精品解析：湖南省岳阳市汨罗市汨罗市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

2024年高二上学期期中考试数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（ ） A. 为一条直线 B. 为椭圆 C. 为与圆O相交的圆 D. 为与圆O相切的圆 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D. 若l，m是异面直线，，，且，，则 10. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 11. 已知函数，则 （ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象为中心对称图形 C. 函数在上单调递增 D. 关于的方程在上至多有3个解 12. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（ ） A. 平面EAD 平面FCB B. 平面EAD 平面ECB C. 异面直线与所成的角为 D. 若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知复数的实部与虚部相等，则______． 14. 过点的直线与曲线相交于 两点，为坐标原点，则面积的最大值为_________. 15. 已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______. 16. 如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为__________. 四、解答题（共70分） 17. 已知平面内两点，． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程． （2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 18. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 19. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 20. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 21. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D． （1）求证：平面BDE； （2）若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 22. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高二上学期期中考试数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用复数乘除法运算化简. 【详解】. 故选：A. 2. 已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得， 因此，该双曲线的方程为. 故选：C. 3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，根据模长公式得到，两边平方得到答案. 【详解】，则， 即，故. 故选：C 4. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出两直线垂直的充要条件后再根据充分必要条件的定义判断. 【详解】由,得,即或 所以,反之,则不然 所以“”是“直线与直线垂直”的 充分不必要条件. 故选:A 5. 已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过的点以及平行关系设出直线方程，再由点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 6. 已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（ ） A. 为一条直线 B. 为椭圆 C. 为与圆O相交的圆 D. 为与圆O相切的圆 【答案】D 【解析】 【分析】设点坐标为，设，由，可得，代入圆方程，可得到点的轨迹的方程，即可判断轨迹是圆，圆为与圆O相切. 【详解】设点坐标为，设，由，可得， 则， 所以，即， 把代入圆， 则点的轨迹的方程为：， 即是圆心为，半径为1的圆，则， 由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即为与圆O相切的圆. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】由，可得， 即，即得， . 故选：B. 8. 已知，为椭圆的两个焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的对称性可得，结合椭圆的定义和勾股定理求得答案. 【详解】如图，由得，，所以是直角三角形， 又由椭圆是中心对称图形，可知四边形是平行四边形，即， 又，，则，， 又因为，是直角三角形， 所以，即，即， 所以． 故选：B． 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则 D. 若l，m是异面直线，，，且，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC可举出反例；D选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而得到面面平行. 【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误． 对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误． 对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误． 对于D，因为，设平面平面，，所以， 因为l，m是异面直线，，所以l，a相交， 因为，，，所以， 因为，，l，a相交，所以，D正确． 故选：ABC 10. 已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （ ） A. 切线长最小值为 B. 四边形的面积最小值为 C. 最小时，弦所在的直线方程为 D. 弦长的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，求出的最小值，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则， 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为，B对； 对于C选项，当取最小值时，， 因为直线的斜率为，则，此时，直线的方程为， 联立可得，此时，点，线段的中点为， 因为，且， 所以，四边形为正方形，此时，， 且直线过线段的中点，则直线的方程为，即，C对； 对于D选项，设， 因为，则， 因为，则，且为的中点， 所以，，且， 当时，取最小值，此时，， 故，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 11. 已知函数，则 （ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象为中心对称图形 C. 函数在上单调递增 D. 关于的方程在上至多有3个解 【答案】AC 【解析】 【分析】分析函数在上的性质并作出函数图象，再逐项分析判断得解. 【详解】当时，， 函数在上递增，函数值从增大到1；在上递减，函数值从1减小到； 当时，， 函数在上递增，函数值从增大到；在上递减，函数值从减小到， 函数在的图象，如图： 对于A，， 结合函数在的图象，得是的最小正周期，A正确； 对于B，观察函数在的图象，函数在没有对称中心， 又的最小正周期是，则函数的图象不是中心对称图形，B错误； 对于C，由函数在上递增，的最小正周期是，得函数在上递增，C正确； 对于D，观察函数在的图象，得当时，有4个解，D错误. 故选：AC 12. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（ ） A. 平面EAD 平面FCB B. 平面EAD 平面ECB C. 异面直线与所成的角为 D. 若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明，根据面面平行的判定定理即可判断A；分别取AD、BC中点M、N，连接MN，由，可得平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行，证得，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角，利用余弦定理判断是否为直角，即可判断B；利用平行直线得出异面直线所成的角，然后利用正三角形可判断C；利用空间向量法求角判断D 【详解】连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF，的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以， 又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD， 平面EAD，平面EAD，所以平面EAD， FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F， 所以平面EAD//平面FCB，故A对； 分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O， 由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE， 又平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行， 因为都是等边三角形，所以， 所以，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角， 设，则，，， 所以，故B错误； 由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以， 则直线与所成的角即为BF与CF所成角， 正中，，故异面直线与所成的角为，故C对； 根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令， 则， 所以， 设平面FAD的一个法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面FAD的一个法向量为， 因为点P为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线AP与平面FAD 成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围，故D对； 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知复数的实部与虚部相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合复数模的运算法则，即可求解. 【详解】由复数的实部与虚部相等，可得，即， 则，所以. 故答案为：. 14. 过点的直线与曲线相交于 两点，为坐标原点，则面积的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，直线与曲线相交于两点，则直线的斜率，设：，计算出，即可求出面积的最大值. 【详解】如图所示： 若直线与曲线相交于两点，则直线的斜率， 设：，则点到的距离， 又， 当且仅当时，即时，所以当时，取得最大值， 故答案为： 15. 已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果. 【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为， 由于直线与x轴的交点为， 由直线将分割为面积相等的两部分，可得， 故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N， 则由可得点N的坐标为， ①若点M和点A重合，如图： 则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线， 求得. ②若点M在点O和点A之间，如图： 此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于， 即，即，可得，求得， 故有. ③若点M在点A的左侧， 则，由点M的横坐标，求得. 设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ， 即，化简可得，由于此时， 所以，两边开方可得，所以， 故有. 综上可得b的取值范围应是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性. 16. 如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长， 【详解】在平行四边形中，是的中点，，与相交于O． 设， 则 由，可得 则，解之得，则 则 又，则，解之得，即的长为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用不同的途径，用基底表示向量. 四、解答题（共70分） 17. 已知平面内两点，． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程． （2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可； （2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可． 【小问1详解】 由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． 【小问2详解】 的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 18. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【小问1详解】 因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. 【小问2详解】 由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为. 19. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中号歌手的概率；利用求得结果；（2）根据，分别求解出两人选择号歌手和三人选择号歌手的概率，加和得到结果. 【详解】（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手” 则， 事件与相互独立，与相互独立 则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手” 即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是 （2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则 依题意，，，相互独立，，，相互独立，且，，，彼此互斥 故“”的事件的概率为 【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率，属于基础题. 20. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小； （3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点， 所以可得四边形为菱形，可得， 又，所以可得； 因为，平面； 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用面面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点的具体位置，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又因为，平面； 所以平面， 又平面，所以 又，因此可得即为二面角的平面角， 在直角三角形中，，可得， 即. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点作交于，连接，如下图所示： 所以，即可得四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形，故，可得点为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且； 易知为正三角形，且，所以可得， 由勾股定理可得， 所以， 因此. 21. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D． （1）求证：平面BDE； （2）若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） 连接, 因为为等边三角形，D是线段AC的中点，所以， 又因为平面，平面，所以, ,平面,所以平面, 平面,所以， 由题设可知，四边形为菱形，所以, 因为D，E分别是线段AC，的中点，所以, 所以， 又因为平面BDE,所以平面BDE. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明； （2）利用空间向量的坐标运算求出二面角的余弦值求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则, 设， 则所以 平面的一个法向量, 设平面的一个法向量为, 所以，设，则， 所以， 设， 所以， 因为，所以二次函数在单调递增， 所以，所以， 所以锐二面角的余弦值的取值范围． 22. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 【答案】（1） （2） （3）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）先计算平面法向量，找到平面上一点，然后利用向量的投影计算即可； （3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内的图象，得到其二面角为钝角. 【小问1详解】 由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则有，所以， 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由题可知平面的法向量为，且过点， 因为，所以， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 （i）建立空间直角坐标系， 先分别画平面， 然后得到几何体为几何体是底面边长为的正方形，高为2的长方体， 故几何体的体积为， （ii）由（i）可知，的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，得，画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角， 计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为. 【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $