专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 13 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，点D是平面上一点，且，连接，则下列说法正确的是（    ） A．长度的最大值是9 B．的最小值是 C． D．面积的最大值是40 例2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例3．（2024·四川成都·九年级校考期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为 ． 例4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，，，，点为圆上任意一点，连接，则最小值为 ． 例5．（2024·福建·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　. 例6．（2024·安徽芜湖·二模）如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 例7．（2024·江苏·九年级阶段练习如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．    例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．    (1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，以为圆心，4为半径作圆，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为（    ）． A．13 B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，、分别是边上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是 ． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，，，为上的一段弧，且，分别在、线段和上选取点，，，则的最小值为 ． 6．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ． 7．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是 ． 8．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    9．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一动点，连接、、，则的最小值是    10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且，P是DE的中点，连接PA，PB，则的最小值为 ． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期末）在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为 ． 13．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，点为内一动点，且满足，则的最小值为 ．    14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 15．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，过点C的直线交x轴于D，交y轴于点E，且的半径为，． (1)写出点B，P，C的坐标；(2)求证：是的切线； (3)上有一动点M，求的最小值． 16．（2024·江苏无锡·一模）如图，等边中，，点在上，从A向运动，运动速度为1cm/s；点在上，从向运动，运动速度是，两点同时出发，设运动时间为，当一点到达终点时，另一点停止运动．连接、，交点为． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，取中点，为上一动点，连接、，则的最小值为______； (3)若，求为何值时，的值最小，并求出最小值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 13 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，点D是平面上一点，且，连接，则下列说法正确的是（    ） A．长度的最大值是9 B．的最小值是 C． D．面积的最大值是40 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、勾股定理、点和圆的位置关系等知识，牢记相关性质是解题关键，根据点和圆的位置关系直接判断A、C、D，根据相似三角形判定与性质及勾股定理、两点之间线段最短判断B即可． 【详解】解：A、，点D是平面上一点，且， 点A、C、D在同一直线上且D在延长线上时，长度的最大值是，故本选项不符合题意； B、在上取点E，使，连接， 当B、D、E共线时最小， 此时，，故本选项符合题意； C、点D是平面上一点，且，点在以点C为圆心，4为半径的圆上， 随着点D 的变化而变化，故本选项不符合题意； D、点在以点C为圆心，4为半径的圆上， 如下图，当所在直线垂直于时，面积的最大， 在中，，， ，，， ，面积的最大值是44，故本选项不符合题意；故选：B． 例2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中，故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 例3．（2024·四川成都·九年级校考期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BH＝AC＝，接着证明△BPD∽△BCP得到PD＝PC，所以PA+PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA+PC的最小值，乘以可得结论． 【详解】解：过B作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD， ∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径， ∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，∴AC＝BA＝2，∴BH＝AC＝，∴BP＝， ∴，，∴，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP， ∴，∴PD＝PC，∴PA+PC＝PA+PD， 而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时且P在AD之间时取等号）， 而AD＝＝，∴PA+PD的最小值为，即PA+PC的最小值为， 则PA+PC的最小值．故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段之间的关系．同时也考查了等腰直角三角形的性质． 例4．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，的半径为，，，，点为圆上任意一点，连接，则最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长到E，使得，过点E作交延长线于F，连接，证明得到，则当三点共线时，最小，即最小，最小值为的长；求出，进而求出，，则，又勾股定理可得，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，过点E作交延长线于F，连接， ∵，∴，∵的半径为，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，圆的基本性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形把求的最值问题转换成求的最值问题是解题的关键． 例5．（2024·福建·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 　　，的最小值是 　　. 【解答】解：(1)如图，连接，，交于点，连接，，， 四边形是正方形，，，，，， ，，，， ，， 当、、在一条直线上时，，. (2)延长CD至点H，使CH=2CD 显然，由（1）可知 ∴ 由勾股定理可得，，故. 例6．（2024·安徽芜湖·二模）如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，从而由角的关系可知，故点在以为直径的半圆上移动，如图2，连，在上截取，连，得，从而得的最小值为线段的长度，如图3，作，垂足为，求出，则的最小值为． 【详解】解：∵四边形是正方形，∴ 又∴，∴ 又∴∴即， ∴点在以为直径的半圆上移动，如图，连，在上截取，连，      ∵正方形边长为4，∴ 又，∴, ，而的最小值为线段的长度， 如图，作，垂足为，则四边形是正方形， ∴∴∴， ∴的最小值为．