专题05 相似图形与相似三角形（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题05 相似图形及相似三角形 比例与比例线段 1．（23-24 九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列四组中的两个比，可以组成比例的是（   ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：A．由题意知，，不能组成比例，故A不符合要求； B．，能组成比例，故B符合要求； C．，不能组成比例，故C不符合要求； D．，不能组成比例，故D不符合要求； 故选：B． 2．（23-24 九年级上·上海浦东新·期末）已知  则 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）已知，那么等于 ． 【答案】/0.5 【详解】解：∵， ∴可设， ∴． 故答案为：． 4．（23-24 九年级上·贵州六盘水·期末）若，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 设， ， ，解得，则， ， 故答案为：． 5．（23-24 九年级上·广东清远·期末）已知，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 黄金分割 6．（23-24 九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（23-24 九年级上·广西来宾·期末）已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 8．（23-24 九年级上·山西忻州·期末）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 【答案】 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故答案为：． 9．（23-24 九年级上·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 平行线分线段成比例 10．（23-24 九年级上·上海杨浦·期末）如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据网格特点，， ∴， 故选：C． 11．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）如题图．在中．，若 则 的值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12．（23-24 九年级上·湖南郴州·期末）如图，，，与相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即全等三角形共4对． 故选：D. 13．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 14．（23-24 九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为． 15．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【答案】 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 相似三角形的判定 16．（23-24 九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， A、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； 故选：B． 17．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）如下图，各正方形的边长均为，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【详解】由图中各正方形的边长均为，根据勾股定理，可得出 ①图中阴影三角形的边长分别为：，，； ②图中阴影三角形的边长分别为：，，； ③图中阴影三角形的边长分别为：，，； ④图中阴影三角形的边长分别为：，，； 可以得出①②两个阴影三角形的边长比， 图①②两个阴影三角形相似； 故答案为：A. 18．（23-24 九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 19．（23-24 九年级上·湖南邵阳·期末）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 20．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 21．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴． 在中，， 又，， ∴． ∴． 22．（23-24 九年级上·福建厦门·课后作业）如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 相似三角形的判定与性质综合 23．（23-24 九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，D在边上，，，若的面积等于6，则的面积为（    ）    A． B．3 C． D．6 【答案】A 【详解】解： ， ， ，， ， ． ， 的面积等于6， 的面积为：， 故选：A． 24．（23-24 九年级上·上海·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，若的面积为，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：在平行四边形中，，， ， ， ， ， 而的面积是， ， 又， ， 而， ， 而， ， ， 故答案为：． 25．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，折痕为，点E、F分别在、边上．若，，则周长为 ，的值为 【答案】 10 /0.8 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴，即周长为10， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 26．（23-24 九年级上·四川内江·期末）如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求菱形的边长 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， ，， ， 为边长， （负值舍去） 27．（23-24 九年级·上海静安·期末）已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，． (1)求证：； (2)作，垂足为点E，并交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 又，即， ， ， ， ， ， （2）证明：如图， ， ， ， ， ， ． 28．（23-24 九年级上·江西九江·期末）如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． (1)求证：； (2)当时，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 解得，． 29．（23-24 九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：于点，， ， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ． 30．（23-24 九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 相似三角形的动点问题 31．（23-24 九年级上·山西大同·期末）如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 【答案】3或 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 故答案为：3或． 32．（23-24 九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似． 【答案】2或5/5或2 【详解】解：设P、Q运动时间为秒， 根据题意，，，则， 当时，则，即， 解得：； 当时，则，即， 解得：， 综上，当经过2或5秒钟，与相似． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键． 33．（23-24 九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 【答案】(1) (2)秒或秒 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意可知：，，则， ∵， 当或时，与相似， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 当或2.5秒时，与相似． 34．（23-24 九年级上·江西南昌·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 【答案】(1) (2)能，的长为或 (3) 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， （2）解：存在．理由如下： ， ， 时： ． 即： 解得：， ∴ 时： ， 即： 解得：（舍去） ， ∴的长为或 （3）解：∵， ，， ∴ ∴， ∴，， ∴ ∴ 35．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？    【答案】秒或秒 【详解】解：设经过秒，两三角形相似，则，， ①当与是对应边时，， 即， 解得； ②当与是对应边时，， 即， 解得． 故经过秒或秒，两个三角形相似． 36．（23-24 九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． (1)当时，求的面积； (2)当为多少时，的面积是？ (3)当为多少时，与是相似三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)当为或秒钟，使与相似． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴，， ∴， 当时，，，的面积； （2）解：由题意得， 即， 答：当为或秒，使的面积为． （3） 解：设经过秒钟，使与相似， ， 第一种情况：当时，与相似，即， 解得：， 第二种情况：当时，与相似，即， 解得：． 答：当为或秒钟，使与相似． 