专题06 与整式及加减有关的规律探究问题（4大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版2024）

专题06 与整式及加减有关的规律探究问题 与单项式有关的规律探究问题 1．（23-24七年级上·云南文山·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是 ． 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察一列单项式：，，，，，…按此规律，第2024个单项式为 ． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 4．（23-24七年级上·江西抚州·期末）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第2024个单项式是 ． 5．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 数字排列之规律探究问题 1．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）将按一定的规律排列如下． 第一行 　1 第二行 　 第三行　　　 第四行　　　 请你写出第行从左至右第个数是（　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于（　　）    A．第18行，第7列 B．第17行，第7列 C．第17行，第11列 D．第18行，第11列 3．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）正整数按如图的规律排列，请写出第15行，第18列的数字是（    ） A．284 B．296 C．303 D．304 4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）将从1开始的自然数按以下规律排列成一个三角形数阵： 例如：第3行上的数字“6”可记作，第5行上的数字“19”可记作，则在这个数阵中的“2020”可记作 （   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·广东汕头·期末）将全体正偶数排成一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,则第行从左向右的第个数是 ． 6．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40 现用表示第组从左往右数第个数，则当时， ． 7．（22-23七年级上·湖北宜昌·期末）观察下列的三行单项式 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为 (2)第②行的第8个单项式为 ，第③行的第8个单项式为 (3)取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 数字运算规律探究问题 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）对于正整数x，我们可以用符号表示代数式，并规定：若x为奇数，则；若x为偶数，则．例如：，．设，，，…，依此规律进行下去，得到一列数：，，，…，（n为正整数），则的值是（    ） A．16 B．18 C．20 D．2024 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）数学探究小组在一次探究课上，小明突然发现有这样一个有趣的数学规律，已知一组数列：，，，…，当时，则等于（    ） A．3 B． C． D． 3．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算：等于（    ） A． B． C．2023 D．2024 4．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，…利用以上运算的规律，计算 ． 5．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）对于正整数m，我们规定：若m为奇数，则；若m为偶数，则．例如，．若，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，…，，（n为正整数），则 ． 数字运算末尾数字规律探究问题 1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）观察下列等式：，，，，，，根据这个规律，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．8 D．6 2．（23-24七年级上·山东德州·期末）发现规律解决问题是常见解题策略之一，已知数，则这个数a的个位数为（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 3．（23-24七年级上·山东聊城·期末）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）计算3的正数次幂，观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是 ． 数字与图形综合规律探究问题 1．（23-24七年级上·四川雅安·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为（    ）    A．112 B．96 C．128 D．84 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，各图形中的三个数之间具有相同的规律． 依此规律，用含m，n的代数式表示y，得 (   ) A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·湖北随州·期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则q的值为（    ） A．2500 B． C．2601 D． 5．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（    ） A．12 B．16 C．64 D．76 6．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知下面各长方形中的四个数之间都有相同的规律，则m的值是 ． 7．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）观察图中“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律，求出的值为 ． 8．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，把每个正方形等分为4格，在每格中填入数字，在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律， ．（用，表示） 与图形有关的规律探究问题 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成，其中第1个图形共有小正方形14个；第2个图形共有小正方形19个；第三个图形共有小正方形24个；……则第n个图形中小正方形的总个数为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）小明用若干根等长的小木棒设计出如下图形，呈一定的规律性，则第个图形中有小木棒 根． 3．（23-24七年级上·四川南充·期末）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，…．按此规律排列下去，第个图形中一共有 个实心圆点． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）按如下方式摆放餐桌和椅子： (1)当有5张桌子时，可以坐 人； (2)某班恰好有50人，需要多少张餐桌？ 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 6．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 7．（23-24六年级上·山东烟台·期末）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“”的个数为______个； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为个，第2个图案中“★”的个数可表示为个，第3个图案中“★”的个数可表示为个，…，按照这个规律，则第n个图案中“★”的个数可表示为______个． 8．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖；以此递推．    ①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖． ②第n层中含有______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）． 【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由． 9．（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 10．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1    据此规律： (1)请写出第3个等式： (2)猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的个草垛的最底端有2024支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 与数字等式有关的规律探究问题 1．（23-24七年级上·四川泸州·期末）观察下列各式： 请你猜想规律，用含自然数的等式表示出来： ． 2．（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 4．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 5．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 6．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 与整式及加减有关的规律探究问题 与单项式有关的规律探究问题 1．（23-24七年级上·云南文山·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键．直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案． 【详解】解：，，，， 单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数， 第个代数式是：． 故答案为： 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察一列单项式：，，，，，…按此规律，第2024个单项式为 ． 【答案】/ 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律．根据每个单项式的系数为分数，且分数的分子与单项式的个数相同，分母多1；再根据每个单项式的字母为a，且指数是1，2，3重复出现；最后再根据一正一负的规律写出答案． 【详解】解：， ， ， ∴第2024个单项式为， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）观察下列单项式：，，，，，…，按此规律，这列单项式中的第9个为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式规律题，分别找到单项式的系数和字母指数的变化规律求解即可． 【详解】解：观察所给前几个单项式的系数和指数，发现第n个单项式的系数为，字母指数为n， ∴这列单项式中的第9个为， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江西抚州·期末）观察下列单项式：，，，，…，按此规律，第2024个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第个单项式为是解题的关键． 【详解】解：由题意可知 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：； 第个单项式为： ； 故答案：． 5．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）观察下列各式：，，，，…，，，…，根据你猜测的规律，请写出第2023个式子是 ，第（是正整数）个式子是 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、单项式规律题 【分析】本题考查了单项式，数字的变化规律；判断出单项式的符号，系数以及幂与序号之间的关系是解决本题的关键． 【详解】解：通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是，的指数为． 则第项为， ∴第2023个式子是， 故答案为：，． 数字排列之规律探究问题 1．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）将按一定的规律排列如下． 第一行 　1 第二行 　 第三行　　　 第四行　　　 请你写出第行从左至右第个数是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．观察题目数据特征，写出第n项数的表示法，根据第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，…可知第10行有10个数，前10行共有个数，从而可得答案． 【详解】解：分子的规律：都是1； 分母的规律：1，2，3，4，5，6… 正负性：奇数项是正数，偶数项是负数， 故第n项是：n为正整数， 由题意知，第1行有1项，第二行2项，第3行有3项，… 因此前10行有项， ∴， ∴第行从左至右第个数是， 故选：D． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知如图，观察数表，横排为行，竖排为列，根据前五行所表达的规律，说明这个分数位于（　　）    A．第18行，第7列 B．第17行，第7列 C．第17行，第11列 D．第18行，第11列 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题是数字类的规律题，此类题变化多样，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样；因此要认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法；有时也会利用方程解决问题．前5行的数表显示的规律有：①第行有个数；②每一行的同一列的分母相同；③每一行的分母与分子是连续整数的正排列和倒排列；④第行的任意一个数的分子与分母的和为；因此根据这些规律得出结论． 