1.2空间向量基本定理与1.3空间向量坐标表示-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

1.2空间向量基本定理与1.3空间向量坐标表示（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 15 【提升训练】 33 知识回顾 1. 空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. (2)基底的概念 ①定义：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. ②性质：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 2. 空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解. 3. 证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4. 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5. 求距离(长度)问题 |a|＝(||＝). 6. 空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. (2)空间直角坐标系的画法 ①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. ②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 7. 空间直角坐标系中的坐标 (1)点的坐标：在单位正交基底{i，j，k}下与向量＝xi＋yj＋zk对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. (2)向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 8. 空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. (2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 9. 空间向量平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则有： 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). 垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 10. 夹角和长度的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， cos〈a，b〉＝ ＝. (2)空间两点间距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1P2＝|| ＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（   ） A．两两垂直 B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知平行六面体如图所示，其中，，，线段，交于点，点是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（   ）      A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东烟台·期中）在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京丰台·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C．2 D．10 6．（24-25高二上·湖北·期中）已知空间向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·天津河北·期中）空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 10．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·四川·期中）已知空间向量满足，则 ． 13．（24-25高二上·广西·期中）在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 14．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二下·甘肃庆阳·期中）已知空间三点，设 (1)求； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 16. (15分) （23-24高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 17. (15分) （24-25高二上·广东潮州·阶段练习）如图，在长方体中，为的中点． (1)化简：； (2)设是棱上的点，且，若，试求实数、、的值． 18. (17分) （24-25高二上·上海·阶段练习）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)用向量，，表示，并求出. 19. (17分) （24-25高二上·新疆伊犁·期中）如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A C C B D AD AC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解. 【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故B错误； 对于C，由共面定理可知非零向量共面，故C错误； 对于D，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D错误. 故选：A. 2．A 【分析】设作为空间的一组基底，求出基向量的模和两两数量积，逐一考虑各选项，将相关向量用基底表示，运用向量数量积的运算律求模长和数量积即得. 【详解】不妨设 则， 则. 对于A，由图知，，故A正确； 对于B，,故B错误； 对于C，由A项已得：，即， 两边取平方， ，则，故C错误； 对于D，由B项已得，， 则，故D错误. 故选：A. 3．A 【分析】根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 4．A 【分析】根据关于面对称的点的特征求解即可. 【详解】点关于面对称的点的坐标为. 故选：A. 5．C 【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出答案. 【详解】由题意得，即， 所以，解得. 故选：C 6．C 【分析】根据向量垂直，数量积为0求参数的值. 【详解】因为，且， 所以. 故选：C 7．B 【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量． 【详解】点为的中点，则有， 所以. 故选：B. 8．D 【分析】以，，为基底，根据空间向量的加减运算，表示出，即得答案. 【详解】由题意知在空间四边形中，，，，且，，    则 ， 故选：D 9．AD 【分析】根据题意，直接得到各点的坐标，即可判断. 【详解】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，， ，F是棱的中点，， 所以，，，， 所以A，D正确，B，C错误. 故选：AD 10．AC 【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D. 【详解】若，则，得，故A正确，B错误； 若，则，即，故C正确，D错误； 故选：AC. 11．ABD 【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论. 【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面， 对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底； 对于B，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底； 对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底. 对于D，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底. 故选：ABD 12．4 【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为， 故， 解得． 故答案为：4 13．3 【分析】根据空间向量的基本定理建立方程，解之即可. 【详解】由题意知，， 根据四点共面的充要条件可得，解得． 故答案为： 14． 【分析】由，再平方即可求解. 【详解】, 所以, 所以. 故答案为： 15．(1) (2)或 【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得； （2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值. 【详解】（1）由题意，，则； （2）由（1）可得 因向量与互相垂直，则得：， 解得，或. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 17．(1) (2) 【分析】（1）由得到，代入即可求得结果； （2）根据空间向量的加减和数乘运算可得到，进而可求得结果． 【详解】（1），， ； （2） ， ． 18．(1)证明见解析 (2)，. 【分析】（1）利用平面几何知识结合基本事实4可证，判断四点共面. （2）以为基底，表示出，结合空间向量的数量积求向量的模. 【详解】（1）因为，所以， 又因为H，G分别是AD、CD的中点，所以， 所以，故E、F、G、H四点共面. （2）以为基底，则，, 所以，. 又. 所以. 所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据题意求出点的坐标，从而能求的坐标； （2）求出的坐标，根据公式计算即可求解. 【详解】（1）过点作于点，由题意，， 则， ， 所以，    因为，是的中点，所以， 所以. （2），所以， ，所以，， 所以， 则与的夹角的余弦值为. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·云南文山·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C．4 D． 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）如图，在下列正方体中，分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这四个正方体中， 四点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川成都·期中）设x，，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 4．（24-25高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·期中）如图，在四面体中，，，.点，分别为棱，的中点，则（   ）    A． B． C． D． 7．（22-23高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·期中）已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山东·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 11．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·天津滨海新·期中）若，，则 . 13．（24-25高二上·浙江·期中）已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为 . 14．（24-25高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 16. (15分) （24-25高二上·陕西汉中·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.    (1)用，，表示向量； (2)若，，，求. 17. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 18. (17分) （24-25高二上·上海·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 19. (17分) （24-25高二上·江西宜春·期中）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B B D B D ABD BD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程可得结果. 【详解】由可得， 即，解得. 故选：A 2．D 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，假设四点共面，设，从而得到方程组，若方程组无解，则四点不共面，若方程组有解，则四点共面，从而作出判断. 【详解】A选项，如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则， 假设四点共面，则设， 即， 即，方程无解，故四点不共面； 同理，BC选项，四点也不共面； D选项，如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则， 假设四点共面，设， 即， 则有，解得，故， 四点共面，D正确. 故选：D 3．B 【分析】根据向量垂直和平行满足的坐标关系可得即可根据模长公式求解. 【详解】由，可得，且， 解得故则， 故选：B 4．B 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算分析求解即可. 【详解】由题可得：， 所以. 故选：B. 5．B 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得 . 故选：B. 6．D 【分析】由，再结合平面向量运算法则即可求解. 【详解】， . 故选：D 7．B 【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 8．D 【分析】对结合化简得，从而可知点在平面内，所以当平面时，最小，从而可求得结果. 【详解】 因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上， 且， 所以， 即的最小值为. 故选：D 9．ABD 【分析】根据基底的定义和共面定理逐个判断即可 【详解】因为，所以，，共面，所以A正确； 因为，所以，，共面，所以B正确； 假设存在m，n，使得， 则，显然无解，所以，，不共面，所以C不正确； 因为，所以，，共面，所以D正确 故选：ABD 10．BD 【分析】对于A，利用空间向量夹角公式计算即可判断；对于B，利用向量垂直的充要条件计算判断即得；对于C，利用投影向量计算公式即可判断；对于D，利用共面向量基本定理即可判断. 【详解】对于A，因， 则，因，则，故A错误； 对于B，因，则， 故，即B正确； 对于C，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为: ，故C错误； 对于D，由向量，，，可知， 故向量与向量，共面， 所以D正确． 故选：BD. 11．ACD 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，. 对于A，， 故A正确、B不正确； 对于C， 故C正确; 对于D， ，故D正确． 故选：ACD. 12． 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】, 则， 故答案为： 13． 【分析】根据给定条件，取定空间的基底，利用空间向量的线性运算表示向量，再利用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值. 【详解】在棱长为2的正四面体中，由点M，N为棱BC，AD的中点，得， 由点E，F分别在线段AM，CN上，，令，则， 所以 ，又， ，， 故 ， 当时，，所以线段EF长度的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：取定空间的一个基底，表示向量，再利用向量运算求解. 14．4 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 15．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出的长； （2）求出利用向量的夹角公式，即可求解； （3）根据向量数量积的坐标运算证明，即可证明． 【详解】（1）以为坐标原点，以、、的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 由题意得, 故． （2）依题意得, 故,则 （3）,, 由于, 故，即． 16．(1)； (2). 【分析】（1）利用空间向量的线性运算结合图形计算即可； （2）利用空间向量数量积的运算律计算即可. 【详解】（1）易知. （2）因为，，， 则 . 17．(1) (2)，. 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即得； （2）分别求得，利用向量数量积的运算律求得，再利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【详解】（1）由图知， . （2）由题意， 由（1） ， 所以当时有最小值即有最小值； 此时，， 故， 且， 设与的夹角为，则. 18．(1)是的， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由鳖臑的结构即可判断； （2）由，即可求证； （3）建系，由空间两点间距离公式即可求解. 【详解】（1）由平面平面，可知四面体的四个面都是直角三角形， 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是. （2）因为底面，在底面内， 所以，由底面为长方形，有， 而，都在平面内， 所以平面平面，所以 又因为，点是的中点，所以，而，都在平面内， 所以平面 （3）    由题意，如图建立空间直角坐标系，设，，， 所以 当且仅当时，取得最小值. 19．(1) (2)2 (3). 【分析】（1）先由为基底表示，再由求解； （2）先论证，，再利用线面垂直的判定地理证明平面，从而为到直线的距离求解； （3）设，由求解. 【详解】（1）如图所示：    由题知，， 因为，所以， ， 而， ， ， 所以，即的长度为. （2）因为，所以， 所以， 在中，， 所以，即，又因为，平面， 所以平面， 而平面，所以，即为到直线的距离， 而，所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设，则 ， 当时，这时的最小，且为. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽黄山·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 6．（24-25高二上·山东济宁·期中）如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（    ） A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值 C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高二上·河南·期中）平行六面体的底面ABCD是正方形，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．若，则点在平面内 11．（24-25高二上·江西抚州·期中）如图，四棱锥的底面是边长为正方形，底面，，、分别为、的中点，过、、的平面与交于点，则（   ） A． B． C．四棱锥外接球体积为 D．以为球心，为半径的球面与底面的交线长为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为 . 13．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是 . 14．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知正三棱锥的侧棱长为2024，过其底面中心作动平面，交线段PC于点，交PA，PB的延长线于M，N两点.则 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·河南驻马店·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数k的值. 16. (15分) （24-25高二上·山东·期中）在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点. (1)用表示，并求的值； (2)求的值. 17. (15分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形、侧棱平面，过点作交于点，过点作交于点，连接. (1)证明：； (2)若，直线与平面相交于点，求的值． 18. (17分) （24-25高二上·上海·课后作业）已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 19. (17分) （24-25高二上·全国·课后作业）如图，在多面体中，四边形是边长为1的正方形，，且，底面为直角梯形，，，平面平面． (1)若存在，使得，求的最大值； (2)若为的中点，在上存在异于的点上存在异于的点，使得平面，求的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A C A A D AC ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据基底向量的定义以及向量共面的判定定理逐项分析判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底，可知，，不为共面向量， 对于A：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故A错误； 对于B：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故B错误； 对于C：因为，可知，，为共面向量，不能作为基底，故C错误； 对于D：假设，，共面， 则， 可得，方程组无解， 可知，，不为共面向量，可以作为基底，故D正确； 故选：D. 2．B 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量模的意义求解即得. 【详解】由，得， ， 所以在方向上的投影向量的模为. 故选：B 3．B 【分析】由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案. 【详解】设，因为六面体是平行六面体， 所以，因为， 代入计算可得： ， 故有：，所以， 所以，因为，所以. 故选：B 4．A 【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【详解】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A 5．C 【分析】先依据空间向量基本定理利用向量、、表示向量，进而求得、、的值，即可求得的值. 【详解】由 又，则，所以， 故选：C． 6．A 【分析】根据平行六面体，利用空间向量的几何运算，得到，利用数量积的运算得，再利用条件，即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，， 所以，得到， 故选：A. 7．A 【分析】建立空间直角坐标系，设，球心为，半径为，结合题意可得，进而得到，再结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD，又四边形ABCD为矩形， 以为原点，以所在直线为轴，以过点平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 则，，， 设，三棱锥外接球球心为，半径为， 则，解得， 即， 因为，所以， 则当时，取得最小值， 当时，取得最大值3，即， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立空间直角坐标系，设出坐标，表示出外接球半径的关系，进而结合二次函数的性质及球的表面积公式求解即可. 8．D 【分析】将平面从平面开始旋转，结合对称性可判断A；设，利用余弦定理表示出，利用几何意义求最小值，利用二次函数单调性求最大值可判断BC；先判断，然后利用向量方法求出，可得截面面积的范围，可判断D. 【详解】对于A，当平面过或时，截面为三角形. 