专题强化07：几何图形初步题型归纳【16大题型】-2024-2025学年七年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版2024）

专题强化07：几何图形初步题型归纳 【题型归纳】 题型一：立体几何 题型二：几何图形的展开图 题型三；点、线、面、体 题型四：直线、射线、线段的定义 题型五：直线、射线、线段数量与交点问题 题型六：线段的和差问题 题型七：线段的中点（n等分）问题 题型八：最短路径问题 题型九:线段的动点问题 题型十：角的概念 题型十一：钟面角和方向角 题型十二：角的度量 题型十三；角的运算 题型十四：余角和补角问题 题型十五：角平分线 题型十六：角的综合问题 【题型归探究】 题型一：立体几何 1．（24-25六年级上·山东青岛）下列是棱柱的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·四川·期中）如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 3．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图是由7个完全相同的小正方体堆叠成的几何体，若在标有①、②、③、④的其中一个小正方体上放置一个小正方体，从正面看该几何体的形状图不会发生变化，则该正方体的标号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 题型二：几何图形的展开图 4．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图是正方体展开图，将《论语》十二章中的一句话：“学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“学”对面的字是（   ） A．不 B．思 C．则 D．罔 5．（24-25七年级上·重庆·期中）在下列四个正方体中，只有一个是用如图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（    ）                    A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图所示是一个正方体盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形、、中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数，那么填入、、的三个数依次是（   ） A．1，，0 B．，2，0 C．，0，1 D．，1，0 题型三；点、线、面、体 7．（24-25七年级上·广东清远·期中）学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 9．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）下列几何体不能通过平面图形旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 题型四：直线、射线、线段的定义 10．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下列结论正确的是（    ） A．直线比射线长 B．过两点有且只有一条直线 C．过三点一定能作三条直线 D．过一点只能作一条直线 11．（23-24七年级上·陕西西安·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，线段最短 C．经过三个点可画三条直线 D．直线上有三个点A、B、C，若，则点C是线段的中点 12．（22-23七年级上·陕西西安·期末）下列说法，正确的是（　　） A．若，则点为线段的中点 B．两点确定一条直线 C．连接两点的线段叫两点间的距离 D．经过三个点可画三条直线 题型五：直线、射线、线段数量与交点问题 13．（23-24七年级上·四川凉山·期末）已知站与站之间有个车站，那么往返于站与站之间的客车，应安排（   ）种车票． A．10 B．6 C．12 D．8 14．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）高铁出行，方便快捷．为保证雄安、保定、石家庄、邢台、邯郸每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（    ） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 15．（22-23七年级上·福建漳州·期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 题型六：线段的和差问题 16．（24-25七年级上·全国）如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 题型七：线段的中点（n等分）问题 19．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 20．（2023七年级上·浙江·专题练习）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 21．（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 题型八：最短路径问题 22．（23-24七年级下·山东淄博）下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 23．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线减去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______原来正方形的周长，理由是______”此题中横线上应填写的正确答案是（    ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，垂线段最短 D．小于，垂线段最短 24．（23-24七年级上·山东临沂·期末）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（    ） A．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 B．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 C．均用两点之间线段最短来解释 D．均用经过两点有且只有一条直线来解释 题型九:线段的动点问题 25．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 26．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 27．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 题型十：角的概念 28．（24-25七年级上·全国·期末）有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ） A．可以用表示 B．可以用表示 C．图中有三个角、、 D．∠ 题型十一：钟面角和方向角 31．（23-24七年级上·天津·期末）当时钟的时针与分针的夹角为时，对应的时刻是（　　） A．12：15 B．3：45 C．3：30 D．9：30 32．（23-24七年级下·广西南宁·期末）货轮与灯塔的位置如图所示，下列描述正确的是（   ） A．灯塔在货轮的东偏南的方向上 B．灯塔在货轮的东南方向上 C．灯塔在货轮的南偏东的方向上 D．