第一章 勾股定理——最短路径和折叠 课件 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

利用勾股定理解决 最短路径问题、折叠问题 如图,长方体的长为5cm,宽为3cm,高为6cm,一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬行到点B,蚂蚁爬行的最短路程是______. 候课任务 学习目标 1.会用勾股定理求长方体和圆柱中的最短路径问题. 2.会用勾股定理解决直角三角形和长方形中的折叠问题. 3.学会运用方程思想解决问题. 4.通过解决最短路径和折叠问题,培养学生解决实际问题的能力. 类型一 平面上的最短路径问题 图例 模型 一 一定 一动 ________________________________________________________ 解题思路：利用垂线段最短确定最短路径 构造直角三角形 利用勾股定理求解 4 图例 模型 二 两定 一动 __________________________________________________________________ 解题思路：将同侧两点利用轴对称化为异侧 两点 利用两点之间线段最短确定最短路线 构造直角三角形 利用勾股定理求解 续表 5 图1-ZT-1 1.如图1-ZT-1，在中，有一点 在 线段上移动.若， ， 则 的最小值为( ) A A. 4.8 B. 5 C. 4 D. 6 6 图1-ZT-2 2.如图1-ZT-2，牧童在 处放牛，其家在 处，， 到河岸的距离分别为 ， ， ，牧童从 处把牛牵到河边 饮水后回家，最短路程为______ . 1000 7 1.如图1-ZT-4,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm，点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是 cm. 二、最短路径问题 2.如图1-ZT-5,透明的圆柱形玻璃容器（容器壁的厚度忽略不计）的高为12cm,在容器内壁离容器底部4cm的图1-ZT-5点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿4cm的点A处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程为15cm,则该圆柱形玻璃容器的底面周长为 cm. 三、折叠问题 3.如图2-ZT-2所示,有一块直角三角形纸片ABC,直角边BC＝12cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,若CD＝ cm,则AC的长为_____. 4.如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E,F分别在边BC,CD上,将AB,AD分别沿AE,AF折叠,点B,D恰好都落在点G处.已知BE=1. （1）求EF的长； （2）求ΔAEF的面积． 例1.如图,有一个长方体盒子,长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃,小虫爬行的最短路程为 ____cm. 一、长方体上的最短路径问题 图1-ZT-4 5.（2023太原期中）包装纸箱是 我们生活中常见的物品.如图1-Z T-4①，创意小组的同学将一个 的长方 体纸箱裁去一部分（粗虚线为裁 剪线），得到图②所示的简易书 50 架.若一只蜘蛛从该书架的顶点 出发，沿书架内壁爬行到 顶点处，则它爬行的最短距离为____ . 13 图1-ZT-5 6.如图1-ZT-5所示的圆柱体中底面圆的半径 是，高为12，若一只蚂蚁从 点出发沿着 圆柱体的侧面爬行到点，， 分别为 上、下两底面圆的直径，且 ，则 蚂蚁爬行的最短路程是 ____. 13 14 例2.如图,圆柱形玻璃杯的高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）. 二、圆柱体上的最短路径问题 7.已知,如图,折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处,已知AB = 8cm，BC = 10 cm,求EC的长. 例5.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点，将ΔADE沿AE对折至ΔAFE,延长EF交BC于点G,连接AG，且AG平分∠ BAF. （1）求证：ΔABG ≌ ΔAFG； （2）求BG的长． 五、正方形中的折叠问题 $$