3.1椭圆-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

3.1椭圆（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 6 【提升训练】 10 知识回顾 1. 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 2. 椭圆的方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 3. 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0，1) 4. 离心率的性质 5. 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立 消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 6. 弦长问题 弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|＝＝或 |AB|＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·北京西城·期中）已知点P在椭圆上，点，，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 4．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 6．（广东省佛山市H7教育共同体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ） A．10 B．8 C．24 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山西太原·期中）已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．是椭圆的一个顶点 B．是椭圆的一个焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆的短轴长为 10．（24-25高二上·山东潍坊·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的面积的最大值为 D．存在点，使得 11．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（    ） A．的取值范围是 B． C．以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D．直线与直线的斜率之积 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 . 13．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 . 14．（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 16. (15分) （24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，已知方程表示椭圆. (1)求的取值范围； (2)若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 17. (15分) （24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 18. (17分) （24-25高二上·陕西渭南·期中）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 19. (17分) （24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 4．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 5．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（   ） A．5 B． C． D．10 6．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点.若，则的长轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 8．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为25 C．的最小值为9 D．若，则的面积为 10．（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，直线：与相交于，两点，点关于的对称点为，线段与交于点，四边形的周长为，，则（   ） A．的方程为 B．的面积为3 C． D．上的点到距离的最大值为 11．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M、N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆上存在点Q使得 C．直线l的方程为 D．的周长为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，A为上顶点，则的面积为 . 13．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 14．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·吉林长春·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且； (2)焦点在坐标轴上，且经过两个点. 16. (15分) （24-25高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 17. (15分) （24-25高二上·陕西铜川·期中）动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 18. (17分) （24-25高二上·山西·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)求椭圆C上的任意一点到直线的距离的最值． 19. (17分) （24-25高二上·云南昆明·期中）已知圆，圆经过三点. (1)求圆的方程，并判断两圆位置关系； (2)若动圆与圆、圆均相切，求动圆圆心的轨迹的方程. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）在中，，已知点，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线的方程为 ②曲线上存在点，使得到点距离为6； ③曲线上存在点，使得到直线的距离为； ④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河北石家庄·期中）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·天津滨海新·期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 10．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）下列结论正确的是（ ） A．已知点在圆上，则的最大值是4 B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．若直线过点且分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则三角形面积的最小值是及此时的直线方程为. D．若椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是. 11．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为9 C．椭圆的离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，线段的长度是 . 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 14．（24-25高二上·云南楚雄·期中）已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·北京·专题练习）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程； (2)两个焦点分别是，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8； (3)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点． 16. (15分) （23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于A、B两点，当面积取得最大值时，求直线的方程. 17. (15分) （24-25高三上·上海·期中）已知椭圆 的左、右、下顶点分别为点 、 、 ，点 为椭圆 上的动点、点 (1)点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； (2)求面积的最大值； (3)过点的直线与椭圆交于、两点(异于点、)，试探究直线、 的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 18. (17分) （24-25高三上·天津南开·期中）已知椭圆：（,），，，，四点中恰有三点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点，若直线与直线的斜率和为，求证：过定点． 19. (17分) （24-25高二上·浙江台州·期中）已知椭圆C：，若点，，，中恰有三点在椭圆C上． (1)求C的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点P，Q． （ⅰ）证明：点B在以PQ为直径的圆内； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1椭圆（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 15 【提升训练】 30 知识回顾 1. 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 2. 椭圆的方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 3. 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0，1) 4. 离心率的性质 5. 直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立 消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 6. 弦长问题 弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|＝＝或 |AB|＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·北京西城·期中）已知点P在椭圆上，点，，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 4．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 6．（广东省佛山市H7教育共同体2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于两点.若为直角三角形，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·陕西商洛·期中）已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（    ） A．10 B．8 C．24 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山西太原·期中）已知椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．是椭圆的一个顶点 B．是椭圆的一个焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆的短轴长为 10．（24-25高二上·山东潍坊·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的面积的最大值为 D．存在点，使得 11．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（    ） A．的取值范围是 B． C．以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D．直线与直线的斜率之积 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于 . 13．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 . 14．（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 16. (15分) （24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，已知方程表示椭圆. (1)求的取值范围； (2)若，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于两点，求的长. 17. (15分) （24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 18. (17分) （24-25高二上·陕西渭南·期中）已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 19. (17分) （24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B D B C B BCD BCD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】根据题意由椭圆标准方程以及椭圆定义即可得出结果. 【详解】由椭圆方程为可知， 则，即为椭圆的左、右焦点， 由椭圆定义可得. 故选：C 2．A 【分析】利用动点转移可求的轨迹方程. 【详解】设，则，因在曲线上， 故即， 故选：A. 3．A 【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得. 【详解】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为. 故选：A 4．B 【分析】根据椭圆的定义可求得，代入点的坐标，可求得，可求椭圆方程. 【详解】因为点是椭圆上一点，且， 所以，解得，所以椭圆方程为， 又点是椭圆上一点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 5．D 【分析】根据椭圆的几何性质,分别求解长轴，短轴，焦距，离心率即可求解. 【详解】由于的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 而椭圆的长轴长为10，短轴长为8，短轴长为6，离心率为， 故两个椭圆的焦距相等， 故选：D 6．B 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】由椭圆的对称性可得， 则， 则不妨取， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率. 故选：B. 7．C 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设斜率为1的平行直线为与椭圆交于两点, 设，线段中点为, ∴， ∵两点在椭圆上， ∴且， 两式相减得， 即， ∴， ∴，即， 故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 8．B 【分析】由题目条件得到四边形为矩形，即⊥，由勾股定理和椭圆定义得到方程组，求出，得到答案. 【详解】椭圆中，， 因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以， 又，故四边形为平行四边形， 又，故四边形为矩形，即⊥， 由勾股定理得①， 由椭圆定义得②， 式子②平方得， 结合①得， 故四边形的面积为. 故选：B 9．BCD 【分析】根据椭圆方程，判断焦点位置，求得的值，继而写出顶点，焦点,离心率，长短轴，根据选项逐一判断即可. 【详解】由，可知椭圆的焦点在轴上，且， 椭圆有四个顶点，分别为， 焦点有两个，分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 故A错误；B,C,D均正确. 故选：BCD. 10．BCD 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质逐项判断. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，设的顶点，则，，C正确； 对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有个交点，当点此交点之一时，，D正确. 故选：BCD 11．AD 【分析】利用焦半径公式计算可判定A，利用椭圆的对称性及定义可判定B，利用点到直线的距离公式及弦长公式计算可判定C，利用两点斜率公式计算可判定D. 【详解】 易知， 对于A，设，易知， 则 ，故A正确； 对于B，易知四边形为平行四边形， 即，故B错误； 对于C，易知以线段为直径的圆其圆心为原点，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则相应弦长为，故C错误； 对于D，易知，故D正确. 故选：AD 12．36 【分析】分焦点在和两种情况，根据椭圆定义得到方程，求出答案. 【详解】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 故答案为：36 13． 【分析】根据题意结合椭圆定义可知，，再结合等腰三角形求高和面积. 【详解】由椭圆方程可知：， 因为分别为的中点，则，可得， 因为，则，且， 所以的面积为. 故答案为：. 14． 【分析】联立，求出交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由，得， 解得或，则或， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故答案为：. 15．(1)m∈（－3，3） (2)m＝±3 (3)m∈（－∞，－3）∪（3，＋∞） 【详解】解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0 ③. 判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. （1） 当Δ＞0，即m∈（－3，3）时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． （2） 当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知直线l与椭圆C有且只有一个公共点． （3） 当Δ＜0，即m∈（－∞，－3）∪（3，＋∞）时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 【考查意图】 直线和椭圆的位置关系的判断． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程的特征直接构造不等式组即可求得结果； （2）由椭圆方程可得焦点坐标，将焦点横坐标代入椭圆方程可求得纵坐标，由此可得结果. 【详解】（1）表示椭圆，，解得：或， 即实数的取值范围为. （2）当时，椭圆方程为：，焦点坐标为， 将代入椭圆方程可得：，即，. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【详解】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 18．(1)； (2)存在，或. 【分析】（1）设动点，根据及斜率两点式列方程求轨迹； （2）设直线与曲线C的交点为，联立轨迹C并应用韦达定理、弦长公式求参数k，即可得结果. 【详解】（1）设动点， 由题意，化简整理得， 故点P的轨迹C的方程是. （2）直线斜率不存在时不合题意， 斜率存在时，设直线与曲线C的交点为， 由，得，， 则，， ，整理得，解得或（舍）. 经检验，符合题意，直线l的方程为，即或. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． （2） 直线的方程为： 联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 4．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 5．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（   ） A．5 B． C． D．10 6．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点.若，则的长轴长为（    ） A．3 B．6 C． D． 8．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为25 C．的最小值为9 D．若，则的面积为 10．（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，直线：与相交于，两点，点关于的对称点为，线段与交于点，四边形的周长为，，则（   ） A．的方程为 B．的面积为3 C． D．上的点到距离的最大值为 11．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M、N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆上存在点Q使得 C．直线l的方程为 D．的周长为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，A为上顶点，则的面积为 . 13．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 14．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，，点满足直线的斜率之积为，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·吉林长春·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且； (2)焦点在坐标轴上，且经过两个点. 16. (15分) （24-25高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 17. (15分) （24-25高二上·陕西铜川·期中）动点与定点的距离和到定直线的距离的比为.记点的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知直线. ①若直线与相交.求的取值范围； ②当直线与相交时，证明：直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 18. (17分) （24-25高二上·山西·期中）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)求椭圆C上的任意一点到直线的距离的最值． 19. (17分) （24-25高二上·云南昆明·期中）已知圆，圆经过三点. (1)求圆的方程，并判断两圆位置关系； (2)若动圆与圆、圆均相切，求动圆圆心的轨迹的方程. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D B B C AB BD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据“逼近法”先确定，再结合椭圆的定义计算即可. 【详解】设椭圆的长半轴长与短半轴长分别为，结合题意可知椭圆方程为：， 由条件得， 又的周长为， 所以，即椭圆方程为：. 故选：A 2．D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 3．D 【分析】根据（或）和进行分类讨论，由此可求的面积. 【详解】椭圆中，，所以焦点， 当或时，此时面积相同，不妨取，如下图所示： 代入于椭圆方程，则，所以，所以； 当时，如下图所示： 设，由条件可知，解得， 所以； 综上，的面积为或， 故选：D. 4．C 【分析】根据椭圆定义求解出焦点三角形的周长. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以，所以， 故选：C. 5．D 【分析】求出，由三角形的面积得到面积为10，设，则，将代入中得，求出，得到. 【详解】由题意得，故，故， 因为的面积为20，所以面积为10， 设，则，解得， 将代入中得， 故，则. 故选：D 6．B 【分析】先根据题意知道得到，再根据相似三角形得到，借助离心率公式计算即可. 【详解】 如图，由于，与的交点在y轴上，结合椭圆的对称性， 知道则，代入， 求得，求得，故. 设与的交点在y轴上，为. 显然,,代入. 即，化简得，，即. 故选：B. 7．B 【分析】现根据椭圆离心率求出，再根据求出，联立两式可求出、，由此即可求解. 【详解】因为离心率，解得，， 由题意易得，，. 所以，，因为，所以， 将代入，解得，，即，，故的长轴长为. 故选：B. 8．C 【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解. 【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则， 直线的斜率. 由，得， 得，所以， 即，， ，，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 9．AB 【分析】利用椭圆的方程和椭圆的定义结合性质逐一考查每个选项即可. 【详解】设，则，. 对于A，有， ，故A正确； 对于B，有， 且当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，有 ，故C错误； 对于D，此时 ，所以. 从而，故D错误. 故选：AB. 10．BD 【分析】根据焦点三角形的周长可得，结合可得，，即可求解椭圆方程，进而可判断A，根据为等腰直角三角形，即可判断B，联立两直线方程可得,通过两点斜率公式计算的斜率可判断C，利用三角换元，结合三角函数的性质即可求解D. 【详解】由于，互相平分，故四边形为平行四边形，且周长为，故， 又,故, 将代入椭圆方程可得，解得， 故椭圆方程为，故A错误， 由于平分，是的中点，故, 继而可得,且为等腰直角三角形， 由于，故,则,故B正确， 对于C,，则方程为，直线，联立可得 由于， , 故C错误， 设上任意一点，则其到直线的距离为，其中，故当时，此时距离最大，为，D正确， 故选：BD 11．BCD 【分析】根据焦点坐标求椭圆方程，并求离心率，再根据以为直径的圆与椭圆的交点个数，即可判断B，利用点差法求直线的方程，即可判断C，观察直线过椭圆的焦点，即可判断D. 【详解】A.由条件可知，，解得：，所以椭圆， 所以，椭圆的离心率，故A错误； B.由椭圆方程可知，，，以为直径的圆与椭圆由4个交点，所以椭圆上存在点使得，故B正确； C.设，，代入椭圆方程，，两式相减得，由题意可知，，， 所以，，所以，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理为，故C正确； D.因为直线过椭圆的焦点，所以的周长为，故D正确. 故选：BCD 12． 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积. 【详解】由椭圆得, 所以， 所以， 故答案为： 13．6 【分析】利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 14． 【分析】先求出的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标形式可求最小值. 【详解】设，则，故， 整理得到：，而 故， 而，故， 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）设出椭圆方程，根据椭圆定义求出，将点代入方程求出得解； （2）待定系数法求解即可求得椭圆的标准方程. 【详解】（1）由题设椭圆方程为，， ，即， 将点代入方程，可得， 所以椭圆方程为. （2）设椭圆的方程为， 将点，代入椭圆的方程， 得，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，即可求得椭圆方程； （2）根据直线与椭圆相切，可得判别式等于0，即可求解. 【详解】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 17．(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）用坐标表示几何条件化简可得点的轨迹方程； （2）①联立直线方程与椭圆方程，消去可求的取值范围； ②法一，由①可得，进而求得中点坐标，消去参数可得直线被截得的线段的中点所在直线方程. 法二，设直线与交于，两点.设，，利用点差法可得结论. 【详解】（1）根据题意可得， 化简得， 即的方程为. （2）①解：由，得. 由， 解得，所以的取值范围为. ②证明：（方法一）由①中，得. 设直线被截得的线段的中点坐标为， 则，. 由，消去可得， 所以直线被截得的线段的中点在直线上. （方法二）设直线与交于，两点. 设，，线段的中点坐标为， 则直线的斜率为，，. 因为点，在上，所以， 两式相减得， 化简得， 即， 所以直线被截得的线段的中点在直线上. 18．(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）由离心率可得，再将给定点代入，联立求出椭圆方程. （2）由（1）设出点的坐标，借助三角函数的性质求出最值. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 则椭圆的方程为：，又椭圆经过点， 于是，解得，得， 所以椭圆C的方程为. （2）由（1）设点为椭圆上任意一点， 点到直线的距离为（其中锐角由确定）， 则当时，， 当时，， 所以椭圆上的点到直线的距离的最小值为，最大值为. 19．(1)，内含 (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求出圆的方程，结合圆与圆的位置关系即可求解； （2）根据圆与圆的位置关系可得，则，结合椭圆的定义即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆经过三点，， 可得，解得， 所以所求圆的方程为，即. 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以圆心距，故两圆内含. （2）由题设有圆与圆内含， 若动圆与圆外切，与圆内切. 设动圆圆心，设动圆的半径为， 由题意有，消得到：， 动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为10的椭圆， 故， 故轨迹的方程为:. 若动圆与两圆均内切，则， 故，故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 故，故轨迹的方程为：， 综上，轨迹的方程为：. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）在中，，已知点，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线的方程为 ②曲线上存在点，使得到点距离为6； ③曲线上存在点，使得到直线的距离为； ④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河北石家庄·期中）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·天津滨海新·期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①椭圆的离心率为 ②到的左焦点的距离的最小值为 ③面积的最大值为 ④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 10．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）下列结论正确的是（ ） A．已知点在圆上，则的最大值是4 B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．若直线过点且分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则三角形面积的最小值是及此时的直线方程为. D．若椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是. 11．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．的最大值为9 C．椭圆的离心率为 D．椭圆上不存在点，使得 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，线段的长度是 . 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 14．（24-25高二上·云南楚雄·期中）已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·北京·专题练习）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程； (2)两个焦点分别是，，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于8； (3)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点． 16. (15分) （23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)直线过点且与椭圆相交于A、B两点，当面积取得最大值时，求直线的方程. 17. (15分) （24-25高三上·上海·期中）已知椭圆 的左、右、下顶点分别为点 、 、 ，点 为椭圆 上的动点、点 (1)点且斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求线段的长； (2)求面积的最大值； (3)过点的直线与椭圆交于、两点(异于点、)，试探究直线、 的交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 18. (17分) （24-25高三上·天津南开·期中）已知椭圆：（,），，，，四点中恰有三点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点，若直线与直线的斜率和为，求证：过定点． 19. (17分) （24-25高二上·浙江台州·期中）已知椭圆C：，若点，，，中恰有三点在椭圆C上． (1)求C的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点P，Q． （ⅰ）证明：点B在以PQ为直径的圆内； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C A C B D BC ACD 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】运用正弦定理及椭圆定义可得动点的轨迹，运用数形结合即可求得结果. 【详解】由已知，，则6， 因为，则由正弦定理可知， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为12的椭圆，不含左、右顶点， 所以当且仅当点是椭圆的上、下顶点时，点到直线的距离最大为， 当时，点到直线的距离最大为， 所以． 故选：D． 2．A 【分析】利用直角三角形性质和椭圆定义求出，根据正切函数定义列式整理可得. 【详解】在中，，所以， 又，所以， 所以，即，整理得. 故选：A    3．C 【分析】运用椭圆定义对长度进行转化计算即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为. 故选：C. 4．C 【分析】设，根据M满足，利用两点间距离公式化简整理，即可判断①是否正确；通过确定圆上的点到（1，1）的距离的范围来判断②是否正确；通过确定圆上的点到直线的距离的范围来判断③是否正确；由椭圆的定义，可知F在椭圆上，再根据椭圆与曲线W的位置关系，即可判断④是否正确． 【详解】设，因为M满足，所以， 整理可得：，即，所以①正确； 对于②，由①可知，点在圆的外部， 因为到圆心的距离，半径为2， 所以圆上的点D到的距离的范围为， 而，所以②不正确； 对于③，圆心到直线的距离为， 即直线和圆相交， 所以圆上的点E到直线的距离的范围为， 又， 即，故③正确； 对于④，假设存在这样的点F，使得F到点B与点的距离之和为8， 则F在以点B与点为焦点，实轴长为8的椭圆上， 即F在椭圆上， 易知椭圆与曲线W：有交点， 故曲线W上存在点F，使得F到点B与点的距离之和为8，所以④正确． 故正确结论的个数为3， 故选：C 5．A 【分析】由，的中点为，点差法得到齐次式，可求椭圆的离心率． 【详解】椭圆，左焦点，下顶点， 设，，的中点为，，． ，． 由，，两式相减得， 可化为，得，即，两边平方得， 化为：，解得，又，解得． 故选：A． 6．C 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理求解出，结合求解出离心率的值. 【详解】如图，由已知可得，，， 由椭圆定义，得， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 又，整理得，又椭圆的离心率， 所以，解得或（舍去），所以的离心率. 故选：C. 7．B 【分析】利用椭圆定义可得出，利用当且仅当、、、四点共线且、在线段上时，取最小值即可得解. 【详解】在椭圆中，，，则，则， 则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为， 由椭圆的定义可得， 则 . 当且仅当、、、四点共线且、在线段上时， 上述不等式两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 8．D 【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④. 【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上， 即有，则，椭圆的离心率，①正确； 对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径， 即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为， 因此面积的最大值为，③正确； 对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有， 则，而， 因此，即， 所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确； 对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有， 于是得， 又由①知，，得， 所以，④正确， 所以说法正确的有①②③④. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，及点差法得出斜率积等的应用. 9．BC 【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得； 根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径. 【详解】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 10．ACD 【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B；利用截距式方程和基本不等式可判断C；根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即可判断D. 【详解】A选项，因为点在圆上， 所以， 当时，取得最大值4，故A正确； B选项，由，所以，即直线过点， 因为直线和线段相交，故只需或，故B错误； C选项，由题意，设点、，则，， 所以，直线的方程为，则， 由基本不等式可得，即，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，直线的方程为，即， 所以，面积的最小值为，此时，直线的方程为,故C正确； D选项，设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为，故D正确. 故选：ACD. 11．BD 【分析】根据通径可得，即可求解A，根据椭圆定义，结合基本不等式代入计算，即可求解B，根据离心率公式即可求解C，根据余弦定理求解最大角，即可求解D. 【详解】 易知当轴时，即线段为通径时，最短， ，解得，椭圆方程为， 对于A，椭圆的短轴长为，故A错误； 对于B，由椭圆的定义可知， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为9，故B正确； 对于C，离心率，故C错误； 对于D，易知当点位于短轴顶点时，最大， 此时， 又为三角形内角，椭圆上不存在点， 使得，故D正确. 故选:BD. 12． 【分析】用点差法即可求出直线的斜率，再用点斜式即可求出直线的方程，结合弦长公式即可得结果. 【详解】设，，根据中点坐标公式，，， 则，两式相减化简可得， 所以，即直线的斜率为， 可得直线的方程为，即， 联立方程，消去x可得， 则， 所以线段的长度是. 故答案为：. 13． 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 14．/ 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性及定义、余弦定理求得，再利用二倍角公式及离心率的几何意义求出离心率. 【详解】不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为，连接， 则，又，所以， 在中，由余弦定理得， 则，即，所以. 故答案为： 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴及的值，将椭圆方程设为，依据椭圆的定义确定的值，并由求得，带入所设的椭圆方程即可. （2）根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴，依据椭圆的定义及焦点坐标可计算出，即可求得椭圆方程. （3）解法一：根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴且，设椭圆标准方程带入计算即可.解法二：根据焦点坐标确定椭圆焦点在轴，依据椭圆的定义及焦点坐标可计算出，即可求得椭圆方程. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为． 由椭圆的定义知， ， 所以，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为． （2）由已知得，因此．又因为，所以， 因为椭圆的焦点在轴上，所以所求的椭圆的标准方程为：． （3）解法一：因为椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为． 由已知得：，又因为，所以． 因为点在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或（舍去）． 因此，，从而椭圆的标准方程为． 解法二：由椭圆的定义，点到两焦点，的距离之和等于， 即 ， 所以，因为，所以，所以椭圆的标准方程为． 16．(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法计算你即可； （2）设直线的方程为，直曲联立，借助韦达定理，求弦长，同时求出高，得到三角形面积表达式，借助基本不等式求最值即可. 【详解】（1）设椭圆方程为, 由已知得 ∴所求椭圆方程为. （2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，由，消去y得关于x的方程： 由直线与椭圆相交于A、B两点，∴解得 又由韦达定理得， ∴ 原点到直线的距离 ∵. 令，则 ∴ 当且仅当即时， 此时.所以，所求直线方程为. 17．(1) (2) (3)是定值 4. 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果； （2）由点到直线的距离公式可得三角形的高，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，再联立两直线方程，代入化简，即可得到结果. 【详解】（1）过点斜率为1的直线方程为， 由 ，消去可得， 解得， 故弦长为 . （2），直线的方程为， 设点，点到直线的距离 . 则，， 故面积的最大值为. （3） 可得. 若直线与轴重合，则与重合，不合题意. 设直线的直线方程为， 联立消去，整理得， ， 由韦达定理可得. 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程，解得. (1) 将代入(1)，得.(2) 将 代入(2)， 得.， 因此，直线 的交点的横坐标为定值4. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，判断椭圆所过的三点，列出关于，的方程求解即得. （2）按直线的斜率存在与不存在设出方程，再与椭圆的方程联立，借助韦达定理计算作答. 【详解】（1）由于，两点关于轴对称，故由题设知椭圆经过，两点． 又由（，在椭圆上，有）知，椭圆不经过点， 所以点在椭圆上．因此解得故椭圆的方程为． （2）证明：设直线与直线的斜率分别为，．如果与轴垂直，设：， 由题设知，且，可得，的坐标分别为，， 则，得，不符合题设．从而可设：． 将代入，得．由题设可知． 设，，则，． 而． 由题设，故． 即，解得．当且仅当时，， 于是：，即，所以过定点． 19．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）6 【分析】（1）由椭圆对称性可知，，两点在椭圆上，则，有一点在椭圆上，将两点代入椭圆中，解方程组即可求得椭圆C的方程； （2）（i）分别将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出P，Q两点坐标，由数量积可得为钝角，得出证明； （ii）由（i）可写出四边形的面积为，再利用基本不等式以及函数单调性即可得出面积的最大值为6. 【详解】（1）由椭圆对称性可知，，两点在椭圆上， 则，有一点在椭圆上， 设点在椭圆上， 则，方程组无解，所以点在椭圆上 代入，可得，，即椭圆方程为. （2）（ⅰ）易知，，由椭圆对称性可知，不妨设，，，， 根据题意可知直线AM，BM斜率均存在，且，， 所以直线AM的方程为，BM的方程为， 联立直线AM和椭圆方程，消去y可得， 由韦达定理可得，解得，则； 联立直线BM和椭圆方程，消去y可得， 由韦达定理可得，解得，则； 则， ， 所以， 即可知为钝角，以点B在以PQ为直径的圆内； （ⅱ）由（i）四边形APBQ面积为 ， 设，，则，当且仅当时等号成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点M的坐标为， 由对称性可知，即当点M的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6． 【点睛】方法点睛：证明点和圆的位置关系时，可利用向量数量积的正负判断与直径所对圆周角的大小即可得出结论；在求解四边形面积的最值时，首先可用一个变量表示出面积的表达式，再根据函数单调性或基本不等式求出最值即可. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$