灯塔在货轮的西偏南50°的方向上 33．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，从点处观测点，点的方向，下列说法中错误的是（   ） A．点在点的北偏东方向上 B．点在点的东南方向上 C．点在点的北偏东方向上 D．点在点的南偏东方向上 题型十二：角的度量 34．（22-23七年级上·吉林长春·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24七年级上·河北保定·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型十三；角的运算 37．（24-25七年级上·吉林·期中）如图，，，若平分，则 ． 38．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知，平分，且，则 ． 39．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 题型十四：余角和补角问题 40．（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角的度数是 ，补角的度数是 ． 41．（23-24七年级下·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ． 42．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 题型十五：角平分线 43．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）填空：完成下列说理过程 如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 解：（1）如图，因为是的平分线， 所以______． 因为是的平分线， 所以______． 所以____________°． （2）由（1）可知____________°． 所以____________°． 45．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，射线在的内部，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的度数． 题型十六：角的综合问题 46．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 47．（23-24七年级下·河北张家口·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 48．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【专题训练】 一、单选题 49．（24-25七年级上·全国·期末）若，则的补角的度数为（    ）． A． B． C． D． 50．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点A到点C的距离是线段的长度 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 51．（24-25七年级上·广东广州·期中）10个棱长为的正方体摆放如图的形状，这个图形的表面积是（　　）平方厘米 A．24 B．30 C．36 D．42 52．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（    ） A．航 B．天 C．精 D．神 53．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 54．（24-25七年级上·重庆·期中）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 55．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）下列图形中是正方体展开图的是（  ） A． B． C． D． 56．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 57．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（　　） A．的余角只有 B．图中互余的角共有对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个 58．（23-24七年级下·山东聊城·期中）图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间一定为20秒 C．当值为36秒时，射线恰好平分 D．旋转过程中，使射线是由射线，，中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线，这样的值有两个 二、填空题 59．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 60．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则 ． 61．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 62．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是有五个正方形组成的平面图形，小军手中还有大小相同，标有不同数字的正方形，现在他想这五个正方形基础上添加一个正方形，拼接后可以折叠成一个正方体，并且要求正方体对面数字之和相等，则他共有 种拼接方法，如果他添加的正方形上的数字是，则 ． 63．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则 °． 三、解答题 64．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 65．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 66．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将射线、绕着射线的端点O从的位置起逆时针旋转． (1)若，绕着点O从的位置起逆时针旋转至． ①试求出的度数； ②设以度/秒的速度进行逆时针旋转，同时以度/秒的速度从的位置起进行逆时针旋转．当与重叠时，停止旋转，请说明：旋转过程中，； (2)若绕着点O从的位置起逆时针旋转至，旋转至停止，且满足．试求出与的度数之比． 67．（24-25七年级上·河北保定·期中）用12个大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体，其中，小正方体的棱长为． (1)请利用上面的网格画出从正面看和从上面看该几何体的形状图； (2)图中12个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是_________； (3)小明用若干个相同的小正方体搭成了另一个几何体，结果发现从正面看和从上面看的形状图与刚才的完全一致，则小明所用的小正方体最多有_________块． 68．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】如图①，在中，若，则、叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】    (1)如图①，，、是的“三分线”，则 ； (2)如图②，在中，，，若的“三分线”交于点D，则 ； (3)如图③，在中，、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 69．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 70．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化07：几何图形初步题型归纳 【题型归纳】 题型一：立体几何 题型二：几何图形的展开图 题型三；点、线、面、体 题型四：直线、射线、线段的定义 题型五：直线、射线、线段数量与交点问题 题型六：线段的和差问题 题型七：线段的中点（n等分）问题 题型八：最短路径问题 题型九:线段的动点问题 题型十：角的概念 题型十一：钟面角和方向角 题型十二：角的度量 题型十三；角的运算 题型十四：余角和补角问题 题型十五：角平分线 题型十六：角的综合问题 【题型归探究】 题型一：立体几何 1．（24-25六年级上·山东青岛）下列是棱柱的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查几何图形的知识，解题的关键是掌握棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体，进行解答，即可． 【详解】解：∵棱柱的定义：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体 ∴上述图形中属于棱柱的几何体为：，，，，共个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川·期中）如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】C 【分析】本题主要考查了常见几何体的特点，侧面是长方形，底面是三角形，则该几何体是三棱柱，故该几何体有3条侧棱，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱，侧面都是长方形，底面是三角形，且共有3条侧棱， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图是由7个完全相同的小正方体堆叠成的几何体，若在标有①、②、③、④的其中一个小正方体上放置一个小正方体，从正面看该几何体的形状图不会发生变化，则该正方体的标号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体．根据对比放置一个小正方形前后从正面看到几何体的形状，即可得出答案． 【详解】解：A．若在标有①的小正方体上放置一个小正方体，则从正边看最左侧上面多了一个正方形，不符合题意； B．若在标有②的小正方体上放置一个小正方体，则从正边看中间上面多了一个正方形，不符合题意； C．若在标有③的小正方体上放置一个小正方体，则从正边看最右侧上面多了一个正方形，不符合题意； D．若在标有④的小正方体上放置一个小正方体，则从正面看该几何体的形状图不会发生变化，符合题意； 故选：D． 题型二：几何图形的展开图 4．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图是正方体展开图，将《论语》十二章中的一句话：“学而不思则罔”这六个字写在正方体展开图的六个面内，则“学”对面的字是（   ） A．不 B．思 C．则 D．罔 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可． 【详解】解：学与罔相对，而与思相对，不与则相对， 故选：D． 5．（24-25七年级上·重庆·期中）在下列四个正方体中，只有一个是用如图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（    ）                    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，根据正方体的侧面展开图特点一一排除即可． 【详解】解：∵A、B的正方体展开后，小圆点所在的面分别在加号所在面的上面和右边，与所给纸片不符， ∴排除A和B； 对于C，小圆点的左边是减号，同样与所给纸片不符合，也可排除； 对于D，小圆点的右边是空白，故选项D符合， 故答案为：D． 6．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图所示是一个正方体盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形、、中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数，那么填入、、的三个数依次是（   ） A．1，，0 B．，2，0 C．，0，1 D．，1，0 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，相反数的定义，正方体展开图中相对的面之间一定隔着一个正方形，据此特点得到A与相对，B与2相对，C与0相对，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得到答案． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，A与相对，B与2相对，C与0相对， ∵相对的面上的两个数互为相反数， ∴填入、、的三个数依次是1，，0， 故选：A． 题型三；点、线、面、体 7．（24-25七年级上·广东清远·期中）学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【答案】C 【分析】本题主要考查了面与体的关系，正确理解面与体的关系是解题的关键．根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意； B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体，本选项正确，不符合题意； C．将直角三角形沿直角边旋转一周一定会得到一个圆锥，故本选项不正确，符合题意； D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”，句中，雨“像细丝”说明（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：雨“像细丝”说明了：点动成线． 故选：A． 9．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）下列几何体不能通过平面图形旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面图形旋转问题．根据平面图形旋转特征，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、选项是圆柱，可以通过长方形旋转得到，故本选项不符合题意； B、选项是球，可以通过圆旋转得到，故本选项不符合题意； C、选项不能通过图形旋转得到，故本选项符合题意； D、选项是圆锥，可以通过直角三角形旋转得到，故本选项不符合题意； 故选：C 题型四：直线、射线、线段的定义 10．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下列结论正确的是（    ） A．直线比射线长 B．过两点有且只有一条直线 C．过三点一定能作三条直线 D．过一点只能作一条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是熟记直线、射线、线段的定义． 【详解】解：A. 直线、射线不能比较大小，原说法错误； B. 过两点有且只有一条直线，说法正确； C. 过不在同一直线上三点一定能作三条直线，原说法错误； D. 过一点能作无数条直线，原说法错误； 故选B． 11．（23-24七年级上·陕西西安·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，线段最短 C．