精品解析：河南省洛阳市2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期八年级数学学科 期中试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面的四个汉字可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是( ) A. B. C. D. 以上答案均不对 3. 如图，尺规作，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点F为圆心，以长为半径的弧 B. 以点F为圆心，以长为半径的弧 C. 以点G为圆心，以长为半径的弧 D. 以点G为圆心，以长为半径的弧 4. 如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，，及都是等边三角形，，分别为，的中点．若，则多边形外围的周长是( ) A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，则∠1的度数为（　　） A. 105° B. 120° C. 75° D. 45° 7. 如图，在中，，，分别是边，，的中点，且阴影部分的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 24 D. 28 8. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，为线段上一动点（不与点、点重合），连接，作，交线段于点．以下四个结论：①；②当为中点时，；③当时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知点和关于x轴对称，则的值为_____． 12. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 13. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为______． 14. 如图所示，______度． 15. 如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是____________． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． （1）求正边形的周长； （2）若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 17. 如图，已知， （1）尺规作图：在图1中，作的平分线；(不写作法，保留作图痕迹) （2）如图2，点在(1)中的射线上，，且的两边分别与，交于点和点，求证：． 18. 在学习完全等三角形章节后，数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸A、B两点间的距离，方案如下： 课题 测量河两岸两点间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧平地上取点和点，使得点在同一直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为米． 请你根据以上方案求出两点间的距离（要写出证明过程）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：______； （3）在（2）中的直线上求一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 20. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 21. 如图，已知，，是的中线． （1）若，，的取值范围为______； （2）求证：． 22. 如图，中，，，，且满足. (1)于，交轴于，求点坐标； (2)过点作于，交于，若，求的长； (3)为第一象限一点，交轴于.在上截取，为的中点，求的度数. 23. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期八年级数学学科 期中试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下面的四个汉字可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，只有选项A的图形可以沿一条直线折叠使得直线两旁的部分能够互相重合． 故A选项是轴对称图形． 故选：A． 2. 如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是( ) A. B. C. D. 以上答案均不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和和正多边形的定义．根据多边形的外角和定理求得正九边形的个相同外角的度数和，即可求得个外角的度数，再根据个外角与其相邻的内角互为邻补角，即可求得每个内角的度数． 【详解】解：正九边形的外角和为， 正九边形每个外角的度数是 正九边形每个内角的度数是． 故选：C． 3. 如图，尺规作，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点F为圆心，以长为半径的弧 B. 以点F为圆心，以长为半径的弧 C. 以点G为圆心，以长为半径的弧 D. 以点G为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角，根据尺规作角的方法，得到弧是以点G为圆心，以长为半径的弧，作答即可． 【详解】解：由作图可知：弧是以点G为圆心，以长为半径的弧； 故选D． 4. 如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可判断A；根据即可判断B；根据两三角形不一定全等即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：A、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意； B、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意； C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意； D、根据，，能推出，正确，故本不符合题意； 故选：C． 5. 如图，，及都是等边三角形，，分别为，的中点．若，则多边形外围的周长是( ) A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由等边可得，而是的中点可知，同理等边、等边中均可以将各边的关系表示出来，结合已知，即可求得各边长；根据所求图形的周长即为从点按顺序到点的线段逐个相加，即，结合上步所求即可得到结果． 【详解】解：是等边三角形，， ． 是的中点， ． 是等边三角形，， ． 是的中点， ， 同理，在中， ， 多边形外围的周长是， 故选：C． 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，则∠1的度数为（　　） A. 105° B. 120° C. 75° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算． 【详解】解：由三角形的外角性质可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 7. 如图，在中，，，分别是边，，的中点，且阴影部分的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 24 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选C． 9. 如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的定义及性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键； 根据角平分线的定义得，，根据三角形外角的性质得，可判断选项A；根据角平分线的定义得，，由即可判断选项，，； 【详解】解：为外角的平分线，平分， ，， 又是的外角， ， ，故选项A不符合题意； ，分别平分，， ，， ， ， 故选项C、D不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 10. 如图，在中，，，为线段上一动点（不与点、点重合），连接，作，交线段于点．以下四个结论：①；②当为中点时，；③当时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理；①根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；故①正确；②根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到，故②正确；③根据全等三角形的性质得到；故③正确；④根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，当时，，求出，故④错误． 