精品解析：河南平顶山2024-2025学年上学期阶段性学情分析（二）九年级数学期中试卷

2024~2025学年上学期阶段性学情分析（二） 九年级数学（BS） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边相等 3. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同，嘉淇从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了100次球，其中有30次摸到白球，估计袋子中有白球（ ） A. 50个 B. 30个 C. 25个 D. 15个 4. 如图，在平行四边形中，点在边上，，的延长线交于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下： 则表示方程的一个根的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 6. 如图所示的两张扑克牌除正面图案外其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间（沿图中虚线）剪断，得到四张形状大小相同的卡片．将四张卡片洗匀后背面朝上，从中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，则抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（ ） 天翼的做法： 添加条件． 证明：，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件． 证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）． A. 天翼的做法证明过程没有问题 B. 佳琛的做法证明过程没有问题 C. 天翼的做法添加的条件没有问题 D. 佳琛的做法添加的条件有问题 8. 在学习完特殊的平行四边形这一章后，老师测验了同学们对特殊平行四边形的知识掌握情况，下面是张小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名：张小亮 得分： ？ 判断（每小题分，共分） ①四边相等的四边形是菱形．（√） ②菱形的对角线相等且互相平分．（√） ③有两个角是直角的四边形是矩形．（×）． ④对角线相等的平行四边形是矩形．（√） ⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．（×） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 9. 某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（ ） A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 10. 关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图是两个形状相同的举重图案，则的值是___________． 12. 如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O四个点中的______． 13. 已知、是方程的两个实数根，则_________． 14. 一个口袋中有4个球，分别标有2，3，4，5四个数字，这些球除标志的数字不同外都相同，从中随机抽取两个球，则两个球上的数字之和大于7的概率是___________． 15. 如图，平面直角坐标系中正方形ABCD的顶点A（0，12），B（5，0），过D作DF⊥x轴交AC于点E，连接BE，则△BEF的周长是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 关于的一元二次方程为． （1）求出方程的根； （2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 18. 3月31日上午8点30分，2024郑开马拉松赛在郑州郑东新区准时鸣笛开赛，来自全国各地的29000名马拉松爱好者激情开跑，参赛选手们激情开跑的同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．大学生甲和大学生乙报名参加了赛事志愿者，两人根据组委会安排，随机参加以下四项志愿者工作中的任意一项：A．赛道指引，B．物资发放，C．集结检录，D．人群疏散 （1）大学生甲被随机安排参加“A．赛道指引”志愿工作的概率为_______________； （2）请用画树状图或列表法，求大学生甲和乙中至少有一人被随机安排参加“B．物资发放”志愿者工作的概率． 19. 在中，，点是边上的一点，连接，作，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当是边的中点时，若，，求四边形的面积． 20. 某“综合与实践”小组开展测量某塔高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下： 课题 测量塔的高度 成员 组长：×××；组员：×××，×××，××× 测量工具 盒尺，平面镜 测量示意图 说明：观测者站在处通过平面镜恰好能看到塔的顶端点，眼睛记作点，平面镜所在处记为点，塔底部的中心点记作点，点、、在同一水平直线上，且，均垂直于水平地面． 测量数据 观测者的脚到平面镜的距离 平面镜与塔的水平距离 眼睛到地面的距离 测高方法 利用光的反射原理 请根据以上测量结果及该小组的思路，求塔的高度． 21. 某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为米的道路．已知停车位的面积（即阴影面积）为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为21120元，同时尽可能让利于居民？ 22. 如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值． 【跨学科】 23. 图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点，并与过凸透镜中心的光线交于点，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． （1）如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； （2）如图3，若物距，焦距时，成放大、正立的虚像，虚像与物在凸透镜同侧，此时虚像长度为，蜡烛的长为，求此时像距的长； （3）若蜡烛的长为5cm，物距，焦距，求像距和像的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期阶段性学情分析（二） 九年级数学（BS） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例，比例的性质，掌握线段成比例的计算方法，比例的性质是解题的关键． 根据线段成比例可得，由此代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 解得，， 故选：A ． 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形和菱形的性质，根据对角线相等的菱形是正方形即可得出结果． 【详解】解：∵对角线相等的菱形是正方形， ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 故选B． 3. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同，嘉淇从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸了100次球，其中有30次摸到白球，估计袋子中有白球（ ） A. 50个 B. 30个 C. 25个 D. 15个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值此即概率，同时也考查了概率公式的应用． 首先求出摸到的白球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中白球的个数． 【详解】解：∵摸了100次后，发现有30次摸到白球， ∴摸到白球的频率是． ∵袋子中有红球、白球共50个， ∴这个袋子中白球约有个． 故选：D． 4. 如图，在平行四边形中，点在边上，，的延长线交于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出． 由平行四边形的性质得到，推出，得到，而，于是得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：B． 5. 在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下： 则表示方程的一个根的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法． 结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：C． 6. 如图所示的两张扑克牌除正面图案外其他完全相同，将这两张扑克牌从正中间（沿图中虚线）剪断，得到四张形状大小相同的卡片．将四张卡片洗匀后背面朝上，从中随机抽取一张，不放回，接着再随机抽取一张，则抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．解题时注意：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的动物均为哺乳动物的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设梅花K剪开的两张分别为A和B，红桃K剪开的两张分别为C和D，根据题意画图如下： 共有12种等可能的情况数，其中抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的有4种， 则抽到的这两张卡片恰好能拼成一张完整扑克牌的概率是． 故选：B 7. 如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（ ） 天翼的做法： 添加条件． 证明：，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件． 证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）． A. 天翼的做法证明过程没有问题 B. 佳琛的做法证明过程没有问题 C. 天翼的做法添加的条件没有问题 D. 佳琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题， 佳琛的做法添加的条件有问题，应为，故B选项符合题意， 故选：B． 8. 在学习完特殊的平行四边形这一章后，老师测验了同学们对特殊平行四边形的知识掌握情况，下面是张小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名：张小亮 得分： ？ 判断（每小题分，共分） ①四边相等的四边形是菱形．（√） ②菱形的对角线相等且互相平分．（√） ③有两个角是直角的四边形是矩形．（×）． ④对角线相等的平行四边形是矩形．（√） ⑤有一个角是直角的平行四边形是正方形．（×） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形，矩形和正方形的判定，掌握菱形，矩形和正方形的判定定理和性质是解题的关键．根据菱形，矩形和正方形的判定逐个分析即可． 【详解】①四边相等的四边形是菱形，故①正确，小亮回答正确； ②菱形的对角线垂直且互相平分，故②错误，小亮回答错误； ③有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例直角梯形，故③错误，小亮回答正确； ④对角线相等的平行四边形是矩形，故④正确，小亮回答正确； ⑤有一个角是直角的平行四边形是矩形不一定是正方形，故⑤错误，小亮回答正确； 小亮答对4题，共得分， 故选：B． 9. 某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（ ） A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 10. 关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 在中，令，可判断①；当，，时，得出，可判断②；若方程有两个不相等的实根，可得，可判断③；若是一元二次方程的根，可得，可判断④． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②， ， 又， ， ， ∴方程一定有实数根，故说法②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，即， ， ∴方程必有两个不相等的实根，故说法③正确； ④若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ， ∴，故说法④正确； ∴正确的有②③④． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图是两个形状相同的举重图案，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 根据相似多边形的性质：对应线段的比等于相似比列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 故答案为：． 12. 如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是点R、点P、点Q、点O四个点中的______． 【答案】点O 【解析】 【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案． 【详解】如图所示，位似中心是点O． 故答案为：点O． 13. 已知、是方程的两个实数根，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 先根据根与系数的关系求得，再根据异分母分式的加法法则进行变形处理，然后整理整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ， ， 故答案为：． 14. 一个口袋中有4个球，分别标有2，3，4，5四个数字，这些球除标志的数字不同外都相同，从中随机抽取两个球，则两个球上的数字之和大于7的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案 【详解】解∶列表如下∶ 由表知，共有12种等可能结果，其中随机抽取的两个球中数字之和大于7的有4种结果，所以随机抽取的两个球中数字之和大于7的概率为， 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中正方形ABCD的顶点A（0，12），B（5，0），过D作DF⊥x轴交AC于点E，连接BE，则△BEF的周长是________． 【答案】24 【解析】 【分析】过点D作DM⊥y轴于点M，证明△DMA≌△AOB（AAS），由全等三角形的性质得出DM=OA=12，AM=OB=5，求出D（12，17），证明△DAE≌△BAE（SAS），由全等三角形的性质得出DE=BE，则可得出△BEF的周长=BF+DF=24． 【详解】解：过点D作DM⊥y轴于点M， ∵A（0，12），B（5，0）， ∴AO=12，OB=5， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=90°， ∴∠DAM+∠OAB=90°， 又∵∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠DAM=∠OBA， 又∵∠DMA=∠AOB， ∴△DMA≌△AOB（AAS）， ∴DM=OA=12，AM=OB=5， ∴OM=17， ∴D（12，17）， ∵DF⊥x轴， ∴四边形DMOF为矩形， ∴DM=OF=12， ∴BF=OF-OB=12-5=7， ∵DA=AB，∠DAE=∠BAE=45°，AE=AE， ∴△DAE≌△BAE（SAS）， ∴DE=BE， ∴△BEF的周长为BE+BF+EF=DE+BF+EF=DF+BF=17+7=24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 已知，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2 （2）6 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件将整理，再代入即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ． 【小问2详解】 解：由得， ∵， ∴． 17. 关于的一元二次方程为． （1）求出方程的根； （2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 【答案】（1）， （2）或4或6 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解． （1）利用一元二次方程求根根式解方程即可． （2）利用（1）中x的值来确定m的值． 【小问1详解】 解：根据题意得，即， 且， ∴， ，． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵方程的两个根都是正整数， ∴是非负整数， 或2或4， 即或4或6，此方程的两个根都为正整数． 18. 3月31日上午8点30分，2024郑开马拉松赛在郑州郑东新区准时鸣笛开赛，来自全国各地的29000名马拉松爱好者激情开跑，参赛选手们激情开跑的同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．大学生甲和大学生乙报名参加了赛事志愿者，两人根据组委会安排，随机参加以下四项志愿者工作中的任意一项：A．赛道指引，B．物资发放，C．集结检录，D．人群疏散 （1）大学生甲被随机安排参加“A．赛道指引”志愿工作的概率为_______________； （2）请用画树状图或列表法，求大学生甲和乙中至少有一人被随机安排参加“B．物资发放”志愿者工作的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法计算随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关键． （1）根据概率公式的计算即可求解； （2）列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再运用概率计算即可求解． 【小问1详解】 解：有四项志愿者工作：A．赛道指引，B．物资发放，C．集结检录，D．人群疏散，从中选择一个， ∴大学生甲被随机安排参加“A．赛道指引”志愿工作的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表或画树状图把所有等可能结果表示如下， ∴共有种等可能结果，其中至少有一人被随机安排参加“B．物资发放”志愿者工作情况有钟， ∴至少有一人被随机安排参加“B．物资发放”志愿者工作的概率为． 19. 在中，，点是边上的一点，连接，作，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当是边的中点时，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，证明四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，即可得到； （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，证明四边形是菱形，根据菱形的性质、勾股定理，求出的长，再计算四边形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 四边形是平行四边形， 是边的中点，， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，灵活运用知识是解题的关键． 20. 某“综合与实践”小组开展测量某塔高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量报告如下： 课题 测量塔的高度 成员 组长：×××；组员：×××，×××，××× 测量工具 盒尺，平面镜 测量示意图 说明：观测者站在处通过平面镜恰好能看到塔的顶端点，眼睛记作点，平面镜所在处记为点，塔底部的中心点记作点，点、、在同一水平直线上，且，均垂直于水平地面． 测量数据 观测者的脚到平面镜的距离 平面镜与塔的水平距离 眼睛到地面的距离 测高方法 利用光的反射原理 请根据以上测量结果及该小组的思路，求塔的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 由光的反射定理证明，得到，即可求出． 【详解】解：由光的反射定理得，． ， ， ， ，即， ， 故塔的高度为． 21. 某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为米的道路．已知停车位的面积（即阴影面积）为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为21120元，同时尽可能让利于居民？ 【答案】（1）道路的宽是4米 （2）每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为21120元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积（即阴影面积）为，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为21120元，根据“该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可． 【小问1详解】 解：道路的宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：道路的宽是4米； 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为21120元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让利于居民， ， 答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为21120元． 22. 如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值． 【答案】（1） 证明∶如图，作于，于， 四边形是正方形， ， 于，于， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于，只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【跨学科】 23. 图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点，并与过凸透镜中心的光线交于点，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． （1）如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； （2）如图3，若物距，焦距时，成放大、正立的虚像，虚像与物在凸透镜同侧，此时虚像长度为，蜡烛的长为，求此时像距的长； （3）若蜡烛的长为5cm，物距，焦距，求像距和像的长． 【答案】（1） 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与没有交点，此时“不成像”； （2） （3）像距，像  【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，可证，得到，则有，所以与没有交点，此时“不成像”即可求解； （2）根据题意可证，结合相似三角形的性质即可求解； （3）根据题意可证，可得，再证，结合相似三角形的性质即可求解 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：已知虚像与物在凸透镜同侧，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴像距； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴像距，像 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $