方程的应用——面积与体积问题探索（导学案）-2023-2024学年北师大版六年级下册数学

面积与体积问题探索 学习目标： 1．体会用不同的设未知数方法解决实际问题的思维方式； 2．掌握用方程解决面积与体积问题的一般方法． 重难点 体会用不同的设未知数方法解决实际问题的思维方式. 自主学习 知识链接 1．常见的面积公式：长方形的面积=____×____，正方形的面积=________，三角形的面积=×____×____，梯形的面积=×（_______+_______）×____． 2．常见的体积公式：长方体的体积=____×____×____，正方体的体积=________，圆柱的体积=π×___________×____，圆锥的体积=π×____________×____． 合作探究 一、要点探究 探究点1：面积问题 合作探究： 如图，小刚将一个正方形纸片剪去一个宽为5 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为6 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，求所剪下的两个长条的面积之和． （1）找等量关系：①面积相等：________________的面积=________________的面积；②正方形的邻边相等：正方形的边长=_______________的长=________________的长+5 cm． （2）设元、列方程：若设正方形的边长为x cm，则第一次剪下的长条的长是____cm，第二次剪下的长条的长是________cm，那么可根据等量关系①列方程为________________；若直接设所剪下的两个长条的面积之和为S cm2，由于两次剪下的长条面积正好相等，故两次剪下的长条面积都是____cm2，则可根据等量关系②列方程为________________． （3）对比、思考：你认为用哪种思维列方程更简单？哪个方程更容易求解？第①种方法中方程的解是最后答案吗？ （4）求解：分别根据上述两种思路完成后面的求解过程，并检验最后的结果是否相同． 探究点2：体积问题 【典例精析】 例 有一块棱长为0.6 m的正方体钢坯，想将它锻压成横截面是0.008 m2的长方体钢材，锻成的钢材有多高？ 要点归纳：等积变形问题中，一般根据变形前后的面积或体积关系列方程求解，注意牢记各种常见几何图形的面积和体积公式． 【针对训练】 1．第一块试验田的面积比第二块试验田的3倍还多200 m2，这两块试验田共3000 m2，两块试验田的面积分别是多少平方米？ 2．将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱，锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？ 二、课堂小结 1．当实际问题中的等量关系不唯一时，设未知数的方法往往也不唯一，可以灵活选择. 2．等积变形问题中一般根据变形前后的体积关系列方程求解． 当堂检测 1．某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变成（　　） A．3.125 m B．6.25 m C．7.2 m D．8 m 2．如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（　　） A．400 cm2 B．500 cm2 C．300 cm2 D．750 cm2 第2题图 第3题图 3．如图，一个瓶子的容积为500 mL，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20 cm，倒放时，空余部分的高度为5 cm（如图）．则瓶内溶液的体积为_______mL（提示：可设瓶子的底面积为x cm2，“图1中溶液体积+图2中空余部分体积=瓶子的容积”求出x的值，再求溶液体积）． 4．用一根长为80厘米的铁丝围成一个长方形． （1）如果长方形的长比宽多10厘米，那么这个长方形的面积为________________平方厘米； （2）如果长方形的长比宽多4厘米，那么这个长方形的面积为______平方厘米． （1）和（2）小问中的问题一样，可以把2中的适当改成宽比长少4cm 5．如图，甲、乙两个等高圆柱形容器，内部底面积分别为20平方厘米，50平方厘米，且甲中装满水，乙是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲中的水位高度低了3厘米，求这两个容器的高度． 参考答案 自主学习 知识链接 1．长 宽 边长2 底 高 上底 下底 高 2．长 宽 高 棱长3 底面圆半径2 高 底面圆半径2 高 合作探究 一、要点探究 探究点1：面积问题 合作探究： （1）①第一次剪下的长条 第二次剪下的长条 ②第一次剪下的长条 第二次剪下的长条 （2）x (x-5) 5x=6（x-5） ÷5=÷6+5 （3）第①种思维列方程更简单，也更容易求解．第①种方法中方程的解不是最后答案． （4）解法①：由5x=6（x-5），解得x=30．30×5×2=300（cm2）． 解法②：由÷5=÷6+5，解得S=300． 检验发现，两种解法最后的结果相同． 答：所剪下的两个长条的面积之和为300 cm2． 探究点2：体积问题 【典例精析】 例 解：设锻成的钢材有x m高，则依题意可得0.008x=0.63，解得x=27． 答：锻成的钢材有27 m高． 【针对训练】 1．解：设第二块试验田的面积为x平方米，则有3x+200+x=3000，解得x=700．3000-700=2300（m2）． 答：第一块和第二块试验田的面积分别为2300 m2和700 m2． 2．解：设高变成了x厘米，则有π×x=π××36，解得x=9． 答：高变成了9厘米． 当堂检测 1．B 2．A 3．400 解析：设瓶子的底面积为x cm2，根据题意得x•(5+20)=500，解得x=20，则溶液体积为20×20=400（mL）． 4．解：（1）设长方形的宽为x厘米，则长方形的长为（x+10）厘米，根据题意可知x+（x+10）=40，所以x=15，故长方形的长为25厘米，宽为15厘米，则面积为25×15=375（平方厘米）， 答：这个长方形的面积为375平方厘米. （2）396 解析：设长方形的宽为y厘米，则长方形的长为（y+4）厘米，根据题意可知：y+（y+4）=40，所以y=18厘米，故长方形的长为22厘米，宽为18厘米，面积为22×18=396（平方厘米）． 5．解：设甲、乙两容器的高度均为x cm，根据题意，得20x=50（x-3），解得x=5． 答：这两个容器的高度均为5 cm． 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$