【详解】解：①， ， ，， ；故①正确， ②为中点，， ， ， ， ， ， ，故②正确， ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确， ④， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， ， ，故④错误， 综上所述，①②③正确， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知点和关于x轴对称，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】该题主要考查了关于x轴对称的点的特征，代数式求值以及有理数乘方运算，解题的关键是掌握关于x轴对称的点的特征． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， 故选：1． 12. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 13. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定、角平分线的定义以及平行线的性质等知识，由平行线的性质得，，再证明，，然后证明，，即可得出结论． 【详解】解：， ，， 和的平分线分别交于点，， ，， ，， ，， ，， ． 故答案为：． 14. 如图所示，______度． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，首先根据三角形外角的性质可知：图示这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解． 【详解】解：如图， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得． 【详解】解：，，，， ， 由折叠得：，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中，， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质等，熟练掌握“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2． （1）求正边形的周长； （2）若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，解得． 正x边形的周长为； 【小问2详解】 正边形每个内角的度数为， 正n边形的每个外角的度数为， ， ∴n的值为5． 17. 如图，已知， （1）尺规作图：在图1中，作的平分线；(不写作法，保留作图痕迹) （2）如图2，点在(1)中的射线上，，且的两边分别与，交于点和点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作角平分线、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点作于点，于点，结已知条件可得，，再结合角平分线的性质可得，即可证明，则可得． 【小问1详解】 解：如图1，射线即为所求． 【小问2详解】 证明：如图2，过点作于点，于点， ， ， ． ，， ， ， 即， ． 又为的平分线，，， ． ， ． 18. 在学习完全等三角形章节后，数学兴趣小组同学设计了如下方案测量河两岸A、B两点间的距离，方案如下： 课题 测量河两岸两点间的距离 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点在同一直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得长度为米． 请你根据以上方案求出两点间的距离（要写出证明过程）． 【答案】两点间的距离为30米 【解析】 【分析】根据证明得出，即可推出结果．本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ∴， 即米， 答：、两点间的距离为30米． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：______； （3）在（2）中的直线上求一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形； （1）作出的三个顶点关于轴对称的点，再连接即可解决问题； （2）根据轴对称的特点，写出点的坐标即可； （3）连接交直线于点，则点即为所求作的点． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求 【小问2详解】 作出直线和点，根据坐标系可得的坐标： 故答案为：． 【小问3详解】 如图所示，连接交直线于点，则点即为所求作的点． 20. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数． 【答案】∠ADB＝80°，∠ADE＝50° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求∠BAD，∠DAC，再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝80°， ∵AD是△ABC角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°， ∴∠ADB＝80°， ∵DE是△ADC的高线， ∴∠DEA＝90°， ∴∠ADE＝50°． 【点睛】考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°． 21. 如图，已知，，是的中线． （1）若，，的取值范围为______； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质； （1）延长至，使 ，连接，于是证得得，再根据三角形三边之间的关系得，由此可得AE的取值范围； （2）根据（1）证明，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 延长至，使 ，连接． 则 是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：， 【小问2详解】 ∵ ，， ，， ． 在与中， ， ， ． ， ． 22 如图，中，，，，且满足. (1)于，交轴于，求点坐标； (2)过点作于，交于，若，求的长； (3)为第一象限一点，交轴于.在上截取，为中点，求的度数. 【答案】（1）M(0,2)；（2）AN=4；（3）∠OPF=45°. 【解析】 【分析】（1）先由条件推出△AOC是等腰直角三角形，再推出△BOM是等腰直角三角形，根据OB=2，得出OM=2，即可得出M的坐标； （2）由等角的余角相等可得∠BCO=∠OAN=30°，再判定△BOC≌△NOA（ASA），得到BC=NA，再根据Rt△BOC中，BC=2BO=4，即可得AN=4； （3）连接OF，把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处，连接DP，由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，再判定△PEF≌△PAD，得出PF=PD，∠FPE=∠DPA，进而判定△OPF≌△OPD，即可出结果. 【详解】(1)由题可得，a−c≥0，c−a≥0， ∴a=c，即OA=OC， ∴△AOC等腰直角三角形， ∴∠OAD=45∘， 又∵BD⊥AC， ∴∠ABD=45∘， 又∵∠BOM=90∘， ∴△BOM是等腰直角三角形， ∴OB=OM， ∵，且a=c， ∴b=−2，即OB=2， ∴OM=2， ∴M(0,2)； (2)∵∠CAN=15°,∠OAC=45°, ∴∠OAN=30°， ∵AG⊥BC，CO⊥AO， ∴∠CNG+∠BCO=90°，∠ANO+∠OAN=90°， ∵∠ANO=∠CNG， ∴∠BCO=∠OAN=30°， 在△BOC和△NOA中， ∴△BOC≌△NOA(ASA)， ∴BC=NA， 又∵Rt△BOC中，∠BCO=30°， ∴BC=2BO=4， ∴AN=4； (3)如图3,连接OF,把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处,连接DP, 由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD， ∵∠AOQ+∠APQ=180°， ∴∠OAP+∠OQP=180°， 又∵∠EQC+∠OQP=180°， ∴∠OAP=∠EQC， ∴∠PEF=∠PAD， 在△PEF和△PAD中， ∴△PEF≌△PAD(SAS)， ∴PF=PD，∠FPE=∠DPA， ∴∠FPD=∠QPA=90°， ∵在△OPF和△OPD中， ∴△OPF≌△OPD(SSS)， ∴∠OPF=∠OPD=∠FPD=45°. 【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质构造全等三角形是解决本题的关键. 23. 【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：结论仍然成立，理由见解析；[结论运用]：210海里． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案． 【详解】解：[初步探索]：；理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ， ，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； [结论运用]：如图3，连接，延长、交于点， ， ，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $