cm2． 故答案为：228；264；912． 【点睛】考查了几何体的表面积，关键是熟练掌握长方体的表面积公式，难点是得到搭成的大长方体的长宽高． 4．（1）一个由小正方体摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，那么，最多可以用 个小正方体，最少可以用 个小正方体． （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有 条棱， 个面， 个顶点．（说明：截去部分的边长都不超过正方体的边长．） （3）如图1，一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体． ①所得几何体的表面积为 ． ②如果图1中大正方体各棱的长度之和比图2中几何体各棱的长度之和少3，那么，所得几何体的体积是 ． 【答案】（1）13，5；（2）15，7，10；（3）①24；② 【分析】本题主要考查了三视图、认识几何体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，可知该几何体是三行三列两层，其中中间一列、一行都是一层；要使摆成几何体的小正方体最少，则第一层最少3个小正方体，第二层最少2个；要使摆成几何体的小正方体最多，则第一层最多9个小正方体，第二层最多4个，据此即可获得答案； （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体增加1个面、3条棱和2个顶点，据此即可获得答案； （3）①②结合图形可知，图2中几何体的各棱的长度之和比图1中几何体的各棱的长度之和多出6条小正方体的棱长的和，进而求得被截去的小正方体的棱长，然后利用大正方体的体积减去小正方体的体积，即可获得答案． 【详解】解：（1）分别画出最多和最少正方体时从上面看到的形状图，如图所示（其中小正方形中的数字代表该位置上的小正方体的数目）， 由所画的图形可以作出判断， 最多可以用（块），最少可以用（块）． 故答案为：13，5； （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有15条棱，7个面，10个顶点． 故答案为：15，7，10； （3）①一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体， 所得几何体的表面积与原几何体的表面积相同， 所以，此时所得几何体的表面积为：； ②结合图形可知，图2中几何体的各棱的长度之和比图1中几何体的各棱的长度之和多出6条小正方体的棱长的和， 则被截去的小正方体的棱长为， 所以，所得几何体的体积是． 故答案为：①24；②． 5．由若干个棱长为1cm的小正方体构成的几何体，无论从正面看还是从左面看，得到的视图都如图所示．   （1）该几何体最多有　 　个小正方体，最少有　 　个小正方体； （2）按实际的大小，用直尺画出正方体个数最少的一种俯视图，并标出每个位置小正方体的个数． 【答案】（1）13，5；（2）画图见解析 【分析】（1）结合题意，根据立方体三视图的性质，通过空间想象，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，画出俯视图，并标出每个位置小正方体的个数，即可完成解题． 【详解】（1）结合题意，这个几何体最多有13个小正方体，其中下层有9个小正方体，上层有4个正方体； 最少有5个小正方体，其中下层有3个小正方体，上层有2个正方体； 故答案为：13，5； （2）俯视图如图所示： ． 【点睛】本题考查了三视图的知识；解题的关键是熟练掌握利用三视图的性质判断小正方体的个数，从而完成求解． 6．用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 【答案】（1）；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为，第③个几何体露出部分（不含底面）面积为；（3）克． 【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得； （2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得； （3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以即可得． 【详解】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1， 搭建第②个几何体的小立方体的个数为， 搭建第③个几何体的小立方体的个数为， 归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为， 故答案为：30； （2）第②个几何体的三视图如下：    由题意，每个小正方形的面积为， 则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； 第③个几何体的三视图如下：    则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为； （3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为， 则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为， 因此，共需要油漆的克数为（克）， 答：共需要992克油漆． 【点睛】本题考查了三视图、几何体的表面积、图形变化的规律型问题，依据题意，正确归纳类推出规律是解题关键． 7．小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164 【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可； 探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可. 【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体， ∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．． ∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体， ∴，即， 解得或（舍去）， 故答案为：6，20； 探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体， 图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 故答案为：18； 探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成， ∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段， ∴图1中一共包含个长方体， 故答案为：； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：∵拿走前后的三视图需要一样， ∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求， ∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体， ①当剩下正方体按如下俯视图摆放时， 表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124 ②当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142 ③同理，当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158 ④当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164 故答案为：124或142或158或164 【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意． 8．如图，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)． 探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示． 解决问题： (1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm； (2)求液体的体积(提示：V液＝S△BCQ×高AB)； (3)求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数（）. 【答案】(1)平行,　3 (2)V液＝24(dm3)． (3)α≈37°. 【详解】试题分析：(1)根据水面与水平面平行可以得到CQ、BE的位置关系，利用勾股定理结合三视图即可求得BQ的长. (2)液体正好是一个以△ BCQ为底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积. (3)在Rt△ BCQ中易得∠ BCQ的正切值，结合已知即可求解. 试题解析：(1)平行,　3. (2)V液＝×3×4×4＝24(dm3)． (3)过点B作BF⊥CQ，垂足为F. ∵S△BCQ＝×3×4＝×5×BF，∴ BF＝ dm，∴液面到桌面的高度是dm. ∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ= ，∴∠BCQ≈37°. 由(1)可知CQ∥BE，∴ α＝∠ BCQ ≈37°. 点睛：本题主要考查三视图、棱柱的体积以及三角函数等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的关键. 考点二、组成几何题的小立方体 9．如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】根据主视图和左视图分析即可． 【详解】解：∵主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成， ∴几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体的个数为个， 故选：． 【点睛】本题考查由几何体判断三视图，考查了对三视图的熟练掌握程度，也体现了对空间想象能力的考查，解题的关键是掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 10．如图，用棱长为1的27个小正方体堆成一个棱长为3的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一个的正方形．现从中拿走若干个小正方体，但不改变图形的三视图，那么最多能拿走 个小正方体． 【答案】12 【分析】考查组合几何体的三视图知识；主视图，左视图，俯视图分别是从几何体的正面，左面，上面看得到的平面图形． 【详解】解：如图，方格中的数字表示该处的小正方体个数，． 3 1 1 1 3 1 1 1 3 故答案为：12. 11．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．答案是 .    A．搭成该几何体的小立方块最少有___________个． B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出___________种不同的图形． 【答案】 6 7 【分析】选择A：从左视图和俯视图出发确定每一列或每一层正方体最少的个数即可得到答案； 选择B：将不同的搭建方式，从不同的俯视图看到的图形标注出来，据此求解即可． 【详解】解：选择A：从左面看，左边第1列最少有1个小正方体，中间一列最少有1个小正方体，最右边一列最少有2个小正方形， 从上面看，最上面一层，最少有1个小正方体，中间一层最少有一个小正方体，最下面一层最少有3个正方体，最多有6个小正方体， ∴搭成该几何体的小立方块最少有6个小正方体，最多有8个小正方体； 故答案为：6； 选择B：将不同的搭建方式，从不同的俯视图看到的图形上标注如下：    ∴一共可以画7种不同的图形， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了小正方体组成的几何体的三视图，正确理解题意读懂三视图是解题的关键． 12．如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图形如图2所示． （1）请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形 （2）保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的，那么k的最大值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）16 【分析】（1）从左面看共4列，从左向右依次为5,5,3,2个小正方形，从上面看共6列，从左向右依次为4,4,4,3,2,1个小正方形； （2）由已知条件从主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字，据此即可求解. 【详解】（1）如图： （2）k的最大值为：4+5+3+3+1=16， 故答案为：16. 【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确理解三视图的对应的关系，确定每列中的最大个数是解题的关键. 13．用6个相同的小正方体摆成如图所示的几何体． (1)画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)如果每个小正方体棱长为1，则该几何体的表面积是 　　； (3)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 　　个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)26 (3)2 【分析】（1）根据三视图的概念作图即可得； （2）三视图面积相加后乘以2，再加上中间凹进去部分左右两侧2个面的面积即可； （3）保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正方体． 【详解】（1）解：该几何体的三视图如下： （2）解：该几何体的表面积为， 故答案为：26； （3）解：保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正方体， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，理解三视图的概念是解题的关键． 14．用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题： (1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 　　个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图； (2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 　　个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 　　种不同形状． (3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？ 【答案】(1)10，图见解析 (2)7，6 (3)9 【分析】（ 1）在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论； （2 ）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可； （3 ）根据题意判断即可． 【详解】（1）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：2+2+2+2+2＝10（个），左视图如图所示． 故答案为：10； （2）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要3个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有6种不同形状． 故答案为：7，6； （3）∵从俯视图可知下层有5块小正方体， ∴上层有3个小正方体， 当右侧放2个小正方体时，有3种形状， 当右侧放1块小正方体时，有2×3=6种形状， ∴用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有9种不同形状． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 15．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． （2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填入相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填入的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可； （2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2在俯视图中标出个数即可． 【详解】解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形，如图 从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形， 如图所示： （2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形， 从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形， 左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2． 根据题意，填图如下： 【点睛】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键． 16．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示. (1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图; (2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变， Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体; Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体; Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米? 【答案】(1)见解析；(2)Ⅰ.2个小正方体；Ⅱ.2个小正方体；Ⅲ.1900平方厘米. 【分析】（1）根据几何体可知主视图为3列，第一列是三个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是2个小正方形；左视图是三列，第一列是3个正方形，第二列是3个正方形，第三列是1个正方形； （2）I.可在正面第一列的最前面添加2个小正方体， 故答案为：2 II.可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个， 故答案为：2 III. 若拿走最左侧第2排两个，能喷漆的面有19个，若拿走最左侧第3排两个，能喷漆的面有21个，根据面积公式计算即可. 【详解】(1)画图 (2)Ⅰ. 可在正面第一列的最前面添加2个小正方体； Ⅱ. 可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个； 2个小正方体; Ⅲ.若拿走最左侧第2排两个，喷涂面积为平方厘米； 若拿走最左侧第3排两个，喷涂面积为平方厘米； 综上所述，需要喷漆的面积最少是1900平方厘米. 【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确观察几何体得到不同方位的视图是解题的关键，根据三视图对应添加或是减少时注意保证某些视图的正确性，需具有很好的空间想象能力. 17．如图是一些棱长为1cm 的小立方块组成的几何体． （1）请画出从正面看，从左面看，从上面看到的这个几何体的形状图． （2）该几何体的表面积是 cm2 ． （3）如果把它拼成一个无空隙的正方体，则至少还需要同样的小立方块 块． （4）如果保持从正面和上面看到的形状不变，最多可以再添加 个小立方块． 【答案】（1）如图所示，见解析；（2）该几何体的表面积是34cm²；（3）还需要 19块；（4）最多可以再添加 3 个小立方块. 【分析】（1）分别画出该几何体的三视图即可；（2）由三视图得到的正方形个数乘以2，即可得到表面积；（3）拼成无空隙正方体至少棱长为3，总共27个小正方体，减掉目前8个小正方体，即可得出结果；（4）以主视图和俯视图不变的原则进行添加，可得到结果. 【详解】（1）如图所示： （2）该几何体的表面积是：62+62+52 34(cm2 ) ； 故答为：34； （3）最少可以拼成一个棱长为 3 的正方体．故还需要 27-8=19 块. （4）保持主视图和俯视图不变， 主视图看列，左列最高处有 3 个小立方块，中列最高处有 1 个小立方块， 右列最高处有 2 个小立方块，所以左列最多为“3+3”，中列最多为“1”，右列最多为“2+2”，总共 最多为 6 1 4 11 个小立方块，现在有 8 个，所以最多可以再添加 3 个小立方块. 【点睛】本题考查小立方块组成的几何体的三视图画法，从不同方向观察几何体作图,锻炼了空间想象力和抽象思维能力. 18．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问： （1）俯视图中b=__________，a=__________． （2）这个几何体最少由__________个小立方块搭成． （3）能搭出满足条件的几何体共__________种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）． 【答案】（1）1；3（2）9（3）7 【详解】试题分析：（1）由主视图可知，第2列小正方体个数都为1，所以b=1,，第三列小正方体个数为3，所以a=3；（2）正方体个数最少时，第一列正方体个数为：1+1+2=4个，第2列正方体个数为：1+1=2个，第3列正方体个数为：3个，一共有：4+2+3=9个；（3）第2列正方体个数确定为：1+1=2个，第3列正方体个数确定为：3个，第1列正方体情况可能为：①d=1，e=1，f=2；②d=1，e=2，f=1；③d=2，e=1，f=1；④d=2，e=2，f=1；⑤d=2，e=1，f=2；⑥d=1，e=2，f=2；⑦d=2，e=2，f=2，共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多，左视图如图所示. 试题解析： （1）b=1，a=3； （2）1+1+2+1+1+3=9个； （3）共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多. 此时，左视图为： 点睛：掌握三视图的画法，并会根据三视图判断对应的正方体的个数. 19．在桌面上，有6个完全相同的小正方体对成的一个几何体，如图所示． （1）请画出这个几何体的三视图． （2）若将此几何A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有____个． （3）若另一个几何体B与几何体A的主视图和左视图相同，而小正方体个数则比几何体A多1个，则共有______种添法. 请在图2中画出几何体B的俯视图可能的两种不同情形． （4）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添___________个． 【答案】（1）详见解析；（2）2个；（3）4种；（4）4个. 【分析】见详解. 【详解】（1）如下图 （2）三个面是红色的有2个,为从上往下数第二行第一列的那两个. （3）4种添发；见下图,答案不唯一. （4）由图可知该几何体最多有10个正方体,几何体A只有6个小正方体, 10-6=4,所以最多可以添加4个正方体. 【点睛】本题考查了物体的三视图,中等难度,培养看图能力、空间感是解题关键. 20．空间任意选定一点，以点为端点作三条互相垂直的射线，，．这三条互相垂直的射线分别称作轴、轴、轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为（水平向前），（水平向右），（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为，且的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，如图所示．若将轴方向表示的量称为几何体码放的排数，轴方向表示的量称为几何体码放的列数，轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了排列层，用有序数组记作 (1，2，6)，如图的几何体码放了排列层，用有序数组记作 (2，3，4)．这样我们就可用每一个有序数组表示一种几何体的码放方式． （1）有序数组 (3，2，4)所对应的码放的几何体是_____； （2）图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为(___，____，____)，组成这个几何体的单位长方体的个数为____个； （3）为了进一步探究有序数组的几何体的表面积公式，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格： 根据以上规律，请直接写出有序数组的几何体表面积的计算公式；（用表示） （4）当时，对由个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，我们可以对个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，请你根据自己探究的结果直接写出使几何体表面积最小的有序数组，这个有序数组为(___，___，___)，此时求出的这个几何体表面积的大小为________．（缝隙不计） 【答案】（1）B；（2）；；；；（3）；（4）；；；． 【分析】（1）根据有序数组中x、y和z表示的实际意义即可得出结论； （2）根据三视图的定义和有序数组中x、y和z表示的实际意义即可得出结论； （3）根据题意，分别从不同方向找出面积为、和的长方形，用含x、y、z的式子表示出它们的个数，然后根据表面积公式计算即可； （4）由题意可知：xyz=12，而12=1×1×12=1×2×6=1×3×4=2×2×3，然后分类讨论，根据（3）的公式分别求出在每一种情况下的最小值，最后通过比较找出最小的即可得出结论． 【详解】解：（1）有序数组 (3，2，4)表示3排2列4层，故B选项符合 故选：B． （2）由左视图和俯视图可知：该几何体共码放了2排，由主视图和俯视图可知：该几何体共码放了3列，由主视图和左视图可知：该几何体共码放了2层， 故这种码放方式的有序数组为（，，）； 组成这个几何体的单位长方体的个数为2×3×2=； 故答案为：；；；； （3）根据题意可知：从几何体的前面和后面看：面积为的长方形共有2yz个，从几何体的左面和右面看：面积为的长方形共有2xz个，从几何体的上面和下面看：面积为的长方形共有2xy个， ∴几何体表面积 （4）由题意可知：xyz=12，而12=1×1×12=1×2×6=1×3×4=2×2×3 ①当xyz= 1×1×12时 ∵ 根据（3）中公式可知，此时当x=1，y=1，z=12时，几何体表面积最小 此时； ②当xyz= 1×2×6时 ∵ 根据（3）中公式可知，此时当x=1，y=2，z=6时，几何体表面积最小 此时； ③当xyz=1×3×4时 ∵ 根据（3）中公式可知，此时当x=1，y=3，z=4时，几何体表面积最小 此时； ④当xyz=2×2×3时 ∵ 根据（3）中公式可知，此时当x=2，y=2，z=3时，几何体表面积最小 此时； ∵ ∴这个有序数组为（，，），最小面积为． 故答案为：；；；92． 【点睛】此题考查的是新定义类问题，读懂材料、并归纳总结公式和掌握三视图的概念和表面积的求法和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 考点三、中心投影的综合应用 21．在平面直角坐标系中，对于点和图形，以点为圆心，1为半径作，图形上的每一个点（不是原点），都能使得直线与有公共点，那么称图形和点关联． (1)点，下列图形中与点关联的图形是____________； ①轴； ②直线； ③半径为1的； ④线段，其中． (2)点在直线上，点在轴上，点在第一象限，已知为等边三角形，若与点关联，求点横坐标的取值范围； (3)平面上一点满足，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，点在线段上．点在以为中心，边长为8的正方形上，与点关联，直接写出的半径的取值范围． 【答案】(1)①④ (2) (3) 【分析】（1）根据新定义画出图形，即可求解； （2）根据新定义，作使得与直线和轴的相切，过点作的垂线，得出，结合新定义可得当时，与点关联，即可求解； （3）当在的垂直平分线上时，到的距离相等，根据中心投影的性质可得，当离最近时，最小，离最远时，最大， 当在时，如图所示，过点作于点，过点作于点，当在时，的半径取得最大值，根据，求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 根据定义可得与点关联的图形是①④ （2）解：如图所示，在直线上，点在轴上，点在第一象限，已知为等边三角形， 作使得与直线和轴的相切，过点作的垂线， ∵是等边三角形， ∴， ∵与点关联， ∴； （3）解：依题意，当在的垂直平分线上时，到的距离相等，根据中心投影的性质可得，当离最近时，最小，离最远时，最大， 当在时，如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵，则 设，则， 在中，， ∴， ∵ ∴ 解得：，（舍去）     则， ∵ ∴， ∴， ， 解得： ， 即的最小半径为； 当在时，的半径取得最大值，此时如图所示， 同理可得 ∴ 解得： ∴． 【点睛】本题考查了中心投影的新定义，切线的性质，勾股定理，正方形的性质，中心对称，解直角三角形，等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键． 22．如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处． ①点光源所在的位置是 （从，，，中选择一个）； ②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为 米． 【答案】 C 【分析】（1）利用甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的，一部分落在斜坡上即可得到点光源的位置； （2）延长交于点，已知点光源发出的过点的光线，，可得，根据，可得，在中，已知，可得，结合，即可求得乙杆的高度； 【详解】（1）如图所示，点即为点光源所在的位置， 故答案为：C （2）延长交于点， ∵点光源发出的过点的光线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴乙杆的高度为米． 故答案为： 【点睛】本题主要考查中心投影及勾股定理的应用，根据已知条件确定点光源的位置是解题的关键． 23．小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且． (1)求：两个路灯之间的距离； (2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由． 【答案】(1)两路灯之间的距离为米 (2)两影长之和为定值，定值为米 【分析】（1）根据题意结合图形可知，图中，在点处时，和相似，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式后即可求解； （2）设两影长之和为，利用相似比，可计算出在两个路灯之间行走时影长之和为定值． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴∽， 则 解得：， ， 故两路灯之间的距离为米； （2）解：两影长之和为定值，定值为米． 理由：如图，设米． ∵， ∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ， ∴，， 则，， ∵ ∴， ， 解得， 两影长之和为定值，定值为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是正确的根据题意作出图形． 24．雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度AB．    【答案】4.2米． 【分析】设米，米．利用相似三角形的性质，构建方程组求解即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ， ①， 由题意，，， ， ， ②， 由①②解得，， 经检验，的分式方程组的解． 米． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心投影等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题． 25．数学兴趣小组的同学要测算一盏路灯灯泡的高度． (1)小华（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在同一盏路灯下的影长如图所示，请找出该路灯灯泡的位置； (2)小华身高，影长，小明身高，形长，小华和小明两人相距，求该盏路灯灯泡的高度． 【答案】(1)答案见解析 (2)9米 【分析】本题考查中心投影及其测高，涉及中心投影定义、相似三角形判定与性质等知识，读懂题意，由中心投影定义作出图形确定该路灯灯泡的位置是解决问题的关键． （1）连接并延长、连接并延长，两条延长线交于一点，即为该路灯灯泡的位置，如图所示； （2）由题意，结合（1）中图形可知，利用相似比，代值列方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 图中点为该路灯灯泡的位置； （2）解：由题意，结合（1）中图形可知， 由得到，则①， 由得到，则②； 联立①②，解方程组得， 该盏路灯灯泡的高度为9米． 26．小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且，． (1)求出路灯的高度． (2)现在小明想让光线透过窗子照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为，如图2所示，需将路灯的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答） 【答案】(1) (2)图形见解析，将路灯的高度升高米，此时光线照亮地面的最近端位置离点的距离是 【分析】本题考查了相似三角形的应用、平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键 （1）利用条件证明和，得和求出和即可得出答案； （2）证和得和，求出OM即可解决问题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 即， 解得∶， 答∶路灯的高度为； （2）解：如图所示，将路灯的高度升高至， 由(1)得∶，， ， ， 由题意得∶，则， ， ，， ， ，， ， 即， 解得∶，， ， 答∶需将路灯的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是． 27．【画图操作】 （1）如图1，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法） 【数学思考】 （2）如图2，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，设他的影长为，他与点之间的距离为，那么下列四幅图象中，能表示与之间函数关系的是哪一个，请说明理由（从函数的变化趋势的角度说明理由即可）． 【答案】画图操作：见解析；数学思考：④；理由见解析 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长． 画图操作∶根据中心投影，直接画图即可； 数学思考∶等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长． 【详解】画图操作∶ 如图，点和线段即为所求． 数学思考∶ ④，理由如下：从点出发时到达点的整个运动过程中，小明与点之间的距离逐渐增大．当从点到路灯运动时，小明离路灯的距离越来越近，此时影长随着值的增大而逐渐减小，到达路灯正下方时，；从小明从路灯正下方向点运动时，小明与点之间的距离越来越远，此时影长随着值的增大而逐渐增大．所以表示与之间函数关系的图象是④． 28．一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，    【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，      由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 29．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得． (1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置； (2)求路灯灯泡的垂直高度； (3)如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 ．（直接用的代数式表示） 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出； （2）要求垂直高度可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中，由它们对应成比例可以求出； （3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律． 【详解】（1）解：如图 （2），， ， ， ， ，， ， m． （3）同理， ， 设长为，则， 解得：，即． 同理， 解得， ， 可得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题． 考点四、平行投影的综合应用 30．如图，某学校旗杆AB旁边有一个半侧的时钟模型，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2m，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为11m，一天小明观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得1米长的标杆的影长1.2m．求旗杆AB的高度． 【答案】旗杆AB的高度（10+）m． 【分析】设半圆圆心为O，连接OD、CD，可得△OCD是等边三角形，过点D作DE⊥OC于E，作DF⊥AB于F，可得四边形AEDF是矩形，然后求出DE的长度，根据同时同地物高与影长成正比求出BF，然后根据AB= BF+AF计算即可得解． 【详解】解：如图，设半圆圆心为O，连接OD、CD， ∵点D在11点的刻度上， ∴∠COD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， 过点D作DE⊥OC于E，作DF⊥AB于F，则四边形AEDF是矩形， ∵半圆的半径2m， ∴DE＝2×＝， 同时测得1米长的标杆的影长1.2m， ∴， 解得BF＝10， 所以AB＝BF+AF＝（10+）m． 答：旗杆AB的高度（10+）m． 【点睛】本题考查了圆心角、矩形性质、同时同地物高与影长成正比、锐角三角函数值，利用特殊角的三角函数值求线段长、利用物高与影长成正比求线段长需要构造直角三角形． 31．如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高度．（结果精确到百分位，参考数据：≈1.73） 【答案】雕塑的高度为4.24米． 【分析】先过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G，过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E，则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C，设⊙O的半径为r，则OG= 3r=HF=AE，OD=r，根据∠ACB=30°，∠DOE=30°，得到Rt△ODH中，DH=OD=r，DF=r+3r，进而得出CE=CD=AC-AE=2-3r，再根据AC∥DF，得出，进而求得r≈1.06，据此可得这个雕塑的高度． 【详解】如图所示，设D为光线与⊙O的切点，过D作DF⊥AB于F，过O作OG⊥AB于G， 过O作DF的垂线，交DF于H，交⊙O于E， 则AE为⊙O的切线，延长AE交BD于C， 设⊙O的半径为r，则OG＝3r＝HF＝AE，OD＝r， ∵∠ABD＝60°， ∴∠ACB＝30°，∠DOE＝30°， ∴Rt△ODH中，DH＝OD＝r， ∴DF＝r+3r， 又∵Rt△ABC中，AB＝2， ∴AC＝2，BC＝4， ∴CE＝CD＝AC﹣AE＝2﹣3r， ∵AC∥DF， ∴，即， 解得r≈1.06， ∴雕塑的高度为4r＝4×1.06＝4.24米． 【点睛】本题主要考查了平行投影，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据含30°角的直角三角形的性质进行计算，依据平行线分线段成比例定理列式计算．解题时注意方程思想的运用． 32．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB． 【答案】21.2m 【分析】过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长． 【详解】解：作DN⊥AB.垂足为N,交EF于M, ∴四边形CDME、ACDN是矩形， ∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m， ∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m， ∴依题意知，EF∥AB， ∴△DFM∽△DBN， ∴， 即： ， ∴BN=20， ∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2 答：楼高为21.2米．    【点睛】本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握． 33．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作、的平行线，交于H，根据平行线分线段成比例得出点H是的中点，得出，再由正切函数求解即可； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，利用相似三角形的判定和性质得出，确定四边形是平行四边形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，过点O作、的平行线，交于H， 由题意可知，点O是的中点， ∵， ∴， ∴点H是的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵由题意可知： ∴， ∴， 解得， ∴点O、M之间的距离等于； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得， ∵， ∴， ∵由题意可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴叶片外端离地面的最大高度等于． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例和相似三角形的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 34．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据题意，即可解答； （2）通过证明得到，然后利用比例性质即可得到； （3）①根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到结论； （2）②先计算出，，，再利用（1）中结论得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是． 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 而， ∴； ②∵， 而， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 35．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 【答案】(1)学校旗杆的高度为12m (2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2) 【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可； （2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：， ∴，即：， ∴； 答：学校旗杆的高度为． （2）解：①根据题意可知，， ∴，即． ∴， ∴灯罩底面半径的长为24 cm． ②∵太阳光为平行光， ∴， ∴， 由题意，可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴从正面看灯罩为矩形，面积为：， 从上面看灯罩为圆形，面积为：． 【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 36．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得； （3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB. 【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm， 由题意可得：， 解得：x=120， 经检验：x=120是分式方程的解， 王诗嬑的的影子长为120cm； （2）正确， 因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直， 则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， ∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子， 过点F作FG⊥CE于点G， 由题意可得：BC=100，CF=100， ∵斜坡坡度， ∴， ∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中， ， 解得：m=20， ∴CG=60，FG=80， ∴BG=BC+CG=160， 过点F作FH⊥AB于点H， ∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm， FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB， 可知四边形HBGF为矩形， ∴， ∴AH==200， ∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为280cm. 【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型． 考点五、盲区的综合应用 37．如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 【答案】 【分析】据已知首先得出DH=HP=x米，NO=（20+40-x）米，PO=（60+x）米，再利用平行线分线段成比例定理和三角形面积求出即可． 【详解】连接MD并延长，连接NC并延长，使其两延长线相交于点P， 作PO⊥MN于O，作CG⊥MP于G， 根据题意可得出： ME=60，DE=HO=FC=60米，FN=20米，EF=40， ∴NC=， =40米， 设EO=x米， ∴DH=x米， ∵ME=DE=60米， ∴∠MDE=45∘， ∴DH=HP=x米，NO=(20+40−x)米，PO=(60+x)米， ∵FC∥PO， ∴， ∴x， 解得：x=60−20， ∴PO=(120−20)米，NO=(40−20)米， CD⋅HP=DP⋅CG， ×40×(120−20−60)= × [20+40−(40−20)]⋅CG， CG=20米， ∴行走的最短距离长为：NC+CG=(40+20)米． 故答案为40+20 【点睛】此题主要考查了盲区有关知识以及相似三角形的判定与性质，根据已得出，求出NO与PO的长是解题关键． 38．如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3) (1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位． 【答案】（1）详见解析；（2）A票区约有1 406个座位． 【分析】（1）可以M、N为圆心，30为半径交于O点如图以线段MN、EF与弧FM、弧EN所围成的区域就是所作的A票区． （2）求座位就是求三角形EOF，MON和扇形FOM和EON的面积和．那么先求出扇形的半径即可． 【详解】解(1)如图，以线段MN、EF与、所围成的区域就是所作的A票区． (2)连接OM、ON、OE、OF，设MN的中垂线与MN、EF分别相交于点G和H. 由题意，得∠MON＝90°. ∵OG⊥MN，OH⊥EF， OG＝OH＝15， ∴∠EOF＝∠MON＝90°. ∴r＝＝15. ∴SA＝(S扇形FOM＋S扇形EON)＋(S△OMN＋S△EOF)＝πr2＋r2≈1125(米2)． ∴1125÷0.8≈1406. ∴A票区约有1406个座位． 【点睛】本题考查了尺规作图，盲区的定义，勾股定理及扇形的面积公式等知识点，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 39．背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)见解析 (2)等比性质； (3)① ② 【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键． （1）利用盲区的定义作图即可； （2）根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； ②由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可． 【详解】（1）如图所示: （2）材料三中的依据是指等比性质； 设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得： ， ∴； （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时 此时， 因 , , 可得，所在直线解析式为： 令, 得, 即 . 当经过点,的正上方时, 视差，此时， 即，抛物线与轴交点的坐标为， 当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小， 即，抛物线顶点的纵坐标为. 设抛物线解析式为 将等代入得, ， 解得， ， 因为,,对称轴在轴右侧, 所以, . 故， 此时， 所以，抛物线解析式为， ②由, 可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． 40．图1至图7中的网格图均是20×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）．侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况．当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）．设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）． （1）在区域MNCD内，请你针对图1，图2，图3，图4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影． （2）只考虑在区域ABCD内开成的盲区．设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）． ①如图5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式； ②如图6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式； ③如图7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式； ④根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况． （3）根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）在P视点看不见的列车后的区域就是盲区，也就是过P和列车的两端的射线交CD于两点，这两点和列车两端构成的梯形就是所指的盲区．如图1的梯形AA1D1D，图2的梯形A2B2C2D2，图3的梯形B3BCC3． （2）①②③中根据t的不同的取值范围对应的不同的图形，然后根据梯形的面积公式表示出y与t的关系式，得出关系式后根据函数的性质来确定④中y的取值 （3）同（2）④． 【详解】（1）在P视点看不见的列车后的区域就是盲区，也就是过P和列车的两端的射线交CD于两点，这两点和列车两端构成的梯形就是所指的盲区．如图1的梯形AA1D1D，图2的梯形A2B2C2D2，图3的梯形B3BCC3． （2）①如图1，当5≤t≤10时，盲区是梯形AA1D1D ∵O是PQ中点，且OA∥QD， ∴A1，A分别是PD1和PD中点 ∴A1A是△PD1D的中位线． 又∵A1A=t-5，∴D1D=2（t-5） 而梯形AA1D1D的高OQ=10， ∴y= [（t-5）+2（t-5）]×10=15t-75 ∴y=15t-75． ②如图2，当10≤t≤15时，盲区是梯形A2B2C2D2， 易知A2B2是△PC2D2的中位线，且A2B2=5， ∴C2D2=10 又∵梯形A2B2C2D2的高OQ=10， ∴y=（5+10）×10=75 ∴y=75． ③如图3，当15≤t≤20时，盲区是梯形B3BCC3 易知BB3是△PCC3的中位线 且BB3=5-（t-15）=20-t 又∵梯形B3BCC3的高OQ=10， ∴y= [（20-t）+2（20-t）]×10=300-15t ∴y=300-15t． ④当5≤t≤10时，由一次函数y=15t-75的性质可知，盲区的面积由0逐渐增大到75； 当10≤t≤15时，盲区的面积y为定值75； 当15≤t≤20时，由一次函数y=300-15t的性质可知，盲区的面积由75逐渐减小到0． （3）通过上述研究可知，列车从M点向N点方向运行的过程中，在区域MNCD内盲区面积大小的变化是： ①在0≤t≤10时段内，盲区面积从0逐渐增大到75； ②在10≤t≤15时段内，盲区的面积为定值75； ③在15≤t≤20时段内，盲区面积从75逐渐减小到0． 【点睛】本题主要考查了梯形的面积公式，盲区，一次函数等知识点，知识点比较多，需要细心求解． 试卷第2页，共61页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十九章 视图与投影综合题拓展训练 目录与链接 考点一、几何体表面积（体积）的计算……………………………………………………………2 考点二、组成几何题的小立方体……………………………………………………………………11 考点三、中心投影的综合应用……………………………………………………………………25 考点四、平行投影的综合应用……………………………………………………………………40 考点五、盲区的综合应用…………………………………………………………………………51 考点一、几何体表面积（体积）的计算 1．左图是我国古代南北朝时期独孤信的印章，其俯视图如右图所示，该印章有 条棱，若棱长均为1、则表面积等于 ． 2．如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号） 3．如图所示是一种棱长分别为3cm，4cm，6cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体： 如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ， 如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 ． 4．（1）一个由小正方体摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，那么，最多可以用 个小正方体，最少可以用 个小正方体． （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有 条棱， 个面， 个顶点．（说明：截去部分的边长都不超过正方体的边长．） （3）如图1，一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体． ①所得几何体的表面积为 ． ②如果图1中大正方体各棱的长度之和比图2中几何体各棱的长度之和少3，那么，所得几何体的体积是 ． 5．由若干个棱长为1cm的小正方体构成的几何体，无论从正面看还是从左面看，得到的视图都如图所示．   （1）该几何体最多有　 　个小正方体，最少有　 　个小正方体； （2）按实际的大小，用直尺画出正方体个数最少的一种俯视图，并标出每个位置小正方体的个数． 6．用棱长为的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第层（为正整数)    （1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为 ． （2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积． （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂需要油漆克，求喷涂第个几何体，共需要多少克油漆？ 7．小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 8．如图，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′中装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)． 探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示． 解决问题： (1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm； (2)求液体的体积(提示：V液＝S△BCQ×高AB)； (3)求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数（）. 考点二、组成几何题的小立方体 9．如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（    ）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 10．如图，用棱长为1的27个小正方体堆成一个棱长为3的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一个的正方形．现从中拿走若干个小正方体，但不改变图形的三视图，那么最多能拿走 个小正方体． 3 1 1 1 3 1 1 1 3 11．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．请从A，B两题中任选一题作答．我选择 题．答案是 .    A．搭成该几何体的小立方块最少有___________个． B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出___________种不同的图形． 12．如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图形如图2所示． （1）请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形 （2）保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的，那么k的最大值为 ． 13．用6个相同的小正方体摆成如图所示的几何体． (1)画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)如果每个小正方体棱长为1，则该几何体的表面积是 　　； (3)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加 　　个小正方体． 14．用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题： (1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 　　个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体的左视图； (2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 　　个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 　　种不同形状． (3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？ 15．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． （2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填入相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填入的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数． 16．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示. (1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图; (2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变， Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体; Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体; Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米? 17．如图是一些棱长为1cm 的小立方块组成的几何体． （1）请画出从正面看，从左面看，从上面看到的这个几何体的形状图． （2）该几何体的表面积是 cm2 ． （3）如果把它拼成一个无空隙的正方体，则至少还需要同样的小立方块 块． （4）如果保持从正面和上面看到的形状不变，最多可以再添加 个小立方块． 18．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问： （1）俯视图中b=__________，a=__________． （2）这个几何体最少由__________个小立方块搭成． （3）能搭出满足条件的几何体共__________种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：）． 19．在桌面上，有6个完全相同的小正方体对成的一个几何体，如图所示． （1）请画出这个几何体的三视图． （2）若将此几何A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有____个． （3）若另一个几何体B与几何体A的主视图和左视图相同，而小正方体个数则比几何体A多1个，则共有______种添法. 请在图2中画出几何体B的俯视图可能的两种不同情形． （4）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多可以添___________个． 20．空间任意选定一点，以点为端点作三条互相垂直的射线，，．这三条互相垂直的射线分别称作轴、轴、轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为（水平向前），（水平向右），（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为，且的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，所在的面与轴垂直，如图所示．若将轴方向表示的量称为几何体码放的排数，轴方向表示的量称为几何体码放的列数，轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了排列层，用有序数组记作 (1，2，6)，如图的几何体码放了排列层，用有序数组记作 (2，3，4)．这样我们就可用每一个有序数组表示一种几何体的码放方式． （1）有序数组 (3，2，4)所对应的码放的几何体是_____； （2）图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为(___，____，____)，组成这个几何体的单位长方体的个数为____个； （3）为了进一步探究有序数组的几何体的表面积公式，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格： 根据以上规律，请直接写出有序数组的几何体表面积的计算公式；（用表示） （4）当时，对由个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，我们可以对个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，请你根据自己探究的结果直接写出使几何体表面积最小的有序数组，这个有序数组为(___，___，___)，此时求出的这个几何体表面积的大小为________．（缝隙不计） 考点三、中心投影的综合应用 21．在平面直角坐标系中，对于点和图形，以点为圆心，1为半径作，图形上的每一个点（不是原点），都能使得直线与有公共点，那么称图形和点关联． (1)点，下列图形中与点关联的图形是____________； ①轴； ②直线； ③半径为1的； ④线段，其中． (2)点在直线上，点在轴上，点在第一象限，已知为等边三角形，若与点关联，求点横坐标的取值范围； (3)平面上一点满足，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，点在线段上．点在以为中心，边长为8的正方形上，与点关联，直接写出的半径的取值范围． 22．如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处． ①点光源所在的位置是 （从，，，中选择一个）； ②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为 米． 23．小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且． (1)求：两个路灯之间的距离； (2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由． 24．雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度AB．    25．数学兴趣小组的同学要测算一盏路灯灯泡的高度． (1)小华（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在同一盏路灯下的影长如图所示，请找出该路灯灯泡的位置； (2)小华身高，影长，小明身高，形长，小华和小明两人相距，求该盏路灯灯泡的高度． 26．小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且，． (1)求出路灯的高度． (2)现在小明想让光线透过窗子照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为，如图2所示，需将路灯的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答） 27．【画图操作】 （1）如图1，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示．请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法） 【数学思考】 （2）如图2，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，设他的影长为，他与点之间的距离为，那么下列四幅图象中，能表示与之间函数关系的是哪一个，请说明理由（从函数的变化趋势的角度说明理由即可）． 28．一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，，         29．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得． (1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置； (2)求路灯灯泡的垂直高度； (3)如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 ．（直接用的代数式表示） 考点四、平行投影的综合应用 30．如图，某学校旗杆AB旁边有一个半侧的时钟模型，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径2m，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为11m，一天小明观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得1米长的标杆的影长1.2m．求旗杆AB的高度． 31．如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度和球的高度相等．当阳光与地面的夹角成60°时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高度．（结果精确到百分位，参考数据：≈1.73） 32．李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB． 33．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 34．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 35．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 36．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 考点五、盲区的综合应用 37．如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 38．如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3) (1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位． 39．背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 40．图1至图7中的网格图均是20×20的等距网格图（每个小方格的边长均为1个单位长）．侦察兵王凯在P点观察区域MNCD内的活动情况．当5个单位长的列车（图中的）以每秒1个单位长的速度在铁路线MN上通过时，列车将阻挡王凯的部分视线，在区域MNCD内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢间的缝隙）．设列车车头运行到M点的时刻为0，列车从M点向N点方向运行的时间为t（秒）． （1）在区域MNCD内，请你针对图1，图2，图3，图4中列车位于不同位置的情形分别画出相应的盲区，并在盲区内涂上阴影． （2）只考虑在区域ABCD内开成的盲区．设在这个区域内的盲区面积是y（平方单位）． ①如图5，当5≤t≤10时，请你求出用t表示y的函数关系式； ②如图6，当10≤t≤15时，请你求出用t表示y的函数关系式； ③如图7，当15≤t≤20时，请你求出用t表示y的函数关系式； ④根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t的变化而变化的情况． （3）根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车行驶过程中在区域MNCD内所形成盲区的面积大小的变化情况提出一个综合的猜想． 试卷第2页，共61页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$