第01讲 等腰三角形（2个知识点+18大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第01讲 等腰三角形（2个知识点+18大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 等边对等角 题型二 根据等边对等角证明 题型三 三线合一 题型四 根据三线合一证明 题型五 格点图中画等腰三角形 题型六 找出图中的等腰三角形 题型七 根据等角对等边证明等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明边相等 题型九 根据等角对等边求边长 题型十 直线上与己知两点组成等腰三角形的点 题型十一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型十二 作等腰三角形(尺规作图) 题型十三 等腰三角形的性质和判定 题型十四 等边三角形的性质 题型十五 等边三角形的判定 题型十六 等边三角形的判定和性质 题型十七 含30度角的直角三角形 题型十八 等腰三角形的定义 知识点一、等腰三角形的性质 1、等腰三角形的两个腰相等（定义）。 2、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 3、等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）。 4、等腰三角形两腰上的高相等。 5、等腰三角形两腰上的中线相等。 6、等腰三角形两底角的角平分线相等。 知识点二、等腰三角形的判定 1、两边相等的三角形是等腰三角形（定义）。 2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。 3、如果一个三角形一条边上的高、中线及所对角的角平分线中任意两条重合，则另外两边相等。 4、如果一个三角形有两个高相等，那么这两个高所对的边也相等。 5、如果一个三角形有两个中线相等，那么这两个中线所对的边也相等。 6、如果一个三角形有两个角平分线相等，那么这两个角平分线所对的边也相等。 【核心考点一 等边对等角】 【例1】（广东省广州市第113中学等四校2024~2025学年八年级上学期数学期中考试试卷）如图，在中，，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角，正确确定相等关系列出方程是解题的关键．首先设，，根据，即可列出方程，从而求解． 【详解】解：设，， ， 又，所以， 则， 又， ， 解得， ． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·四川广安·期中）已知是等腰三角形，若，则的顶角度数是（    ） A． B． C．或 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，是解答本题的关键． 根据题意分析，有两种情况，当为的顶角时，当为的底角时，分别计算两种情况的顶角度数，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 当为的顶角时，顶角度数是； 当为的底角时，顶角度数是． 综上所述，的顶角度数是或． 故选：C． 【例3】（江苏省无锡市八校联考2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷）已知等腰三角形的一个内角等于，则它的顶角是 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；已知等腰三角形的一个内角为，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当是顶角或者是底角两种情况． 【详解】解：此题要分情况考虑： ①是它的顶角； ②是它的底角，则顶角是， 所以这个等腰三角形的顶角为或， 故答案为：或． 【例4】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义，分两种情况讨论：①若；②若；先求出顶角，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②若，如图2所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴； 综上所述：等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 【例5】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与全等吗？请说明理由． ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当与全等时，求点的运动速度． (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过 秒后，点与点第一次在的边上相遇（在横线上直接写出答案）． 【答案】(1)①全等，理由见解析；②运动速度为 (2)24 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及问题中的路程关系是解题的关键． （1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中和边的长，根据判定两个三角形全等． ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程、速度、时间关系式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，先求出两点第一次相遇的时间，则点应该比点多走等腰三角形的两个边长，据此列出方程求解，再判断此时恰好是在边上相遇，问题即求解． 【详解】（1）解：①全等； 理由如下： 由题意知； ∵，，点为的中点． ∴，，， 即； ∵，， ∴； ②当时，则，， 此时两者的速度相等，不合题意； 当时，则，， 此时点运动时间为，故点    运动速度为， 即点运动速度为； （2）解：设经过后、两点第一次相遇， 由题意得：， 解得：； ∴点运动了，点运动一周后又到了边上，且距点处； 点运动了，点运动两周后又到了边上，且距点处； 故此时两点第一次相遇在边上； 经过点与点第一次在的边上相遇； 故答案为：24． 【核心考点二 根据等边对等角证明】 【例1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（   ）   ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．证明，再根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质进行推导即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ∵ ∴，故②正确，符合题意； ， ， ， 与 互为对顶角， ， ， ，故③正确，符合题意； 从题目现有条件无法证出，故④错误，不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，D，E，F分别在上，且，．若，，则AC的长度为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，过点F作，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，由此求出AC的长度． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答本题的关键．由三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质得，，从而可求，得出，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：4． 【例4】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ． 【答案】 【分析】过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，证明，得到，进而证明，得到，再证明，得到，进而推出，即点F是中点，即，由，得到，从而得出，即点A是中点，推出，即可求出． 【详解】解：过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即点F是中点，即， ，， ， ，即点A是中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的综合问题，等腰三角形的性质，平行线性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 【例5】（22-23八年级下·福建三明·期中）已知：如图，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论的关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴． 【核心考点三 三线合一】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握此性质是关键；由，得，则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选C． 【例3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，垂线段最短，作关于的对称点，连接，过作于，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于的对称点，连接，过作于， ，，是边上的中线， ，，平分， ∴关于对称， 在上， 在中，， ， ， 关于的对称点是点， ， 根据垂线段最短得出：最短， ， 即， 即的最小值是， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，中，，是边上的中线，且，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（山东省滨州市2024-—2025学年八年级上学期期中考试数学试题）在几何学上，我们把两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1所示，筝形中，，． (1)请判断是否平分，并说明理由； (2)图2中，连接，交于点，筝形的面积是15，．求的长． 【答案】(1)平分；理由见解析 (2)． 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． （1）分别利用证求得，据此即可证明结论成立； （2）利用等腰三角形的性质求得，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：平分；理由如下， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：由（1）得， ∵， ∴， ∵筝形的面积是15，， ∴，即， ∴． 【核心考点四 根据三线合一证明】 【例1】（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”， 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”， 故选D． 【例2】（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 【例3】（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”等知识点，根据、即可判断④；延长交延长线于，可推出是等腰三角形，证即可判断②③；根据即可判断①； 【详解】解：∵平分平分 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，故④正确； 如图，延长交延长线于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ (ASA)， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，即点E为的中点，故②正确； ∵， ∴，故①错误； 故答案为：②③④ 【例4】（23-24八年级上·福建福州·单元测试）如图，，D是中点，点E是延长线上一点，，交延长线于F，连接，且．有下列结论：①平分；②；③；④平分，其中正确的是 （只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，三线合一判断①，证明判断②，三角形的外角，等边对等角，判断③，即可得出结果． 【详解】解：∵，D是中点， ∴，平分，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 条件不足，无法得到平分，故④错误； 故答案为：①②③． 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边作，使得，E为边上一点，连接，，且．    若，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．过点A作交于点M．证明．得到，则，即可得到结论； 【详解】证明：如图1，过点A作交于点M．    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，即． 【核心考点五 格点图中画等腰三角形】 【例1】（广东省广州市第113中学等四校2024~2025学年八年级上学期数学期中考试试卷）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定， 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 一共有8个点. 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论：①为等腰直角底边时，符合条件的点有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有3个． 故共有3个点， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 个． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、格点图中画等腰三角形，分情况讨论是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和判定，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别作出符合条件的图即可解答． 【详解】解：如图： 分情况讨论： 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，，，． 综上所述：若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有8个． 故答案为：8． 【例5】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在如图的网格中画出两个以为边的，使是等腰直角三角形．（要求：点C在格点上） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计，等腰直角三角形等知识，根据等腰直角三角形的定义以及数形结合的思想解决问题即可． 【详解】解：如图，三角形即为所作． ． 【核心考点六 找出图中的等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 【例3】（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【例5】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟记相关结论是解题关键． （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形，据此即可求解； （2）设，根据可得，进一步由可得，再由得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰三角形 （2）解：设． ， ； ， ； ， ， ， ， ． 【核心考点七 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形的个数（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，以及平行线的性质可得与，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得与，与的关系．本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，． ， ，， ，， ，，即，都为等腰三角形． 又，， ，且， ，都为等腰三角形． ，与的平分线相交于点， ， ，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：，，，，， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，、相交于点E，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A．是等腰三角形 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，由得出即可判断A；证明得出即可判断B；证明即可判断C，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形，故A正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； 在和中， ， ∴，故C正确，不符合题意； 由已知条件不能得出，故不能得出，故D错误，符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点P作于点E，由题意易得，，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【例4】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）在△ABC中，，，则△ABC是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的判定．根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状． 【详解】解：在中，，， ， ∴， 故， 所以的形状是等腰三角形； 故答案为：等腰． 【例5】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，即得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 【核心考点八 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点 D 作边的平行线，交于点E，交于点F．若的周长为14，则的周长是（    ） A．7 B．9 C．12 D．19 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义．根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，即可求解 【详解】解：∵和的平分线相交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为14，， ∴， ∴的周长． 故选：B 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，由三角形外角的性质推出，得到，即可得出结论．解题的关键是掌握：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，若用“”说明，则还需要加上条件： 【答案】 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定；根据等角对等边可得，根据题意再添加一组对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 若用“”说明，则还需要加上条件：（或）， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定，通过等量代换证明，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：分别平分，， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长为15． 故答案为：15． 【例5】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，点在边上，，．判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和的应用，等腰三角形的判定，根据三角形内角和定理得出，根据等角对等边，即可得出结论． 【详解】解：是等腰三角形． ∵，， ∴； ∴． ∵，， ∴， ∴； ∴； ∴（等角对等边）； ∴是等腰三角形． 【核心考点九 根据等角对等边求边长】 【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，中，，，平分交于点，，交于点，若，则长为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，最后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 【例2】（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，为边上的高，平分交于点E，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．36 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，解题关键是恰当作出辅助线求得三角形的高．由角平分线的定义得到，利用含30度角的直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到，再利用三角形内角和定理求出，推出，求出，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，平行线的性质： ①由角平分线得到，由三角形的内角和定理得到，再对运用内角和定理即可求解； ②根据题意证明，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：①和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：13． 【例4】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15，小岛P 在轮船的北偏西方向，2小时后轮船航行到点 B，小岛 P此时在轮船的北偏西方向，则此时轮船与小岛的距离的长为 海里 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、方向角以及三角形的外角性质等知识，由三角形的外角性质结合、的度数即可得出，根据等角对等边即可得出，再根据路程=速度×时间即可求出的长度，此题得解． 【详解】解：，， ， 海里． 答：此时轮船和小岛的距离为海里． 故答案为：30． 【例5】（24-25八年级上·甘肃金昌·期中）如图，在中，点D，E分别在边，上，与交于点O，给出下列三个条件：①；②；③． (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有成立的情形）； (2)请选择（1）中的一种情形，写出证明过程． 【答案】(1)①②或①③ (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等等知识，利用三角形全等得出角相等，线段相等进而证出结论是常用的方法． （1）根据三角形全等的判定得出答案； （2）由等腰三角形的性质，得出，又，得到，进而证出． 【详解】（1）解：由①②或①③可以判定是等腰三角形； （2）解：由①②判定是等腰三角形，理由如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， 即：， ， 即是等腰三角形． ①③判定是等腰三角形，理由如下： ， ， 又， ， 即：， ， 即是等腰三角形． 【核心考点十 直线上与己知两点组成等腰三角形的点】 【例1】（22-23七年级下·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了寻找直线上与已知两点组成等腰三角形的点，分别以已知两点为圆心画弧求交点是解题的关键． 分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，则其与轴、轴的交点（、除外）即为所求． 【详解】解：如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴于点、，交轴于点、，    故另一个顶点有、、、、、，共个， 故选：． 【例2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案． 【详解】解：分三种情况①，②，③： 如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和， ②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和， ③线段垂直平分线与直线的交点记为点， 符合条件的点P共有4个， 故选：C． 【例3】（22-23八年级上·全国·单元测试）已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，分，，三种情况，根据等腰三角形性质即可求解． 【详解】解：以B为圆心，以为半径画弧，交x轴于，两点，此时； 以A为圆心，以为半径画弧，交x轴于点，此时； 作的垂直平分线交x轴于，此时， 满足这样条件的C有: （个）， 故答案为：4． 【例4】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质，分当时，当时， 当时， 三种情况分别利用数形结合的思想找到符合条件的B点个数即可得到答案． 【详解】解：如图， 当时，符合条件的B有一个， 当时，符合条件的B有两个， 当时，符合条件的B有一个 综上所述，符合条件的点B共有4个． 故答案为：4． 【例5】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．    (1)求a的值及点B的坐标； (2)点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)） (2)点M的坐标为或 【分析】（1）把的坐标代入即可求得，然后利用平移的规律求得平移后的直线解析式，由函数解析式，令求点坐标，求点坐标； （2）分两种情况讨论：若，即可求得，得到；若时，求得，得到，． 【详解】（1）解：直线交轴于点 ， 解得， ， 将直线向下平移4个单位长度，得到的直线， 令，则，解得， 令，则， ，； （2）解：若时， ， ， ，    若， ，， ， ， ，，    综上，的坐标为或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键． 【核心考点十一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【例1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求出所有的情况是解题的关键．有三种情况：当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，作的中垂线，看中垂线与轴的交点个数，从而得到答案． 【详解】解：如图，有三种情况 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有1个； 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有2个； 当时，作的中垂线，中垂线与轴的交点有1个． 故答案为：4． 【例2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 【例3】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，点，，，若点满足；为等腰直角三角形且，则符合题意的点共有 个． 【答案】4 【分析】根据题意，分三种情况讨论：①为腰且；②为腰且；③ 为底边且，确定符合条件的点个数，再根据，便可得到答案． 【详解】解：如图 ① 为腰且时，可得， ② 为腰且时，可得 ， ③ 为底边且 时，可得 ， ∵ ∴和不符合题意，其它4个都符合题意 故答案为4 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解． 【例4】（22-23八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，符合条件的点P有 个． 【答案】4 【分析】分三种情况：当时，当时，当时，进行讨论即可解答． 【详解】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交 轴于点， 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交 轴于点，， 当时，作的垂直平分线，交 轴于点， 综上所述，符合条件的点有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键． 【例5】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【答案】图见解析，10 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点； 【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点， ， 所以满足条件的点共有个． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键． 【核心考点十二 作等腰三角形(尺规作图)】 【例1】（2024·河北石家庄·一模）如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行， B选项利用同位角相等判定两直线平行， C选项无法判断两直线平行， D选项利用内错角相等即可证明两直线平行， 故选：C． 【例2】（21-22八年级上·河南周口·期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断． 【详解】当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段， 然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线， 因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点， 最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查尺规作图作一个等腰三角形的原理，理解基本性质是解题关键． 【例3】（22-23八年级上·福建宁德·期中）已知A（2，0），B（0，2），在x轴上确定点M，使三角形MAB是等腰三角形，则M点的坐标为 （任写一个）． 【答案】，（任写一个） 【分析】画AB的垂直平分线交x轴于一点，再以点A为圆心，AB为半径画弧交x轴于两点，最后以点B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于一点，分别写出点坐标即可． 【详解】如图所示， 是以A为圆心，AB为半径交x轴于两点， 故所有满足条件点M的坐标是：，（任写一个）． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质、分类讨论、数形结合等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【例4】（2022·天津和平·三模）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．    （1） ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 3 取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）如图取格点E、F，连接EF，与网格线交于点G，AB与网格线交于H，连接GH，取格点I，连接CI交GH于点P，连接PA、PB，△PAB即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2）如图，取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．    故答案为：取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求． 【点睛】本题考查作图——应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活应用线段的垂直平分线的性质，平行线的判定和性质解决问题． 【例5】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【答案】见解析 【分析】根据线段的基本作图，线段的垂直平分线的基本作图，解答即可． 本题考查了线段的基本作图，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图的基本技能是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图的步骤，作图如下： （1）作射线； （2）在射线上截取； （3）作的中垂线，交于点D； （4）截取， 则等腰就是所求的三角形． 【核心考点十三 等腰三角形的性质和判定】 【例1】（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图，在等腰中， ，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，解题技巧是作辅助线构造全等三角形，解题关键是面积最小值可转化成三角形边长的最小值．通过证明全等三角形得到角等和边等，进而等量代换出直角，即可判断①②③；证明全等后即可证明四边形为三角形面积的一半，即可判断④⑤． 【详解】解：连接，作于点H， ∵是等腰直角三角形， ， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∴是等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积不随D，E的运动而变化， 故③错误； ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是2， 故④正确； ∵， ∴当取得最小值2时，取得最大值2， 故⑤错误， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，于是. 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证得， ∴， 即的周长为20， 故选：C． 【例3】（四川师大附中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷）如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．当为等腰三角形时， ． 【答案】2或6 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，分两种情形：如图1中，过点E作于H，证明，可得结论，如图2中，当时，点D与B重合，此时． 【详解】解：∵， ∴分以下两种情况： 当时，如图1中，过点E作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，当时，此时． 综上所述，满足条件的的长度为2或6． 故答案为：2或6． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，点D位于上方，连接，且，若的面积为9，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，过点A作交于N，连接，证明，得到，由的面积为9，即可求得结果． 【详解】解：过点A作交于N，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，和是高，它们所在的直线相交于点H．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定；证明两个三角形全等是解答本题的关键． （1）已知，由等腰三角形的性质得，继而推出，再由及是高，可得，证明即可． （2）已知，由等腰三角形的性质得，继而推出，再由及是高，可得，进而有，证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵和是高， ∴； ∵， ∴； ∵，是高， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∴； （2）解：仍有； 证明如下： ∵， ∴； ∵和是高， ∴； ∵， ∴； ∵，是高， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∴；    【核心考点十四 等边三角形的性质】 【例1】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】D 【分析】连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即长就是的最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ． 【答案】50 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，证明，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 【例4】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】作，使，连接、，证明，得，再根据，得出当B、N、H共线时，的值最小，再根据等边三角形与全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：作，使，连接、，如图， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当B、N、H共线时，的值最小， B、N、H共线时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，则． 寿诞为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰直角 三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，根据两点之间线段最短得出当B、N、H共线时，的值最小是解题的关键． 