专题04 二次函数中面积、周长最值问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题04 二次函数中面积、周长最值问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、二次函数中求面积最大值问题 1 类型二、二次函数中求面积最小值问题 6 类型三、二次函数中求周长最大值问题 12 类型四、二次函数中求周长最小值问题 19 压轴能力测评（6题） 27 解题知识必备 1. 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的． 压轴题型讲练 类型一、二次函数中求面积最大值问题 例题：（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． 【变式训练1】（2025·云南昆明·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且满足． (1)求抛物线的解析式； (2)M是线段上的一点（不与点B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连接，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为直线上方的抛物线上一点，过点P作轴于点M，交直线于点Q，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标． 类型二、二次函数中求面积最小值问题 例题：（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 【变式训练1】（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 类型三、二次函数中求周长最大值问题 例题：（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标． 【变式训练1】（2024·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标； (3)若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ． 【变式训练2】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值； (3)若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值． 类型四、二次函数中求周长最小值问题 例题：（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 【变式训练1】（23-24九年级上·重庆渝中·期末）如图1：平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，点是抛物线上一点， (1)求抛物线表达式． (2)如图2，点是y轴上一点，连接，点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作轴交直线于点E，在射线上取一点F，使得，求周长的最大值及此时点P的坐标． (3)如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点N，射线上有一点G，连接，过点G作的垂线与抛物线交于点M，连接，若，请直接写出点M的坐标． 压轴能力测评（6题） 一、解答题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．其顶点为．直线与抛物线交于，两点．    (1)求、的值； (2)求三角形的面积； (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点左侧．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点是抛物线对称轴上的一个动点时，求当最小时，点的坐标； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值． 3．（23-24九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交于点C，求的最大值及此时点P的坐标； (3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使的周长最小，求点N的坐标． 4．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 5．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标； (2)当时，动直线与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q． ①设线段的长为d，求d关于m的函数解析式； ②若，连接PB，PC构成，当m为何值时，最大，并求出其最大值； (3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围． 7．（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点A、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形． (1)求、坐标，并写出该二次函数表达式； (2)动点从A到，同时动点从到A都以每秒个单位的速度运动，问： 当运动到何处时，有？ 当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？ 8．（天津市北辰区第三学区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试卷）如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； (3)在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 9．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，点在平面上，以点，，，为顶点作菱形，请直接写出符合题意的点的坐标． 10．（24-25九年级上·海南海口·期中）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (4)抛物线的对称轴上有一动点M，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数中面积、周长最值问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、二次函数中求面积最大值问题 1 类型二、二次函数中求面积最小值问题 6 类型三、二次函数中求周长最大值问题 12 类型四、二次函数中求周长最小值问题 19 压轴能力测评（6题） 27 解题知识必备 1. 用二次函数图象解决几何问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的． 压轴题型讲练 类型一、二次函数中求面积最大值问题 例题：（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，其中点，其对称轴为． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若为第一象限内抛物线上一点，连接、，求面积的最大值，及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)取最大值；点P的坐标为． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式 （1）由二次函数的对称轴公式以及过点，待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，过点作轴，交于点，则，设点为，则点为，求出的长度，利用三角形面积列出函数解析式，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，进一步即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过，其对称轴为． ∴ 解得： ∴ （2）解：由， 当时，， 则， 设直线的解析式为，则把点、代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 过点作轴，交于点，如图： 设点P 为，则点D为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值； ∴， ∴点P的坐标为． 【变式训练1】（2025·云南昆明·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且满足． (1)求抛物线的解析式； (2)M是线段上的一点（不与点B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连接，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意，求出两点的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求直线的解析式，表示出、两点的坐标，利用纵坐标的差计算的长，根据面积公式得：，的长是定值为3，所以的最大值即为面积的最大值，求所表示的二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，三点，且， ∴， 设抛物线的解析式为：， ， ， 抛物线的解析式：； （2）解：存在， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， ， 又轴， ， ； ， 当最大时，的面积最大， ， 当时，的有最大值为， 当时，的面积最大， 点的坐标． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用铅直高度与水平宽度的积求三角形的面积，同时要熟练掌握二次函数的最值的求法． 【变式训练2】（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为直线上方的抛物线上一点，过点P作轴于点M，交直线于点Q，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形的面积最大为6， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点的坐标，对称性求出点坐标，进而求出二次函数的解析式即可； （2）分割法表示出四边形的面积，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴当时，四边形的面积最大为6，此时：． 类型二、二次函数中求面积最小值问题 例题：（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，四边形面积最小，最小值是 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握三角形面积公式，割补法求四边形面积，二次函数解析式配方求最值，是解决问题的关键． （1）根据，，得到， 根据，，运用三角形的面积公式计算即可； （2）根据，结合（1）结论列出函数关系式，配方求最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵中，，， ∴； （2） ， ∵ ， ∴当时，四边形面积最小，最小值是． 【变式训练1】（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积最小，最小值为 (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据交点式列出函数解析式，即可求解； （2）根据题意可得是等腰直角三角形，过点E作轴，垂足为，根据列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，设，证明，可得，进而列出方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵，，则，， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形，由点的运动可知： ，过点作轴，垂足为，    ∴， 又∵，则， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ∴，， ∴， 当时，四边形的面积最小，即为； （3）解：存在，或， 当点在的右侧时，如图所示，    过点作轴的平行线，交轴于点，过点作， ∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 当点在的右侧时，同理可得， 解得：或（舍去） ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，解题的关键是求出解析式，分类讨论点根据面积加减及线段关系列式求解． 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【答案】(1)过点，证明见详解 (2)①见详解；②8 【知识点】求一次函数解析式、一元二次方程的根与系数的关系、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）设，，，，则，，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，则，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，故，可求直线解析式为，当，故直线过定点； （2）①取中点为，连接，记交于点，交于点，由，得，则，同理可得，，则，同理可得，， 即可证明；②由得，同理可得：，故，当且仅当或时，等号成立，面积的最小值为8． 【详解】（1）解：设，，，，且分别为的中点， 则，， ∵ 设直线的解析式为，根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线解析式为， 当， 故直线过定点． （2）①解：取中点为，连接，记交于点，交于点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵分别为的中点， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， 即：，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当或时，等号成立， ∴面积的最小值为8． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数解析式，韦达定理，三角形中位线定理，两点之间距离公式等，化简计算量较大，正确添加辅助线，细心化简是解题的关键． 类型三、二次函数中求周长最大值问题 例题：（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题， （1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，再由勾股定理求解即可； （3）根据得出，则，由待定系数法确定直线的表达式为，过点自拍轴交于点，设，则，得出的长，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， ， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长， ， ∵的周长为， ，的最小值为， ∴的周长的最小值为； （3）设直线的表达式为， 将，，代入中， ， 解得， ∴直线的表达式为， ∵ ∴，则， 过点作轴交于点，设，则， ∴ ， ∴当时，取的最大值， ∴， 当时，， ∴． 【变式训练1】（2024·江苏扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点的坐标； (3)若为抛物线在第一象限的一动点，则最大值 ． 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图1中，连接与对称轴交于点，此时的周长最小．求出直线的解析式即可解决问题； （3）为抛物线在第一象限的一动点，则，，依据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ， ，， ，， 的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：为抛物线在第一象限的一动点， ， ， 当时取最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题． 【变式训练2】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值； (3)若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值． 【答案】(1) (2), (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点A、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求点，求出直线的表达式，进一步即可求解； （3）先求出直线解析式，设N横坐标为x，用含x的代数式表示线段，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线表达式得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2），令，则, 解得或， 令，则， 故点B、C的坐标分别为：、； 函数的对称轴为直线，    点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点P，则点P为所求点， 设直线的表达式为， 将点D、B的坐标代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故BD的函数表达式为， 当时，，即点， 此时周长的最小值； （3）如图，    设直线的解析式是， 把点，代入中 ， 解得， ∴直线解析式为． 设N横坐标为x，则，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到抛物线和直线的待定系数法求解析式，轴对称-最短问题，二次函数的最值等，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式． 类型四、二次函数中求周长最小值问题 例题：（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 【答案】(1) (2)当时，周长的最大值为， (3)N点坐标为或或或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）根据三角形的面积求出，则可知，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可得，则，设，则，可得周长，当时，周长的最大值为，此时； （3）先求出平移后的函数解析式为，设，，根据菱形的对角线分两种情况讨论，根据菱形的对角线互相平分，邻边相等建立方程组，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴周长， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴周长， ∴当时，周长的最大值为， 此时； （3）解：∵， ∴平移后的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，， 令，则， 解得或， ∴， 当为菱形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，， ， 解得或， ∴或； 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平移的性质，菱形的存在性问题，第（2）问借助转化思想将要求的长转化为求的长进而转化成与P点横坐标有关的二次函数，借助二次函数求最值的方法求线段的最大值．第（3）问，菱形的存在性问题一般转化为等腰三角形的存在性问题，通过分类讨论思想，精准计算，解决问题是解题的关键． 【变式训练1】（23-24九年级上·重庆渝中·期末）如图1：平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，点是抛物线上一点， (1)求抛物线表达式． (2)如图2，点是y轴上一点，连接，点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作轴交直线于点E，在射线上取一点F，使得，求周长的最大值及此时点P的坐标． (3)如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点N，射线上有一点G，连接，过点G作的垂线与抛物线交于点M，连接，若，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最大值为：， (3)点M的坐标为：，， 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）延长交x轴于点于点H，由待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据，根据二次函数的性质即可得到答案． （3）根据，得到抛物线沿射线方向平移4个单位长度即将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，确定解析式后分点M在第一象限和第三象限解答即可． 【详解】（1）∵点，是抛物线上的点， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）延长交x轴于点于点H， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 设的周长为w， 则 ∵轴， ∴轴， 设直线的解析式为：， 将点，， 代入直线的解析式得：， 解得， 直线的解析式为：， 设，则， ∴ ， ， ∴， 由可得，w有最大值， 且当，的周长的最大值为， 当时，， ∴点． （3）∵， ∴抛物线沿射线方向平移4个单位长度即将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位， 得， 故， 故抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵点G是直线的解析式为：， 设， 当点M在第一象限时， 过点G作于点L，过点M作于点T， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， 解得， ∴或； 当点M在第三象限时， 过点G作于点L，过点M作于点T， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴； 综上所述，符合题意的点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，特殊角的三角函数，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 压轴能力测评（6题） 一、解答题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．其顶点为．直线与抛物线交于，两点．    (1)求、的值； (2)求三角形的面积； (3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值． 【答案】(1)1,3 (2)3 (3) 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合) 【分析】对于（1），令求出点A的坐标，再代入一次函数关系式可求出k的值，然后将两个函数关系式联立可求出m的值； 对于（2），先求出点D的坐标，可得点B的坐标，即可解答； 对于（3），设点，再表示出，然后讨论极值即可． 【详解】（1）当时，， 解得， ∴点. ∵直线经过点A， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点. 所以； （2）二次函数， ∴点. 当时，， ∴点. 所以； （3）设点，则点， ∴，， ∴， 当时，的面积最大值为．    【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的最大值，将不规则三角形的面积转化为两个规则三角形的面积和是解题的关键． 2．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点左侧．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点是抛物线对称轴上的一个动点时，求当最小时，点的坐标； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小，即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，则，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）点的坐标为，， 由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的值最小， 理由：为最小， 由抛物线的表达式知，点，抛物线的对称轴为直线， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 即点； （3）如图：过点作轴，交于点． 由（2）知，直线的解析式为． 设，则． ， 当时，有最大值，最大值为． 的最大面积 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，有一定的综合性，难度适中． 3．（23-24九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交于点C，求的最大值及此时点P的坐标； (3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使的周长最小，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)有最大值1．点P的坐标为 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了抛物线的解析式求解以及二次函数与线段周长问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）把，代入抛物线即可求解； （2）求出直线的解析式，设可得，进一步可得，即可求解； （3）作点A关于x轴的对称点E，连接与x轴的交点即为点N．据此即可求解． 【详解】（1）解：把，代入抛物线中得： ， ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为． 把，代入， 得， ∴． ∴直线的解析式为． 设， 在中，令，得， ∴． ∴． ∴当时，有最大值1． 此时点P的坐标为． （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点M的坐标为． 作点A关于x轴的对称点E，则， 连接与x轴的交点即为点N，则， 此时，周长，即周长最小， 设直线的解析式为，把，代入， 有． 解得． ∴直线的解析式为． 当时，， ∴． 4．（23-24九年级上·四川广元·期末）如图，抛物线与轴交于，B，与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)点是直线上方抛物线上的一动点，轴，在抛物线上是否存在一点使的周长最大，如果存在，求出周长的最大值． (3)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，最短路径，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据轴，可得，从而得到，进而得到，可得当最大时，的周长最大，设D点坐标为，求出直线的解析式，可得F点的坐标为，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入抛物线得∶，解得：， ∴抛物线的解析式为∶； （2）解：当时，， 解得：， ∴B点的坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，的周长最大， 设D点坐标为， 设直线的解析式为， 代入B点的坐标，得∶，解得， ∴直线的解析式为∶， ∴F点的坐标为 ∴ ∴当时，取最大值为 ∴周长的最大值为， （3）解：根据题意得：， ①以为边在x轴下方作等腰直角三角形，点Q为直角顶点，此时点Q在的垂直平分线上，且点Q到x轴的距离等于长度的一半， ∴， 以点Q为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ ， 整理方程，得∶ 即 设，则原方程为∶， 解得，， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 ∴点M的坐标为或； ②以为边在x轴上方作等腰直角三角形，点为直角顶点，同理点坐标为， 以点为圆心，为半径作，与抛物线交于M点，点M即为所求． 设点，根据勾股定理有∶ 整理方程，得∶ 设，则原方程为∶，解得， ∴当（与A，B重合，舍去）   当 综上所述∶点M的坐标为或． 5．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求、两点的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点 (3),的面积最大，最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数的性质，面积问题； （1）令，求得的坐标，令，求得的坐标 （2）根据对称性可得，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． 当时，，则， 当时，， 解得： ∴，； （2）存在，点．理由如下： ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，；是对称点，且，对称轴为直线 如图所示，当是与的交点时，的周长最小， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故点． （3）如图，设，过点作交于点，则 ∴ ∴ ∴当时，的面积最大，最大值为 ∴ ∴ 6．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标； (2)当时，动直线与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q． ①设线段的长为d，求d关于m的函数解析式； ②若，连接PB，PC构成，当m为何值时，最大，并求出其最大值； (3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，有最大，最大值为 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）将函数解析式进行因式分解得，即可求出点的坐标； （2）当时，令，求出点D的坐标，设直线的解析式为， 将点B、C的坐标代入，可得直线的解析式，①结合题意设，，则可表示出的长度，进而即可求出d关于m的函数解析式； ②结合图象可知，，因此，当时，有最大，求出最大值即可 ； （3）分两种情况讨论：和，结合图象确定有6个整数点时，a的最大值和最小值，进而确定a的取值范围． 【详解】（1）解：， 令，则， ， 或， ； （2）当时，， 令，则， ， 设直线的解析式为， 将点B、C的坐标代入，得 ， 解得， 直线的解析式为， 动直线与抛物线交于点P，与直线交于点Q， 设，， ①线段PQ的长为d， ， 即d关于m的函数解析式为； ②由题意可知，， ， ，且， 当时，有最大，最大值为； （3）若， 当时，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有7个整点， 当时，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点， 结合函数图象可得， ， 若，同理可得， a的取值范围是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面积问题，二次函数上点的特征，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 7．（23-24九年级上·内蒙古包头·期末）如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点A、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形． (1)求、坐标，并写出该二次函数表达式； (2)动点从A到，同时动点从到A都以每秒个单位的速度运动，问： 当运动到何处时，有？ 当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？ 【答案】(1)；； (2)当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、y=a（x-h）²+k的图象和性质、面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点、点坐标，再由是等腰三角形可求出点坐标，根据平行四边形的性性质求出点坐标，利用待定系数法可求出、的值，继而得出二次函数表达式． （2）设点运动了秒时，，此时，，，再由∽，利用对应边成比例可求出的值，继而确定点的位置； 只需使的面积最大，就能满足四边形的面积最小，设底边上的高为，作于点，由∽，利用对应边成比例得出的表达式，继而表示出的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形的最小值，也可确定点的位置． 【详解】（1）解：由， 令，得，所以点； 令，得，所以点， 是以为底边的等腰三角形， 点坐标为， 又四边形是平行四边形， 点坐标为， 将点、点代入二次函数得： ， 解得：， 故该二次函数解析式为：． （2）解：，， ． 设点运动了秒时，，如图，此时，，， ， ，， ∽， ，即， 解得：． 即当点运动到距离点个单位长度处，有． ，且， 当的面积最大时，四边形的面积最小， 当动点运动秒时，，，， 设底边上的高为，作于点， 由∽可得：， 解得：， ， 当时，达到最大值， 此时， 故当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形，利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式，难度较大． 8．（天津市北辰区第三学区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试卷）如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； (3)在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，最大，且最大值为 (3)，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数，待定系数法求解析式，面积问题，平行四边的性质与判定； （1）根据待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，过点作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，得到，最后结合二次函数的图形性质即可得到面积的最大值； （3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可． 【详解】（1）解：∵过点，， ∴ ， 解方程组得， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点，过点作，垂足为， ∵，，， ∴ ∵， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，且最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 解得， ∴点， ∴， 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 由题意得， ∵， ∴、、、构成的四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 综上所述，符合条件的点N的坐标为：，，． 9．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，点在平面上，以点，，，为顶点作菱形，请直接写出符合题意的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，或或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用菱形的性质求线段长、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以为对角线或以为边这两个情况，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ，， ，， ． ∴当以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， ，或 ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∴当以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， ，或 ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； 综上：，或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点． 10．（24-25九年级上·海南海口·期中）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (4)抛物线的对称轴上有一动点M，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 【答案】(1) (2)点P (3) (4)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． （4）分两种情况：当时，则，则，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （4）解：设点， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 则， 解得：， 即点或； 当时，， 则， 解得：或， 即点或； 综上，或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$