第二十九章 视图与投影知识归纳与题型突破（五题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十九章 视图与投影知识归纳与题型突破（五题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、中心投影 1）投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。 2）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 3）作一物体中心投影的方法：过投影中心与物体顶端作直线，直线与投影面的交点与物体的底端之间的线段即为物体的影子。 二、视点、视线和盲区 1）观测点的位置称为视点 2）由视点发出的观测线称为视线 3）视线不能穿过障碍物，若视线遇到障碍物，则会有观测不到的地方，就称为盲区。 三、平行投影及应用 1）平行投影的定义 太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影 当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影 2）平行投影的应用： 等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。 3） 作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子的顶端确定的直线就是光线，故根据另一物体的顶端可作出其影子。 四、视图 1）常见几何体的三视图 主视图 俯视图 左视图 三视图的对应关系 (1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正； (2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐； (3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行． 03 题型归纳 题型一、平行投影的应用 1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影的意义，根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项C中的图形符合题意， 故选：C． 2．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例． 根据平行投影特点结合选项判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误； D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； 故选：D． 3．如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，据此即可判断求解，掌握平行投影的特点和规律是解题的关键． 【详解】解：∵就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∴影子的图按时间先后顺序进行排列为④②①③， 故选：． 4．下列影子的形成属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．不同时间下的树影 C．路灯下的影子 D．舞台上的影子 【答案】B 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握平行投影是解题的关键；根据平行投影可进行求解． 【详解】解：A、皮影戏中的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； B、不同时间下的树影，属于平行投影，本选项符合题意； C、路灯下的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； D、舞台上的影子，属于中心投影，本选项不符合题意； 故选：B． 5．有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 【答案】D 【分析】本题合考查了平行投影和中心投影的特点和规律，平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据平行投影和中心投影的特点和规律，结合题意可得平行投影和中心投影都可能出现这种情况． 【详解】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，平行投影和中心投影都可能出现这种情况，所以可能是平行投影也可能是中心投影． 故选：D． 6．《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．12米 D．16米 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设旗杆的高度为x米，由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，由题意得： ， 解得：； 故选D． 7．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，勾股定理，矩形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，，则易知四边形是矩形，故，然后根据勾股定理，角所对直角边是斜边的一半即可求解，画出示意图，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】如图，是皮球直径，过作于点，则点与点为太阳光线与球的切点，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵太阳光线与地面成的角， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故选：． 8．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，根据“同时同地物高与影长成正比”列式计算即可得解．解题的关键要熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】解：设旗杆高度为， 由题意得：， 解得：， ∴这根旗杆的高度为． 故答案为：． 9．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行投影的知识，根据此时为正午点方向，得出垂直于晷针，再根据平行投影得出，得出结论即可，熟练掌握平行投影的知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知，垂直于晷针， ∵投影为平行投影， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．为测量清江浦中学旗杆的高度，初三活动小组进行如下实验：如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，一部分在旗杆旁的演讲台上测得旗杆在地面上的影长为，演讲台墙面上的影长为，演讲台上的影长为；同一时刻，竖立于地面长的木杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查投影问题，矩形的性质，延长交于点F，为段的影长，据此求出的长度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F， 由题意可得四边形为矩形， ，， ， 即的影长为， 竖立于地面长的木杆的影长为， ， ， ， 即旗杆的高度为． 题型二、中心投影的应用 11．下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：A. 阳光下沙滩上人的影子，是平行投影； B. 晚上人走在路灯下的影子，是中心投影； C. 中午用来乘凉的树影，是平行投影； D. 阳光下旗杆的影子，是平行投影； 故选：B． 12．在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题的关键． 【详解】解：∵对应点的连线经过点光源， ∴灯光与物体的影子最合理的是， 故选：． 13．如图，灯光与物体的影子的位置最合理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子不符合题意． 故选：B． 14．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了中心投影；利用中心投影，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ． ， ， ∴， ， ， ， 故答案为：6． 15．如图，身高米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯正下方的处走到处，测得影子的长为米，继续往前走米到达处时，测得影子的长为米，路灯的高度为 米． 【答案】6 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．通过相似三角形的性质可得，，可得，即可求解． 【详解】解：， 当张亮在处时，，即， 当张亮在处时，，即， ， 米，米，米，米， 设，， ， 解得：，经检验是原方程的根． ，即， 解得米． 即路灯的高度米． 故答案为：6． 16．