相似三角形的应用 37．（23-24 九年级上·山西运城·期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 38．（23-24 九年级上·江苏扬州·期末）图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 【答案】 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 39．（23-24 九年级上·山东济南·期末）宁霞做测量阳光下旗杆长度的试验时发现学校的旗杆是在一个台座上的（如图所示）．经测量旗杆底部点到台座边缘的距离为1，每级台阶高，阶面长，旗杆落在水平地面上的影长，此时，竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为，则学校的旗杆高度是 ． 【答案】 【详解】解：如图，记延长线的交点为， 由题意知，，， ∴， ∵竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 40．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 【答案】7 【详解】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 41．（23-24 九年级上·河南郑州·期末）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二，三；灯柱的高度为 【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行， 选方案一， ， ， ， ， 设， 则， 同理可得， ， ， 解得：， ， 答：灯柱的高度为． 位似变换 42．（23-24 九年级上·云南曲靖·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， 的面积与的面积之比是， 与的相似比是， 即：， ， ， ， 设，则，， ， 故选：． 43．（23-24 九年级上·安徽阜阳·期末）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 44．（23-24 九年级上·贵州铜仁·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：D． 45．（23-24 九年级上·河南开封·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)将向右平移4个单位长度得到，画出． (3)以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：根据坐标系可得：； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：如图所示，为所求． 46．（23-24 九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：由图可得，，，． （3）解：由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·河北邢台·期末）若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 解得， ， 故选：D． 2．（23-24 九年级上·山东泰安·期末）如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 3．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 4．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【详解】解：甲：根据题意得，，，， ∴，， ∴， ∴甲说法正确； 乙：根据题意得，，，则，， ∴，， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴乙说法不正确； 故选：A．    5．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 6．（23-24 九年级上·山东济南·期末）如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（23-24 九年级上·天津和平·期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为 ． 【答案】 12 【详解】解：（1）为的中点， ， ； （2）如图，过点E作于点M，     四边形为菱形， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形中线求面积，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，关键是过点E作于点M，证明，求出的长． 8．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，连结，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，记的交点为， ∵矩形，， ∴，，，， ∴，， 由对折可得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， 由对折可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，熟练的证明是解本题的关键． 9．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边从点向点以每秒个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒（）． （）当 秒时，点，，所构成的三角形与相似． （）在整个运动过程中，线段的中点所经过的路程长为 ． 【答案】 【详解】解：（1）分两种情况讨论： ①，当时，， ，， ， ， 解得； ②，当时，， ，解得，不合题意； 综上所述：当时，点、、构成的三角形与相似， 故答案为：6； （2）线段的中点所经过的路程是线段的长，如图所示： 当在处，在处时，的中点为的中点，当点运动10秒时，、停止运动， 的中点为，到达，到达， 过点作交于点， 此时， ， 是的中点， 时的中点， ，， ， ， ； 即线段的中点所经过的路程长为． 故答案为： 10．（23-24 九年级上·甘肃陇南·期末）如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C的坐标为， ∴，． ∵与关于点A位似，与的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 12．（23-24 九年级上·贵州六盘水·期末）如图，，点，分别在边，上，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据你的作图结果，求证：． 【答案】(1)尺规作图见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作． （2）解：平分， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 13．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）如图，线段与相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：， ， ， 又， ． 14．（23-24 九年级上·陕西西安·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵中，，，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ，或， ∵， ∴ （2）解：∵， ∴当与相似时， 一种情况是 ， ∴， ∴； 另一种情况是 ， ∴， ∴， 故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似． 15．（23-24 九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)证明见详解； (2)； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 16．（23-24 九年级上·四川雅安·期末）如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，设，则， ∴，且， ∴， ∴， ∴线段的长为． （2）解：∵， ∴，， ∴，且，， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 17．（23-24 九年级上·湖南株洲·期末）如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)15 【详解】（1）解： 四边形为正方形， ， ， ， ， ∴； （2）解：四边形为正方形， ，， ， ， 设， ∵， ， 即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图1，四边形中，，平分，若， (1)求的长． (2)如图2，过点作交于，连接交于，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； （2）∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长是． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似图形及相似三角形 比例与比例线段 1．（23-24 九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列四组中的两个比，可以组成比例的是（   ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24 九年级上·上海浦东新·期末）已知  则 ． 3．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）已知，那么等于 ． 4．（23-24 九年级上·贵州六盘水·期末）若，且，则的值为 ． 5．（23-24 九年级上·广东清远·期末）已知，则的值是 ． 黄金分割 6．（23-24 九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 7．（23-24 九年级上·广西来宾·期末）已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为 ． 8．（23-24 九年级上·山西忻州·期末）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 9．