故选：C 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明，而的最小值为线段的长度，由勾股定理求出． 例7．（2024·江苏·九年级阶段练习如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，利用两点之间的距离公式，即可求出的最小值，即可得． 【详解】解：如图所示，取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，    ∵、，，∴，， 以O为圆心，为半径作，在优弧上取一点Q，连接， ∵，，∴， ∴A，P，B，Q四点共圆，∴，∵，，， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， 过点F作于点G，∵，，∴∴点F的坐标为， ∵，∴ ∵，即,∴的最小值是 例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3） 【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ； （2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值． 【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴． 又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ； （2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ． ∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)． ∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小． ∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10． （3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1． 由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ， ∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大． ∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2． 【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决． 例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．    (1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为 (2)存在，点M的坐标为或 或(3) 【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，∴， 将代入直线，得，解得，∴直线的解析式为； 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在点，∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，，∴， ①当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入， 得，解得，∴直线的解析式为， 解方程组，得或，∴点M的坐标为； ②当时，设直线的解析式为，将代入， 得，解得，∴直线的解析式为， 解方程组，解得或，∴点M的坐标为 或 综上，点M的坐标为或 或； （3）如图，在上取点，使，连接， ∵，∴，∵，、∴， 又∵，∴，∴，即， ∴，∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵，∴，∴的最小值为．    【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，以为圆心，4为半径作圆，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为（    ）． A．13 B． C． D． 【答案】B 【分析】当在一条直线时值最小，连接，取的中点E，证明，求出即可解得． 【详解】解：连接，取的中点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在一条直线时值最小， ， ∴最小值为， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形相似、勾股定理、圆的性质，解题的关键是构造相似三角形． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，、分别是边上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查以直角三角形为背景的两条线段和最小问题，首先由，，发现G在以为直径的圆上运动，再通过构造直角三角形将转化为，将所求问题转化为常规两条线段和最小问题来解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动， 过B作，作于H， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴当G、F、H共线时，最小， ∴过O作于M， 在中，， ∴， ∴， 作于K，得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴最小值为， ∴最小值为． 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】过点作于，过点作于，连接，根据圆周角定理可证，则，故，从而的最小值为的长，再利用三角函数计算即可． 【详解】解：过点作于，过点作于，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为的长， 为弧的中点， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，特殊角的三角函数，垂线段最短等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与、的切点为、，取的中点，连接、，根据已知条件证明，得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，进而求解． 【详解】解：设半圆与、的切点为、， 连接、、、，则，，， 所以平分， ，， ， ， ， 取的中点，连接、， 则， ，， 在和中，，， ， ， ， ， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值, 最小值为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，，，，为上的一段弧，且，分别在、线段和上选取点，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，作点P关于的对称点M，作点P关于的对称点N，连接交于E，交于F，此时的周长，，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作点P关于的对称点M，作点P关于的对称点N，连接交于E，交于F， 此时的周长， ∴当的值最小时，的值最小， ， ， ， ∴当的值最小时，的值最小， 取的中点J，连接． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∵当点P在直线上时，的值最小，最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称−最短问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】证明，则，，如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，如图，连接，由勾股定理得，，如图，在上取点使，则，连接，，证明，则，即，由，可得当三点共线时，的值最小，为，如图，作于，则，，，则，即，可得，即，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上， 如图，连接， 由勾股定理得，， 如图，在上取点使，则，连接，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为， 如图，作于， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键． 7．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM．利用相似三角形的性质证明DM=AD，推出 AD+BD=DM+BD≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 【详解】解：在CA上截取CM，使得CM=4，连接DM，BM． ∵CD=6，CM=4，CA=9， ∴， ∴， ∵∠DCM=∠ACD， ∴△DCM∽△ACD， ∴ ， ∴DM=AD， ∴ AD+BD=DM+BD， ∵DM+BD≥BM， 在Rt△CBM中，∵∠CMB=90°，CM=4，BC=12， ∴BM=， ∴ AD+BD≥， ∴ AD+BD的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 8．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4 ∴ ∵∠ECD=∠ACD ∴△DCE∽△ACD ∴ ∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB ∴ 在Rt△ECB中，EB= ∴ ∴2AD+3DB= 故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 9．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一动点，连接、、，则的最小值是    【答案】 【分析】本题考查求最值问题，在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值．解题关键是构造出由性质转换等量关系． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，    ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴最小值为的长度， ∴的最小值等于的长度， 在中，， ∴的最小值． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且，P是DE的中点，连接PA，PB，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在BC上截取CF＝，连接PF，CP，AF．通过证明△ACP∽△PCF，可得，则PA+PB＝PA+PF，当点A点P，点F共线时．PA+PB的最小值为AF，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图：在BC上截取CF＝，连接PF，CP，AF． ∵DE＝8，P是DE的中点， ∴CP＝DE＝4 ∵，， ∵，； ∴，且∠FCP＝∠BCP ∴△PCF∽△BCP， ∴， ∴PF＝BP， ∵PA+PB＝PA+PF， 当点A、点P、点F共线时，PA+PB的最小值为AF ∴AF＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，在 上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点F，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期末）在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM，证明，得到，则，即可推出，故当点B、P、M三点共线时，最小值为BM，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM， ∵圆O半径为4，点P为劣弧CD上一动点， ∴OC＝OP＝4， 又∵点M为OC中点， ∴， ∵，∠MOP＝∠POA， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点B、P、M三点共线时，最小值为BM， ∵∠AOB＝90°， ∴， 又OM＝2，OB＝10， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质，正确作出辅助线是解题的关键． 13．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，点为内一动点，且满足，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】 本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质等知识，如图，在上取一点，使得，连接，．证明，推出，可得，推出，求出即可得到结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】 解：在上取一点，使得，连接，，如图所示：    ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案；（2）连接，在上取点，使，则有，可证，得到，即，从而的最小值为； （3）延长到点，使，连接，可证，得到，得到，当三点共线时，得到最小值． 【详解】（1）解：如图连接，∵，要使最小， ∴当最小，当点在同一条直线时，最小，∴的最小值为， 在中，，，∴， ∴的最小值为，故答案为：； （2）解：如图连接，在上取点，使，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：； （3）解：如图延长到点，使， ∴，连接，∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴当三点共线时，取得最小值：，故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定． 15．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，过点C的直线交x轴于D，交y轴于点E，且的半径为，． (1)写出点B，P，C的坐标；(2)求证：是的切线； (3)上有一动点M，求的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）根据垂径定理求出B点坐标，根据勾股定理得出P点，根据全等或相似求出C点； （2）只需证明，即，故证明，进而求得； （3）在上截取，进而证明，得出，进而根据三角形三边关系找出M点使其最小． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）解：如图2， 由得：， ∴ 在上截取， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、M．I共线时，最小值为， 即最小值为， ∵， ∴的最小值为 ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质及与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是 构造相似三角形． 16．（2024·江苏无锡·一模）如图，等边中，，点在上，从A向运动，运动速度为1cm/s；点在上，从向运动，运动速度是，两点同时出发，设运动时间为，当一点到达终点时，另一点停止运动．连接、，交点为． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，取中点，为上一动点，连接、，则的最小值为______； (3)若，求为何值时，的值最小，并求出最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)s，的最小值为 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆、相似三角形的判定于性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键 （1）根据运动速度相等可得，在根据等边三角形的性质可证，即；然后运用角的和差即可解答； （2）先说明为定角，再作的外接圆，链接，则，进而得到如图：作于M，则，解直角三角形可得；再通过轴对称和两点之间线段最短可得在同一条直线上时，有最小值；再证明四边形为矩形，运用矩形的性质以及勾股定理即可解答； （3）如图：过A作且使，作于N，连接；证明可得，进而得到当共线时，有 最小值；再证求得的长，进而求得，即可求得时间；然后再运用解直角三角形和勾股定理即可求得最小值 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵等边中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由为定角，则如图：作的外接圆，连接，则，∴， ∴，∴ 如图：作于M，则，∴， 如图：作P关于的对称点，连接交于T，∴， 如图：过作交延长线于R， 由两点之间、线段最短可得：，∴， ∴当在同一条直线上时，有最小值， 在中，，∴，∴， ∵，∴四边形为矩形， ∴，∴，∴， ∵，∴的最小值为． （3）解：如图：过A作且使，作于N，连接， 由题知：，即，∵，∴    ， ∵，∴，∴，∴，即， 由两点之间线段最短可得：，即    ， ∴当共线时，有 最小值， ∵，∴，， ∴，2， ∴，， ∴，的值为．∴当的值为时，的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$