专题03 用二次函数解决实际问题的三种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

专题03 用二次函数解决实际问题的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、拱桥、投球、喷水问题 1 类型二、图形及图形运动问题 6 类型三、增长率、销售问题 13 压轴能力测评（10题） 16 解题知识必备 1. 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 压轴题型讲练 类型一、拱桥、投球、喷水问题 例题：（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： (1)如图2，直接填空点坐标为_______，点坐标为________．该抛物线的函数解析式为__________． (2)当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） (3)当水面上升米时，水面宽度减少多少米？（保留根号） 【变式训练1】（24-25九年级上·广东广州·期中）掷实心球是广州市中考体育考试的选考项目，如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据广州市中考体育考试掷实心球项目（男生）评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．（参考数值：，，） 【变式训练2】（安徽省淮北市部分学校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 类型二、图形及图形运动问题 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 【变式训练1】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动，同时，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为秒． (1)①求是直角三角形时的值； ②求的面积关于时间（秒）的函数关系式； (2)在移动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【变式训练2】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．两点同时出发，以、为邻边作平行四边形．设的运动时间为秒．    (1)当______秒时，沿直线翻折，点与点重合； (2)当点在上时，求的值； (3)设平行四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并提供相应的的取值范围． 类型三、增长率、销售问题 例题：（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【变式训练1】（24-25九年级上·云南玉溪·期末）某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于50元销售． (1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【变式训练2】（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数） (1)求出与之间的函数表达式； (2)若该菊花茶某月的总销售利润元，求关于的函数表达式，当售价为多少元/两时，销售利润最大，该月进货数量应定为多少？ (3)若该商店某月进货两，如果销售不完，就以亏本元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月月利润最大？（注：“两”是一种质量单位） 压轴能力测评（10题） 一、解答题 1．（24-25九年级上·江西上饶·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）疫情期间小茗同学准备用一段长为米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（如图中矩形），墙长为米．设花圃的一边为米． (1)试问：花圃的面积能为平方米吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (2)如图，为方便进出，小茗同学决定在边上留一处长为米的门，且最终围成的花圃的最大面积为平方米，请直接写出：的值为_____． 3．（辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，某零售店以每个32元的价格购进了“滨滨”吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个“滨滨”吉祥物． (1)若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； (2)经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，该零售店每个售价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 5．（江苏省徐州市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ (3)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 6．（24-25九年级上·浙江·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 7．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程．的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒的面积为S． (1)通过取点、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 s 0 m 8 n 8 请直接写出_______，________； (2)请直接写出关于的函数解析式； (3)的面积是的面积2倍时，求线段的长． 8．（24-25九年级上·北京·期中）被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉． (1)假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式； (2)现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 9．（河北省秦皇岛市2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷）某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据． 生产吨数（吨） 50 70 生产费用（万元） 1500 1840 (1)求y与x的函数解析式； (2)已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元． ①求w与x的函数解析式；     ②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值． 10．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作，交折线于点Q，D为的中点，以为边向右侧作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为．    (1)当点在边上时，正方形的边长为_____（用含的代数式表示）； (2)当点不与点重合时，求点落在边上时的值； (3)当时，求关于的函数解析式； (4)直接写出边的中点落在正方形内部时的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 用二次函数解决实际问题的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、拱桥、投球、喷水问题 1 类型二、图形及图形运动问题 6 类型三、增长率、销售问题 13 压轴能力测评（10题） 16 解题知识必备 1. 用二次函数的性质解决实际问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 压轴题型讲练 类型一、拱桥、投球、喷水问题 例题：（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： (1)如图2，直接填空点坐标为_______，点坐标为________．