专题11 利用数学思想方法解决线段与角的计算问题（2大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版2024）

专题11 利用数学思想方法解决线段与角的计算问题 分类讨论思想求解线段长问题的多解题 1．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知点A、B、C在一条直线上，，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和与差，分点在线段上，和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，； 故答案为：或． 2．（23-24七年级上·云南红河·期末）点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】5或 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点的概念，线段的和差，正确地画出图形，分类讨论是解题的关键． 分类讨论，即点在点左边或者右边两种情况，画出图形，按照线段的和差即可解答． 【详解】解：①当点在点左边时，如图所示： 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； ②当点在点右边时，如图所示： 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； 故答案为：5或． 3．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 4．（23-24七年级上·云南红河·期末）已知点C是线段的中点，点E在直线上，且，，若，则线段的长为 cm． 【答案】4或20 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点E在线段之间时，和点E在线段的延长线上时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∵点E在直线上， ∴当点E在线段之间时，， 当点E在线段的延长线上时，， 故答案为：4或20． 5．（23-24七年级上·四川达州·期末）在直线m上取P，Q两点，使，再在直线m上取一点R，使，M，N分别是，的中点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段中点的有关计算，解题的关键是分情况讨论点在线段上，点在线段外两种情况．分情况讨论点在线段上，点在线段的反向延长线上，即可求解． 【详解】解：由题意知点的位置有两种情况， ①点在线段上， ，，，分别是，的中点， ，， ， ②点在线段的反向延长线上时，由①得， ， 或． 故答案为：或． 6．（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 分类讨论思想求解角的度数问题的多解题 1．（24-25七年级上·全国·期末）已知，射线平分，则的度数为 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．分两种情况在内或外），分别首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数． 【详解】解：当在内时，如图1， 则， 射线平分， ； 当在外时，如图2， 则， 射线平分， ． 综上，或． 故答案为：或． 2．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 【答案】或 【知识点】利用邻补角互补求角度、垂线的定义理解、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若在上方， 平分， ， ， ，即， 设，则，， 为平角， ， 即， 解得， ， 又， ， ； ②如图2所示，若在下方， 同理可得，， 又， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则 度． 【答案】50或70 【知识点】折叠问题、利用平移的性质求解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义、平移的性质、轴对称的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，一是点D在点B的右侧，由平分，得，由折叠得，则，而，所以；二是点D在点B的左侧，则，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点D在点B的右侧， ∵平分， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处， ∴， ∵， ∴， ∵平移线段，得到线段， ∴， ∴； 如图2，点D在点B的左侧， ∵平分， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：50或70． 4．（23-24七年级下·河南商丘·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，．若固定三角板，改变三角板的位置（其中点的位置始终不变），当 时，． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板的角度运算问题，平行线的性质，分两种情况画出图形解答即可求解，正确画出图形运是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，， ∴， ∴； 如图，当时，过点作，， ∴，， ∴； 故答案为：或． 5．（23-24七年级下·广东广州·期末）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：当时，，分以下两种情况： 如图1所示， ， ； 如图2所示， ， 综上所述，的度数为或 根据答案为：或． 6．（22-23七年级上·广东茂名·期末）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则 度． 【答案】或或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查角的计算和理解能力． 分种情况，根据“巧分线”定义即可求解． 【详解】解：若，是的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ，此时； ，此时； ，此时； 故答案为：或或． 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 1．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【知识点】列代数式、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则________； (2)小张同学发现线段在线段上运动时，的长度始终不变，你认为小张同学说的对吗？请说明理由． 【答案】(1)7 (2)小张同学说的正确，理由见解析 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了两点间距离，线段中点相关的计算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． （1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，即可； （2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变． 【详解】（1）解： ∵，，， ， 、N分别是、的中点， ，， ； 故答案为：7； （2）解：小张同学说的正确，的长度始终不变， 理由：∵，， ， 、N分别是、的中点， ，， ， ． 即小张同学说的正确，的长度为，始终不变． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点在线段上，且． (1)比较线段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)如果是的中点，是的中点，求线段的长度． (3)在（2）中，如果，其他条件不变，那么_____．（用含的式子表示） 【答案】(1)=； (2)； (3)． 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算．理清线段之间的数量关系，是解题的关键． （1）根据线段的和的关系，进行比较即可； （2）先求出的长，中点，求出的长，再根据，求出的长即可； （3）同法（2），进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即：； 故答案为：； （2）∵ ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题情境】已知A，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． 【初步应用】（1）如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； 【迁移应用】（2）若点是直线上的一点，且满足，，求线段的长度． 【答案】（1）10；（2）或 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离，学会利用数形结合和分类讨论思想是解题关键． （1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是； （2）分三种情况讨论：点在线段上，分别求得，，则；点在点的右侧，分别求得，，则；点在点的左侧，此种情况不满足题意． 【详解】解：（1）因为，点是线段的中点， 所以． 又因为，， 所以，，所以． （2）①如图，当点在线段上时， 因为，，所以， 所以； ②如图，当点在点的右侧时， 因为，， 所以，所以， 所以； ③当点在点的左侧时，此时不存在符合题意的点，舍去． 