专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 13 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（23-24九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在菱形中，，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，则的最小值为 ． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 例4．（2024·浙江·模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 　　． 例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．    例8．（2024·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值． （2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值． （3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值 例9．（2024·山东滨州·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 3．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以C为圆心，6为半径的圆上有一动点D，连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值为 ． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知如图，中直径，，点是射线上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 6．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值 的最小值 7．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B在⊙C上一动点，的最小值为 ． 8．（2024九年级·浙江·专题练习）如图的半径是2，是直径．过的中点C作交于D，为的直径，点P为上的动点，则的最小值 9．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 10．（23-24九年级下·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为 ．    11．（2024九年级·浙江·专题练习）如图抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，过A，B，C三点，P是上一动点，连接则的最小值 ． 12．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）P为边长是的正三角形内切圆上一个动点，求的最小值． 13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D，E为上的动点，且，P为的中点． (1)若，求的长．(2)在线段的运动过程中，的长由2到，求这一变化过程中，点 P运动的路程．(3)连结，求的最小值． 14.（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知平面上有两个定点A、B，则平面上满足（k是不为1的常数）的动点P形成一个圆，我们把这样的圆叫做定比圆，如图点、，且满足，设动点P形成的定比圆为圆M．(1)求圆M的圆心坐标和半径；(2)圆M上是否存在P，使为直角三角形，若存在求出点P坐标；(3)若点Q的坐标为，求的最小值． 15．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）【根底巩固】（1）如图，在中，为上一点，．求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，分别为上的点，且，射线交的延长线与点，射线交的延长线于点．若．求：①CM的长；②FN的长． 【拓展进步】（3）如图3，在菱形中，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，请直接写出的最小值． 16．（2024·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点． (1)求抛物线的表达式：(2)点P是x轴上一点，以P为圆心，为半径的圆与直线相切，求圆心P的坐标；(3)点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 13 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（23-24九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在菱形中，，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．先证明，即有，可得，再根据，（当P、G、D三点共线时取等号）即可求解． 【详解】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．，，，， ，，，， 四边形是菱形，，，， ，即，，， ， ，（当P、G、D三点共线时取等号） ，的最大值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，菱形的性质等知识，构造是解题的关键． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值． 例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 【答案】 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝， ∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI， ∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形． 例4．（2024·浙江·模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 【答案】13 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本知识，如图所示，延长到E，使得，连接，证明，得到，则，故当B、P、E三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，则的最小值为13． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，∴， ∴，又∵，∴， ∴，∴，∴， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ∴，∴的最小值为13．故答案为：． 例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使，，， ，，，， 在延长线上取，，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 　　． 【答案】 【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，． ，，，，，，， ，，，，， ，， ，的最小值为 例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：由题意可得：∴点在以为圆心，以为半径的圆上， 在线段上取一点，使得，则 ∵，∴       又∵∴∴∴ ∴ 如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值 ，∴的最小值为： 例8．（2024·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值． （2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值． （3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值 【答案】见详解 【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把转化为4（），这样只需求出的最小值，问题即可解决。 （2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）； （3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）； 【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1． ∴△PBG∽△CBP， ∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5． 当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5． 如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EF⊥BC ∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD， ∴当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC， 由图可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=， ∴最小值为FC=== ∴的最小值为：． （2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4． ∴△PBG∽△CBP， ∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG== ． 当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=． （3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F． ∴△PBG∽△CBP， ∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG． 在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=，CF=2， 在Rt△GDF中，DG== PC=PD-PG≤DG， 当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG= 【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题． 例9．（2024·山东滨州·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴把代入直线得，，∴，令，则，∴， ∵，∴，∴将代入， 得，解得，抛物线的解析式为； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ，∴，，， 又，，，即， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，则∠1=∠2，推出△APD∽△ABP′，得到BP′=2PD，于是得到2PD+PB=BP′+PB≥PP′，根据勾股定理得到PP′=，求得2PD+PB≥4，于是得到结论． 【详解】如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′， 则∠1=∠2， ∵=2， ∴△APD∽△ABP′， ∴BP′=2PD， ∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′， ∴PP′=， ∴2PD+PB≥4， ∴2PD+PB的最小值为4，故选D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 3．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值． 【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG， ∵，， ∴， ∵G是BE的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长， ． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以C为圆心，6为半径的圆上有一动点D，连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值． 【详解】 如图，在上取一点，使得， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴最小为， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出由性质转换等量关系． 5．（23-24九年级上·福建福州·期中）已知如图，中直径，，点是射线上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作交于，交于，连接、、，令交于，由可得，由圆周角定理可得，由等边三角形的判定及性质可得是的垂直平分线，从而得到，由含角直角三角形的性质可得，从而得到，当时，此时最小为，最后根据等边三角形的性质及勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，连接、、，令交于， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在中，，， ， ， 当时，此时最小为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值 的最小值 【答案】 【分析】①在BC上取点D，使CD=BC=1，利用相似三角形的判定和性质推出，得到，即可求得的最小值AD的长； ②在AC上取点E，使CE=，同①的方法即可求得的最小值BE的长． 【详解】①在BC上取点D，使CD=BC=1，连接AD，PD，PC， 由题意知：PC=2， ∵，∠PCD=∠BCP， ∴， ∴， 且， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； ②在AC上取点E，使CE=，连接PE，BE，PC， ∵，， ∴，且∠PCE=∠ACP， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点． 7．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B在⊙C上一动点，的最小值为 ． 【答案】5 【分析】在AC上取点P，使∠CBP=∠BAC，可得△CBP∽△CAB，从而得到，根据两点间的距离，可得，可得到 ， ，则有，进而当O、B、P三点共线，且B位于O、P两点之间时，OB+BP有最小值，最小值为OP，然后求出直线AC的解析式为 ，可设 ，从而得到，可得点 ，即可求解． 【详解】解：如图，在AC上取点P，使∠CBP=∠BAC， ∴△CBP∽△CAB， ∴ ， ∵点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0）， ∴ ， ∵⊙C的半径为， ∴, ∴，解得： ， ∴， ∴ ， ∴， ∴当点运动至AC的下方时，OB+BP有最小值， ∵OB+BP≥OP， ∴当O、B、P三点共线，且B位于O、P两点之间时，OB+BP有最小值，最小值为OP， 设直线AC的解析式为 ，把点C（2，5），A（7，0）代入，得： ，解得： ， ∴直线AC的解析式为 ， 可设 ， ∵ ， ∴ ，解得： 或-1（舍去）， ∴ ， ∴点 ， ∴ ∴的最小值为5． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，两点间的距离，一次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，两点间的距离公式是解题的关键． 8．（2024九年级·浙江·专题练习）如图的半径是2，是直径．过的中点C作交于D，为的直径，点P为上的动点，则的最小值 【答案】 【分析】延长OA到K，证明△COP∽△POK，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证明PK=2PC，则2PC+PE的最小值就是KE的长，作EH⊥AB，在直角△KEH中利用勾股定理即可求得EK的长 【详解】如图所示，延长OA到K，使AK=AO=2 ∵C是AO的中点 ∴OC=OA=1 ∴ ∵∠COP=∠POK ∴， ∴ 作EH⊥BC于点H ∵在直角△COD中，cos∠DOC= ∴∠DOC=60° ∴HE=OE×sin60°== ∴ 即最小值为 故答案为 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，以及路径最短问题，正确证明PK=2PC是解题的关键 9．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 【答案】 【分析】先构造出相似三角形，根据相似三角形的性质求得边长比，将最小值转化成求BD的值，利用勾股定理求解 【详解】如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD= 因为A（-2,0） ∴OA=2 在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D ∴OP’=OC=3 ∴， ∴ ∵∠P’OA=∠DOP’ ∴△P’OA∽△DOP’ ∴ ∴P’D=P’A ∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值 连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长 ∴ 即最小值为 故答案为 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、圆的动点问题、勾股定理，使用相似三角形作为突破点是解题的关键，后进行最小值的转化 10．（23-24九年级下·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点P是外部的第一象限内一动点，且，点Q是直线上的一个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】先求出点A、B、C、D坐标，得出，以点O为圆心，为半径画圆，点E为下方，圆上任意点，连接点，根据圆的内接四边形对角互补可推出点A、P、B、E四点共圆，即点P在上运动，，将逆时针旋转，交x轴于点T，使，证明，得出，，则，当取最小值时，最小，过点T作的垂线，交于点P，交于点Q，此时点T、P、Q共线，且，取最小值，解直角三角形，求出，即可求解． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∴，则， 以点O为圆心，为半径画圆，点E为下方，圆上任意点，连接点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点A、P、B、E四点共圆，即点P在上运动，， 将逆时针旋转，交x轴于点T，使， ∵，， ∴， ∴，则，， 则点T为定点， ∴， 当取最小值时，最小， 过点T作的垂线，交于点P，交于点Q， 此时点T、P、Q共线，且，取最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了圆的综合，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质求解． 11．（2024九年级·浙江·专题练习）如图抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，过A，B，C三点，P是上一动点，连接则的最小值 ． 【答案】 【分析】连接DA，DB，过点D作DE⊥AB交AB于E，根据圆与抛物线的性质求出A、D、B、C四个点的坐标，再根据题意构造相似三角形，将求的最小长度转化成求的最小长度，然后根据三点共线有最小值即可求解． 【详解】解：如图所示，连接DA，DB，过点D作DE⊥AB交AB于E， ∵抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）， 又∵， 故由二次函数的交点式可知A点的坐标为(-1，0)，B点的坐标为(3，0)， ∵过A，B两点， ∴由圆的垂径定理可知E点的横坐标为1，D点的坐标为(1，y)， 又∵CD=BD，，, ∴ 即, ∴, ∴y=1, ∴D点的坐标为(1，1)． ∴， ∵P在圆上， ∴． 延长DO到F使得，连接PF，PO ∵直线DF经过点D(1，1)、O(0，0)、F(x，y) ∴直线DF的解析式是y=x， 解得 ∴点F的坐标为 ∴， ∴, ∴, ∴， ∴， ∴=， ∴当P、C、Ｆ三点共线时取最小值， ∴==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，圆的垂径定理，相似三角形的判定．通过构造相似三角形来将看似不相关的两条线段，转化成相关的两条线段求最小值．解题的关键在于如何构造相似三角形进行转化． 12．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）P为边长是的正三角形内切圆上一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】连接，，交于，中点，连接，过点O作 于E，过点G作于F，证明，推出，推出，利用直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，，交于，中点，连接，，过点O作 于E， 是等边三角形，是的内切圆，， ∴，， ， ∴ ∴， ∵G是中点， ∴， ， ∵， ， ，即， ， 过点G作于F， 在中，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 的最小值为． 【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D，E为上的动点，且，P为的中点． (1)若，求的长． (2)在线段的运动过程中，的长由2到，求这一变化过程中，点 P运动的路程． (3)连结，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求出，根据，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，再根据当时，为等边三角形，；当时，，得到弧的圆心角为，利用弧长公式即可求解； （3）在 上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：连接， ∵，P为的中点，， ∴， ∴点P运动的路线是以C为圆心，2为半径的一段圆弧， 当时，为等边三角形，； 当时，，得到弧的圆心角为， 则 P运动的路程即为圆心角为的弧的长度，即为； （3）解：如图，在上取一点F，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 14.（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知平面上有两个定点A、B，则平面上满足（k是不为1的常数）的动点P形成一个圆，我们把这样的圆叫做定比圆，如图点、，且满足，设动点P形成的定比圆为圆M． (1)求圆M的圆心坐标和半径； (2)圆M上是否存在P，使为直角三角形，若存在求出点P坐标； (3)若点Q的坐标为，求的最小值． 【答案】(1)的圆心坐标为，半径为3 (2)存在，点的坐标为或或或； (3)15 【分析】 本题考查了圆的综合题，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． （1）设与x轴的交点为C、D，根据题意得出，即点C与原点O重合，再利用定比，求出，得到点的坐标，即可得到答案； （2）分三种情况讨论：当时；当时；当时，设，则，利用勾股定理去，求出的值，即可得到点的坐标； （3）根据定比可知，，进而得到，当A、P、Q三点在一直线上时取到最小值，利用坐标两点的距离公式求出的长，即可得到答案． 【详解】（1） 解：如图，设与x轴的交点为C、D，且为直径， 、， ， 由题意得， ． ，即点C与原点O重合， 由题意，即． 解得， ， 的圆心坐标为，半径为3； （2）解：存在，理由如下： 当时，不符合题意； 当时，如图． ，设，则， 由勾股定理，即， 解得：， 或； 当时，如图，过P作轴于H． ，设，则， 由勾股定理，即， 解得：，即， ，， ， ， ， ，， 或． 综上可知，点的坐标为或或或； （3）解：，点Q的坐标为， ， ， 当A、P、Q三点在一直线上时取到最小值， ， 的最小值为15． 15．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）【根底巩固】 （1）如图，在中，为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在菱形中，分别为上的点，且，射线交的延长线与点，射线交的延长线于点．若．求：①CM的长；②FN的长． 【拓展进步】 （3）如图3，在菱形中，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②；（3） 【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立； （2）①连结，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长；②由得，再证明得，求得，从而求得； （3）如图4，过点D作DM垂直BC的延长线于点M，在BC上取一点Q，使得BQ=，连接PB，DQ，先利用勾股定理求出，，再证明得出 ，从而得出即可得出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：①连结， 在菱形中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又因为， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图4，过点D作DM垂直BC的延长线于点M，在BC上取一点Q，使得BQ=，连接PB，DQ， 菱形中，， ，， ， ， CM=， ，， ， BQ=，，， ， ， ， ， ， 即， ， 最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了圆的概念、三角形的两边之和大于第三边、勾股定理、相似三角形的性质和判定及菱形的性质，构造辅助线将求和的两条线段转入同一三角形中利用三角形的两边之和大于第三边求最小值是解题的关键． 16．（2024·江苏连云港·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是x轴上一点，以P为圆心，为半径的圆与直线相切，求圆心P的坐标； (3)点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）过点M作轴交于点H，作直线使，作，作轴交x轴于点E，过点M作交于点F，设点，则点，然后表示出的面积，然后求出当时，的面积最大，得到，然后推出 ∴当点M，N，G三点共线时，有最小值，即的长度，设，表示出，，，然后利用求出，，，即可求解． 【详解】（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，， ∴， 当时，即 解得 ∴ ∵过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点 ∴设， 将代入得，， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）∵， ∴， 设圆和直线切于点， 则， 解得：， 则点的坐标为：或； （3）如图所示，过点M作轴交于点H，作直线使，作，作轴交x轴于点E，过点M作交于点F， = 设点，则点， 则的面积 ， 则当时，的面积最大，此时，点； ∵， ∴ ∴ ∴ ∴当点M，N，G三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴设，则， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 解得 ∴ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解直角三角形、勾股定理，面积的计算等，解题的关键是掌握以上知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！43 学科网（北京）股份有限公司 $$