【详解】解：观察数表，发现：①第一行的每个数的分子、分母的和为2，第二行的每个数的分子、分母的和为3，第三行的每个数的分子、分母的和为4，，由此可知，就是每行各数的分子、分母的和为行数加1， ②每行的第一个数的分母为1，第二个数的分母为2，，即分母是几就是第几个数； 所以所在的行数为，即第17行中，位于自左至右第11个数． 故选：C 3．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）正整数按如图的规律排列，请写出第15行，第18列的数字是（    ） A．284 B．296 C．303 D．304 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行第一个数的规律，再找出每一行每一列的数字规律，即同数的行和列，是每行第一个数依次减1，即可解题． 【详解】解：第1行第1列：， 第2行第1列：， 第3行第1列：， 第4行第1列：， 第5行第1列：， 则第18行第1列：，第18行第18列：， 往上3行则为第15行，第18列，即， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）将从1开始的自然数按以下规律排列成一个三角形数阵： 例如：第3行上的数字“6”可记作，第5行上的数字“19”可记作，则在这个数阵中的“2020”可记作 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给数的排列特点，找到每组数之间的规律是解题的关键．通过观察所给数阵可得奇数行的第一个数，偶数行的最后一个数是，由2025所在的位置推导出2020的位置即可． 【详解】解：奇数行的第一个数，偶数行的最后一个数是， ∵452=2025， ∴2025是第45行第一个数， ∴2020是第45行的第6个数， ∴数阵中的“2020”可记作． 故选：A． 5．（23-24九年级上·广东汕头·期末）将全体正偶数排成一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,则第行从左向右的第个数是 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查归纳推理．首先找出三角形数阵的规律,求出前行正偶数的个数,然后由偶数的特点求出第行的第个偶数． 【详解】解:设根据题意观察得知,第行有个偶数, ∴前行共有正偶数（个）, ∴第个偶数为,是第行的最后一个, ∴第行从左到右的第个偶数为． 故答案为:． 6．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40 现用表示第组从左往右数第个数，则当时， ． 【答案】12 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含m的代数式表示出第m组最后一个数，判断出2024在第32个组，进而可得答案． 【详解】解：依题意，得：第组中偶数的个数为个， 第组最后一个偶数为， 当时，第31组最后一个偶数为， 当时，第32组最后一个偶数为， ，， 数在第32组，， 表示为， ． 故答案为：12． 7．（22-23七年级上·湖北宜昌·期末）观察下列的三行单项式 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ (1)根据你发现的规律，第①行第8个单项式为 (2)第②行的第8个单项式为 ，第③行的第8个单项式为 (3)取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)769 【知识点】单项式规律题、含乘方的有理数混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、合并同类项 【分析】（1）根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解； （2）根据题目中单项式的系数和字母的指数的变化情况寻找规律即可求解； （3）根据（1）、（2）中所得规律列代数式代入值即可． 【详解】（1）解：、、、、、、……①， 可得第①行第个单项式为， ∴第①行第8个单项式为． 故答案为：； （2）、、、、、、……②， 、、、、、、……③， 可得第②行第个单项式为， 第③行第个单项式为， ∴第②行的第8个单项式为：， 第③行的第8个单项式为：． 故答案为：，； （3）根据（1）、（2）中所得规律，可得第①行第9个单项式为，第②行第9个单项式为，第③行的第9个单项式为， ∴， 当时， ． 【点睛】本题主要考查了单项式规律题、代数式求值、有理数的混合运算等知识，解题的关键是准确寻找单项式的变化规律． 数字运算规律探究问题 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）对于正整数x，我们可以用符号表示代数式，并规定：若x为奇数，则；若x为偶数，则．例如：，．设，，，…，依此规律进行下去，得到一列数：，，，…，（n为正整数），则的值是（    ） A．16 B．18 C．20 D．2024 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律．写出这列数的前几项，寻找规律，得出这列数从开始每项为一个循环，由此进行计算． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由此可发现，从开始，每项按4，2，1为一个循环，且开始，n是3的倍数时，值为1， ∵余2，，，， ∴ ． 故答案为：B． 2．（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）数学探究小组在一次探究课上，小明突然发现有这样一个有趣的数学规律，已知一组数列：，，，…，当时，则等于（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，求出可得规律，这一列数，每4个数为一个循环，依次出现，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ， ……， 以此类推，这一列数，每4个数为一个循环，依次出现， ∵， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算：等于（    ） A． B． C．2023 D．2024 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了新定义，数字类规律探究，解题的关键是读懂题意，从已知中找到规律．从已知可得，n为正整数时，， ，然后即可计算出所求式子的值． 【详解】解：∵，，…； ，，…． ∴， ， ∴． 故选C． 4．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，…利用以上运算的规律，计算 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得规律，据此可得，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推，， ∴ ， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）对于正整数m，我们规定：若m为奇数，则；若m为偶数，则．例如，．若，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，…，，（n为正整数），则 ． 【答案】682 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数与式的新定义，解题的关键是读懂题意，从中发现规律，利用规律解决问题．按题意求，，，，，，，，在结果中寻找规律，再利用规律解决问题． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 观察，角标是3的倍数时，结果为3， ，， ， ． 故答案为：682． 数字运算末尾数字规律探究问题 1．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）观察下列等式：，，，，，，根据这个规律，则的末位数字是（    ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字类规律探索，解题关键是注意观察循环的数字规律，利用规律解决问题．通过观察发现的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，据此分析计算，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，，，，，，，……， 可发现规律，的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，且，尾数为0， 又因为，， 所以，末位数字是4． 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东德州·期末）发现规律解决问题是常见解题策略之一，已知数，则这个数a的个位数为（　　） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力．根据题意得出的个位数字与的个位数字相同是解题关键． 【详解】解：的个位数字是1，的个位数字是2，的个位数字是3….. 个位数字是， 即：的个位数字与的个位数字相同， ∵，， ∴这个数a的个位数为5 故选：D 3．（23-24七年级上·山东聊城·期末）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察发现：这一列数的个位数字每4个数字为一个循环，2，4，8，6依次出现，根据，，的个位数字与的个位数字相同是4，的个位数字与的个位数字相同是8，进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ……， 以此类推，可知 这一列数的个位数字每4个数字为一个循环，2，4，8，6依次出现， ∵，， ∴的个位数字与的个位数字相同是4，的个位数字与的个位数字相同是8， ∵． ∴的末位数字是2． 故选：A． 4．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）计算3的正数次幂，观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是 ． 【答案】1 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据得到的个位数字以四个一组进行循环，进一步求解即可． 【详解】解：由题意，可知：的个位数字以四个一组进行循环， ∵， 故的个位数字是1； 故答案为：1． 数字与图形综合规律探究问题 1．（23-24七年级上·四川雅安·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为（    ）    A．112 B．96 C．128 D．84 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】此题考查了数字类规律探究，根据前三个正方形中数字得到数量关系：，，，求出a，b，c的值，代入计算即可，正确理解各正方形中数字间的关系是解题的关键． 【详解】由题意得： ，，， ，，， ，，， ， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查的是数字类的规律题，结合题意，根据数字规律的性质，分别计算正方形中四个数字的规律，即可得到答案，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键． 【详解】第一个正方形左上角数字为：， 第二个正方形左上角数字为：， 第三个正方形左上角数字为：， ， 第个正方形左上角数字为：； 第一个正方形右上角数字为：， 第二个正方形右上角数字为：， 第三个正方形右上角数字为：， ， 第个正方形右上角数字为：； ∵题干中最后一个正方形右上角为：， ∴， ∴， ∴， ∴题干中最后一个正方形为第10个正方形； 第一个正方形左下角数字为：， 第二个正方形左下角数字为：， 第三个正方形左下角数字为：， ， 第个正方形左下角数字为：， 第九个正方形左下角数字为：，即； 第一个正方形右下角数字为：， 第二个正方形右下角数字为：， 第三个正方形右下角数字为：， ， 第个正方形右下角数字为：， ∵， ∴第个正方形右下角数字为：， 故选：． 3．（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，各图形中的三个数之间具有相同的规律． 依此规律，用含m，n的代数式表示y，得 (   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查探究规律，观察探索发现规律是解答本题的关键．右下角的数是左下角的数与2的和与中间的数的积． 【详解】解：右下角的数是左下角的数与2的和与中间的数的积． 据此发现：． 故选：D． 4．（23-24七年级上·湖北随州·期末）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则q的值为（    ） A．2500 B． C．2601 D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律．由题意，找出图形的数字规律，然后求出当时，q的值即可． 【详解】解：根据题意， 下面的三角形的数字为； 左上角的三角形的数字为； 右上角的三角形的数字，当为奇数时，；当为偶数时，； ∴当时，即， 解得，为奇数， ∴； 故选：C． 5．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（    ） A．12 B．16 C．64 D．76 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、代数式、有理数混合运算、一元一次方程的性质，从而完成求解． 结合题意，根据数字规律的性质，分别计算正方形中四个数字的规律，即可得到答案． 【详解】第一个正方形左上角数字为：1， 第二个正方形左上角数字为：2， 第三个正方形左上角数字为：3， … 第n个正方形左上角数字为：n； 最后一个正方形左上角数字为：6， ∴； 第一个正方形右上角数字为：， 第二个正方形右上角数字为：， 第三个正方形右上角数字为：， … 第n个正方形右上角数字为：； 第一个正方形左下角数字为：， 第二个正方形左下角数字为：， 第三个正方形左下角数字为：， … 第n个正方形左下角数字为：， ∴最后一个正方形左下角数字为：， 第一个正方形右下角数字为：， 第二个正方形右下角数字为：， 第三个正方形右下角数字为：， … 第n个正方形右下角数字为：， ∵， ∴， 故选：D． 6．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知下面各长方形中的四个数之间都有相同的规律，则m的值是 ． 【答案】2023 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数的规律探索，找到规律即可求解． 【详解】解：第一行第一个数是从1开始的自然数，第一行第二个比第一个数大4；第一列第一个数比该列第二个数小2，右下角的数是第一行第二个数与第二行第一个数的积与1的差； 由此规律得：； 故答案为：2023． 7．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）观察图中“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律，求出的值为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】此题考查了数字变化规律，由图可知，上边的数与下边左边的数的和正好等于下边右边的数，上边的数为连续的偶数，上边的数为，下边左边的数为，由此可得的值，即可求解，通过表中的数找到它们之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵上边的数为连续的偶数， 由，得， ∵下边左边的数为， ∴， ∵上边的数与下边左边的数的和正好等于下边右边的数， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，把每个正方形等分为4格，在每格中填入数字，在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律， ．（用，表示） 【答案】/ 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察并计算可知，正方形格子中左下角和右上角两个数的乘积加上左上角的数的和等于右下角的数，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个图中，， 第二个图中，， 第三个图中，， ……， 以此类推，可知正方形格子中左下角和右上角两个数的乘积加上左上角的数的和等于右下角的数， ∴， 故答案为：． 与图形有关的规律探究问题 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）“中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成，其中第1个图形共有小正方形14个；第2个图形共有小正方形19个；第三个图形共有小正方形24个；……则第n个图形中小正方形的总个数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形类规律探究，根据已知数据，得到后一个图形比前一个图形多5个小正方形，列出代数式即可． 【详解】解：由题意，得：后一个图形比前一个图形多5个小正方形， ∴第n个图形中小正方形的总个数为：； 故选C． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）小明用若干根等长的小木棒设计出如下图形，呈一定的规律性，则第个图形中有小木棒 根． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，计算出前个图形的小木棒数量可得规律第个图形有根小木棒，据此可得答案． 【详解】解：第个图形有根小木棒， 第个图形有根小木棒， 第个图形有根小木棒， 第个图形有根小木棒， ……， 以此类推，可得第个图形有根小木棒， 当时，， ∴第个图形中有小木棒根 故答案为：． 3．（23-24七年级上·四川南充·期末）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，…．按此规律排列下去，第个图形中一共有 个实心圆点． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形一共有个实心圆点是解题的关键．根据已知图形中实心圆点的个数得出规律第个图形有个实心圆点即可． 【详解】解：由题知，第①个图形一共有个实心圆点， 第②个图形一共有个实心圆点， 第③个图形一共有个实心圆点， …， 第个图形一共有个实心圆点， ∴第个图形中一共有个实心圆点， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）按如下方式摆放餐桌和椅子： (1)当有5张桌子时，可以坐 人； (2)某班恰好有50人，需要多少张餐桌？ 【答案】(1)14 (2)需要23张餐桌 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形的规律性问题，总结规律即可得出答案． （1）总人数等于桌子的数量乘2再加4人，从而得出5张桌子的人数； （2）根据第（1）小题得出的规律，从而计算出50人用的桌子的数量． 【详解】（1）解：由图可得1张桌子时，有把椅子； 2张桌子时，有把椅子； 3张桌子时，有把椅子； 4张桌子时，有把椅子； ∴5张桌子时，有把椅子； 故答案为：14 （2）由（1）可得出n张桌子时，有把椅子． 当， 解得：， 某班恰好有50人，需要23张餐桌． 5．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】(1)n； (2)674个 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）观察发现第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个；第2个图案：正方形有2个，等边三角形有个；依次计算可解答； （2）由（1）中的规律可知：等边三角形剩余最少为1块，则，求出n的值即可． 本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】（1）第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个， 第2个图案：正方形有2个，等边三角形有（个）， 第3个图案：正方形有3个，等边三角形有（个）， 第4个图案：正方形有4个，等边三角形有（个）， …… 第n个图案：正方形有n个，等边三角形有个． 故答案为：n；； （2）要使等边三角形剩余最少，则最少为1块， ， ， ∴按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个． 6．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；4 (2)第个图案中有正三角形个．六边形有个 (3)三角形的个数为个；六边形的个数为个 (4)没有，理由见详解 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； （2）解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． （3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4）解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 7．（23-24六年级上·山东烟台·期末）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“”的个数为______个； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为个，第2个图案中“★”的个数可表示为个，第3个图案中“★”的个数可表示为个，…，按照这个规律，则第n个图案中“★”的个数可表示为______个． 【答案】(1) (2) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形类规律， （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． 【详解】（1）解：第一个图案中有3个“”； 第二个图案中有个“”； 第三个图案中有个“”； 第四个图案中有个“”； 第n个图案中有个“”； 故答案为：； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为个； 第2个图案中“★”的个数可表示为个； 第3个图案中“★”的个数可表示为个； 第n个图案中“★”的个数可表示为个； 故答案为：． 8．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖；以此递推．    ①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖． ②第n层中含有______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）． 【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由． 【答案】①6，；②；应用：铺设这样的图案，需要块，理由见解析． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】①根据图形找到规律每层正方形都是6个，正三角形第一层6个，每层逐渐增加2倍直接求解即可得到答案； ②根据规律直接求解即可得到答案； 应用：根据正方形得到层数，结合规律求解即可得到答案； 【详解】解：①由图形可得，每层正方形都是6个，正三角形第一层6个，每层逐渐增加2倍， 第3层中的三角形个数为：， 故答案为：6，； ②由图形规律可得，第n层中含有正三角形地板砖为：， 故答案为：； 应用：铺设这样的图案，需要块； 理由：因为（层）， 则块正方形地板砖可以铺设这样的图案层， ∴铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：， 则需要三角形地板砖数量为（块）； 【点睛】本题考查图形规律，解题的关键是根据图形找到规律每层正方形都是6个，正三角形第一层6个，每层逐渐增加2倍． 9．（23-24七年级上·安徽·期末）探索规律： 在数学探究课上，小明将一张面积为1的正方形纸片进行分割，如图所示： 第1次分割，将此正方形的纸片三等分，其中空白部分的面积记为； 第2次分割，将第1次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； 第3次分割，将第2次分割图中空白部分的纸片继续三等分，其中空白部分的面积记为； …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)尝试：第4次分割后，______ (2)初步应用：根据规律，求的值． (3)拓展应用：利用以上规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． （2）利用规律解决问题即可． （3）用转化的思想解决问题即可． 本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】（1）解：第4次分割后空白部分的面积为 故答案为：； （2）解：第1次分割后空白部分的面积为 第2次分割后空白部分的面积为 第3次分割后空白部分的面积为 第4次分割后空白部分的面积为 ∴ 故答案为： （3）解：由（2）得出 第n次分割后空白部分的面积为 ∴ ∴ 10．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1    据此规律： (1)请写出第3个等式： (2)猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的个草垛的最底端有2024支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行解答即可； （2）分析所给的等式，不难得出结果； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：第3个等式为：， 故答案为：； （2）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ， 第个等式：， 故答案为：； （3）草垛的最底端有2024支小正方形草束， ． 与数字等式有关的规律探究问题 1．（23-24七年级上·四川泸州·期末）观察下列各式： 请你猜想规律，用含自然数的等式表示出来： ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了用代数式表示数字规律，通过观察等式的变形即可求解． 【详解】由题意得：该规律用含自然数的等式表示出来为， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，数字规律的运用， （1）根据材料提示的运算法则，数字规律，代入计算即可； （2）根据上述运算，总结规律即可． 【详解】（1）解：第①个等式，， 第②个等式，， 第③个等式，， 第④个等式，， ∴第⑩个等式，， ∴第⑩个等式，； （2）解：根据（1）中的计算可得，第个等式为：， 检验：等式左边 右边， ∴第个等式是． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下面的变形规律：，，，……， 解答下面的问题： (1)＝　 　，＝　 　． (2)若为正整数，猜想＝　 　． (3)求值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算：（1）根据题目中给出的算式，可以写出相应的算式； （2）根据题目中给出的算式，可以写出相应的猜想； （3）根据题目中的算式和所求式子的特点，可以先拆项，然后再计算即可． 【详解】解：（1），． 故答案为：，． （2）若为正整数，． 故答案为：． （3） ． 4．（23-24七年级上·四川成都·期末）观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 5．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）观察下列算式， 第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第个算式：_______（为正整数） (2)______（，为正整数且） (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、数字类规律探索 【分析】该题是规律探究类题型，解题的关键是总结出规律，也考查了绝对值和平方的非负性． （1）根据题中所给等式关系，即可分别求解； （2）根据（1）中所给等式关系，即可分别求解； （3）由非负性可得，代入式子中化简即可求解； 【详解】（1）解：根据第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子 根据以上规律可得第个算式为：； （2）解： 根据（1）中规律， 则； （3）解：∵， ∴， 则 ． 6．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）阅读材料，按要求完成下列问题． 计算：的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： 将以上两式相减，得： 即 所以 请仿照此方法完成下列问题： (1)______．（直接写出结果） (2)计算：（写出解答过程）． (3)计算：（写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】此题主要考查等式的规律探索，有理数乘方运算，解题的关键是根据题意找到规律进行求解． （1）设，则，根据即可求出结果； （2）设，将等式两边同时乘以2，得，将以上两式相减得：，即可得出； （3）设，将等式两边同时乘以5得出，将以上两式相减得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得：， ∴； （2）解：设， 将等式两边同时乘以2，得： ， 将以上两式相减，得： ， 即， ∴； （3）解：设， 将等式两边同时乘以5，得： ， 将以上两式相减，得： ， 则， 即， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$