经过三个点可画三条直线 D．直线上有三个点A、B、C，若，则点C是线段的中点 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线及线段的知识．掌握基本定义是解题的关键． 根据射线的定义、线段的性质、直线的性质、线段的比例关系,可判断出各选项． 【详解】解：A．射线和射线是两条不同射线，故此选项错误，不符合题意； B．两点之间，线段最短，此选项正确，符合题意； C．经过三个点（不重合）最多可画一条直线，此选项错误，不符合题意； D．直线上有三个点A、B、C，若,则点C是线段的中点（此时点C位于之间），点C也可能不是的中点（此时点C位于的延长线上,如图），此选项错误，不符合题意． 故选：B． 12．（22-23七年级上·陕西西安·期末）下列说法，正确的是（　　） A．若，则点为线段的中点 B．两点确定一条直线 C．连接两点的线段叫两点间的距离 D．经过三个点可画三条直线 【答案】B 【分析】本题主要考查两点间的距离、直线的性质、线段中点的定义，根据线段中点的定义、直线的性质：两点确定一条直线、两点间的距离、直线的性质逐项判断即可，灵活应用所学知识解决问题是解题关键． 【详解】解：A．线段上一点到两端点之间距离相等的点叫做中点，只有当点和点是线段的两端点，才成立，故本选项说法错误，不符合题意； B．经过两点有且只有一条直线，故本选项说法正确，符合题意； C．连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，故本选项说法错误，不符合题意； D．若三点在同一条直线上，经过三点只可以画一条直线，若三点不在同一条直线上，则经过三点可以画三条直线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 题型五：直线、射线、线段数量与交点问题 13．（23-24七年级上·四川凉山·期末）已知站与站之间有个车站，那么往返于站与站之间的客车，应安排（   ）种车票． A．10 B．6 C．12 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的实际应用，设站与站之间有个车站为站和站，且站靠近站，分两种情况：当客车从站开往站时；当客车从站开往站时． 【详解】如图所示，设站与站之间有个车站为站和站，且站靠近站． 当客车从站开往站时，安排的车票为： ，，，，，，共种． 同理，当客车从站开往站时，安排的车票共种． 所以，应该共安排车票种． 故选：C 14．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）高铁出行，方便快捷．为保证雄安、保定、石家庄、邢台、邯郸每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（    ） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 【答案】A 【分析】本题考查了线段的运用．注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况．先求出线段的条数，再计算车票的种数． 【详解】解：依题意，需要印制不同的火车票的种数是：（种）． 故选：A． 15．（22-23七年级上·福建漳州·期末）如图，在同一平面内，我们把两条直线相交的交点个数记为，三条直线两两相交最多交点个数记为，四条直线两两相交最多交点个数记为条直线两两相交最多交点个数记为，则用含n的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合图形，发现：两条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，据此规律即可得出结论． 【详解】两条直线相交有1个交点，即， 三条直线相交最多有个交点，即， 四条直线相交最多有个交点，即， 以此类推，条直线相交，最多有个交点，即， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了相交线，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 题型六：线段的和差问题 16．（24-25七年级上·全国）如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 17．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，根据题意可知对折点可能是点A，也可能是点B，再根据不同情况确定最长的线段即可求出原线段的长． 【详解】当点A是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为； 当点B是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为． 所以这条绳子的原长为12cm或24cm． 故选：C． 18．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．则线段的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了线段中点的定义．根据线段中点的性质，可得根据线段的和差，可得的长． 【详解】解：∵点，分别为线段，的中点． ∴， ∴． 故选：B 题型七：线段的中点（n等分）问题 19．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出，，当时，，即可推出，进而即可得解，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分． 【详解】A：∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∵C为上任意一点， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴A错误，不符合题意； B：当C为中点时，， ∴， ∴， ∴B错误，不符合题意； C：∵， ∴， ∴， ∴C正确，符合题意； D：∵， ∴， ∴， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 20．（2023七年级上·浙江·专题练习）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系． 先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故选：D． 21．（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 【答案】A 【分析】此题考查的是线段的和与差，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键．根据点D为靠近点A或点B的三等分点分类讨论，分别画出对应的图形，根据线段的关系即可求出结论． 【详解】解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； ②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； 综上： 故选A． 题型八：最短路径问题 22．（23-24七年级下·山东淄博）下列生活现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，四个现象的依据是两点之间，线段最短和两点确定一条直线，据此作出判断即可． 