2.4直线与圆、圆与圆的位置关系-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

2.4直线与圆、圆与圆的位置关系（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 14 【提升训练】 30 知识回顾 1. 直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 2. 用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 3. 圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<r2－r1 r2－r1<d<r1＋r2 d＝r2－r1 d＝r1＋r2 图示 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元， 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知圆关于直线对称，则（    ） A． B．1 C． D．0 2．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（    ） A． B．2 C． D．4 4．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（   ） A． B． C． D．0 5．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽六安·期中）若圆的圆心为，且被直线截得的弦长为，求圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏南京·期中）若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 10．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．圆的半径为12 C．直线与圆恒有两个交点 D．圆心到直线距离的最大值为 11．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 13．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则 . 14．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·福建泉州·期中）已知圆. (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 16. (15分) （23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 17. (15分) （23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 18. (17分) （24-25高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点和 (1)若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； (2)已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 19. (17分) （23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B A D A A ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】根据题意知直线过圆心，将圆心坐标代入即得答案. 【详解】由题意直线过圆心，则. 故选：B 2．A 【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案. 【详解】因为，所以在圆上， 的圆心为， 故， 设圆在点处的切线方程斜率为， 故，解得， 所以圆在点处的切线方程为， 变形得到，即. 故选：A 3．C 【分析】由圆的标准方程作出圆的图形，易得切点坐标，利用两点之间距离公式计算即得. 【详解】    如图，由圆可得x轴，y轴，即是过点O的切线， 所以切点为，，故． 故选：C. 4．B 【分析】由两圆恰有三条公切线判断两圆外切，再由即可求得t的值. 【详解】由圆与圆恰有三条公切线，可知圆与圆外切. 由配方得：，知圆心半径； 由配方得：，知圆心半径. 由，可得，解得. 故选：B. 5．A 【分析】两圆作差即可求得公共弦的方程. 【详解】圆，圆的方程可以化简为，，将两圆方程相减，得，即直线的方程为. 故选:A. 6．D 【分析】求出圆心到直线的距离，进而由弦长求得半径，即可得解. 【详解】∵圆心到直线的距离为， 又∵弦长为，∴圆的半径， ∴圆的方程为， ∴圆的一般方程. 故选：D. 7．A 【分析】将问题转化为圆心到直线l的距离，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】圆C的半径为4，直线l上存在到圆C上一点的距离为3的点， 故圆心到直线l的距离，即，解得， 故选：A． 8．A 【分析】根据两圆的位置关系可判断有4条公切线，结合两圆为半径相等且关于原点对称，由点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】圆M的圆心为，半径．圆N的圆心为，半径，圆心距，两圆外离，故有四条公切线． 又两圆关于原点O对称，则有两条内公切线过原点O，设切线方程为， 则圆心到直线的距离，解得k＝0或， 对应方程分别为y＝0，． 两条外公切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得， 切线方程为，． 故选：A 9．ACD 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】将直线方程变形为，令，即可求出直线过定点坐标，即可判断A，根据圆的方程判断半径，从而判断B，求出圆心与直线过定点的距离，即可判断C、D. 【详解】因为直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过定点，不妨设定点为，故A正确； 圆的方程为，则圆心，半径，故B错误； 因为，所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点，故C正确； 当且仅当时，圆心到直线距离的最大值为，故D正确. 故选：ACD 11．BCD 【分析】 根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C. 【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为， 对于A，由于，故点在圆外，故A错误， 对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确， 对于D,由于,故两圆相交， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确， 对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确， 故选：BCD 12．±4 【分析】根据圆心距与半径之和的关系即可求解. 【详解】两圆的圆心为，，半径为1和4， 因为两圆外切，则，解得. 故答案为：±4 13． 【分析】借助圆心到直线的距离、半径及弦长的关系计算即可得. 【详解】的圆心为，半径为， 圆心到的距离为， 所以，因为， 解得. 故答案为： 14． 【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积. 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 15．(1) (2)①；② 【分析】（1）利用距离公式即可得到答案. （2）①利用面积的公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案. 【详解】（1）命题等价于到直线的距离小于， 即，解得的取值范围是. （2）①易知， 所以， 等号对成立，故最小值是； ②因为，所以四点共圆，圆心为的中点， 因为，所以圆的半径为， 方程为，即， 直线为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线的方程为. 16．(1)，圆心坐标，半径为 (2)或 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径； （2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案 【详解】（1）由，得， 则圆的标准方程为， 圆的圆心坐标，半径为． （2）由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 17．(1)或 (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，利用相切即可求解直线方程， （2）根据切线性质，结合勾股定理可将问题转化为当取最小值时，根据垂直即可求解.. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 当的斜率不存在时，满足条件. 当的斜率存在时，不妨设其方程为， 即， 圆心到的距离为，解得， 可得的方程为， 综上所述，的方程为或. . （2）， 当最短时，即时，取得最小值， 此时， ，又， . 18．(1) (2) 【分析】（1）求出圆心为，求出圆心到直线的距离，根据弦长得到方程，求出半径； （2）点在以为直径的圆上，求出圆方程为，故两圆相交，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】（1）圆化为，故，解得， 所以圆心为， 直线的方程为，圆心到直线距离为， 由垂径定理得，解得. （2）点在以为直径的圆上， 由于点和，故此圆方程为， 从而圆与圆有两个交点，其中圆心距， 只需满足， 得，即，解得 19．(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·福建福州·期中）在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）直线与圆交于，两点，则面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 7．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．（24-25高二上·河北邢台·期中）圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（   ） A．直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C． D．点与点之间的距离的最大值为8 11．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 13．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线l：与曲线C：只有一个公共点，则实数m的取值范围是 . 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·湖南·期中）已知直线，圆 (1)若，求直线l截圆M所得的弦长; (2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 16. (15分) （24-25高二上·重庆·期中）已知，，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长． 17. (15分) （24-25高二上·山东泰安·期中）已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 18. (17分) （24-25高二上·山西大同·期中）已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于、两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为、，求所在的直线方程. 19. (17分) （24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知的三个顶点为. (1)求外接圆M的方程； (2)直线l过点，被圆M截得的弦长为4，求直线l的方程. (3)判断圆M与圆N：的位置关系，若相交求出公共弦长. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A C D D A ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案. 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，. 故选：B. 2．B 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，求圆心到直线的距离，几何法求，最后用三角形面积公式求面积. 【详解】由，可化为， 所以，圆心，其到的距离，又圆的半径为， 所以，则面积为. 故选：B 3．B 【分析】由题意知，点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，直线经过定点，结合图形可得，当且仅当轴时，点到直线的距离最大，即可求得. 【详解】    如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 又直线经过定点， 由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大， 即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为. （理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点， 在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）. 故选：B. 4．A 【分析】根据两圆的公切线条数确定两圆相交，由圆心距计算即可. 【详解】由，， 则可得，且两圆的半径分别为， 又两圆只有两条公切线，故该两圆相交， 即，显然， 则，解之得. 故选：A 5．C 【分析】将两圆方程做差可得公共弦方程，再求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离，利用公共弦长为求解即可． 【详解】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故选：C. 6．D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 7．D 【分析】先由两圆的标准方程，求出圆心和半径，然后判断两圆与直线的位置关系，求出圆心关于直线的对称点，则当，，三点共线且经过两圆圆心时，取最小值，求解即可． 【详解】圆，则圆心， 圆，则圆心， 两圆心在直线的同侧.又圆心到直线的距离， 圆心到直线l的距离， 则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以， ， 当且仅当三点共线时等号成立；即的最小值为． 故选：D. 8．A 【分析】先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围. 【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则，且，可得， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或.    故选：A 9．ABD 【分析】利用表达式的几何意义，结合图形求范围即可. 