该抛物线的函数解析式为__________． (2)当水面下降米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） (3)当水面上升米时，水面宽度减少多少米？（保留根号） 【答案】(1)，，． (2) (3) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意可得点，，设该抛物线的函数解析式为，再把点代入，即可求解； （2）根据题意可得水面下降米，到处时，点的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解； （3）根据题意可得当水面上升米时，水位线对应的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为， 当拱顶高水面米时，水面宽米． 点，， 把点代入得：， 解得：， 该抛物线的函数解析式为； 故答案为：，，． （2）解：水面下降米，到处， 点的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时水面宽度为米， 水面宽度增加米； （3）解：当水面上升米时，水位线对应的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时水面宽度为米， 水面宽度减少米． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东广州·期中）掷实心球是广州市中考体育考试的选考项目，如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据广州市中考体育考试掷实心球项目（男生）评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．（参考数值：，，） 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得满分 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，比较即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， 设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴y关于x的函数表达式为：； （2）解：令，即， 解得（不合题意，舍去）， ∵， ∴该男生在此项考试中得满分． 【变式训练2】（安徽省淮北市部分学校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题）护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1)； (2)喷到处的水柱距出水口的水平距离为； (3)水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，代入求解即可； （2）联立抛物线与直线，解出点C坐标即可解答； （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，设平移后的抛物线表达式为，又由直线得出，并代入平移后的抛物线求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）联立， 解得：或， ， 喷到处的水柱距出水口的水平距离为． （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 对于，当时，， 解得：， ， 将代入， 得， 解得：． 水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 类型二、图形及图形运动问题 例题：（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米． (1)请用含x的代数式表示的长； (2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长； (3)求小型农场的最大面积． 【答案】(1) (2)的长为米 (3)12平方米 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键. （1）根据题意结合图形即可求解； （2）根据矩形的面积公式列方程求解即可； （3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答. 【详解】（1）∵点在线段上， 米， （2）解：∵点在线段上， ，即， ； ∵的面积为平方米， ∴， 解得（舍去），， ∴的长为米； （3）解：设小型农场的面积为， 则， ∵ ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，最大，最大为12平方米． 【变式训练1】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动，同时，动点以/秒的速度从点出发，沿向移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为秒． (1)①求是直角三角形时的值； ②求的面积关于时间（秒）的函数关系式； (2)在移动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)①当的值为或时，是直角三角形；② (2)当的值为或或时，为等腰三角形 【知识点】相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）①运用勾股定理可求出，根据点的运动，分别用含的式子表示出的值，根据相似三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；结合相似三角形的性质列式求解即可； ②如图所示，过点作于点，运用相似三角形的性质可得的值，根据三角形面积的计算方法即可求解； （2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：当时；当时；当时；根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：①在中，， ∴（）， ∴点从的时间为：，点从的时间为：， ∴， 当运动时间为秒时，，，，， 是直角三角形，分两种情况讨论： 第一种情况：当时，即， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，是直角三角形； 第二种情况，当时，即， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，是直角三角形； 综上所述，当的值为或时，是直角三角形； ②如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积关于时间（秒）的函数关系式为：； （2）解：由上述计算可得，， 当为等腰三角形，分类讨论： 第一种情况：当时，如图所示，过点作于点， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第二种情况，当时，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 第三种情况：当时，如图所示， ∴， 解得，， ∴当时，为等腰三角形； 综上所述，当的值为或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查点的运用与函数的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程等知识的综合，理解点的运用与线段的数量关系，函数关系式的计算方法，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，图形结合分析思想是解题的关键． 【变式训练2】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒1个单位，过点作，交对角线于点．点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒1个单位．两点同时出发，以、为邻边作平行四边形．设的运动时间为秒．    (1)当______秒时，沿直线翻折，点与点重合； (2)当点在上时，求的值； (3)设平行四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并提供相应的的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、利用矩形的性质证明、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）首先根据矩形的性质可得，，，进而利用勾股定理解得的长度；利用翻折的性质可得，，再在中，利用勾股定理解得的值即可； （2）首先证明，利用相似三角形的性质可得，进而可得，，再结合平行四边形的性质证明，并利用相似三角形的性质获得关于的方程，求解即可获得答案； （3）利用平行四边形的面积，即可获得与之间的函数关系式；根据，，列出关于的不等式并求解，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵沿直线翻折，点与点重合， ∴，， ∴， 根据题意，，则， 又∵， ∴在中，可有， 即，解得 ∴当秒时，沿直线翻折，点与点重合． 