4.2等差数列-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

4.2等差数列（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 14 【提升训练】 25 知识回顾 1. 等差数列的概念 条件 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 2. 等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列. (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是a＋b＝2A. 3. 等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 4. 从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d. 5. 等差数列的判定与证明 证明等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(n≥2). (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2). (3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d. 6. 由等差数列构造新等差数列 (1)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. 7. 等差数列通项公式的变形及推广 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n). 8. 等差数列两项或多项之间的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 9. 等差数列的前n项和公式 (1)等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋ (2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d. 10. 等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝(S奇≠0). (6)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n). 11. 等差数列前n项和Sn的函数特征 前n项和公式：Sn＝na1＋d＝n2＋n. 12. 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. (2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2022高二下·河北·学业考试）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）在等差数列中，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 3．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 5．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 6．（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·广东广州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（    ） A．数列的前60项和 B．数列的前60项和 C．数列的通项公式是 D．数列的通项公式是 10．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 11．（21-22高二下·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列的前n项和，则通项公式= ． 13．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 . 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 16. (15分) （23-24高二上·上海·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求． 17. (15分) （24-25高三上·江西·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前100项和. 18. (17分) （22-23高二上·河北唐山·期末）等差数列的前项和为，已知为整数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 19. (17分) （22-23高二下·山东日照·期中）已知是等差数列，其中，. (1)求的通项公式； (2)求的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D C C A C BC AC 题号 11 答案 AD 1．D 【分析】根据等差数列的性质可得公差为，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以. 故选：D 2．A 【分析】直接根据等差数列的定义结合已知得到答案. 【详解】由于是等差数列，故，所以. 故选：A. 3．D 【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得. 【详解】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列， 故. 故选：D. 4．D 【分析】根据等差数列通项公式即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 5．C 【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得. 【详解】由等差数列前项和公式，可知：， 所以， 由等差数列的性质“当时，”可知：， 所以. 故选：C. 6．C 【分析】根据题意，求得，，得到公差，，结合，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由，可得， 因为，可得， 所以公差为，， 又因为，可得，则，解得， 则，所以. 故选：C. 7．A 【分析】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【详解】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 8．C 【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可. 【详解】由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为的等差数列， 所以米. 故选：C 9．BC 【分析】先由等方差数列的定义得到数列是方公差为2的等方差数列并求出，进而求出，再利用裂项相消法求和，再判断各个选项. 【详解】根据题意，因为是方公差为2的等方差数列， ，所以是公差为2的等差数列， 所以，解得， 又，所以，所以，故C正确，D错误； 由上可知，所以 所以． 所以，故A错误，B正确； 故选：BC． 10．AC 【分析】由已知可得公差，，即可判断AB；进而由等差数列的性质可判断CD. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为是等差数列且，所以公差，故B错误； 因为，且， 所以当时，；当时，， 则与均为的最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11．AD 【分析】根据题意，可得数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，逐项求解即可． 【详解】，， 数列为首项为，公差为的等差数列， 则， ，为递增数列，A正确， 令，得，不满足题意，故B错误， ，且为递增数列， 数列中的最小项为，故C错误， ， ，则数列是等差数列，故D正确． 故选：AD 12． 【分析】根据，可求出首项，继而利用时，，求出的表达式，验证后即可确定答案. 【详解】因为数列的前n项和， 故当时，， 当时， ， 由于不适合该式，故， 故答案为： 13． 【分析】由题意可得，列出不等式组，即可求解． 【详解】由题意可得，，，即，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 14． 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 15．(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式解得答案； （2）根据（1）的通项公式，设是数列的第k（k为正整数）项，计算得k为正整数，同理设是数列的第m（m为正整数）项，计算的，m不是正整数，从而得证； 【详解】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 16．(1)； (2)28； (3)17. 【分析】（1）（2）（3）利用给定条件，列出关于、的方程组即可求解作答. 【详解】（1）在等差数列中，由，得：，解得， 所以. （2）设等差数列的公差为，由，得：，解得， 所以. （3）设等差数列的公差为，由，得：，解得， 所以. 17．(1) (2)200 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）求出，利用分组求和公式得到答案. 【详解】（1）设公差为d，结合题设有， 解得， 则 故的通项公式为. （2）， 所以 . 18．(1)； (2). 【分析】（1）根据题意得公差为整数，且分析求出即得； （2）利用裂项相消法即得. 【详解】（1）由为整数知，等差数列的公差为整数，又， 故于是， 解得，因此， 故数列的通项公式为； （2）由题可知， 于是． 19．(1) (2)-50 【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算即得； （2）利用等差数列的求和公式即得． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为， 所以， 所以，， 所以. （2）因为是等差数列， 所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项，. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 3．（20-21高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西·期中）设等差数列的前项和为，若，，则的值为（   ） A．