【详解】由题意，，两边平方得， 故方程表示的几何图形为半圆，即圆位于轴上方（包括轴上两点）的部分； 选项A： 如图所示，的几何意义为半圆上的点与点的连线的斜率； 设过点的直线的方程为，即， 由，解得或（舍去）； 因此，的取值范围是，故A正确； 选项B： 设，则，故的几何意义为过半圆上的点的斜率为的直线系的纵截距； 当直线过点时，有最小值，最小值为； 由，解得或（舍去），此时有最大值，最大值为， 因此，的取值范围是，故B正确； 选项C： 如图所示，几何意义为半圆上的点到的距离的平方； 由图可知，半圆上点到的距离最大，最大距离为5；点到的距离最小，最小距离为1； 因此，的取值范围是，故C错误； 选项D： 如图所示，的几何意义为半圆上的点到直线的距离的倍； 由图可知，距离的最小值为，最大值为， 因此，的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 10．ABD 【分析】将两圆的方程作差可得A正确；由圆的一般方程变成标准方程，求出圆心，再由线段的中垂线经过和的圆心可得B正确；由几何法求出弦长可得C错误；由最大距离等于两半径之和加圆心距可得D正确； 【详解】对于A，将两圆的方程作差，可得，即直线的方程为，A正确. 对于B，圆，圆，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，，线段的中垂线经过和的圆心，故线段的中垂线方程为，故B正确. 对于C，圆的圆心到直线的距离为，故，C错误. 对于D，点与点之间的距离的最大值为，D正确. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】首先变形直线求定点，将代入圆的方程，求圆与轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD. 【详解】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确； B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确； C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误； D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】求出公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即圆与圆相交，其公共弦所在直线的方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 13． 【分析】由题意作图，结合图象求得边界线得方程，可得答案. 【详解】由曲线，整理可得， 则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图：    由图可得直线与圆相切，则，解得， 由图可得直线的方程为； 由图可得直线过，可得方程； 由图可得直线过，可得方程. 由图可得. 故答案为：. 14． 【分析】根据条件得到圆与圆外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切， 又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为， 所以，得到，又，所以， 故答案为：. 15．(1)4 (2)，或 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求圆心到直线l的距离，再利用圆的弦长公式即可求解； （2）根据直线方程可得定点坐标，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，即可解k，从而得切线方程. 【详解】（1）当时，直线， 圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l的距离为， 则直线l截圆M所得的弦长为； （2）由得，所以定点， 由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即， 所以， 解得， 故所求切线方程为，即或 16．(1) (2)相交， 【分析】（1）首先求出的中点坐标及，即可得到圆心坐标与半径，从而得到圆的标准方程； （2）求出圆心距，即可判断两圆相交，再两圆方程作差，即可求出公共弦方程. 【详解】（1）因为，，所以的中点为，且， 因为圆是以线段为直径的圆， 即圆心为，半径， 所以圆的方程为； （2）圆的圆心，半径； 圆：的圆心，半径； 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为. 17．(1) (2)或. 【分析】（1）先利用点关于直线对称求得点的坐标，再利用待定系数法求得圆的一般方程，从而配方得解； （2）利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率存在与否，利用点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设点， 因为点与点关于直线对称， 所以，解得，故， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 则圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时的方程为，即 综上，所求直线的方程为或. 18．(1)或 (2) 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 则线段可视为圆与圆的相交弦， 将上述两圆的方程作差可得. . 19．(1)； (2)或； (3)两圆相交，公共弦长为. 【分析】（1）设圆的一般方程，代入点即可； （2）分析可知圆心M到直线l的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （3）两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）设圆M的方程为， 代入点可得，解得, 所以圆M的方程，即为. （2）由（1）可知：圆M的圆心为，半径， 则圆心M到直线l的距离，且直线l过点， 若直线l的斜率不存在，即为，此时，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线，即为， 则，解得， 此时直线； 综上所述：直线l的方程为或. （3），圆心，半径， ，圆心，半径， 则圆心距， 因为，所以两圆相交， 则将两圆方程作差得， 则圆到直线的距离为， 则公共弦长为. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期中）已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南·期中）已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽黄山·期中）已知圆被轴截得的弦长为，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 8．（24-25高二上·山东青岛·期中）若经过点且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则（    ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D．若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 10．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知圆与圆交于，两点，则（    ） A．两圆的公切线有2条 B．直线方程为 C． D．动点在圆上，则的最大值为 11．（24-25高二上·重庆·期中）圆和圆的交点为、，则有（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·广东深圳·期中）若直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围为 . 13．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：与：相交于，两点，为弦的中点.