精品解析：辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学2025届高三上学期第三次考试数学试卷

2025届高三上学期第三次考试 高三数学试题 命题教师：高三数学组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，且直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列函数中，最小正周期为π且在为减函数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点，点为上一动点，则（ ） A. 存在点使得 B. 的最小值为 C. 以为直径球面与正方体每条棱的交点总数为12 D. 已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 若复数（为虚数单位），则=______. 13. 已知数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式_________． 14. 已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离. 17. 设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期，并求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值． 19. 已知函数. （1）若与在处相切，试求的表达式； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）证明不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三上学期第三次考试 高三数学试题 命题教师：高三数学组 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合，再进行集合的交集运算 【详解】由解得，∴， 由解得或， 所以或， 所以 故选：B. 2. 已知点，，且直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助垂直直线斜率的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将化简，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】或， 由成立可以推出或，但或成立不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算法则，对数函数性质、指数函数性质判断． 【详解】，， ， ，， 所以， 故选：A． 5. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】若，则 也可相交；若，则可能有 ；若，则也可相交或异面；若，则，这可利用向量理解： 可看作平面的法向量，则的夹角与二面角相等或互补，而因此，选C. 6. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义先求出函数在处的导数值，即可得到在处切线的斜率，进而得到倾斜角的正切值，再根据求出题中式子的值. 【详解】由题意得，，所以， 于是在处切线的斜率为，即. 又 ， 将原式分子分母同时除以得， ， 代入可得最终答案为. 故选：A. 7. 已知数列满足：，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【详解】由， 所以（，） 所以，，…， ， 各式相加得：. 故选：C 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，利用参变分离可求解. 【详解】由，，可得， 当时，，此时在单调递减； 当时，，此时在单调递增； 又因为，所以函数存在唯一的零点，即. 因为，解得. 即在上有零点， 故方程在上有解， 而， 因为，故，故， 所以，故 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列函数中，最小正周期为π且在为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及复合函数的单调性判断方法逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，当时，，， 根据余弦函数单调性可知，此时函数单调递减，故A正确； 对于B，的最小正周期，故B不正确； 对于C，，所以最小正周期， 当时，，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故C正确； 对于D，最小正周期，当时，， 由复合函数单调性判断方法可知，此时单调递减，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，点为上一动点，则（ ） A. 存在点使得 B. 最小值为 C. 以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12 D. 已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A:取中点，通过，即可判断，对于B：由可判断，对于C：由以为直径的球的球心为正方体中心，半径为，即可判断，对于D，由球与小球相切，球半径为1，设小球的半径为，得到，进而可求解. 【详解】对于A: 由题意可知：，取中点，所以，因为为直角三角形，同时为等腰直角三角形，， 所以当在运动中时，，，所以，，故A错； 对于B: 由对称性得，即求，在面中， ，故B对； 对于C:因为以为直径的球的球心为正方体中心，半径为，而正方体中心到各棱距离均为， 所以该球与正方体12条棱均相切，所以有12个交点，故C对； 对于D:因为体积最大的小球为小球与正方体和球均相切时取到.研究截面 ，分别过和小球球心作的垂线，垂足分别为，，则， 因为球与小球相切，球半径为1，设小球的半径为，则， 所以，所以小球体积最大值为，故D对. 故选：BCD. 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，即可得到，，根据初始值，由此递推即可求得结果. 【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， 所以，，故B错； 又，所以，故A对； 由题意得，又， 所以 ，所以 ， 故C错；D对； 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）． 12. 若复数（为虚数单位），则=______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，即可求解的值，得到答案. 【详解】由题意，复数，可得， 所以. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13. 已知数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式_________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，可得，当时，，与已知条件两式相减结合可得，可得从第二项起是公比为的等比数列，写成分段的形式即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减可得：，即，所， 当时，，不满足， 所以从第二项起是公比为的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式， 故答案为：. 14. 已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，该三棱锥为正三棱锥,取底面的中心M，连接AM，则球心O落在AM上，求出棱锥的高，由此得到关于外接球半径的方程求解即可. 【详解】如图: 由题意知，底面为等边三角形，设M为其中心， 则， 又， 所以该三棱锥为正三棱锥， 所以， 所以外接球半径， 则外接球球心在AO的延长线上， 所以，则， 所以在中，， 即，解得， 所以外接球表面积为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等差数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【小问1详解】 设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴ ，∴公差为，∴， ∴ ； 【小问2详解】 由已知， 时，； 时，； 综上. 16. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平行于面内的一条直线，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，设出的长并表达出各点坐标，利用异面直线与所成角的余弦值得出，求出平面的一个法向量，即可得出到平面的距离. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 则为的中点， 因为为的中点，所以，且， 因为为的中点，所以， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 由题意（1）及几何知识得， 在直四棱柱中，， 两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，， . 设异面直线与所成角为，则 ， 解得：， 故， 则 设平面的一个法向量为， 到平面的距离为. 所以即取， 得. 所以， 即到平面的距离为. 17. 设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围 【答案】（Ⅰ）单调增区间为，减区间为；（Ⅱ）.或 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先确定函数定义域，再求导函数，进而求定义区间上导函数的零点，最后列表分析导函数符号：当时，；当时，，确定单调区间：增区间为，减区间为；（Ⅱ）化简方程得，变量分离得，利用导数研究函数单调性变化规律：在区间上是增函数，在区间上是减函数.最后结合图像确定有唯一解的条件：.或 试题解析：（1）依题意，知的定义域为， 当时，， …………………………………2分 令，解得或（舍去）， 当时，；当时，， 所以的单调增区间为，减区间为； …………………5分 （2）当时，， 由，得，又，所以， 要使方程在区间上有唯一实数解， 只需有唯一实数解， ………………………7分 令， ∴， 由得； ，得， ∴在区间上是增函数，在区间上是减函数. ，故.或……………13分 考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究方程解 【思路点睛】 对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期，并求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值． 【答案】（1），； （2）； （3）5，. 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的性质即得； （2）根据三角函数的图象变换得到，再结合正弦函数的图象性质求解值域即可； （3）结合三角函数图象，画图分析的位置，再根据对称性的性质结论求解即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， 由得：， ∴ 的单调递减区间为 ； 【小问2详解】 将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图像， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数的值域. 【小问3详解】 由方程，得，即， 因为，可得， 设，其中，即， 结合函数的图像， 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即， 解得， 所以. 19. 已知函数. （1）若与在处相切，试求的表达式； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）证明不等式：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据题设导数计算公式及导数的几何意义建立方程求解； （2）依据题设条件构造函数运用导数建立不等式，分离参数借助基本不等式求得参数的取值范围； （3）借助（2）的结论建立递推式，然后运用叠加的方法进行分析推证. 【小问1详解】 由已知得，所以. 又因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为在上单调递减， 所以在上恒成立（等号不恒成立）， 即在上恒成立， 则. 因为，所以， 所以. 【小问3详解】 由（1）知与在处相切，当时，图象在图象上方， 得，所以， 得，所以. 当时，， 当时，， 当时，， … 当时，. 上述不等式相加，得， 即①. 由（2）可得：当时，在上是减函数， 所以当时，，即， 所以，从而得到. 当时，， 当时，， 当时，， … 当时，. 上述不等式相加得： ， 即.② 由①②，. 经检验当时，， 所以原不等式对任意都成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$