（23-24 九年级上·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 平行线分线段成比例 10．（23-24 九年级上·上海杨浦·期末）如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（     ） A． B． C． D． 11．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）如题图．在中．，若 则 的值为（       ） A．3 B． C． D． 12．（23-24 九年级上·湖南郴州·期末）如图，，，与相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 13．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 14．（23-24 九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 15．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 相似三角形的判定 16．（23-24 九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 17．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）如下图，各正方形的边长均为，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 18．（23-24 九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 19．（23-24 九年级上·湖南邵阳·期末）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 20．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．求证：． 21．（23-24 九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 22．（23-24 九年级上·福建厦门·课后作业）如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 相似三角形的判定与性质综合 23．（23-24 九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，D在边上，，，若的面积等于6，则的面积为（    ）    A． B．3 C． D．6 24．（23-24 九年级上·上海·期末）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，若的面积为，则平行四边形的面积为 ． 25．（23-24 九年级上·河南南阳·期末）如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，折痕为，点E、F分别在、边上．若，，则周长为 ，的值为 26．（23-24 九年级上·四川内江·期末）如图，在菱形中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求菱形的边长 27．（23-24 九年级·上海静安·期末）已知：如图，在梯形中，，，点M在边上，且，． (1)求证：； (2)作，垂足为点E，并交于点F．求证：． 28．（23-24 九年级上·江西九江·期末）如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． (1)求证：； (2)当时，求x的值． 29．（23-24 九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)，且，求的长． 30．（23-24 九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 相似三角形的动点问题 31．（23-24 九年级上·山西大同·期末）如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 32．（23-24 九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，与相似． 33．（23-24 九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 34．（23-24 九年级上·江西南昌·期末）如图，已知，在中，，，点P从A点出发，沿以的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿以的速度向A点运动，设运动时间为x， (1)当时，x为何值？ (2)能否与相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由． (3)当时，求．（直接写答案） 35．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？    36．（23-24 九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，设移动时间为． (1)当时，求的面积； (2)当为多少时，的面积是？ (3)当为多少时，与是相似三角形？ 相似三角形的应用 37．（23-24 九年级上·山西运城·期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 38．（23-24 九年级上·江苏扬州·期末）图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面 39．（23-24 九年级上·山东济南·期末）宁霞做测量阳光下旗杆长度的试验时发现学校的旗杆是在一个台座上的（如图所示）．经测量旗杆底部点到台座边缘的距离为1，每级台阶高，阶面长，旗杆落在水平地面上的影长，此时，竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为，则学校的旗杆高度是 ． 40．（23-24 九年级上·江苏苏州·期末）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为 米． 41．（23-24 九年级上·河南郑州·期末）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 位似变换 42．（23-24 九年级上·云南曲靖·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（    ） A． B． C． D． 43．（23-24 九年级上·安徽阜阳·期末）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．（23-24 九年级上·贵州铜仁·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24 九年级上·河南开封·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)将向右平移4个单位长度得到，画出． (3)以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 46．（23-24 九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 一、单选题 1．（23-24 九年级上·河北邢台·期末）若 ，且，则的值是（ ） A．14 B．42 C．7 D． 2．（23-24 九年级上·山东泰安·期末）如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 4．（23-24 九年级上·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 5．（23-24 九年级上·广东广州·期末）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 6．（23-24 九年级上·山东济南·期末）如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24 九年级上·天津和平·期末）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为 ． 8．（23-24 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，连结，若，则的长为 ． 9．（23-24 九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边从点向点以每秒个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒（）． （）当 秒时，点，，所构成的三角形与相似． （）在整个运动过程中，线段的中点所经过的路程长为 ． 10．（23-24 九年级上·甘肃陇南·期末）如图，与关于点A位似，点C的坐标为，若与的面积比为，则点A的坐标为 ． 三、解答题 11．（23-24 九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 12．（23-24 九年级上·贵州六盘水·期末）如图，，点，分别在边，上，且． (1)尺规作图：作的角平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据你的作图结果，求证：． 13．（23-24 九年级上·福建泉州·期末）如图，线段与相交于点．求证：． 14．（23-24 九年级上·陕西西安·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当t为多少时，的长度等于？ (2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 15．（23-24 九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 16．（23-24 九年级上·四川雅安·期末）如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为，求的面积． 17．（23-24 九年级上·湖南株洲·期末）如图，在正方形中，E是边上的点，点F在边上，且． (1)求证：； (2)若，延长交的延长线于点G，求的长． 18．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图1，四边形中，，平分，若， (1)求的长． (2)如图2，过点作交于，连接交于，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$