给出下列三个结论： ①弦长度的最小值为； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则不存在点使得； 其中所有正确结论的序号是 . 14．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求的方程； (2)设直线：与交于，两点. ①证明：直线与平行； ②求四边形的面积. 16. (15分) （24-25高二上·辽宁·期中）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，圆. (1)求的方程； (2)若与外切，求实数的值. 17. (15分) （24-25高二上·广东深圳·期中）记的内角的对边分别为，已知，外接圆的半径为R． (1)求外接圆的面积； (2)圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线截得弦长为8，求直线的方程． 18. (17分) （24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆，直线与圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 19. (17分) （24-25高二上·广东·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. (1)求的方程； (2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D B C D C BCD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出最短弦长. 【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径， ，即点在圆内，当且仅当时，最短， 所以的最小值为 故选：C 2．C 【分析】通过两个圆相切，列出关系式，然后求解表达式的范围即可. 【详解】圆，则，半径r1， 圆，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 则点在以为圆心，半径为3的圆上，即在圆上， 令，则k表示过点与点的直线的斜率， 则该直线一定过点，且与圆有公共点， 由题意作图，由图可知该直线斜率一定存在若斜率不存在，则直线与圆相离， 设该直线方程为， 即为，圆心到直线的距离为d，则， 解得，即的取值范围是. 故选：C. 3．B 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 4．D 【分析】分析可知直线过圆心，代入解得，再根据切线性质可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】圆可化为． 可知圆心为，半径， 因为圆关于对称，即直线过圆心， 则，解得， 可得，且， 所以． 故选：D． 5．B 【分析】根据题意，利用两圆有公共点得到，进而利用两点距离公式得到关于的二次不等式，解之即可得解. 【详解】因为点在直线上， 所以，即，则， 因为圆可化为， 所以圆A的圆心为，半径为， 因为以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点， 所以，即， 即，解得， 则，即，则. 故选：B. 6．C 【分析】根据直线被圆截得的弦长，借助勾股定理即可求得圆的方程，两圆作差即可求得公共弦的直线方程. 【详解】根据题意，可知圆， 即圆，圆心为，半径， 令，则有：，根据韦达定理及弦长公式可求：，所以，故圆的半径， 故圆，又因为圆， 设AB为两圆的公共弦所在的直线，则有 作差变形可得：；即直线AB的方程为. 故选：C 7．D 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，利用点到直线的距离可判断B；由题可得四边形的面积，可判断C；由题可知点在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D. 【详解】A.由题意得，圆心，半径， ∴圆心到直线的距离为， ∵， ∴圆上有两个点到直线的距离为，选项A错误. B. 如图， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当，即为圆心到直线的距离时，， ∴，选项B错误. C. 由题意得，， ∴四边形面积为：， 由选项B可知，选项C错误. D.设， ∵是圆的切线， ∴点在以为直径的圆上. ∵， ∴以为直径的圆为， 整理得， 与圆方程相减得直线方程为： ， 由得，即直线恒过定点，选项D正确. 故选：D. 8．C 【分析】先由圆与两坐标轴相切和过点求出圆的方程，再由圆的对称性得到圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于可转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列不等式求解即得. 【详解】由题意，可设圆心为，则半径为，则，圆的方程为， 因该圆经过点，则得，解得或（舍去）， 故圆的方程为：， 因该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于， 故圆心到直线的距离，即，解得. 故选：C. 9．BCD 【分析】利用点圆位置关系的判定方法可判断A，将问题转化为直线与圆的位置关系，从而列式可判断B，将问题转化为圆心到直线的距离问题，从而列式可判断C，利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 设，则，又点在圆上， 所以直线与圆有交点， 即，解得， 所以的最大值为，故B正确； 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C正确； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立， 则的最小值为. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断A，根据两圆方程相减即可判断B，根据弦长公式即可求解C，根据点点距离公式即可判断D. 【详解】由题意可知，， 故，故两圆相交，公切线有2条，A正确， 与圆相减可得， 故直线方程为，B正确， 到直线的距离为，故，故C错误， 可看作是圆上的一个点到点的距离的平方， 故最大值为，D正确， 故选：ABD 11．ABD 【分析】将两圆作差，可得出公共弦所在直线的方程，可判断A选项；分析可知，垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；利用几何法求出公共弦的长，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，将两圆方程作差可得， 所以，公共弦所在的直线方程为，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，，则， 又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段， ，所以，直线的方程为，即， 故线段的中垂线方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为， 所以，，C错； 对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对. 故选：ABD. 12． 【分析】法一：可知直线过定点（其中不包含直线），可知圆心到直线的距离为，即可得弦长；法二：因为圆心到直线MN的距离为，可得，即可得弦长. 【详解】法一：直线的方程可化为， 令得， 所以直线过定点（其中不包含直线）， 因为，即点A在圆内， 圆的圆心为原点，半径为， 不妨设圆心到直线的距离为， 当时，恰为直线，不存在，故取不到，即 由，所以弦长的取值范围为； 法二：因为圆的圆心为原点，半径为， 设圆心到直线MN的距离为， 则， 因为，故，可得， 又因为，所以弦长的取值范围为. 故答案为：. 13．①③ 【分析】求出直线过的定点，再利用圆的性质求出弦长最小值判断①；利用圆的性质求出点的轨迹判断②；判断两圆的位置关系判断③即可得答案. 【详解】直线：过定点，：的圆心，半径， 显然点在内，， 对于①，当时，弦长度最小，最小值为，①正确； 对于②，当与都不重合时，，则点在以线段为直径的圆上， 当与之一重合时，点也在以线段为直径的圆上，此圆圆心，半径为1， 而直线不包含过点且垂直于轴的直线，即点的坐标不能是， 所以点的轨迹是以线段为直径的一个圆，除点外，②错误； 对于③，以点与为直径端点的圆的圆心，半径为， 而，即以为直径的圆和以为直径的圆相离， 点在以为直径的圆外，因此不存在点使得，③正确， 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③    【点睛】关键点点睛：命题③，确定以为直径的圆和以为直径的圆相离是解决问题的关键. 14． 【分析】求出反射光线所在直线的方程，利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式可求出正数的值. 【详解】点关于轴的对称点为，，直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线，则直线与圆相切， 且圆心为，半径为，可得，由于，解得. 故答案为：. 15．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用圆心和半径求得圆的方程. （2）①求出直线的方程，由此作出判断.②转化为计算三角形的面积来求得四边形的面积. 【详解】（1）设圆心为，由，则， 所以，解得. 且，， 所以圆的方程为. （2）①直线的方程为， 直线：，即， 所以直线与平行； ②由解得， 即，则三点共线，所以是圆的直径， ，， 所以四边形的面积为.    16．(1)或 (2) 【分析】（1）设圆心，则的半径为，根据圆的几何关系可得出关于实数的方程，求出的值，即可得出圆的方程； （2）求出圆的圆心坐标和半径，对实数的取值进行分类讨论，根据两圆外切可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：根据题意，设圆心，则圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 由题意可得，解得，则圆的半径为， 因此，圆的方程为或. （2）解：圆的标准方程为，则，可得， 则圆心，半径为， 当时，，根据题意，，解得； 当时，则， 根据题意，，此时，不存在. 综上所述，. 17．(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理可得，进而结合辅助角公式求解可得，进而结合正弦定理可得，进而求解； （2）设，根据对称性质列出方程组求得，可得圆的方程，进而分直线的斜率存在和不存在讨论求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 因为，所以， 则，即，即， 又，则，所以，即， 则，即， 所以外接圆的面积为. （2）由圆，圆心为，半径为， 设，由题意得， 解得，即， 则圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，，则，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 到直线距离为， 由，得， 解得，则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18．(1) (2) (3)证明见解析，定点为 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长； （2）根据圆外点作圆的两条切线，切点所在直线即为两圆相交弦所在直线即可求解； （3）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点. 【详解】（1）易知圆心，半径，圆心到直线的距离， 所以弦长. （2）根据题意，点在圆外，则过点向圆有两条切线，切点分别为, 则,所以在以为直径的圆上， 则圆的圆心为，半径, 所以圆的方程为，则圆与圆相交弦即为直线， 联立，得， 所以直线的方程为. （3）当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，代入圆方程得：或， 设，则直线方程为， 代入直线得：，故， 因为，所以是的中点，得， 所以，所以直线的方程为：， 即，直线过点. 当直线的斜率存在时，如图所示： 设直线方程为：，即， 设，联立得：， ，解得或， 由韦达定理得： ①，， 所以③，④，且⑤， 将代入直线得：，所以， 是的中点，得，所以， 所以直线的方程为：， 将点的坐标代入并整理，化简得：， 将①③④⑤代入上式得：，显然成立. 综上可得：直线过定点. 【点睛】方法点睛：(1)解答直线与圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)根据圆的切线切点的几何特征求解. （3）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19．(1). (2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）设，用坐标表示已知条件化简后可得； （2）不妨设. 设，设，由直线与圆相交求得的坐标（用表示），求出直线方程，观察方程得定点． 【详解】（1）设，根据，得， 即，所以的方程为. （2）根据圆的对称性，不妨设. 设，则， 所以直线HE的方程为，直线HF的方程为. 设. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 当时，， 所以直线MN的方程为，化简得， 所以直线MN过定点; 当时，，此时直线MN过定点. 综上，直线MN过定点. 【点睛】方法点睛：解析几何中直线过定点问题，用参数设出动点坐标或动直线方程等，设交点坐标为，由直线与曲线方程联立方程组消元应用韦达定理得或者直线解出，写出两交点所在直线方程（韦达定理的结论需代入），化简后观察可得定点坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4直线与圆、圆与圆的位置关系（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 6 【提升训练】 9 知识回顾 1. 直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 2. 用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 3. 圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<r2－r1 r2－r1<d<r1＋r2 d＝r2－r1 d＝r1＋r2 图示 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元， 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知圆关于直线对称，则（    ） A． B．1 C． D．0 2．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（    ） A． B．2 C． D．4 4．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（   ） A． B． C． D．0 5．（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽六安·期中）若圆的圆心为，且被直线截得的弦长为，求圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏南京·期中）若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线为曲线T的d距离可相邻直线．已知直线为圆的3距离可相邻直线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 10．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知直线的方程为，圆的方程为，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．圆的半径为12 C．直线与圆恒有两个交点 D．圆心到直线距离的最大值为 11．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 13．（24-25高二上·重庆·阶段练习）设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则 . 14．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·福建泉州·期中）已知圆. (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 16. (15分) （23-24高二上·辽宁葫芦岛·期中）已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 17. (15分) （23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 18. (17分) （24-25高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知圆及点和 (1)若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径； (2)已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围. 19. (17分) （23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·福建福州·期中）在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）直线与圆交于，两点，则面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知与有且有只有两条公切线，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 7．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．（24-25高二上·河北邢台·期中）圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（   ） A．直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C． D．点与点之间的距离的最大值为8 11．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．点到直线的距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 13．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线l：与曲线C：只有一个公共点，则实数m的取值范围是 . 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·湖南·期中）已知直线，圆 (1)若，求直线l截圆M所得的弦长; (2)已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 16. (15分) （24-25高二上·重庆·期中）已知，，圆是以线段为直径的圆，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由：若相交，求两圆公共弦的长． 17. (15分) （24-25高二上·山东泰安·期中）已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 18. (17分) （24-25高二上·山西大同·期中）已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于、两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为、，求所在的直线方程. 19. (17分) （24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知的三个顶点为. (1)求外接圆M的方程； (2)直线l过点，被圆M截得的弦长为4，求直线l的方程. (3)判断圆M与圆N：的位置关系，若相交求出公共弦长. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期中）已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南·期中）已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽黄山·期中）已知圆被轴截得的弦长为，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 8．（24-25高二上·山东青岛·期中）若经过点且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则（    ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D．若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 10．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知圆与圆交于，两点，则（    ） A．两圆的公切线有2条 B．直线方程为 C． D．动点在圆上，则的最大值为 11．（24-25高二上·重庆·期中）圆和圆的交点为、，则有（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·广东深圳·期中）若直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围为 . 13．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：与：相交于，两点，为弦的中点.给出下列三个结论： ①弦长度的最小值为； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则不存在点使得； 其中所有正确结论的序号是 . 14．（24-25高二上·江苏常州·期中）若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求的方程； (2)设直线：与交于，两点. ①证明：直线与平行； ②求四边形的面积. 16. (15分) （24-25高二上·辽宁·期中）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，圆. (1)求的方程； (2)若与外切，求实数的值. 17. (15分) （24-25高二上·广东深圳·期中）记的内角的对边分别为，已知，外接圆的半径为R． (1)求外接圆的面积； (2)圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线截得弦长为8，求直线的方程． 18. (17分) （24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆，直线与圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 19. (17分) （24-25高二上·广东·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. (1)求的方程； (2)若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$