如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； (2)如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的性质是解题的关键． （）连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； （）由中心投影的性质可得，从而，再将数据代入即可求解； 【详解】（1）如图所示，点P为灯泡位置，线段为小玉在灯下的影长． （2）解：由题意，得，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 17．如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 【答案】(1)女孩的影子的长为1米 (2)平方米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理得到的长，即可得出答案． （2）根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， 答：女孩的影子的长为1米； （2）解：∵女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点）， ∴人影扫过的图形的面积平方米． 18．学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． (1)请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） (2)请你求出路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：连接并延长交延长线于F，即可确定点F的位置； （2）先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明得到，最后代入数据求得的长即可． 【详解】（1）解：点F的位置如图所示． （2）解：由题意得：， ，， ， ， ． ，， ， ，即， ，即路灯的高度为． 19．小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 【答案】(1) (2)①见解析；②3 【分析】（1）如图1，过作交于，则，即为木杆在地面上影子，根据，计算求解即可； （2）①根据中心投影的性质作图即可；②如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过作交于， ∴，即为木杆在地面上影子， ∴， 故答案为：； （2）①解：由中心投影的性质作图，如图2，点即为所求； ②解：如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长， ∵， ∴，， ∴，即， 解得，， ∴路灯P距离地面的高度为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米） (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 【答案】(1)线段 (2)米 (3)米 【分析】本题考查相似三角形的应用， （1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分； （2）证明，利用对应边成比例可得长； （3）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度； 解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 【详解】（1）解：线段为王琳在站在处路灯下的影子； （2）根据题意知：，，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：王琳站在处在路灯下的影长为米； （3）由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯的高度为米． 题型三、正投影 21．把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，当投射线由正前方射到后方时，它们在该投影面上的投影积聚成一直线，结合正六棱柱的特点即可得到答案． 【详解】解：根据投影的性质可得，该物体为正六棱柱，则正投影与主视图一致． 故选：B． 22．下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 【答案】C 【分析】此题主要考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别．根据正投影、平行投影、中心投影的定义即可得答案． 【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是当平行投影面时的正投影， 故选：C 23．如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过点作，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点作，    ∵是线段在投影面上的正投影， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 24．如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正投影，直角三角形的特征，特殊角的三角函数，勾股定理；由之间三角形的特征得，的余弦得，由勾股定理得，求出，由余弦的定义可求，即可求解；理解正投影，将正投影的长转化为的长是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 在直线n上的正投影的长是． 25．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 26．如图1是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图2，桌面可绕点转动，，，．，点是点在地面的正投影．    (1)①桌面到地面的距离为______，______． ②求桌脚的长；（结果精确到） (2)当桌面绕点转动到图3所示的位置时，求点到地面的距离． （参考数据：，，） 【答案】(1)①；；；②桌脚的长约为； (2)点到地面的距离约为 【分析】（1）①连接，根据正投影，得到，再根据勾股定理，求得，然后利用锐角三角函数的定义，得出，最后利用平行线的性质和三角形外角的定义，即可得到答案； ②过点作于点，利用锐角三角函数的定义，得到，然后利用勾股定理列式，求出，进而得到，再利用锐角三角函数的定义，即可求出桌脚的长； （2）过点作于点，由旋转的性质可知，，进而得到，利用锐角三角函数的定义，得到，然后利用勾股定理列式，求出，进而得出，即可求出点到地面的距离． 【详解】（1）解：①如图，连接， 点是点在地面的正投影， ， ， ， ，， 在中，， 即到地面的距离为， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：；；    ②如图，过点作于点， 在中，， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 即桌脚的长约为；    （2）解：如图，过点作于点， 由旋转的性质可知，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点到地面的距离约为．    【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，平行投影，旋转的性质，正确做辅助线，灵活运用三角函数是解题关键． 题型四、视点、视线与盲区 27．“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【答案】B 【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可． 【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误； 选项B，减少盲区，正确； 选项C，不可能改变光点，错误； 选项D，不是增加亮度，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区． 28．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 29．如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 【答案】C 【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案． 【详解】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C. 【点睛】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大． 30．随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据： 【答案】汽车从处前行米才能发现处的儿童． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用；连接，并延长交于点，证明得出，在中，求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，并延长交于点， 由图知：， ， ，即， ． 在中， ，即， ， ． 答：汽车从处前行米才能发现处的儿童 31．王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨． 【答案】见解析. 【分析】根据题意画出盲区即可判断出答案． 【详解】从点P开始进入盲区，即开始看不见杨雨． 根据题意画出盲区即可判断出答案． 【点睛】本题考查盲区的知识，难度不大，注意掌握盲区的寻找方法． 32．如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解； （2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论． 【详解】解：（1）设小正方形的边长为1， ∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3， ∴站在监控盲区的概率=3÷20=； （2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2， 若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2． 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键． 33．如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间． (1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影． (2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式． ①1≤t≤2； ②2≤t≤3； ③3≤t≤4． 根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】(1)根据题意涂上阴影即可； (2)根据正方形的性质得AM＝2，盲区为梯形，且上底为下底的一半，高为2，然后分段计算：梯形的上底、下底，然后根据梯形的面积分别计算出三种情况下的梯形的面积即可；根据一次函数的性质求解． 【详解】(1)如图： (2)①当1≤t≤2时，△PAB内的盲区是梯形AEFG． FG是△PAE的中位线，FG＝t－1，AE＝2(t－1)．而梯形AEFG的高为2， ∴y＝[(t－1)＋2(t－1)]×2＝3t－3． ②当2≤t≤3时，△PAB内的盲区是梯形QRST． 易知TS＝1，QR＝2，而梯形QRST的高为2， ∴y＝(1＋2)×2＝3． ③当3≤t≤4时，△PAB内的盲区是梯形WBUV． 易知UV＝1－(t－3)＝4－t，WB＝2(4－t)，而梯形的高为2， ∴y＝[(4－t)＋2(4－t)]×2＝12－3t． 当1≤t≤2时，盲区的面积由0逐渐增大到3； 当2≤t≤3时，盲区的面积y为定值3； 当3≤t≤4时，盲区的面积由3逐渐减小到0． 【点睛】此题主要考查中心投影的性质与应用，解题的关键是正确理解好盲区的定义，及梯形面积的求法． 题型五、三视图的应用 34．如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的俯视图，根据从上面看到的圆锥是一个带圆心的圆，进行解答即可． 【详解】解：圆锥从上向下看是一个带圆心的圆，故C正确． 故选：C． 35．如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图中的俯视图，正确理解俯视图的概念是解答本题的关键．俯视图是从物体的上面看所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．根据俯视图的概念，即可得到答案． 【详解】俯视图如图所示： 故选：B． 36．如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据主视图的概念求解即可． 【详解】A.主视图中应该有正方形，选项不符合题意； B.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； A.主视图中间竖直方向有虚线，选项符合题意； A.主视图中间竖直方向没有实线和虚线，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 37．如图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据从正面看可得主视图，看不见的用虚线表示解答即可； 【详解】从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线 故选A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 38．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了俯视图．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】 解：榫的俯视图是 故选：D． 39．观察一个由相同的小正方体搭成的立体图形，从上面看到的形状是．从正面看到的形状不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了小正方体组合体的三视图，根据俯视图填加小正方体的个数，可得主视图，再判断． 【详解】当小正方体的个数如俯视图所示， 从正面看到的形状是； 当小正方体的个数如俯视图所示， 从正面看到的形状是； 当小正方体的个数如俯视图所示， 从正面看到的形状是. 所以从正面看到的形状不可能是A图． 故选：A． 40．如图是由几个相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立体图形的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查组合体的三视图，根据俯视图上的小正方体的个数，可以判断左视图有3列，小正方形个数分别为3，2，1，据此求解即可． 【详解】解：该立体图形的左视图有3列，从左到右小正方形个数分别为3，2，1， 故选：C． 41．用若干大小相同的小正方体搭一个立体图形，使得立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，进而解答即可． 【详解】 解：由三视图可得：这个立体图形可能是， 故选：A． 42．如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看看到的图形分为上中下三层，共两列，从左边数起，第一列，中下两层各有一个小正方形，第二列上中下各有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：B． 43．一个几何体由大小相同的立方块搭成，该几何体的三种视图如图所示，则搭成该几何体的立方块的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，解题的关键是从三个方向确定每一行每一列上的立方块的个数． 先由俯视图确定该几何体的下层的小立方块个数，然后由主视图确定该几何体每一列的层数，最后用左视图作一验证，即可得到答案． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体的下层有4个小立方块；结合主视图可知，该几何体的左边两列都有两层，右边一列只有一层，前后两排各有一个，再结合用左视图验证，可得搭成该几何体用了6个立方块． 故答案为：6． 44．如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1cm．       (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：______，体积为______； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】(1)，； (2)画图见解析． 【分析】本题考查作图——从不同方向看几何体，几何体的表面积，体积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可； （）利用三视图的画法画出图形即可． 【详解】（1）解：几何体的表面积：，体积为， 故答案为：，； （2）解：根据三视图的画法，画出相应的图形如下： 45．根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的表面积．熟练掌握圆锥的表面积=侧面积+底面积，由三视图确定几何体时要遵从“主、俯视图长对正， 主、左视图高平齐， 俯、左视图宽相等”的特点，确定几何体的尺寸． （1）从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥； （2）由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5；利用圆锥表面积=侧面积+底面积即可求出. 【详解】（1）解：这是一个圆锥， 故答案为：圆锥. （2）解：母线长：， 底面圆周长：， 侧面积：， 底面积：， 表面积： 故这个圆锥的表面积为 试卷第2页，共34页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十九章 视图与投影知识归纳与题型突破（五题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、中心投影 1）投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。 2）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 3）作一物体中心投影的方法：过投影中心与物体顶端作直线，直线与投影面的交点与物体的底端之间的线段即为物体的影子。 二、视点、视线和盲区 1）观测点的位置称为视点 2）由视点发出的观测线称为视线 3）视线不能穿过障碍物，若视线遇到障碍物，则会有观测不到的地方，就称为盲区。 三、平行投影及应用 1）平行投影的定义太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影 当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影 2）平行投影的应用： 等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。 3） 作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子的顶端确定的直线就是光线，故根据另一物体的顶端可作出其影子。 四、视图 1）常见几何体的三视图 主视图 俯视图 左视图 三视图的对应关系 (1)长对正：主视图与俯视图的长相等，且相互对正； (2)高平齐：主视图与左视图的高相等，且相互平齐； (3)宽相等：俯视图与左视图的宽相等，且相互平行． 03 题型归纳 题型一、平行投影的应用 1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（） A． B． C． D． 2．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 3．如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 4．下列影子的形成属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．不同时间下的树影 C．路灯下的影子 D．舞台上的影子 5．有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 6．《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．12米 D．16米 7．如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（    ） A． B． C． D． 8．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为 ． 9．日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．如图3，将两种日晷的“晷针”重合，小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时，与满足的关系式 ． 10．为测量清江浦中学旗杆的高度，初三活动小组进行如下实验：如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，一部分在旗杆旁的演讲台上测得旗杆在地面上的影长为，演讲台墙面上的影长为，演讲台上的影长为；同一时刻，竖立于地面长的木杆的影长为，求旗杆的高度． 题型二、中心投影的应用 11．下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 12．在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（   ） A． B． C． D． 13．如图，灯光与物体的影子的位置最合理的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 15．如图，身高米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯正下方的处走到处，测得影子的长为米，继续往前走米到达处时，测得影子的长为米，路灯的高度为 米． 16．如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； (2)如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 17．如图，广场上有一盏高为的路灯，把灯O看作一个点光源，身高的女孩站在离路灯的点B处．图2为示意图，其中于点A，于点B，点O，C，D在一条直线上，已知．    (1)求女孩的影子的长． (2)若女孩以为半径绕着路灯顺时针走一圈（回到起点），求人影扫过的图形的面积．（取3.14） 18．学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． (1)请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） (2)请你求出路灯的高度． 19．小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； (2)如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 20．如图，王琳同学在晚上由路灯走向路灯，当他行到处时发现，他在路灯下的影长为米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方（已知王琳身高米，路灯高米） (1)标出王琳站在处在路灯下的影子； (2)计算王琳站在处在路灯下的影长； (3)计算路灯的高度． 题型三、正投影 21．把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A． B． C． D． 22．下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 23．如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 24．如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是 ． 25．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 26．如图1是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图2，桌面可绕点转动，，，．，点是点在地面的正投影．    (1)①桌面到地面的距离为______，______． ②求桌脚的长；（结果精确到） (2)当桌面绕点转动到图3所示的位置时，求点到地面的距离． （参考数据：，，） 题型四、视点、视线与盲区 27．“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 28．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 29．如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 30．随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据： 31．王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨． 32．如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 33．如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间． (1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影． (2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式． ①1≤t≤2； ②2≤t≤3； ③3≤t≤4． 根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况． 题型五、三视图的应用 34．如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 35．如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 36．如图，这是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   37．如图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（    ）      A．   B．   C．   D．   38．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 39．观察一个由相同的小正方体搭成的立体图形，从上面看到的形状是．从正面看到的形状不可能是（   ） A． B． C． D． 40．如图是由几个相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立体图形的左视图是（   ） A． B． C． D． 41．用若干大小相同的小正方体搭一个立体图形，使得立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（   ） A． B． C． D． 42．如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 43．一个几何体由大小相同的立方块搭成，该几何体的三种视图如图所示，则搭成该几何体的立方块的个数为 个． 44．如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1cm．       (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：______，体积为______； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 45．根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 试卷第2页，共34页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$