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上是两点确定一条直线，不符合题意； ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设是两点之间，线段最短，符合题意； ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是两点确定一条直线，不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程是两点之间，线段最短，符合题意； 故选：C． 23．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线减去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______原来正方形的周长，理由是______”此题中横线上应填写的正确答案是（    ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，垂线段最短 D．小于，垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是正确理解“两点之间线段最短”的意义．据此解答即可． 【详解】解：如图，五边形的周长为， 正方形的周长为， 在中，， ∴， 即五边形的周长小于正方形的周长，理由是两点之间线段最短． 故选：B． 24．（23-24七年级上·山东临沂·期末）生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（    ） A．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 B．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 C．均用两点之间线段最短来解释 D．均用经过两点有且只有一条直线来解释 【答案】A 【分析】本题考查了直线和线段的基本事实的应用，理解“两点确定一条直线，两点之间线段最短．”是解题的关键． 【详解】解：现象1运用了：经过两点有且只有一条直线， 现象2运用了：两点之间线段最短； 故选：A． 题型九:线段的动点问题 25．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 26．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算，再根据运动时间得出、，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出，再根据线段的中点得出，然后根据列方程求解即可得出答案； （2）设运动时间为，则，得出，再根据线段的和差及等量代换得出，从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点 ； （2）设运动时间为，则 ． 27．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）由已知条件得、的长，由即可求解； （2）由已知条件得，，由，即可求解； （3）的运动速度可知：，由线段的和得，即可求解；解法二：、运动时间为，的长度为，得，，由，即可求解； （4）①当点在线段上时，由线段和差得，可求，由即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求，即可求解； 能用已知线段的和差表示所求线段，根据点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， ， ， 故答案：；； （2）解：由题意得 ，， ； 故的值为； （3）解：的运动速度可知：， ， ， 即 ， 又 ， ， ， ． 故答案为：4． 解法二 设、运动时间为，的长度为，得 ， ， ， ， ． 又 ， ， 解得：； 故答案为：4； （4）解：①当点在线段上时，如图1，   ， 又， ， ， ； ②当点 在线段的延长线上时，如图2，   ， 又 ， ， ． 综上所述 或1． 题型十：角的概念 28．（24-25七年级上·全国·期末）有下列关于角的说法： ①两条射线组成的图形叫作角； ②角的边越长，角越大； ③在角一边的延长线上取一点D； ④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的定义，根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解决此题的关键． 【详解】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，故①错误，不符合题意； 角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故②错误，不符合题意； 角的边是射线，不能延长，故③错误，不符合题意； 角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确，符合题意， ∴只有④一个选项正确， 故选：A． 29．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 30．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ） A．可以用表示 B．可以用表示 C．图中有三个角、、 D．∠ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法，以及角的和差，根据角的表示方法即可得出结果，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键．根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：A．与是同一个角，说法正确，故不符合题意； B．不可以用表示，说法错误，故符合题意； C．图中有三个角，，，说法正确，故不符合题意； D．，说法正确，故不符合题意． 故选B． 题型十一：钟面角和方向角 31．（23-24七年级上·天津·期末）当时钟的时针与分针的夹角为时，对应的时刻是（　　） A．12：15 B．3：45 C．3：30 D．9：30 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，掌握时针每分钟走过是解题关键．根据时钟上一大格是，一小格是，时针一分钟转，逐项进行计算即可解答． 【详解】解：A. 12：15时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意； B. 3：45时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意； C. 3：30时钟的时针与分针的夹角为，该选项符合题意； D. 9：30时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意． 故选：C． 32．（23-24七年级下·广西南宁·期末）货轮与灯塔的位置如图所示，下列描述正确的是（   ） A．灯塔在货轮的东偏南的方向上 B．灯塔在货轮的东南方向上 C．灯塔在货轮的南偏东的方向上 D．灯塔在货轮的西偏南50°的方向上 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角，根据方位角的概念，可得答案． 【详解】解：根据货轮与灯塔的位置可知：灯塔在货轮的南偏东的方向上， 故选：C． 33．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，从点处观测点，点的方向，下列说法中错误的是（   ） A．点在点的北偏东方向上 B．点在点的东南方向上 C．点在点的北偏东方向上 D．点在点的南偏东方向上 【答案】A 【分析】本题考查了方向角问题，根据点A，点D所在的位置，可得到方向角，即可得到答案，解题的关键是要掌握辨别方向的方法． 