4 B． C．1 D． 5．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 6．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 7．（2023·湖南·模拟预测）设为等差数列的前n项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 8．（2024·四川泸州·一模）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·重庆·阶段练习）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 10．（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的前项和，则（    ） A． B． C．数列有最小项 D．是等差数列 11．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．使取最大值的n值有2个 C．使得成立的n的最大值为23 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列均为等差数列，，则 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）（1）已知{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝ . （2）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝ . （3）已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－100，－＝6，则S100＝ . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 16. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求； (2)证明：为等差数列． 17. (15分) （22-23高二上·广东·期末）在等差数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 18. (17分) （22-23高二下·山西忻州·阶段练习）已知等差数列的前n项和是，，． (1)求数列的通项公式； (2)若成立，求正整数m，k的值． 19. (17分) （2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D C B A C ACD AD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 【详解】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 . 故选：A 2．B 【分析】由等差中项的性质计算即可； 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 3．B 【分析】利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可． 【详解】令数列：为数列，于是， 依题意，数列为：，于是 数列为：是等差数列，， 则，因此， 所以该数列的第项为. 故选：B 4．D 【分析】设公差为，依题意得到关于、的方程组，求出、，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】设公差为，由，，所以，解得， 则. 故选：D 5．C 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出. 【详解】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C 6．B 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 7．A 【分析】根据，则（）；（），但不一定小于0，得到答案. 【详解】若，则（），所以是单调递减数列； 若是单调递减数列，则（），即（）， 但不一定小于0. 所以甲是乙的充分不必要条件， 故选：A. 8．C 【分析】由等差数列的性质可得，从而得，由，结合条件得到，即可求解． 【详解】因为，，所以，故等差数列的公差， 又，又，， 得到，， 所以取得最小正值时，的值为， 故选：C. 9．ACD 【分析】对A，根据，分析即可；对B，根据判断即可；对CD，根据等差数列的定义判断即可. 【详解】对A，由题意，，故，故A正确； 对B，因为，，，故B错误； 对C，，故数列是等差数列，故C正确； 对D，，故数列是等差数列，故D正确. 故选：ACD 10．AD 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以， 所以，，则，故B错误； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且， 即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：AD 11．ABD 【分析】根据给定的前n项和求出数列通项，再逐项分析、计算判断得解. 【详解】对于A，数列的前n项和为，当时，， 当时，，满足， 所以数列的通项公式为，A正确； 对于B，，当或时，且最大，B正确； 对于C，由，得，解得，而，，C错误； 对于D，由，得，则 ，D正确. 故选：ABD 12． 【分析】根据等差数列定义分析可知数列为等差数列，再结合等差数列的通项公式运算求解. 【详解】设等差数列的公差分别为， 因为， 可知数列为等差数列，且， 则，解得， 所以． 故答案为：. 13． 21 45 －100 【详解】（1）解析：∵ a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，a1＋a5＋b6＋b10＝2（a3＋b8）＝30，∴ a5＋b6＝21. （2）解析：由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2（S6－S3）＝S3＋（S9－S6），得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45. （3）解析：由等差数列的性质，可得也为等差数列，设其公差为d，则－＝6d＝6，∴ d＝1.故＝＋99d＝－100＋99＝－1，∴ S100＝－1×100＝－100. 【考查意图】等差数列的性质及其应用 14． 【分析】根据题中递推式可求得，，即的奇数项为首项为1公差为5的等差数列，偶数项是首项为3公差为5的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解. 【详解】因为，，又，所以， 即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列； 同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列． 所以前40项和为． 故答案为：. 15．(1)数列是等差数列，理由见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得，然后利用等差数列的定义判断即可； （2）由（1）结合已知可得数列的首项为，公差为，从而可求出数列的通项公式. 【详解】（1）数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； （2）因为，， 所以， 由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 16．(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，化简得到，得到所以是等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知，利用与的关系，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【详解】（1）解：由，可得，且， 所以是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，解得． （2）解：由（1）知， 当时，， 又由符合上式，故， 则， 所以是首项为2，公差为4的等差数列． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质可得，求出的值，再与联立求出公差，根据通项公式可求. (2)求出的通项公式，求出的通项公式，然后用裂项相消求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 又因为 所以，又因为 所以 所以， 所以 （2）又因为 所以 所以 18．(1) (2)，． 【分析】（1）设出公差建立方程组，解出即可得通项公式； （2）由（1）的通项公式化简可得，根据，所以，所以或，对分类讨论，即可得出结果. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意有， 解得，，所以， 故数列的通项公式为； （2）由 ， 有，可得， 因为，所以， 因为，所以或， ①当时，可得，由m为正整数，不合题意,舍； ②当时，可得，满足题意， 综上：，． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解； （2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解． 【详解】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得， 解得，则． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到， 又恒成立，则恒成立， 设，则， 当时，，即； 当时，，则，则； 则，故， 故实数λ的取值范围为． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．10 2．（2024·四川泸州·一模）设为等差数列的前项和，若，则的公差为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”.已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 4．（24-25高三上·江苏泰州·期中）在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（    ） A． B．2 C．3 D． 5．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 7．（23-24高二下·辽宁·期末）已知等差数列的公差为，且集合中有且只有5个元素，则中的所有元素之积为（    ） A．