易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时， 由对称性可知，此时平面与交于点，且， 此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，此时满足， 且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误；    对于BC，设，由余弦定理得， ， 由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和， 当三点共线时取得最小值， 由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值， 所以截面多边形周长的取值范围是，故BC错误； 对于D，记与的交点为，由对称性，， 所以，， 因为， 所以，所以， 记， 则， 因为， 所以 ， 由二次函数性质可知，，即， 所以，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是找到正四面体的对称性，根据对称性判断截面形状，利用余弦定理求周长，利用空间向量求距离，然后可得面积，题目综合性强，对学生的直观想象能力有较高的要求. 9．AC 【分析】对于A：根据数量积的坐标运算分析判断；对于BD：根据向量垂直分析判断；对于C：根据向量平行分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若，则，所以，A正确； 对于选项B：若， 则，解得，故B错误； 对于选项C：若，则，解得，故C正确； 对于选项D：若，则，解得，故D错误． 故选：AC． 10．ACD 【分析】由平方可判断A，由空间向量线性运算可判断B，通过说明，可判断C，由四点共面可判断D. 【详解】    因为，所以 ， ，故A正确; 因为，故B错误； 因为， 所以，四边形为矩形，其面积，故C正确； 因为，由于，所以四点共面， 即在平面内，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】选取基底分别表示各向量，进而判断AB选项，再根据线面位置关系可得四棱锥的外接球即为对应正方体的外接球，可判断C选项，由选项可知球与底面交线为以为圆心为半径的圆，即可得解. 【详解】如图所示， 以，，为基底，分别表示各向量， 设，， 则，， ， 又点在平面上，可得， 即，解得， 即，，A选项正确； ，则不存在使得，即与不平行，B选项错误； 还原四棱锥到正方体，可知其外接球即为正方体外接球，且正方体棱长为， 则外接球半径，体积，C选项正确； 设以为球心，为半径的球面与底面的交线上一点为， 则，， 即点为在为圆心为半径的圆在四边形内的弧上， 即弧长为，D选项正确； 故选：ACD. 12．5 【分析】由题意知共面，根据向量共面的充要条件及坐标运算求解可得. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得，即， 故，解得. 所以的值为. 故答案为：. 13．/ 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算. 【详解】∵， ∴由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上， ∴的最小值转化为求点到平面的距离， 由正方体棱长为1，可得时边长为的等边三角形， 则，， 根据等体积法得，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：. 14． 【分析】利用空间向量的线性运算得到，再利用空间四点共面的性质即可得解. 【详解】依题意，设， 则，，，    由为底面中心， ， 又因为四点共面， 所以且， 所以，即， 即. 故答案为：. 15．(1)，2 (2). 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算和模的运算，即可求出结果； （2）利用向量的垂直关系等价于数量积为0，再结合空间向量的坐标运算，即可求出结果. 【详解】（1）∵，，，，， ∴，， 于是，， ， . （2）∵， ， 且与互相垂直， ∴， 即， ∴，解得：. 16．(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理及数量积与模长关系计算即可； （2）利用空间向量数量积的运算律结合（1）计算即可. 【详解】（1）由题意可知：， 且， 则 ； （2）易知， 所以 . 17．(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）由已知可证平面，进而证明平面，可得，结合，可证平面，从而可证结论． （2）以为坐标原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，由（1）可得是平面的法向量，计算可求． 【详解】（1）由于侧棱平面平面，则， 又，平面，则平面． 平面，所以， 由于，平面， 则平面，又平面，所以． 又，平面， 则平面，由于平面，则． （2）以为坐标原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由于，． 由（1）知平面，即是平面的法向量． 设，则， 即，解得，所以， 所以，， 从而． 18．/ 【分析】根据空间向量基本定理设，由，得①，设，则，代入①式，得，结合已知可求得的范围，从而得a的范围. 【详解】设， 则 ， 又， ， ， 设，则， 所以，即． 由题设可得，故且， 故， 解得，故． 当且仅当，时等号成立． 故的最大值为． 19．(1) (2)． 【分析】（1）利用空间直角坐标系，使 ，利用数量积为，即可求解; （2）利用 平面 ，可解得P点坐标，进而求解. 【详解】（1）由题可得，多面体的高为．过点作平面，则，而，所以建立以为坐标原点如图①所示的空间直角坐标系．则，因此，，要使，则，即，即，由于，即，当且仅当时，即时取等号．因此的最大值为． （2）如图②，，则，设，则，因此 解得或（舍去），则，所以． 【点睛】利用空间直角坐标系、线线垂直、线面垂直的性质，即可求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2空间向量基本定理与1.3空间向量坐标表示（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 4 【巩固训练】 8 【提升训练】 14 知识回顾 1. 空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. (2)基底的概念 ①定义：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. ②性质：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 2. 空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解. 3. 证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4. 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5. 求距离(长度)问题 |a|＝(||＝). 6. 空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. (2)空间直角坐标系的画法 ①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. ②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 7. 空间直角坐标系中的坐标 (1)点的坐标：在单位正交基底{i，j，k}下与向量＝xi＋yj＋zk对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. (2)向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 8. 空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. (2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 9. 空间向量平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则有： 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). 垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 10. 夹角和长度的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， cos〈a，b〉＝ ＝. (2)空间两点间距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1P2＝|| ＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（   ） A．两两垂直 B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知平行六面体如图所示，其中，，，线段，交于点，点是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（   ）      A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东烟台·期中）在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京丰台·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C．2 D．10 6．（24-25高二上·湖北·期中）已知空间向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·天津河北·期中）空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（   ）    A． B． C． D． 10．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·四川·期中）已知空间向量满足，则 ． 13．（24-25高二上·广西·期中）在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 14．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （22-23高二下·甘肃庆阳·期中）已知空间三点，设 (1)求； (2)若向量与互相垂直，求实数k的值. 16. (15分) （23-24高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 17. (15分) （24-25高二上·广东潮州·阶段练习）如图，在长方体中，为的中点． (1)化简：； (2)设是棱上的点，且，若，试求实数、、的值． 18. (17分) （24-25高二上·上海·阶段练习）在四面体ABCD中，各棱长均为1，H，G分别是AD、CD的中点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)用向量，，表示，并求出. 19. (17分) （24-25高二上·新疆伊犁·期中）如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·云南文山·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C．4 D． 2．（24-25高三上·广东·阶段练习）如图，在下列正方体中，分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这四个正方体中， 四点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川成都·期中）设x，，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 4．（24-25高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·期中）如图，在四面体中，，，.点，分别为棱，的中点，则（   ）    A． B． C． D． 7．（22-23高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·重庆·期中）已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山东·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 11．（24-25高二上·吉林·期中）如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·天津滨海新·期中）若，，则 . 13．（24-25高二上·浙江·期中）已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为 . 14．（24-25高二上·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 16. (15分) （24-25高二上·陕西汉中·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.    (1)用，，表示向量； (2)若，，，求. 17. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 18. (17分) （24-25高二上·上海·阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形为矩形，点不在四边形所在平面上，⊥平面，，点是的中点，连接.    (1)判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2)证明：平面； (3)设，若点在上运动，点在上运动，求线段长度的最小值. 19. (17分) （24-25高二上·江西宜春·期中）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽黄山·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 6．（24-25高二上·山东济宁·期中）如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为矩形，为等腰直角三角形，且，点在线段AD上，则三棱锥外接球的表面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（    ） A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值 C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高二上·河南·期中）平行六面体的底面ABCD是正方形，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．若，则点在平面内 11．（24-25高二上·江西抚州·期中）如图，四棱锥的底面是边长为正方形，底面，，、分别为、的中点，过、、的平面与交于点，则（   ） A． B． C．四棱锥外接球体积为 D．以为球心，为半径的球面与底面的交线长为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为 . 13．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是 . 14．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知正三棱锥的侧棱长为2024，过其底面中心作动平面，交线段PC于点，交PA，PB的延长线于M，N两点.则 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·河南驻马店·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数k的值. 16. (15分) （24-25高二上·山东·期中）在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点. (1)用表示，并求的值； (2)求的值. 17. (15分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形、侧棱平面，过点作交于点，过点作交于点，连接. (1)证明：； (2)若，直线与平面相交于点，求的值． 18. (17分) （24-25高二上·上海·课后作业）已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 19. (17分) （24-25高二上·全国·课后作业）如图，在多面体中，四边形是边长为1的正方形，，且，底面为直角梯形，，，平面平面． (1)若存在，使得，求的最大值； (2)若为的中点，在上存在异于的点上存在异于的点，使得平面，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$