【例5】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，点P是直线上的一点（不与点B、C重合），以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)如图①，点P在边上． ①求证：； ②当的周长最小时，求的度数； (2)当点P在点B的左侧时，在图②中画出符合题意的图形，写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；②； (2)，理由见解析； (3)的长为4或8 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，掌握这些性质与定理的内容是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质，利用证明； ②根据全等三角形的性质，通过等量代换可得的周长，因此根据垂线段最短求出的最小值即可； （2）同（1）可证，推出，进而可得结论； （3）分点P在点B的左侧和右侧两种情况，利用等腰三角形的判定分别求解即可． 【详解】（1）①证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵， ∴， ∴的周长， 当时，取最小值， ∵是等边三角形，， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：，如图2，理由如下： ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当点P在点B左侧时，如图3， 此时，为直角三角形， ∵，， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点P在点B右侧时，如图4，此时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为4或8． 【核心考点十五 等边三角形的判定】 【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形，是特殊三角形，特殊三角形只能是直角三角形，等边三角形，由此判断即可解答． 【详解】解：点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：直角三角形，等边三角形，直角三角形． 故选：． 【例2】（24-25八年级上·广东中山·期中）已知a，b，c是的三条边，若a，b，c满足，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方数的非负性可得，，进而可得，由此可知是等边三角形． 【详解】解：， ，， ，， ， 的形状为等边三角形． 故选B． 【例3】（24-25八年级上·广西玉林·期中）在中，已知，再添加一个条件 ，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）． ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，绝对值和完全平方式的非负性， 根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b，c的关系，可得答案． 【详解】解：， ，且， ， 是等边三角形， 故答案为：等边． 【例5】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)a，b，c满足试判断△ABC的形状； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； (3)化简：． 【答案】(1)是等边三角形； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等边三角形的判定，非负数的性质，熟知三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形三边关系结合c是奇数直接求解即可得到答案； （3）根据三角形三边关系直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a，b，c满足， ∴，， ∴，， 解得， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴，即， ∵三角形的周长为偶数， ∴c是奇数， ∴； （3）解：由三边关系得， ，，， ∴原式 ． 【核心考点十六 等边三角形的判定和性质】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，已知，点 D为边上一点，，点O为线段的中点，以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点 E，连接，则的长是（   ） A．5 B．10 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，根据作图得到，从而得到为等边三角形即可得到答案； 【详解】解：∵，为线段的中点， ∴， 以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点E，如图所示，连接， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在等边中，D，E分别在，上，，与相交于点G，于点F，连接并延长，与交于点O．若O是的中点，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、等边三角形判定与性质，熟练掌握各判定定理和性质定理是解题关键．先证，证出，再证是等边三角形，从而证明即可求出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，O是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选∶C． 【例3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，等边三角形中，是的中点，于，，交于，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定；先根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，又 ∴是等边三角形， ∴的周长为， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，证明是等边三角形是解题的关键． 只需要证明是等边三角形，得到即可得到答案． 【详解】解：∵中，，， ∴是等边三角形， ， ∴的周长为， 故答案为：18． 【例5】（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由（1）可得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴为等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，即是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． 【核心考点十七 含30度角的直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为（    ） A．秒 B．秒 C．或秒 D．或秒 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形中所对的边是斜边的一半，解一元一次方程，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据所对的边是斜边的一半，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为直角三角形，， ∴当时，则， ∴， 解得：， 当时，则， ∴， 解得：， 综上，当的值为秒或秒，为直角三角形， 故选：D． 【例2】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在 中，，于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由，，则，，又得，故，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 【例4】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，平分，交于点，，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识，过点D作．求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点D作． ∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴，即点到的距离为． 故答案为：3． 【例5】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于点，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再根据，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴． 【核心考点十八 等腰三角形的定义】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为12和18两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．6或14 B．12或14 C．8或14 D．6或8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论；分两种情况：；，利用，求得，从而求得． 【详解】解：如图， ∵， ∴； 若，则； 则， 解得：， ∴； 此时； 若，则； 则， 解得：， ∴； 此时； 综上，底边的长为6或14； 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（    ） A．10 B．10或11 C．10或12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：有两种情况：腰长为，底边长为，三边为：，，可构成三角形， 周长； 腰长为，底边长为，三边为：，，可构成三角形， 周长． 故选：B． 【例3】（广东省广州市第113中学等四校2024~2025学年八年级上学期数学期中考试试卷）等腰三角形中，，．则的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【详解】解：当时，符合三角形三边关系，周长为； 当时，符合三边关系，周长为． 故答案为：或． 【例4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的定义，三角形的三边关系，是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当5是腰时， ∵， ∴能构成三角形． ∴周长为：． 当2是腰长时， ∵， ∴不能构成三角形． 故答案为：12． 【例5】（24-25八年级上·全国·期末）（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①请直接写出的度数为_____； ②试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明； （2）拓展探究： 图2，和均为等腰三角形，，点A、D、E在同－直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；．证明见解析；（2）；；理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）①由条件和均为等边三角形，易证，从而得到：．由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数．②由可得； （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出；根据，可得，所以，据此判断出． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： ∵， ∴． （2）；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， 即， ∴， ∴． ∴． 在等腰直角中，为斜边上的高， ∴， ∴． ∴． 【变式训练1 等边对等角】 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，且点D为上一点，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和为是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则是度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时， ， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 则， ∴， 当时，， ∵， ∴不存在； 综上所述，或， 故选：D． 3．（广东省广州市第113中学等四校2024~2025学年八年级上学期数学期中考试试卷）如图，在中，，点D，E分别在边上，且，则 ． 【答案】100° 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理， 设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，进而求出，最后可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：设 ∵ ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据证明，由全等三角形的性质可得，，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上且，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质证明； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 【变式训练2 根据等边对等角证明】 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在与中，点F在上，交于点D．，，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．证明，得到，等边对等角求出的度数即可．解题的关键是证明． 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选 A ． 2．（22-23八年级上·贵州遵义·单元测试）中，平分于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由“”可证可得可判断①④，由等腰直角三角形的性质可判断②③. 【详解】解：∵平分 且， 平分 ∴①④正确， ， 且， ∴ ∴， ∴②正确，③错误， 故选：C． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角三角形，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点B作交延长线于E，连接，证明得到，则，再利用面积公式可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是以B为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知，在中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动．当和全等时，则点Q的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点，表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②与是对应边两种情况讨论即可． 【详解】解：，， ， 点D为的中点， ， 设点P、Q的运动时间为t，则，， ①当时， ， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ， ， ， 故点Q的运动速度为， 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，是中线，且，试判断是什么形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查直角三角形的判定，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题关键主要利用中线定义和等边对等角的性质解答．根据“是的中线，且”求出，再根据等腰三角形的性质得，．再根据三角形内角和定理可得，即可得结论． 【详解】解：是直角三角形． 证明：如图， ，， ． ，． 又． ， 即 是直角三角形． 【变式训练3 三线合一】 1．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，即， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，根据三线合一性质直接能得到点D是线段的中点，即可求解． 【详解】解∶∵，，， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是 ． 【答案】等腰三角形三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故样操作的数学依据是等腰三角形三线合一， 故答案为：等腰三角形三线合一． 4．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，是边上的中线，过点作，交的延长线于点，连接．若，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作于点，先证明，则，，由得，设，，则，，根据求出的值，再用含的式子表示，从而求出的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)8，见解析 【分析】（1）由平行线的性质推出，，由判定，推出； （2）由，推出，由等腰三角形的性质推出平分，得到点E在的平分线上． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，点E在的平分线上，理由如下： 连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵）， ∴， ∴平分， ∴点E在的平分线上． 【变式训练4 根据三线合一证明】 1．（2024·山西运城·一模）木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个铅锤如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一，作答即可． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合； 故选B． 2．（22-23八年级上·福建莆田·期末）最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，， ，即是的高线， 是等腰三角形，， 是的角平分线，故A选项不符合题意； B、是等腰三角形，， 是的角平分线，故B选项不符合题意； C、若，不能说明是的角平分线，故C选项符合题意； D、， ， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，由“”可证和全等，可得，即可求解． 【详解】解∶如图，连接， ∵，，，点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 4．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有 个． 【答案】4 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质三线合一得到，，故②③正确；通过，得到，，故①④正确． 【详解】 解：， 平分， ， ， ， 是的角平分线， ，，故②③正确， 在和中，， ，， ， ，，故①正确； ， ，故④正确． 故答案为：4 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点E在的延长线上，点D在边上，且，若，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 过点作于．先在 中利用 角所对的直角边等于斜边的一半得出 于是，再根据等腰三角形三线合一的性质得出 然后根据 即可求解． 【详解】解：过点作于． 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∵，于， ∴， ∴． 【变式训练5 格点图中画等腰三角形】 1．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 【详解】解：如图， 当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， ∴点C的个数有3个， 故选：C． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形． 【详解】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到8个． 故选：D． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，使是以为一边的等腰三角形，满足条件的点C的个数有 个．    【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键．分为腰长或底边两种情况分类讨论即可． 【详解】解：如图，为腰长时，红色的二个点可以作为， 为底边时，黑色的四个点可以作为， 故满足条件的点C的个数有，    故答案为：． 4．（21-22八年级上·四川自贡·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【答案】10 【分析】分三种情况，CA=CB，AB=AC，BA=BC，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图： 当CA=CB时，作AB的垂直平分线，符合条件的点有6个， 当AB=AC时，以A为圆心，AB长为半径作圆，符合条件的点有2个， 当BA=BC时，以B为圆心，BA长为半径作圆，符合条件的点有2个， 综上所述，△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有10个， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键． 5．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在的正方形网格中，A、B为格点，请你画出三个以为腰的等腰． （要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．） 【答案】见解析 【分析】本题考查网格作图，熟练掌握锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的特点，以及勾股定理是解题的关键．根据锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的特点，以及勾股定理画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 【变式训练6 找出图中的等腰三角形】 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形． 【详解】解：是的角平分线， ， ， 是等腰三角形①． ， ， 是等腰三角形②． ，， ， ， 是等腰三角形③． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 2．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 【答案】C 【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数． 【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：， 根据三角形的外角的性质，得 ． 再根据等角对等边，得 等腰三角形有，，，和，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 3．（22-23八年级上·全国·期中）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形 ． 【答案】△ABD，△BDC，△ABC． 【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断． 【详解】∵∠A＝36°，∠C＝72°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，即：∠ABC＝∠C＝72°， ∴△ABC为等腰三角形， ∵∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BDC为等腰三角形， ∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝72°－36°＝36°， ∴∠ABD＝∠A， ∴△ABD为等腰三角形． 故答案为：△ABD，△BDC，△ABC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 4．（22-23九年级·福建漳州·自主招生）已知的三条边长分别为，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】． 【分析】利用等腰三角形的性质分别利用AB、AC为底、为腰画出图形和AB、AC不为底和腰画出图形，然后统计即可． 【详解】解：如图：当AB为底时，BC1=AC1，即能画出等腰三角形； 当AB为腰时，AB=BC3，AB=BC5，AB=BC6，即能画出等腰三角形； 当以AC为底时，AC4=CC4，即能画出等腰三角形； 当以AC为腰时，AC=CC2，即能画出等腰三角形； 当AB、AC不为底和腰时，有BC7=CC7，即能画出等腰三角形． 故答案为7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，掌握根据图形分类讨论是解答本题的关键．. 5．（2021·江苏南京·一模）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线． （1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）． （2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）． （3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE． ①求∠B和∠C的关系式． ②求∠BAC的取值范围． 【答案】（1）见解析  （2）见解析 （3）① 3∠B+2∠C＝180°；②90°＜∠BAC＜120°． 【分析】（1）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形，使得，，是等腰三角形，并标出每个角的度数即可； （2）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形，使得，，是等腰三角形，并标出每个角的度数即可； （3）①设∠B=α，∠C=β，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理用α表示出∠BED、∠DEA，用β表示出∠CEA，根据平角的定义列出式子，整理得到答案；②根据三角形内角和定理得到0＜α＜60，根据①中结论计算，得到答案． 【详解】（1）如图①； （2）如图②； （3）①设∠B＝α，∠C＝β， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠BDE（180﹣α）＝90α， ∵DA＝DE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴∠DEA∠BDE＝45α， ∵CA＝CE， ∴∠CEA＝∠CAE（180﹣β）＝90β， ∴90α+45α+90β＝180， 整理得，3α+2β＝180，即3∠B+2∠C＝180； ②∠BAC＝∠DAE+∠CAE ＝45α+90β ＝135（α+2β） ＝135（3α+2β）α ＝90α， ∵3α+2β＝180， ∴0＜α＜60， ∴90＜∠BAC＜120． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180是解题的关键． 【变式训练7 根据等角对等边证明等腰三角形】 1．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及外角的性质等知识；先由平行线的性质得，等量代换得到，然后由等角对等边即可得出结论． 【详解】解：∵③， ∴④， ∵①， ∴②， ∴⑤， 故证明步骤正确的顺序是， 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在中，，，则是（     ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出即可判断． 【详解】在中，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：B． 3．（2023·广西梧州·三模）如图，中，，点B在x轴的正半轴，坐标为．平分，点M在的延长线上，点N为边上的点，则的最小值是 【答案】 【分析】 在x正半轴上取点，使，过A作轴于点D，先证，得，由，由点到直线的距离垂线段最短，确定最小值为，由等腰三角形的判定和含直角三角形的性质求解即可； 【详解】 在x正半轴上取点，使，过A作轴于点D， 平分， ， ，， ， ， ， 当，即与D重合时，的值最小， 最小值为， ， ， ， ， ， ， ， 最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了坐标与图形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，理解A点是固定点，而M和N均为动点，然后运用三点共线及点到直线的最短距离确定最小值是本题的关键． 4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是 三角形，线段的长为 ． 【答案】 等腰 3 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定； 先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到是等腰三角形，，，进而计算即可． 【详解】解：∵和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，，， ∴． 故答案为：等腰，3． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，、相交于点O． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）根据全等三角形对应角相等可得，根据等腰三角形的判定得出，即可证明． 【详解】（1）证明：在和中， ， ． （2）证明：∵， ， ， ， ． 【变式训练8 根据等角对等边证明边相等】 1．（湖南省郴州市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，在中，，F是高线和的交点．若，则线段的长为（    ）． A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，根据三角形内角和定理、等腰三角形性质等可得到，根据，，推出，根据证，推出即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）如图所示，是的角平分线，过点D作交于点E，若，，则边的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，进而可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ．    【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质．根据平分，平分，且，可得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵平分，平分， ， ∵， ， ， ， ， 的周长， 故答案为：30． 4．（24-25八年级上·山东德州·期中）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，已知，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质得出，等量代换得出，进而证得； （2）由（1）知，根据求出，根据得出，进而求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练9 根据等角对等边求边长】 1．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，， 分别平分和，过点 作，分别交，于点，，若，，，则的周长为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，，进而可得，，再根据三角形的周长和线段的和差解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵、分别平分和， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， 故选：． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3.2． 4．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图，，，于点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的外角性质，角的直角三角形的性质．根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：， ， ， 又， ． 故答案为：5． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为中线，E为上一点，交于点F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先延长到G使，连接，再证明得出再由等边对等角得，则最后由等角对等边得出即可作答． 【详解】证明：延长到G使，连接， ∵为中线， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 【变式训练10 直线上与己知两点组成等腰三角形的点】 1．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰三角形底边；②为等腰三角形一条腰． 【详解】如图： ①为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 2．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，画出满足条件的三角形，即可． 【详解】当时，点，，构成等腰三角形的点恰好有3个， 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； ∴，，满足题意；   当时，存在满足条件的点只有一个； ∴；   当，存在满足条件的点只有个； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，存在满足条件的有三个点； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形； 当，为等腰三角形；   当时，不存在满足条件的点， ∴甲、丙答案合在一起才完整， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，画出满足题意的图形． 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点．点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，等腰三角形的判定．数形结合是解题的关键． 根据等腰三角形的判定，数形结合求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，即；当时，，即， ∴，即与原点重合， 以点为圆心，以的长为半径画圆，两圆与坐标轴的交点即为点，如图， ∴共有7个满足要求的点， 故答案为：7． 4．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，，以为边画等腰，使P点在的边上，则符合条件的点P共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，分三种情况：当时，当时，当时，掌握等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：分三种情况： 当时，如图，以点为圆心，长为半径作弧，交，分别于点，；    当时，以点为圆心，长为半径作弧，交于点； 当时，作的垂直平分线交于点． 综上，符合条件的点共有4个， 故答案为：4 5．（22-23八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，轴于点B，轴于点D．点，，且a，b满足．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，在x轴上是否存在点F，使是以CO为腰的等腰三角形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点． 【答案】(1)见解析 (2)，或，或； (3)见解析 【分析】（1）由将已知等式变形为两个完全平方式的和等于0，再利用非负性可求出a，b，进而可得，，即可证明结论； （2）分或两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解； （3）由“”可证，可得，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ∴，， ，， ， 轴于点B，轴于点D， ，， ，， ； （2）解：在轴上存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下， 当时，则点，或，， 当时， ， ， ， 点， 综上所述：点，或，或； （3）证明：如图2中，过作，交于，    轴，轴， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练11 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 1．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】A 【分析】由题意得：，从而利用等边三角形的判定可得是等边三角形，然后分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∵是等腰三角形， ∴是等边三角形， 分三种情况： 当时，以点O为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点，； 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点； 当时，作的垂直平分线，交x轴于点； 综上所述：以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有2个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键． 2．（21-22八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便． 3．（2022·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 【答案】a＞8或a=4 【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个． 【详解】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，△PMN是等腰三角形， 过点M作MH⊥OB于H，当MH＞MN，即MH＞4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当MH=4时， ∵∠AOB=30°， ∴OM=2MH=8， ∴当a＞8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当△PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时a=4， 故答案为：a＞8或a=4 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题． 4．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ． 【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3) 【分析】根据等腰直角三角形中直角顶点的不同情况进行分类讨论，并结合全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC时， 作CP⊥y轴于P点，则∠CPB=∠BOA=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠PBC+∠OBA=90°， ∵∠PBC+∠PCB=90°， ∴∠OBA=∠PCB， 在△OBA和△PCB中， ∴OB=PC，OA=PB， 由题意，OB=4，OA=2， ∴PC=4，PB=2， ∴OP=2+4=6， ∴此时，C点坐标为(4，6)； ②如图所示，点C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC时， 作CQ⊥x轴于Q点，则∠AQC=∠BOA=90°， 同①理，可证得△BOA≌△AQC， ∴OB=AQ=4，CQ=OA=2， ∴OQ=2+4=6， ∴此时，C点坐标为(6，2)； ③如图所示，点C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC时， 作BM⊥CN，交CN延长线于M点，则∠BMC=∠CNA=90°， 同①理，可证得△BMC≌△CNA， ∴AN=MC，CN=BM， 则， 即：， 解得：， ∴ON=2+1=3， ∴此时，C点坐标为(3，3)； 综上，点C的坐标为(4，6)、(6，2)或(3，3)； 故答案为：(4，6)、(6，2)或(3，3) ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质求解是解题关键． 5．（21-22八年级上·四川成都·期末）一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（a，0），点B（0，b）．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段OB于点D，交直线BC于点E．其中实数a、b满足b2+8b+16＝0． (1)求直线AB解析式； (2)如图1，当BE＝DE时，求E点坐标； (3)如图2，当BD＝DE时，F为直线BC上一点，且位于E点右侧，过点F作平行于y轴的直线交直线AD于点G，点H为直线AB上的动点，当△FGH为等腰直角三角形时，求点H坐标． 【答案】(1) (2)（，） (3)（，） 【分析】（1）根据非负数的性质可得：，，进而可得：（，），（，），再利用待定系数法即可求解． （2）如图，过点作轴于点，利用待定系数法可得直线解析式为，设（，），可得直线的解析式为，再令，得 ，（，），再根据，，可得点是的中点，且点与点的纵坐标相等，建立方程即可求解． （3）如图，过点作轴交于点，根据，可得，进而可得（，）利用待定系数法求得直线的解析式为，设（，），再根据为等腰直角三角形，分三种情况讨论即可：当，时，当，时，当，时． 【详解】（1） ， ， ， （，），（，） 直线的解析式为 则 解得： 直线的解析式为 （2）如图，过点作轴于点，设直线的解析式为 解得： 直线经过点（，） 直线的解析式为 设点（，），直线的解析式为 则 解得： 直线的解析式为 （，） ， 点是的中点，且点与点的纵坐标相等 解得：或（舍去） （，） （3）如图，过点作轴交于点，则点（，） 轴 在和中 （，），（，） 解得：或（舍去） （，） 直线的解析式为 由题意可知：为等腰直角三角形，点在直线上，设点（，） 当，时 轴 轴 点的纵坐标与点的纵坐标相同，且点在直线上 解得： （，） 点在直线：上 （，） 解得： （，） 当，时，如图 设（，），则（，），（，） ， ，无解 当，时．如图，作于点，则 （，） ，，的纵坐标均为 设（，），（，） （，） 解得： 为直线上一点，且位于点右侧 不符合题意，舍去 综上，点（，） 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，其中（3）需要分类讨论，避免漏解． 【变式训练12 作等腰三角形(尺规作图)】 1．（22-23九年级下·北京东城·阶段练习）如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”； 图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”； 图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”． 故选：． 【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键． 2．（22-23九年级·浙江杭州·）在等边所在平面内有一点P，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（    ） A．1个 B．7个 C．10个 D．无数个 【答案】C 【分析】过B点作△ABC的中垂线，可知在三角形内有一点P满足△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆，圆B和圆A，从而可以得出一条中垂线上有四个点满足△PBC、△PAC、△PAB都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有10个点． 【详解】作三边的中垂线，交点P肯定是其中之一，以B为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于两点，作，它们也都是等腰三角形，因此是具有题目所说的性质的点； 以A为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于点,也必具有题目所说的性质． 依此类推，在的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：个． 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及同学们对图形的整体理解，三角形中任意两条边相等就是等腰三角形． 3．（22-23七年级下·浙江·阶段练习）如图，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=18°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后（图3是一次反射后的示意图），最后反射出去时，光线平行于平面镜OM. 设光线出发时与射线PM的夹角为(0°<<180°)，请直接写出满足条件的所有的度数 （注：OM、ON足够长） 【答案】36°，72°，108°，144° 【分析】θ=36°，72°，108°，144°．分别作出图形即可解决问题． 【详解】 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,解决本题的关键是要正确画出图形结合等腰三角形的性质计算. 4．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，若以B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则图中等腰三角形有 个. 【答案】3 【分析】根据AB=AC，可得 为等腰三角形；BE=BC，可得为等腰三角形，由∠BAC=36°可得 的度数，再计算的度数即可得到一个等腰三角形. 【详解】根据已知可得 为等腰三角形； 以B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E BE=BC 为等腰三角形； 在等腰三角形ABC中，∠BAC=36° 在等腰三角形BEC中 三角形ABE为等腰三角形； 所以有3个等腰三角形. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于寻找两条相等的边长. 5．（21-22八年级上·山西吕梁·期末）作图题 如图，已知线段a，b．求作，使，，BC边上的高等于b．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】先画，进而作出的垂直平分线，交于，以为圆心，b为半径画弧，交于点，连接即可； 【详解】如图，即为所求    【点睛】本题考查了已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法；主要利用了等腰三角形三线合一的性质 【变式训练13 等腰三角形的性质和判定】 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 先根据垂直定义和等角的余角相等证得，再利用可判断①正确；再证明可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】在中，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确； 中， ， 故④错误， 综上，正确的是①②③， 故选：C． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点．图中一定是等腰三角形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，先由平行线的性质得到，，，再由角平分线的定义推出，进而由三线合一定理推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形；，即是等腰三角形； ，即是等腰三角形； ∴共有四个等腰三角形．分别是，，，， 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在等边中，，过边上一点D作于点H，点E为延长线上一点，且，连接交于点F，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等．过点D作交于点G，先证是等边三角形，结合，得出，再证，推出，可得． 【详解】解：过点D作交于点G， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，中，平分，平分，过点且与平行的直线与、两边分别交于，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而得到，进而可得的周长为，然后进行计算可得． 【详解】解：平分，平分， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）（1）如图1，与分别是的角平分线和高．若，，求度数； （2）如图2，是的中线，且求的度数． 【答案】（1）；（2）的度数为． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形中线和角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用三角形内角和定理得，利用角平分线的定义可得，然后根据垂直的定义得，从而得到，最后利用角的和差关系即可求解； （2）根据三角形中线的定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）是高， ， ， ， ， ，，， ， 是的角平分线， ∴平分， ， ； （2）是的中线， 为中点， ∴， ， ， 在中， ， ， 在中， ， ，   在中，，， ， ， ，即， 的度数为． 【变式训练14 等边三角形的性质】 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得到，，判断①②，结合等边三角形的性质判断③④，即可得出结论． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，故①②正确； 若，则：， ∴， ∴，故③正确； 当B、D、C三点共线时，则点D在线段上，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 故不可能等于，故④错误； 综上：正确的有3个； 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】D 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：D． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律型问题，等边三角形的性质等知识点，观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数，确定点在x轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，……，点的坐标为，即可求解．能够通过所给图形，找到点的坐标规律是解答本题的关键． 【详解】观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数， ， 点在x轴上方， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 同理可知，点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【答案】3 【分析】延长，过点作于点，先证明，得出，，再证明，得出，即可求解．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是，正确画出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，过点作于点， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：3． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过点作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）因为是等边三角形，所以，由是边上的高，得，再由题中条件求出，进而即可得证； （2）根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，，从而证得． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，所对的直角边等于斜边的一半的性质等知识点，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【变式训练15 等边三角形的判定】 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）进行判断，解答即可．本题考查了等腰三角形的判定与等边三角形的判定． 【详解】解：A、，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； B、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，该选项符合题意； D、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）若的三边，，满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由可得，，，解得，，，于是可得，即可得出答案． 【详解】解：， ，，， 解得：，，， ， 是等边三角形， 故选：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解一元一次方程，等式的性质，等边三角形的判定等知识点，由推出，，是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查偶次方的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴这个三角形一定是等边三角形， 故答案为：等边． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）三条边都相等的三角形叫做 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查等边三角形的定义，根据三条边都相等的三角形叫做等边三角形即可填空． 【详解】解：等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 故答案为等边三角形． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵在中，是高，点是边的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【变式训练16 等边三角形的判定和性质】 1．