故答案为：3； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 当点在上时，如下图，    ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴当点在上时，求的值为； （3）由（2）可知，，， 根据题意，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形的面积， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 与之间的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、二次函数的应用等知识，利用含的代数式表示出相应线段的长度是解题关键． 类型三、增长率、销售问题 例题：（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)、销售问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 【变式训练1】（24-25九年级上·云南玉溪·期末）某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于50元销售． (1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w元最大，最大利润是1200元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式， （1）根据销售单价为36元，则每天可卖出88件，每涨价1元，每天要少卖出2件列出对应的函数关系式即可； （2）根据利润（售价成本）数量，列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，w随的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值， 答：销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w元最大，最大利润是1200元． 【变式训练2】（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数） (1)求出与之间的函数表达式； (2)若该菊花茶某月的总销售利润元，求关于的函数表达式，当售价为多少元/两时，销售利润最大，该月进货数量应定为多少？ (3)若该商店某月进货两，如果销售不完，就以亏本元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月月利润最大？（注：“两”是一种质量单位） 【答案】(1)； (2)，销售单价为元时利润最大，该月进货数量应定为两； (3)售价定为元/两时，当月月利润最大． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）设当月月利润为元，可得，进而可得抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大，由得，据此即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数上， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意可得，， ∵， 当时，取得最大值，此时， 即关于的函数表达式是，销售单价为元时利润最大，该月进货数量应定为两； （3）解：设当月月利润为元， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大， 该商店进货两， ， 解得， 当时，取得最大值， 答：售价定为元/两时，当月月利润最大． 压轴能力测评（10题） 一、解答题 1．（24-25九年级上·江西上饶·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，最高点到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)能通过该隧道，理由见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是求出二次函数的解析式． （1）抛物线的解析式为，把代入计算即可； （2）把时，代入（1）的解析式，求出y的值即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； 抛物线的解析式为：． （2）解：这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）疫情期间小茗同学准备用一段长为米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（如图中矩形），墙长为米．设花圃的一边为米． (1)试问：花圃的面积能为平方米吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (2)如图，为方便进出，小茗同学决定在边上留一处长为米的门，且最终围成的花圃的最大面积为平方米，请直接写出：的值为_____． 【答案】(1)花圃的面积能为平方米，此时的值为米； (2)． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）分别用含的式子表示出矩形的长和宽，按照矩形的面积公式即可列出方程求解即可； （2）由题意可知此时，根据二次函数的性质及可得关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，， 篱笆总长为米， 米， 由题意得， ， ∴解得或； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴花圃的面积能为平方米，此时的值为米； （2）解：四边形为矩形， ，， ∵篱笆总长为米，小茗同学决定在边上留一处长为米的门， 米， 设围成的花圃的面积为平方米，依题意， ， 又，抛物线开口向下， 当时，有最大值， ， 解得（负值舍去）． 的值为． 3．（辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办．“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，某零售店以每个32元的价格购进了“滨滨”吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个“滨滨”吉祥物． (1)若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； (2)经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，该零售店每个售价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)该零售店每个售价62元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个售价为元，可列出关于m的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设每次上涨的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为． （2）解：由题意，设每个售价为元， 每天的利润 ． 当时，每天的最大利润为9000元． 答：该零售店每个售价62元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用； （1）由题意可得抛物线过，顶点坐标为，据此用待定系数法即可求解； （2）求出当时，的值，再与比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵（米）， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴球不能射进球门． 5．（江苏省徐州市2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试题）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）． (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ (3)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)12 (3)10 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用． （1）根据，，列出代数式即可； （2）根据“围成的菜地面积为192平方米”列方程，解方程即可得到结论； （3）设围成的菜地面积为y平方米，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵矩形菜地， ∴，， 设菜地的宽为x米，则米； 故答案为：； （2）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， ∴， 答：当x为12米时，围成的菜地面积为192平方米； （3）解：设围成的菜地面积为y平方米， 根据题意得，， ∵墙的最大可用长度为20米， ∴， 解得， ∴当时，有最大值； 答：当x为10米时，围成的菜地面积最大． 6．（24-25九年级上·浙江·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为． (1)以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在轴右侧抛物线的函数表达式； (2)要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【答案】(1)； (2)m． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）当时，代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得：， 解得：， ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：． （2）在中， 当时，（）， 答：这个装饰物的设计高度（）． 7．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程．的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒的面积为S． (1)通过取点、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 0 1 2 3 4 s 0 m 8 n 8 请直接写出_______，________； (2)请直接写出关于的函数解析式； (3)的面积是的面积2倍时，求线段的长． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）先解方程，根据正方形的性质求出，根据t的值，画出示意图，即可解答； （2）当时和分别计算函数解析式即可； （3）当时，，当，时， 如图3，，分别计算面积即可． 【详解】（1）解：， 解得： ， 正方形的边长为4， 为的中点， ， 当时，如图，点在上，点在上，且， 则，即； 当时，如图，点在上，点在上， ∵，， ∴， 则 ，即； （2）解：当时，， ， 当时， ， ， ， 综上． ； （3）解：当时， 如图2， ， 的面积 解得：或 (舍去)． 当 时， 当时， 如图3，， 的面积 解得：或 (舍去)． 当时， 综上所述：的面积是 的面积2倍时，线段长为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8．（24-25九年级上·北京·期中）被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉． (1)假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式； (2)现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． （1）先得出点A，点C，点E的坐标，再待定系数法求出解析式即可； （2）求出当时，得出y的值，然后计算棚顶比较即可得到答案． 【详解】（1）解： 由题意知，，，， 设抛物线解析式为， 把A、B、E代入解析式得 ， 解得， ∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为； （2）解：此船能通过，理由： 船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米 则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：， 当时，代入， 解， ∴此船能通过桥洞． 9．（河北省秦皇岛市2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷）某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据． 生产吨数（吨） 50 70 生产费用（万元） 1500 1840 (1)求y与x的函数解析式； (2)已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元． ①求w与x的函数解析式；     ②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值． 【答案】(1) (2)40 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、待定系数法求二次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查函数的应用，根据题意找到各个量之间的关系，建立正确的函数解析式并把问题转化成对应的数学模型再准确计算是正确解决本题的关键． （1）根据题意可设材料费用为，制造费用为，则，把，代入解析式中，建立方程组求解即可； （2）①根据等量关系：利润售价生产成本，可知，把和代入化简即可；②把与的函数解析式配方得：，根据二次函数的性质可知，求解可得，结合代入中即可． 【详解】（1）解：依题意，设材料费用为，制造费用为， 则：， 根据题意可知，，满足解析式， 代入可得：， 解得：， 与的函数解析式为：； （2）解：① 综上所述，与的函数解析式为：； ②， 配方得：， 当生产吨数是吨时，利润最大， 即当时，有最大值， ， 解得， 此时． 10．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作，交折线于点Q，D为的中点，以为边向右侧作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为．    (1)当点在边上时，正方形的边长为_____（用含的代数式表示）； (2)当点不与点重合时，求点落在边上时的值； (3)当时，求关于的函数解析式； (4)直接写出边的中点落在正方形内部时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据已知条件得到，求得，由于为中点，于是得到； （2）如图①，延长交于，由题意得，由于为中点，得到，求得，列方程于是得到结论； （3）如图②，当时，根据正方形的面积公式得到；如图③，当时，过作于，交于，则，根据正方形和三角形面积公式得到；如图④，当时，，根据三角形的面积公式得到结论； （4）当与重合时，为的中点，得到，当为的中点时，，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵在等腰直角三角形中，， ∴ ∵， ，， ∵点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作，交折线于点Q，D为的中点， ， 为中点， ， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：如图①，延长交于，    ∵在等腰直角三角形中，， ∴ ∵， ，， 为中点， ， ∵四边形是正方形， ∴， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ； （3）解：如图②，    当时，， ； 如图③，      当时，过作于，交于，则， ，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则， ， ， ； 如图④，    当时，， ， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则， ∵正方形与重叠部分图形的面积是， ， ， ． 综上所述，； （4）解：∵在等腰直角三角形中，， ∴， ∵， ∴ 当与重合时，为的中点， 即， ， 当为的中点时，， ∴在直角三角形中， 解得， ， ， ， 边的中点落在正方形内部时的取值范围为：． 【点睛】本题考查了 图形运动问题(实际问题与二次函数)，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$