3.3.2抛物线的简单几何性质（第二课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第二课时） 一 二 三 学习目标 能利用抛物线的知识解决简单的实际问题 能解决与抛物线有关的弦长及中点弦问题 进一步掌握抛物线的方程及其性质的应用,会判断直线与抛物线的位置关系 学习目标 方程 图形 焦点 准线 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) (- - - - e=1 复习回顾 新知探究 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. l F A B D 思考 如何证明直线DB平行于抛物线的对称轴？ 证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可. O x y 典例解析 O l F A x y B D 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． 典例解析 追问 你还有其他证明方法吗？ O l F A x y B D 例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． O M B C D x y E P 典例解析 图1 图2 典例解析 问题2 类比直线与椭圆、双曲线的位置关系，直线与抛物线线的位置关系会有哪几种？ 新知探究 O F x y 相离：无公共点 相切：1个公共点 相交：2个公共点 相交：1个公共点 (直线与对称轴线平行) 问题3 如何利用直线与抛物线的方程（代数法）来判断直线与抛物线的位置关系？ （以焦点在x轴正半轴上的抛物线 y2 = 2px(p＞0)为例） (1)当直线斜率不存在时，设直线方程为x=m(x∈R) 新知探究 直线与抛物线相离 ① ② 直线与抛物线相切 （切点为顶点） ③ 直线与抛物线相交 O F x y 新知探究 (2)当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m(k,m∈R) 消去y得，k2x2-2(km-p)a2x+m2=0 (＊) ① 直线与对称轴平行或重合，(＊)为一元一次方程，有唯一解； 直线与抛物线相交（一个交点） O F x y ② (＊)为一元二次方程， 计算△的值，根据△的值判断直线与抛物线的位置关系： (i)△＜0 方程无实数根 相离 没有公共点 (ii)△=0 方程有唯一实数根 相切 一个公共点 (iii)△＞0 方程有两实数根 相交 两个公共点 新知探究 以上过程可用框图表示如下： 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线的 轴平行或重合 相交（一个交点） 计 算 判 别 式 △>0 △=0 △<0 相交 相切 相离 与双曲线的情况近似 能力提升 【例】 已知抛物线的方程为y2 = 4x，直线了l的斜率为k，且过定点P(-2,1) k为何值时,直线l与抛物线y2 = 4x ： 只有一个公共点?有两个公共点?没有公共点? 解: 由题意,知直线的方程为 , 由 可得① (1)当时,由方程①得 , 把代入,得 , 此时直线与抛物线只有一个公共点 . 能力提升 【例】 已知抛物线的方程为y2 = 4x，直线了l的斜率为k，且过定点P(-2,1) k为何值时,直线l与抛物线y2 = 4x ：只有一个公共点?有两个公共点?没有公共点? (2)当时,方程①的判别式 （ⅰ）由,即,解得或, 所以当 或时,直线 与抛物线只有一个公共点. （ⅱ）由,即,解得, 所以当 ,且时,直线 与抛物线有两个公共点. （ⅲ）由,即,解得或, 所以当 或时,直线 与抛物线无公共点. 综上,当或或 时,直线l与抛物线只有一个公共点; 当,且时,直线 与抛物线有两个公共点; 当或时,直线 与抛物线没有公共点. 巩固练习 课本P138 巩固练习 课本P138 巩固练习 课本P138 巩固练习 课本P138 巩固练习 课本P138 巩固练习 课本P138 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.抛物线性质及其应用 2.抛物线与直线的位置关系 （1）焦点关于准线的对称点为； （2）关于轴对称，与直线相交所得线段的长为12； （3）关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 解：（1）由题意可得抛物线的焦点在轴的负方向上， 设抛物线的方程为：， 则焦点，准线方程为：， 由题意可得，解得， 所以抛物线的方程为：； 所以焦点关于准线的对称点的纵坐标为：，可得， (2)由题意可得抛物线的焦点在y轴的负方向上， 设抛物线的方程为:， 令，可得， 解得， 由题意可得：，解得， 所以抛物线的方程为：； 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程： （3）由题意设抛物线的方程为：， 则焦点，，准线方程为：， 由题意可得准线上的两点也关于轴对称，且焦点到准线的距离 所以抛物线的方程为：． 解得， （3）关于轴对称,以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形． 解：将的坐标代入抛物线的方程可得：，解得：， 所以，， 由抛物线的方程可得焦点，抛物线的准线方程为：， 所以直线的方程为：， 令，解得，即， 所以， 2．点M(m，4)在抛物线上，为焦点，线MF与准线相交于点N，求． 解：设，由抛物线的方程可得准线的方程为：， 由题意可得，整理可得： 所以抛物线的方程为：，，． 3． 设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为， 求抛物线的方程和点的坐标． 解：联立，解得或，可得，， 联立解得：，， 当直线过焦点时，，可得， 所以当时，直线恒过抛物线的焦点． 4.两条直线y=kx和y=-kx分别与抛物线相交于不同于原点的A,B两点， k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？ 解：由题意知，，设动圆圆心为，则， 且有，所以，化简整理得， 所以点的轨迹方程为得 5.已知圆心在轴上移动的圆经过点且与轴、轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程． $$