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，，是边上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，则下列结论：①；②点为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则，其中结论正确的序号为（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理依次推理论证即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 是中点， 故①②符合题意； 不一定等于， 不一定是等边三角形， 故③不符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故④符合题意； ，， ， ， 故⑤符合题意； 故正确的有①②④⑤． 故选C． 2．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，是内两点，平分，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，延长交于M，延长交于N，得出为等边三角形，是含30度角的直角三角形，求出的长，根据三线合一求出的长即可． 【详解】解：延长交于M，延长交于N， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）己知：如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；延长交于一点E，过点C作于点F，由题意易得是等边三角形，，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：延长交于一点E，过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， 由可设， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴； 故答案为6． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，那么的长是 米．    【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·重庆开州·期中）（1）如图1，是等边三角形，D是边下方一点，，探索线段，，之间的数量关系． （2）如图2，是等边三角形，直线，D为边上一点，交直线a于点E，且，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． （1）由等边三角形知，，结合知，由知，证得，，再证是等边三角形得； （2）首先在上截取，由为等边三角形，易得是等边三角形，继而可证得，即可得，则可证得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，延长到点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， 即； （2）证明：在上截取， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式训练17 含30度角的直角三角形】 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形的性质，先利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，是射线上一动点（即点可在射线上运动），，若为直角三角形，则的长度为（    ） A．5 B．10 C．20 D．5或20 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质；分别从当或时去分析求解，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：①当时，如图： ∵ ∴ ∵ ∴在中，； ②当时，如图： ∵ ∴ ∵ ∴在中，． ∴综上所述，当或时，为直角三角形． 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故答案为：3或． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，有一根高为米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的特点，掌握含角的直角三角形的特点是解题关键． 根据题意可得，，利用含角的直角三角形的特点即可求解； 【详解】解：， ， ， ，， 故答案为： 5．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，过A作于E，过B作于F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，在中，， ， 同理可得，． 又双翼边缘的端点与之间的距离为， ， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大密度为． 【变式训练18 等腰三角形的定义】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： ， 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．8 B．24 C．8或24 D．8或12 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，以及构成三角形的条件．对于题中中线分三角形的周长为两部分，在没有指明两部分对应的长度时，应利用分类讨论的思想来求解，另外求出与后，不要忽略用三角形的两边之和大于第三边来判定能否构成三角形． 根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，底边为，根据中点定义得到与相等都等于腰长的一半，边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，分别表示出两部分，然后分，或，两种情况分别列出方程组，分别求出方程组的解即可得到与的两对值，根据三角形的两边之和大于第三边判定能否构成三角形，即可得到满足题意的等腰三角形的底边长． 【详解】解：依题意可得：这一边上的中线为腰上的中线，画出图形如下： 设这个等腰三角形的腰长为，底边长为， 为的中点， ， 根据题意得：或， 解得：或． 又三边长12、12、24不能构成三角形， 底边长为8． 故选A． 3．（21-22八年级下·辽宁锦州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ②当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为， 故答案为：或． 4．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）等腰三角形一个角为，它的另外两个角为 【答案】，或， 【分析】本题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析． 【详解】解：①当这个角是底角时，另外两个角是：，； ②当这个角是顶角时，另外两个角是：，． 故答案为：，或，． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，在中；，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)当秒时，求的长度； (2)用含的代数式直接写出线段； (3)如图②，是上的一点，． ①当为等腰三角形时，求的值； ②作点关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1)10 (2) (3)①或或；②或 【分析】（1），，对运用勾股定理即可求解； （2）当点P在线段上时，，；当点P在线段延长线上时，，； （3）①分三种情况讨论，借助于勾股定理和等腰三角形的三线合一即可求解； ②分两种情况讨论，分别利用轴对称的性质和勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：当秒，， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得 （2）解：当点P在线段上时，，； 当点P在线段延长线上时，，， 综上所述：； （3）解：①同（1）可得， 当时，如图： ， ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， 综上所述：当为等腰三角形时，或或； ②当点P在线段上时，如图： 由对称得，， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：； 当点P在线段延长线上时，如图： 由对称得，， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， 综上所述：点落在直线上时，或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义及性质，轴对称的性质，列代数式等知识点，难度较大，注意分类讨论． 1．（22-23八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断． 【详解】∵∠A=36°，∠DBC=36°， ∴△ABD为等腰三角形， ∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°， 而∠C=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴△BDC为等腰三角形， ∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°， ∴∠ABC=∠C， ∴△ABC为等腰三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，已知，，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后根据等量代换可得：的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定与性质；分情况进行分析是正确解答本题的关键． 由于点的位置不确定，所以应当讨论，当时，可得到点，当时，可得到一点．当时， 【详解】如图所示： ， 分三种情况： 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交点点，，； 当时，分别以为圆心，以长为半径作圆，与 y 轴交与另一点，； 当时，作线段的垂直平分线，与 y 轴的交点可得到一点，． 综上所述：使 为等腰三角形的点的个数为4 个， 故选：B． 4．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）已知如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数应是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解． 【详解】如图，分情况讨论： ①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 总共8个点 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出符合实际条件的图形是解题的关键． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止。设点运动的时间为秒．当时，的值为（    ） A．3.2 B．10 C．3.2或6 D．3.2或10 【答案】D 【分析】先可求出各节点的时间，由得出是等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出．分三种情况：当时，当时，当时，分别进行求解． 【详解】解：根据题意可得（秒），（秒），（秒），（秒），（秒）. 在中，， ∴是等边三角形， ∴． 当时， ∵，， ∴， ∴， 即 解得：． 当时，点，在边上，不符合题意； 当时， ∵， ∴点为边的中点， 即， 解得：． 综上所述，当时，的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、等边三角形的性质以及解直角三角形，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，，点在的外部，且， ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，以为边作等腰直角，连接，过点分别作的垂线，垂直分别为，设交于点，证明，，得出，，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作等腰直角，连接，过点分别作的垂线，垂直分别为，设交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴四边形的面积等于 故答案为：． 7．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，若，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和定义．掌握等角对等边是解题关键．根据题意证明和是等腰三角形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 8．（22-23八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。 【答案】8 【分析】分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案. 【详解】解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC是等腰三角形的格点C有8个． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 9．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了“反射三角形”，属于新定义问题，还涉及到三角形内角和定理，等腰及等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，合理利用三角形内角和定理是解决问题的关键．根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出，再逐个判断即可． 【详解】解：， 当时，， 钝角三角形或直角三角形不存在反射三角形， 只有锐角三角形存在反射三角形， 故①正确，符合题意； 当是等边三角形时，， 是等边三角形， 故②正确，符合题意； 当时，， 直角三角形不存在反射三角形 故③错误，不符合题意； 当是等腰三角形时，假设， 等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形， 故④正确，符合题意； 故选：①②④． 10．（2024八年级·全国·竞赛）的三边长为，且满足等式，则的形状是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定，根据完全平方公式变形得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 整理为， ∴， ∴三角形为等边三角形． 故答案为：等边． 11．（23-24八年级上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)图中的等腰三角形有、 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键． （1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 12．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点在上，且， (1)请直接写出图中所有的等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定． （1）由在中，，，可得图中的等腰三角形有：，，； （2）首先设，然后由等腰三角形的性质，求得，然后由三角形的内角和定理，得到方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，，， 图中的等腰三角形有：，，； （2）设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ． 13．（24-25八年级上·全国·单元测试）在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【答案】①③④能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形，②不能，图见解析． 【分析】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形，此题的4个选项中只有图有点难度． 【详解】解：如图所示： ①作的角平分线，则分为两个小等腰三角形； ②不能过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形； ③过点作的垂线，则分为两个小等腰三角形； ④以为顶点，为一边在三角形内部作一个度角，则分为两个小等腰三角形． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等边中，，相交于点F． (1)求的度数； (2)过点B作，垂足为G．若，，则的长为 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由外角的性质可求解； （2）由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∴， 故答案为：7． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）证明，可得，即可得证； （2）证明，可得，即可得证； （3）延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，由（1）和（2）的结论可知，证明，再证明，根据面积关系可得，再求解即可． 【详解】（1） 证明：直线，直线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则， 由（1）和（2）的结论可知， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 等腰三角形（2个知识点+18大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 等边对等角 题型二 根据等边对等角证明 题型三 三线合一 题型四 根据三线合一证明 题型五 格点图中画等腰三角形 题型六 找出图中的等腰三角形 题型七 根据等角对等边证明等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明边相等 题型九 根据等角对等边求边长 题型十 直线上与己知两点组成等腰三角形的点 题型十一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型十二 作等腰三角形(尺规作图) 题型十三 等腰三角形的性质和判定 题型十四 等边三角形的性质 题型十五 等边三角形的判定 题型十六 等边三角形的判定和性质 题型十七 含30度角的直角三角形 题型十八 等腰三角形的定义 知识点一、等腰三角形的性质 1、等腰三角形的两个腰相等（定义）。 2、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 3、等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）。 4、等腰三角形两腰上的高相等。 5、等腰三角形两腰上的中线相等。 6、等腰三角形两底角的角平分线相等。 知识点二、等腰三角形的判定 1、两边相等的三角形是等腰三角形（定义）。 2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。 3、如果一个三角形一条边上的高、中线及所对角的角平分线中任意两条重合，则另外两边相等。 4、如果一个三角形有两个高相等，那么这两个高所对的边也相等。 5、如果一个三角形有两个中线相等，那么这两个中线所对的边也相等。 6、如果一个三角形有两个角平分线相等，那么这两个角平分线所对的边也相等。 【核心考点一 等边对等角】 【例1】（广东省广州市第113中学等四校2024~2025学年八年级上学期数学期中考试试卷）如图，在中，，，且，则（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川广安·期中）已知是等腰三角形，若，则的顶角度数是（    ） A． B． C．或 D．以上都不正确 【例3】（江苏省无锡市八校联考2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷）已知等腰三角形的一个内角等于，则它的顶角是 【例4】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ． 【例5】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知中，，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与全等吗？请说明理由． ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当与全等时，求点的运动速度． (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过 秒后，点与点第一次在的边上相遇（在横线上直接写出答案）． 【核心考点二 根据等边对等角证明】 【例1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，点C是上一点，过点C作，交于点F，连接，且，则下列结论正确的个数是（   ）   ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，D，E，F分别在上，且，．若，，则AC的长度为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 【例4】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ． 【例5】（22-23八年级下·福建三明·期中）已知：如图，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 【核心考点三 三线合一】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，垂足为D，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 【例4】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，中，，是边上的中线，且，则 ． 【例5】（山东省滨州市2024-—2025学年八年级上学期期中考试数学试题）在几何学上，我们把两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1所示，筝形中，，． (1)请判断是否平分，并说明理由； (2)图2中，连接，交于点，筝形的面积是15，．求的长． 【核心考点四 根据三线合一证明】 【例1】（23-24八年级下·贵州毕节·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 【例2】（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ． 【例4】（23-24八年级上·福建福州·单元测试）如图，，D是中点，点E是延长线上一点，，交延长线于F，连接，且．有下列结论：①平分；②；③；④平分，其中正确的是 （只填写序号） 【例5】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边作，使得，E为边上一点，连接，，且．    若，求证：． 【核心考点五 格点图中画等腰三角形】 【例1】（广东省广州市第113中学等四校2024~2025学年八年级上学期数学期中考试试卷）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使为等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在的正方形网格中有两个格点，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在网格中，A、B是两个格点，若C也是格点，且是等腰三角形，则满足条件的C有 个． 【例5】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在如图的网格中画出两个以为边的，使是等腰直角三角形．（要求：点C在格点上） 【核心考点六 找出图中的等腰三角形】 【例1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例3】（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【例5】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，点在上，且，求： (1)图中有哪些等腰三角形？ (2)各角的度数． 【核心考点七 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形的个数（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【例2】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，、相交于点E，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A．是等腰三角形 B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 【例4】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）在△ABC中，，，则△ABC是 三角形． 【例5】（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 【核心考点八 根据等角对等边证明边相等】 【例1】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点 D 作边的平行线，交于点E，交于点F．若的周长为14，则的周长是（    ） A．7 B．9 C．12 D．19 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，若用“”说明，则还需要加上条件： 【例4】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为 ． 【例5】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，点在边上，，．判断的形状，并说明理由． 【核心考点九 根据等角对等边求边长】 【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，中，，，平分交于点，，交于点，若，则长为（   ） A．2 B． C． D．3 【例2】（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，为边上的高，平分交于点E，，，则的面积为（    ） A．48 B．24 C．36 D．30 【例3】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的值为 ． 【例4】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15，小岛P 在轮船的北偏西方向，2小时后轮船航行到点 B，小岛 P此时在轮船的北偏西方向，则此时轮船与小岛的距离的长为 海里 【例5】（24-25八年级上·甘肃金昌·期中）如图，在中，点D，E分别在边，上，与交于点O，给出下列三个条件：①；②；③． (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定是等腰三角形（用序号写出所有成立的情形）； (2)请选择（1）中的一种情形，写出证明过程． 【核心考点十 直线上与己知两点组成等腰三角形的点】 【例1】（22-23七年级下·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，以为腰作等腰三角形，且点在坐标轴上，则满足条件的点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例3】（22-23八年级上·全国·单元测试）已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 个． 【例4】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，在x轴上确定一点B，使是等腰三角形，这样的B点有 个． 【例5】（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线交x轴于点，将直线向下平移4个单位长度得到的直线分别交x轴、y轴于点．    (1)求a的值及点B的坐标； (2)点M为线段OA上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出符合条件的点M的坐标． 【核心考点十一 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【例1】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个． 【例2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例3】（22-23八年级上·福建龙岩·期中）在平面直角坐标系中，点，，，若点满足；为等腰直角三角形且，则符合题意的点共有 个． 【例4】（22-23八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，符合条件的点P有 个． 【例5】（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【核心考点十二 作等腰三角形(尺规作图)】 【例1】（2024·河北石家庄·一模）如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【例2】（21-22八年级上·河南周口·期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【例3】（22-23八年级上·福建宁德·期中）已知A（2，0），B（0，2），在x轴上确定点M，使三角形MAB是等腰三角形，则M点的坐标为 （任写一个）． 【例4】（2022·天津和平·三模）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．    （1） ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【例5】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：线段a，h，求作等腰，使底边，高，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【核心考点十三 等腰三角形的性质和判定】 【例1】（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图，在等腰中， ，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交于点．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．18 C．20 D．22 【例3】（四川师大附中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷）如图，在中，，，D为上一点，连接，过点A作，取，连接交于F．当为等腰三角形时， ． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，，点D位于上方，连接，且，若的面积为9，则线段的长度为 ． 【例5】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，和是高，它们所在的直线相交于点H．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论． 【核心考点十四 等边三角形的性质】 【例1】（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是，的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【例3】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ． 【例4】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，等边中，为边上的高，点，分别在，上，且，连，，当最小时，则 ． 【例5】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）已知是边长为4的等边三角形，点P是直线上的一点（不与点B、C重合），以为边向右侧作等边三角形，连接． (1)如图①，点P在边上． ①求证：； ②当的周长最小时，求的度数； (2)当点P在点B的左侧时，在图②中画出符合题意的图形，写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，直接写出的长． 【核心考点十五 等边三角形的判定】 【例1】（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 【例2】（24-25八年级上·广东中山·期中）已知a，b，c是的三条边，若a，b，c满足，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例3】（24-25八年级上·广西玉林·期中）在中，已知，再添加一个条件 ，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 【例4】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 【例5】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)a，b，c满足试判断△ABC的形状； (2)若，，且三角形的周长为偶数，求c的值； (3)化简：． 【核心考点十六 等边三角形的判定和性质】 【例1】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，已知，点 D为边上一点，，点O为线段的中点，以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点 E，连接，则的长是（   ） A．5 B．10 C． D．3 【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在等边中，D，E分别在，上，，与相交于点G，于点F，连接并延长，与交于点O．若O是的中点，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【例3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，等边三角形中，是的中点，于，，交于，，则的周长为 ． 【例4】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，则的周长为 ． 【例5】（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【核心考点十七 含30度角的直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为（    ） A．秒 B．秒 C．或秒 D．或秒 【例2】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在 中，，于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则 ． 【例4】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，平分，交于点，，则点到的距离是 ． 【例5】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于点，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【核心考点十八 等腰三角形的定义】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为12和18两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．6或14 B．12或14 C．8或14 D．6或8 【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期中）若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是（    ） A．10 B．10或11 C．10或12 D．11 【例3】（广东省广州市第113中学等四校2024~2025学年八年级上学期数学期中考试试卷）等腰三角形中，，．则的周长为 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于2，则它的周长为 ． 【例5】（24-25八年级上·全国·期末）（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①请直接写出的度数为_____； ②试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明； （2）拓展探究： 图2，和均为等腰三角形，，点A、D、E在同－直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数线段之间的数量关系，并说明理由．    【变式训练1 等边对等角】 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，且点D为上一点，，则为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则是度数为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（广东省广州市第113中学等四校2024~2025学年八年级上学期数学期中考试试卷）如图，在中，，点D，E分别在边上，且，则 ． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，四边形中，，平分，，，垂足为E，且，则的度数是 ． 5．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，，为延长线上一点，点在边上且，连接、、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练2 根据等边对等角证明】 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在与中，点F在上，交于点D．，，，，则（　　）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·贵州遵义·单元测试）中，平分于E，则下列结论：①平分；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角三角形，连接，若，则 ． 4．（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知，在中，，，，点D是的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动．当和全等时，则点Q的运动速度为 ． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，在中，是中线，且，试判断是什么形状，并说明理由． 【变式训练3 三线合一】 1．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，若，则的长是（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，是等腰三角形钢架屋顶外框示意图，其中，是横梁，是竖梁，在焊接竖梁时，只需要找到的中点，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是 ． 4．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，是边上的中线，过点作，交的延长线于点，连接．若，的面积为，则的面积为 ． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，E为中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)已知，．当为何值时，点E在的平分线上？请说明理由． 【变式训练4 根据三线合一证明】 1．（2024·山西运城·一模）木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个铅锤如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（    ） A．垂线段最短 B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 2．（22-23八年级上·福建莆田·期末）最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡． 如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形是边上的一点． 下列条件不能说明是的角平分线的是 （    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ． 4．（23-24八年级上·河南三门峡·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有 个． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，点E在的延长线上，点D在边上，且，若，求的长． 【变式训练5 格点图中画等腰三角形】 1．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，使是以为一边的等腰三角形，满足条件的点C的个数有 个．    4．（21-22八年级上·四川自贡·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 5．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在的正方形网格中，A、B为格点，请你画出三个以为腰的等腰． （要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．） 【变式训练6 找出图中的等腰三角形】 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．4个 B．3个 C．5个 D．1个 3．（22-23八年级上·全国·期中）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形 ． 4．（22-23九年级·福建漳州·自主招生）已知的三条边长分别为，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 5．（2021·江苏南京·一模）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线． （1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）． （2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）． （3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE． ①求∠B和∠C的关系式． ②求∠BAC的取值范围． 【变式训练7 根据等角对等边证明等腰三角形】 1．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在中，，，则是（     ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．（2023·广西梧州·三模）如图，中，，点B在x轴的正半轴，坐标为．平分，点M在的延长线上，点N为边上的点，则的最小值是 4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是 三角形，线段的长为 ． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，、相交于点O． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练8 根据等角对等边证明边相等】 1．（湖南省郴州市2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题）如图，在中，，F是高线和的交点．若，则线段的长为（    ）． A．2 B．4 C．3 D．6 2．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）如图所示，是的角平分线，过点D作交于点E，若，，则边的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ．    4．（24-25八年级上·山东德州·期中）在中，，，则 ． 5．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，已知，平分． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练9 根据等角对等边求边长】 1．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，， 分别平分和，过点 作，分别交，于点，，若，，，则的周长为（      ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图，，，于点，则的长为 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为中线，E为上一点，交于点F，且．求证：． 【变式训练10 直线上与己知两点组成等腰三角形的点】 1．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．（22-23九年级下·河北衡水·阶段练习）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（   ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点．点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有 个． 4．（23-24八年级上·广东广州·期中）在中，，，以为边画等腰，使P点在的边上，则符合条件的点P共有 个． 5．（22-23八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，轴于点B，轴于点D．点，，且a，b满足．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，在x轴上是否存在点F，使是以CO为腰的等腰三角形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点． 【变式训练11 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 1．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 2．（21-22八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（    ）个． A．5 B．6 C．8 D．9 3．（2022·江苏南京·一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ． 4．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ． 5．（21-22八年级上·四川成都·期末）一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（a，0），点B（0，b）．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段OB于点D，交直线BC于点E．其中实数a、b满足b2+8b+16＝0． (1)求直线AB解析式； (2)如图1，当BE＝DE时，求E点坐标； (3)如图2，当BD＝DE时，F为直线BC上一点，且位于E点右侧，过点F作平行于y轴的直线交直线AD于点G，点H为直线AB上的动点，当△FGH为等腰直角三角形时，求点H坐标． 【变式训练12 作等腰三角形(尺规作图)】 1．（22-23九年级下·北京东城·阶段练习）如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法， 认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（    ） ①已知等腰三角形的底边和底边上的高； ②已知等腰三角形的底边和腰； ③已知等腰三角形的底边和一底角． A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③① 2．（22-23九年级·浙江杭州·）在等边所在平面内有一点P，使得都是等腰三角形，则具有该性质的点有（    ） A．1个 B．7个 C．10个 D．无数个 3．（22-23七年级下·浙江·阶段练习）如图，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=18°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后（图3是一次反射后的示意图），最后反射出去时，光线平行于平面镜OM. 设光线出发时与射线PM的夹角为(0°<<180°)，请直接写出满足条件的所有的度数 （注：OM、ON足够长） 4．（22-23八年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，若以B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则图中等腰三角形有 个. 5．（21-22八年级上·山西吕梁·期末）作图题 如图，已知线段a，b．求作，使，，BC边上的高等于b．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【变式训练13 等腰三角形的性质和判定】 1．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点．图中一定是等腰三角形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在等边中，，过边上一点D作于点H，点E为延长线上一点，且，连接交于点F，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，中，平分，平分，过点且与平行的直线与、两边分别交于，若，，则的周长为 ． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）（1）如图1，与分别是的角平分线和高．若，，求度数； （2）如图2，是的中线，且求的度数． 【变式训练14 等边三角形的性质】 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为 ． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，延长到，使，过点作于． (1)求证：； (2)请猜想与间的数量关系，并证明你的猜想． 【变式训练15 等边三角形的判定】 1．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）若的三边，，满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）若a、b、c是三角形的三边长，且满足，则此三角形是 三角形． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）三条边都相等的三角形叫做 ． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 【变式训练16 等边三角形的判定和性质】 1．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，，是边上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，，则下列结论：①；②点为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则，其中结论正确的序号为（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 2．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，是内两点，平分，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）己知：如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，那么的长是 米．    5．（24-25七年级上·重庆开州·期中）（1）如图1，是等边三角形，D是边下方一点，，探索线段，，之间的数量关系． （2）如图2，是等边三角形，直线，D为边上一点，交直线a于点E，且，求证：． 【变式训练17 含30度角的直角三角形】 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，是射线上一动点（即点可在射线上运动），，若为直角三角形，则的长度为（    ） A．5 B．10 C．20 D．5或20 3．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为 ． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，有一根高为米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为 米． 5．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【变式训练18 等腰三角形的定义】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．8 B．24 C．8或24 D．8或12 3．（21-22八年级下·辽宁锦州·期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，则顶角的度数为 ． 4．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）等腰三角形一个角为，它的另外两个角为 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图①，在中；，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)当秒时，求的长度； (2)用含的代数式直接写出线段； (3)如图②，是上的一点，． ①当为等腰三角形时，求的值； ②作点关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出的值． 1．（22-23八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，中，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，已知，，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点 ，Q是y轴上一点，则使 为等腰三角形的点的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）已知如图的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数应是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止。设点运动的时间为秒．当时，的值为（    ） A．3.2 B．10 C．3.2或6 D．3.2或10 6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，，点在的外部，且， ，则四边形的面积为 ． 7．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，若，则的长度为 ． 8．（22-23八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。 9．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 10．（2024八年级·全国·竞赛）的三边长为，且满足等式，则的形状是 三角形． 11．（23-24八年级上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 12．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点在上，且， (1)请直接写出图中所有的等腰三角形； (2)求的度数． 13．（24-25八年级上·全国·单元测试）在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等边中，，相交于点F． (1)求的度数； (2)过点B作，垂足为G．若，，则的长为 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 学科网（北京）股份有限公司 $$