0 B． C． D．1 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·河南·期中）记数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．数列是公差为1的等差数列 C．数列的前n项和为 D．数列的前2023项和为 10．（24-25高三上·江苏淮安·期中）在数列和中，，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 11．（24-25高二上·江西赣州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若数列前项和满足，则 B．在等差数列中，满足，，则其前项和中最大 C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值 D．若等差数列中，，，则使的最大的为15 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·湖北·期中）设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高三上·重庆·期中）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为 ． 14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 16. (15分) （24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 17. (15分) （24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 18. (17分) （24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 19. (17分) （24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C D A A ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】根据题意，将式子化为与，代入计算，即可得到结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则 . 故选：B. 2．C 【分析】利用等差数列前n项和及等差数列的性质求公差. 【详解】由题设，又，故， 所以的公差. 故选：C 3．B 【分析】首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有50组． 【详解】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足， 得 消去，并整理得，， 所以（舍去），，则有， 在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列， 所以必为2的被数， 又，， 所以，则， 即，，， 故这样的数组共50组． 故选：B． 4．C 【分析】根据等差数列的性质，结合不等式的“乘1法”即可求解. 【详解】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故选：C. 5．C 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C 6．D 【分析】 根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可. 【详解】 设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 7．A 【分析】根据条件得到，利用的图象与性质知的周期为，再利用项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解. 【详解】由题知，所以， 易知周期为，考虑前项的值：，，，，，，，， 因为集合中有且只有5个元素， 所以项的值必有互为相反数的二项同为，即集合中有元素，则中的所有元素之积为， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，利用三角函数的周期性，集合中的元素只需考虑前项，注意到项的值是互为相反数的两个成对出现，结合条件，即可求解. 8．A 【分析】根据题意可得，利用裂项的思想整理可得，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，， 则 ， 可得， 又因为为递增数列，且， 所以当，可得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得，即可得结果. 9．ACD 【分析】根据给定条件，利用求出通项公式，再逐项求解判断即可. 【详解】数列的前n项和，当时，， 而满足上式，因此， 对于A，，A正确； 对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，数列的前n项和 ，C正确； 对于D，， 则数列的前2023项和为，D正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】A：根据等差数列定义求的通项公式，则可求；B：累加法求的通项公式；C：根据通项公式计算并判断；D：采用裂项相消法求和并证明. 【详解】对于A：因为，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以，故正确； 对于B：因为， 所以，所以， 当时，符合条件， 所以，故错误； 对于C：令，解得(负值舍去)，所以，令，解得(负值舍去)，所以， 所以，即是与的公共项，故正确； 对于D：因为， 所以，故正确； 故选：ACD. 11．BCD 【分析】直接利用数列的通项公式的求法和等差数列的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A：数列前项和满足，当时，解得， 当时，，所以， 故，故A错误； 对于B：等差数列中，满足，， 所以：，则， 由于，所以，故，，所以其前项和中最大，故B正确； 对于C：等差数列中，满足，， 则数列的前9项和为定值，故C正确； 对于D：若，则， 又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为，所以使的最大的为15，故D正确. 故选：BCD 12． 【分析】根据给定条件，求出及，再利用等差数列通项的特征分析求解即得. 【详解】依题意，，则， 由数列为等差数列，得，且是的一次式 而对任意正整数，不恒成立，因此对恒成立， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由为等差数列，探求得是解决问题的关键. 13．91 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及累加法即可求解． 【详解】设该二阶等差数列为，则，，，， 由二阶等差数列的定义可知，，，，， 所以数列是以为首项，公差的等差数列， 即， 所以，，，，， 将所有上式累加可得， 所以． 故答案为：91． 14． 【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解. 【详解】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 16．(1) (2)40 【分析】（1）方法1：将化为，代入计算，即可得到结果；方法2：将原式裂项，然后计算，即可得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设公差为， 方法1.，， ，. 方法2.. ，，. （2）由（1）知， . ， 即， ，. 17．(1) (2)或,证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式. （2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列. 【详解】（1）已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合累和法进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行证明即可； （3）运用裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为是公差为的等差数列， 所以， 则有， 当时，，两式相减，得， ，显然也适合， 即； （2）由（1）可知， ， 于是有 ； （3）由（1）可知：， 所以， 于是有， ， 当时，显然上述不等式的没有正整数解，即， 当时，显然上述不等式的正整数解为即， 当时，显然上述不等式的正整数解为，即， 于是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据数列的通项公式的形式运用裂项相法进行求解. 19．(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据递推关系求值即可； （2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以0为首项，以为公差的等差数列； （3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围． 【详解】（1）， ，，，， ，， （2）证明：由题可知：①， ②， ②-①得，即：， 所以，， 即，又， ∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列. （3）由（2）可得，，， 则， 由可得；由可得， ∴， 故有最大值，∴对任意，有，                如果对任意，都有成立， 则，∴ ，解得或， ∴实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：（1）本题的突破口是通过与的关系得到和的关系，进而通过构造等差数列或等比数列进行求解； （2）本题求解中巧妙地将恒成立问题转化为数列的最值问题求解．而求数列项的最值时，又通过判断数列的单调性进行，解题时可通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2等差数列（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 7 【提升训练】 10 知识回顾 1. 等差数列的概念 条件 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 2. 等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列. (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是a＋b＝2A. 3. 等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 4. 从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d. 5. 等差数列的判定与证明 证明等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(n≥2). (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2). (3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d. 6. 由等差数列构造新等差数列 (1)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. 7. 等差数列通项公式的变形及推广 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n). 8. 等差数列两项或多项之间的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 9. 等差数列的前n项和公式 (1)等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋ (2)两个公式的关系：把an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝中，就可以得到Sn＝na1＋d. 10. 等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1(an＋1是数列的中间项)，S偶－S奇＝－an＋1，＝(S奇≠0). (6)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n). 11. 等差数列前n项和Sn的函数特征 前n项和公式：Sn＝na1＋d＝n2＋n. 12. 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. (2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2022高二下·河北·学业考试）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）在等差数列中，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 3．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 5．（24-25高三上·福建龙岩·期中）设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 6．（2024高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，且，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·福建龙岩·期中）罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·广东广州·期中）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则（    ） A．数列的前60项和 B．数列的前60项和 C．数列的通项公式是 D．数列的通项公式是 10．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 11．（21-22高二下·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列的前n项和，则通项公式= ． 13．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 . 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 16. (15分) （23-24高二上·上海·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求． 17. (15分) （24-25高三上·江西·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前100项和. 18. (17分) （22-23高二上·河北唐山·期末）等差数列的前项和为，已知为整数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 19. (17分) （22-23高二下·山东日照·期中）已知是等差数列，其中，. (1)求的通项公式； (2)求的值. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 3．（20-21高二上·湖南·期中）南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西·期中）设等差数列的前项和为，若，，则的值为（   ） A．4 B． C．1 D． 5．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 6．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 7．（2023·湖南·模拟预测）设为等差数列的前n项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 8．（2024·四川泸州·一模）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·重庆·阶段练习）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 10．（23-24高二下·江西景德镇·期末）数列的前项和，则（    ） A． B． C．数列有最小项 D．是等差数列 11．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．使取最大值的n值有2个 C．使得成立的n的最大值为23 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列均为等差数列，，则 ． 13．（2024高三·全国·专题练习）（1）已知{an}，{bn}都是等差数列.若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝ . （2）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝ . （3）已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－100，－＝6，则S100＝ . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·吉林长春·期中）已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 16. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求； (2)证明：为等差数列． 17. (15分) （22-23高二上·广东·期末）在等差数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 18. (17分) （22-23高二下·山西忻州·阶段练习）已知等差数列的前n项和是，，． (1)求数列的通项公式； (2)若成立，求正整数m，k的值． 19. (17分) （2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．10 2．（2024·四川泸州·一模）设为等差数列的前项和，若，则的公差为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”.已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 4．（24-25高三上·江苏泰州·期中）在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（    ） A． B．2 C．3 D． 5．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 7．（23-24高二下·辽宁·期末）已知等差数列的公差为，且集合中有且只有5个元素，则中的所有元素之积为（    ） A．0 B． C． D．1 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·河南·期中）记数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．数列是公差为1的等差数列 C．数列的前n项和为 D．数列的前2023项和为 10．（24-25高三上·江苏淮安·期中）在数列和中，，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 11．（24-25高二上·江西赣州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若数列前项和满足，则 B．在等差数列中，满足，，则其前项和中最大 C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值 D．若等差数列中，，，则使的最大的为15 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·湖北·期中）设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高三上·重庆·期中）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为 ． 14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 16. (15分) （24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 17. (15分) （24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 18. (17分) （24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)令，数列的前n项和为，设，记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和． 19. (17分) （24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$