【详解】解：由图可得： 点点的东偏北方向上， ∴点在点的北偏东方向上， ∴选项A错误，符合题意；选项C正确，不符合题意； ∵点在点的东南方向上，点在点的东偏南方向上， ∴点也在点的南偏东方向上， 选项B、D均正确，不符合题意； 故选：A． 题型十二：角的度量 34．（22-23七年级上·吉林长春·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60． 根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 35．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）已知，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒的换算，小单位化大单位除以进率是解题关键．由，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 36．（23-24七年级上·河北保定·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的比较大小．将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ∵． ∴， 故选：A． 题型十三；角的运算 37．（24-25七年级上·吉林·期中）如图，，，若平分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算，根据角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义即可求出． 【详解】解：，， ， 平分， , 故答案为：． 38．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知，平分，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 【答案】 【分析】本意考查了角的计算，根据，设，由可求出x的值，再由即可得出答案． 【详解】解：设， 由， ， ， 即， ， ， 即， 故答案为：． 题型十四：余角和补角问题 40．（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角的度数是 ，补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的知识，设这个角的度数是，则它的余角为，补角为，根据一个角的余角比这个角的补角的多，即可列方程求解，熟练掌握余角的和等于，互补的两角之和为是解决此题的关键． 【详解】设这个角的度数是，则它的余角为，补角为， 根据题意，得， 解得． ∴，， 即这个角的余角的度数为，补角的度数为， 故答案为：，． 41．（23-24七年级下·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角的性质，余角性质，邻补角的性质，由直角三角形两锐角互余可得，，进而由余角性质可得，即可得到，再利用邻补角的性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 42．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作 (1)如图 1， ，求 的度数； (2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，求角的余角，角平分线的有关计算等知识． （1）先利用平角的定义以及即可得出，进而可求出，由垂直的定义即可求出，最后根据角的和差关系即可得出答案． （2）根据互余两角的和为90度一一计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：由（1）知， ∵， ∴和互余． ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴，，， 则和互余，和互余，和互余， 综上：与互余的角有，，，． 题型十五：角平分线 43．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）填空：完成下列说理过程 如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 解：（1）如图，因为是的平分线， 所以______． 因为是的平分线， 所以______． 所以____________°． （2）由（1）可知____________°． 所以____________°． 【答案】(1)；；；； (2)；；； 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算， （1）根据角平分线的定义得到，，然后再根据角的和差关系可得答案； （2）先算出的度数，再利用的度数可得答案． 【详解】（1）解：（1）如图，因为是的平分线， 所以． 因为是的平分线， 所以 ． 所以 °； 故答案为：；；；． （2）由（1）可知 ． 所以． 故答案为：；；； ． 45．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，射线在的内部，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了三角形内角和定理，角的和差计算，掌握角平分线的性质和互为补角的关系是解题的关键． （1）由平分得到，再根据和 互为补角即可得到的度数； （2）由平分得到，再根据和互为补角得到， 从而得到，最后根据即可完成证明； （3）在()的条件下可得到，，由得到，最后由和可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴.， ∵， ∴， ∴， 由()知：，即 ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在()的条件下， ，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十六：角的综合问题 46．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （2）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分， ， ， ． 当在下方时， 平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时， 平分，， ， ， ， ，， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ． 当在的下方时，同理可得 ， ， ， ， ， ． 综上所述：或 47．（23-24七年级下·河北张家口·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 48．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 【专题训练】 一、单选题 49．（24-25七年级上·全国·期末）若，则的补角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了补角的定义，两角相加为，则两角互补．根据补角的定义进行解答即可． 【详解】解：的补角的度数为． 故选：C． 50．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．点A在直线外 B．点A到点C的距离是线段的长度 C．射线与射线是同一条 D．直线和直线相交于点B 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点．根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A. 点A在直线外，说法正确，不符合题意； B. 点A到点C的距离是线段的长度，说法正确，不符合题意； C. 射线与射线不是同一条，说法错误，符合题意； D. 直线和直线相交于点B，说法正确，不符合题意； 故选：C． 51．（24-25七年级上·广东广州·期中）10个棱长为的正方体摆放如图的形状，这个图形的表面积是（　　）平方厘米 A．24 B．30 C．36 D．42 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的表面积，认识立体图形，熟练掌握这个组合体的三种视图是解题的关键．根据这个组合体的三种视图解答即可求得． 【详解】解：正面有6个正方形，面积为：， 上面有6个正方形，面积为：， 右面有6个正方形，面积为：， ∴整个几何体的表面积为：． 故选：C． 52．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“国”字一面的相对面上的字是（    ） A．航 B．天 C．精 D．神 【答案】B 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：“国”字一面的相对面上的字是是“天”． 故选：B． 53．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义、补角的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义、补角的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的补角为或． 故选B． 54．（24-25七年级上·重庆·期中）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的平面展开图找出相对面上的数字，计算即可得到答案，熟练掌握正方体的平面展开图是解决此题的关键． 【详解】根据题意，1与4相对，2与6相对，3与5相对， ∴，，， ∴相对两个面上的数字之和的最大值是8， 故选：D． 55．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）下列图形中是正方体展开图的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的侧面展开图，理解展开图的类型是解题的关键． 利用不能出现同一行有多于个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形、七字形的情况进行判断即可． 【详解】解：A. 不是正方体展开图，故此项错误； B. 是正方体展开图，选项符合题意； C. 不是正方体展开图，故此项错误； D. 不是正方体展开图，故此项错误． 故选：B． 56．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 57．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（　　） A．的余角只有 B．图中互余的角共有对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个 【答案】B 【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得，然后再根据余角定义和补角定义进行分析即可求解，掌握互余和互补的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴，， ∴是的余角，也是的余角，故错误，不合题意； 、∵，， ∵， ∴，，，， ∴图中互余的角共有对，故正确，符合题意； 、∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴的补角有和，故错误，不合题意； 、∵， ∴图中与互补的角共有个，故错误，不合题意； 故选： 58．（23-24七年级下·山东聊城·期中）图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间一定为20秒 C．当值为36秒时，射线恰好平分 D．旋转过程中，使射线是由射线，，中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线，这样的值有两个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误；根据平分t的值有2个，结合C选项的求解过程即可判断D． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 当平分时，或， 解得或， 再由时射线恰好平分，故D说法错误，不符合题意 故选C． 二、填空题 59．（24-25七年级上·全国·期末）已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 60．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的表面展开图，在正方形、、内分别填入适当的数，，，使其折叠成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，倒数的定义及代数式求值，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据互为倒数的定义，即乘积是1的两个数互为倒数进行解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“1”是相对面， “”与“2”是相对面， “”与“”是相对面， 相对的面上的两个数互为倒数， ，，， ． 故答案为． 61．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 【答案】20或4 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算，分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：20或4． 62．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图是有五个正方形组成的平面图形，小军手中还有大小相同，标有不同数字的正方形，现在他想这五个正方形基础上添加一个正方形，拼接后可以折叠成一个正方体，并且要求正方体对面数字之和相等，则他共有 种拼接方法，如果他添加的正方形上的数字是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字之和相等解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， 所以，要添加的是“3”的相对面， ∴要添加一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有4种不同的添法．如图所示： ∵正方体对面数字之和相等， ∴ ∴ ∴， 故答案为：，． 63．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…和的平分线交于点，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，三角形外角性质根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 同理可得， …… ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 64．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 65．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或 【分析】本题考查新定义，数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用， （1）根据“奇点”的定义即可求解； （2）设点在数轴上表示的数为，则，，，根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； （3）根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； 解题的关键是理解题意，利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：（1）设点为线段的中点， ∴， ∵点在线段上， ∴中点是线段的“奇点”， 故答案为：是； （2）设点在数轴上表示的数为， ∵点和点在数轴上表示的数分别是和， ∴，， ∵点是线段的“奇点”， ∴点在线段上，且或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或； （3）秒后，，，， ∵点是线段的“奇点”， ∴或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； ∴当为或或时，点是线段的“奇点”． 66．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将射线、绕着射线的端点O从的位置起逆时针旋转． (1)若，绕着点O从的位置起逆时针旋转至． ①试求出的度数； ②设以度/秒的速度进行逆时针旋转，同时以度/秒的速度从的位置起进行逆时针旋转．当与重叠时，停止旋转，请说明：旋转过程中，； (2)若绕着点O从的位置起逆时针旋转至，旋转至停止，且满足．试求出与的度数之比． 【答案】(1)①；②见解析； (2)． 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）①根据角的和差关系，直接进行计算即可；②分别求出的度数，进行判断即可； （2）设，则，根据已知条件和角的和差关系得到，进而求出，的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②如图， 由题意得，， ∴， ∴； （2）如图， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 67．（24-25七年级上·河北保定·期中）用12个大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体，其中，小正方体的棱长为． (1)请利用上面的网格画出从正面看和从上面看该几何体的形状图； (2)图中12个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是_________； (3)小明用若干个相同的小正方体搭成了另一个几何体，结果发现从正面看和从上面看的形状图与刚才的完全一致，则小明所用的小正方体最多有_________块． 【答案】(1)见解析 (2)40 (3)16 【分析】此题考查了从不同方向看几何体、几何体的表面积等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． （1）利用从正面看和上面的画法在网格中画图即可； （2）分前后、左右、上下统计正方形的个数即可； （3）把视图还原几何体，再确定能够添加的位置和数量即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解： ∴图中12个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是； （3）解：如图所示，每个位置最多的情形如下， ∴小明所用的小正方体最多有块． 68．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】如图①，在中，若，则、叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】    (1)如图①，，、是的“三分线”，则 ； (2)如图②，在中，，，若的“三分线”交于点D，则 ； (3)如图③，在中，、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 【答案】(1) (2)75或90 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，理解“三分线”的定义是解题关键． （1）根据“三分线”的定义，得到，即可求出的度数； （2）由三角形内角和定理，得到，再根据“三分线”的定义，分两种情况求出的度数； （3）根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据“三分线”的定义，得到，，进而求出，即可得到的度数． 【详解】（1）解：，、是的“三分线”， ， ； 故答案为：40； （2）解：在中，，， ， 当是的“邻三分线”，   ， ； 当是的“邻三分线”，   ， ； 综上分析可知：或； 故答案为：75或90； （3）解：， ， ， 、分别是邻“三分线”和邻“三分线”， ，， ， ， ． 69．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)①或27；②或或 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键： （1）根据，，进行计算即可； （2）①分和两种情况进行计算即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①由题意，得：，， 当时，则：， ∴ ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 综上：或； ②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或． 70．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转． (1)如图2，、、三点共线，点、重合，，则 ； (2)如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 ； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ① 运动停止时， ； ② 请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)；当时，；当时， 【分析】本题考查了角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （2）由，设，根据、O、三点共线，则，得出，再根据，即可求解； （3）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （4）①算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数； ②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， 设， ∵平分， ∴， ∵、O、三点共线，则， ∴， 解得：， ∴ （3）这个定值是，理由， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是； （4）∵， ∴，， 设运动时间为，则，则， ①运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点，，三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$