综上所述，线段的长度为或． 5．（23-24七年级上·北京西城·期末）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 6．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 1．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·广东梅州·期末）已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题． (1)尝试探究：如图1，已知，的度数为________； (2)初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由； (3)拓展提升：如图3，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差，掌握角度之间的关系是解决本题的关键． （1）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可； （2）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵ ∴； （3）∵ ∴； 3．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 4．（23-24七年级上·青海西宁·期末）【探究发现】 如图①，点，在线段上，点，分别是，的中点． （1）若，，，求的长； （2）若，，则 ； （3）若，，则 ；（用含，的代数式表示） 【类比应用】 如图②，射线，在内部，，分别平分，． （4）若，，则 ； （5）若，，则 ．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（1）先求出的长，再根据中点的定义求出、的长，即可求出的长； （2）根据，求出的长，再根据中点的定义即可求出的长，根据即可求出的长； （3）根据，即可求出的长，再根据中点的定义即可求出的长，最后根据即可求出的长； （4）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数； （5）先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：（1）∵是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：20； （3）∵，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （4）∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：85； （5）∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段的和差计算、角的和差计算、线段的中点的定义以及角平分线的定义等知识，根据几何图形得出线段之间的关系、角之间的关系是解题的关键． 5．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)观察分析∶若则 ，若则 ； (2)猜想探究∶如图，若将两个同样的三角尺，锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (3)拓展应用∶如图，如果把任意两个锐角的顶点重合在一起，已知，（、都是锐角），请你直接写出与的关系． 【答案】(1) ； ； (2)，理由见解析． (3)，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】（1）根据三角板的特点及角度和差求解即可； （2）根据三角板的特点及角度和差求解即可； （3）根据角度和差求解即可； 本题考查了角的运算，熟练掌握角度和差运算是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴ 故答案为：，； （2），理由： 由题意可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴． 6．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)40 (2)①135；②不变，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； 【详解】（1），为的二倍分线，且， ，， ， ， 故答案为：40； （2）①，分别为和的三倍分线（，）， ，， ， ， ，， ，， ， 故答案为：135； ②不变， ，分别为和的三倍分线，，， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 利用数学思想方法解决线段与角的计算问题 分类讨论思想求解线段长问题的多解题 1．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知点A、B、C在一条直线上，，则的长为 ． 2．（23-24七年级上·云南红河·期末）点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 4．（23-24七年级上·云南红河·期末）已知点C是线段的中点，点E在直线上，且，，若，则线段的长为 cm． 5．（23-24七年级上·四川达州·期末）在直线m上取P，Q两点，使，再在直线m上取一点R，使，M，N分别是，的中点，则 ． 6．（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 分类讨论思想求解角的度数问题的多解题 1．（24-25七年级上·全国·期末）已知，射线平分，则的度数为 2．（23-24七年级下·湖北恩施·期末）已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则 度． 4．（23-24七年级下·河南商丘·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，．若固定三角板，改变三角板的位置（其中点的位置始终不变），当 时，． 5．（23-24七年级下·广东广州·期末）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 6．（22-23七年级上·广东茂名·期末）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则 度． 整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 1．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 2．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)若，则________； (2)小张同学发现线段在线段上运动时，的长度始终不变，你认为小张同学说的对吗？请说明理由． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点在线段上，且． (1)比较线段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)如果是的中点，是的中点，求线段的长度． (3)在（2）中，如果，其他条件不变，那么_____．（用含的式子表示） 4．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题情境】已知A，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． 【初步应用】（1）如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； 【迁移应用】（2）若点是直线上的一点，且满足，，求线段的长度． 5．（23-24七年级上·北京西城·期末）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 6．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 1．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 2．（23-24七年级上·广东梅州·期末）已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题． (1)尝试探究：如图1，已知，的度数为________； (2)初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由； (3)拓展提升：如图3，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 3．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 4．（23-24七年级上·青海西宁·期末）【探究发现】 如图①，点，在线段上，点，分别是，的中点． （1）若，，，求的长； （2）若，，则 ； （3）若，，则 ；（用含，的代数式表示） 【类比应用】 如图②，射线，在内部，，分别平分，． （4）若，，则 ； （5）若，，则 ．（用含，的代数式表示） 5．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)观察分析∶若则 ，若则 ； (2)猜想探究∶如图，若将两个同样的三角尺，锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (3)拓展应用∶如图，如果把任意两个锐角的顶点重合在一起，已知，（、都是锐角），请你直接写出与的关系． 6．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$