精品解析：广东省清远市南阳中学2024-2025学年高一上学期第二次月考（期中）数学试题

南阳中学2024-2025学年秋季学期第2次月考高一级数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则与集合的关系为（    ） A. B. -1 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又非必要条件 5. 下列四组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是奇函数，且在定义域上是减函数，，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. ，方程有实数根 C. 是4的倍数 D. “，都有”否定是“，使得” 10. 已知函数为幂函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数偶函数 D. 函数在区间上单调递减 11. 已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集______. 13. 函数定义域为________． 14. 已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本小题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）. 16 已知非空集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在区间上的函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在区间上是增函数； （3）解不等式. 18. 为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式； （2）若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？ （参考数据：，） 19. 已知函数且的图象过定点，函数与的图象交于点. （1）若，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳中学2024-2025学年秋季学期第2次月考高一级数学科试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则与集合的关系为（    ） A. B. -1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由元素与集合的关系即可直接判断 【详解】由已知可得，-1是集合中的元素，根据元素与集合之间的关系，知. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】由，， 所以， 故选：D 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的概念以及集合之间的关系进行判断. 【详解】因为，所以集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要非充分条件，故A，C，D错误. 故选：B. 5. 下列四组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】分别看四个选项中函数的定义域、值域和对应法则，从而可选出正确答案. 【详解】对于A: 函数的定义域为R，值域也是R，函数定义域为R， 值域为，所以这两个函数的值域不一样，而不表示同一个函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为R，函数的定义域为， 所以这两个函数的定义域不一样，而不表示同一个函数，故B错误； 对于C：函数的定义域为，函数的定义域为R， 所以这两个函数的定义域不一样，而不表示同一个函数，故C错误； 对于D：与，两个函数的定义域都，对应法则，值域都相同，所以表示同一个函数，故D正确. 故选：D. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】易知函数在R上增函数， 又，， ， ， 由零点存在定理，可知零点所在区间为. 故选：. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 因为在上递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以. 故选：B 8. 若函数是奇函数，且在定义域上是减函数，，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案. 【详解】函数是奇函数，且在定义域上是减函数， ，即，则，解得. 故选：. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. ，方程有实数根 C. 是4的倍数 D. “，都有”的否定是“，使得” 【答案】AB 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定判断AD；确定全称量词命题、存在量词命题的真假判断BC. 【详解】对于A，“”的否定是“”，A正确； 对于B，，方程恒有实根，B正确； 对于C，当是偶数时，是奇数不是4的倍数；当是奇数时，设， ，则不是4的倍数，C错误； 对于D，“，都有”的否定是“，使得”，D错误. 故选：AB 10. 已知函数为幂函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数为偶函数 D. 函数在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】由幂函数的定义求，根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，根据幂函数的性质判断其单调性. 【详解】因为为幕函数， 所以，即， 所以． 函数的定义域为，， 所以函数为偶函数， 又函数在为增函数． 故选：BC. 11. 已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D. 【详解】因为有且只有一个零点， 所以，即. 对于选项A，因为， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误； 对于选项C，因为， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于选项D，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：, 所以答案应填： 考点：集合的运算. 13. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式及根式的性质求函数定义域即可. 【详解】由函数有意义，得，解得. 所以函数定义域为. 故答案为： 14. 已知函数，若的最小值为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分别讨论和时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】函数，可得时，，当且仅当时，取得最小值， 由时，， 若时，在递减，可得， 由于的最小值为，所以，解得； 若时，在处取得最小值与题意矛盾，故舍去； 综上得实数a的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题. 四、解答题：本小题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）4 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质即可化简计算； （2）利用换底公式，换成已知对数即可化简求值. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知非空集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得. （2）根据包含关系列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由，解得，. 则或，或， 所以，或. 小问2详解】 由（1）知， 且，， 解得，实数的取值范围为. 17. 已知函数是定义在区间上的函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在区间上是增函数； （3）解不等式. 【答案】（1）奇函数 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明； （2）根据函数单调性的定义分析证明； （3）根据函数单调性结合函数定义域分析求解. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. 【小问2详解】 任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上是增函数. 【小问3详解】 因为，且函数在区间上是增函数， 则，解得， 所以不等式的解集为. 18. 为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式； （2）若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？ （参考数据：，） 【答案】（1）， （2）2020年2月 【解析】 【分析】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解； （2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数公式即可求解. 【小问1详解】 若选择模型， 将分别代入得：， 解得，， 故函数模型为， 若选择模型， 将分别代入得：， 解得，， 故函数模型为． 【小问2详解】 把代入可得，， 把代入可得，， ， 选择函数模型更合适， 令，可得， 两边取对数可得，， ， 故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过 19. 已知函数且的图象过定点，函数与的图象交于点. （1）若，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）的图象过定点，利用点在的图象上求出，利用得，换元法解方程可得答案； （2）（方法一）转化为在上恒成立，令，求出可得答案；（方法二）转化为在上恒成立，令，即求时，，分、、讨论，求出可得答案. 【小问1详解】 因为对任意的且，都有， 所以的图象过定点， 又因为点在的图象上， 所以，解得， 所以， 由，得， 令，则，且，整理得，即， 所以或2，即或，解得或1； 【小问2详解】 （方法一）， 则在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则. 因在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围是； （方法二）， 则在上恒成立， 即上恒成立， 令，则当时，， 图象的对称轴为直线， ①当，即时，在上单调递增， 所以，则，又，所以； ②当，即时，在上单调递减， 在上单调递增， 所以，整理得无实数解； ③当，即时，在上单调递减， 所以，则，又，所以无解. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $