专题拓展：数列中的递推关系与通项（8大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

专题拓展：数列中的递推关系与通项 一、利用与的关系求通项公式 1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： （1） 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式． 二、累加法求通项 1、适用于：…………这是广义的等差数列 2、若 则；……，， 两边分别相加得： 三、累乘法求通项 1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得： 四、构造法求通项 对于不满足，，形式的数列常采用构造法，对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解，常用方法如下： 1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如：（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法 通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。 五、不动点法求通项 1、定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． 2、在数列中，已知，且时，（是常数）， （1）当时，数列为等差数列； （2）当时，数列为常数数列； （3）当时，数列为等比数列； （4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：； 3、形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) 4、设，满足递推关系，初值条件． 令 ，即 ，令此方程的两个根为， (1)若,则有 （其中） (2)若,则有 （其中） 5、设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 题型一 由Sn与an关系求通项 【例1】（24-25高二上·福建莆田·期中）数列的前项和记为，若，则 . 【变式1-1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 【变式1-2】（23-24高二上·湖北·期中）数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高三上·广东·月考）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 题型二 累加法求数列通项 【例2】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【变式2-2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·河南新乡·月考）（多选）将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（    ） A．37 B．58 C．67 D．79 题型三 累乘法求数列通项 【例3】（23-24高二上·福建漳州·月考）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则 . 【变式3-3】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知数列满足，，则 ， . 题型四 构造法求数列通项 【例4】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 【变式4-1】（23-24高二上·河北沧州·月考）已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 【变式4-2】在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【变式4-3】（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 题型五 同除法求数列通项 【例5】（24-25高三上·云南昆明·月考）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【变式5-1】（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式5-2】（24-25高二上·黑龙江·期中）数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式5-3】（23-24高二上·福建·期中）已知在数列中，，，则 ． 题型六 倒数法求数列通项 【例6】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23高二下·浙江杭州·月考）在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 【变式6-2】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【变式6-3】（23-24高二下·云南昆明·月考）已知数列满足，且，则 ． 题型七 相邻三项递推求数列通项 【例7】（24-25高三上·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 【变式7-1】（24-25高二上·甘肃张掖·月考）数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【变式7-2】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则 ． 【变式7-3】（23-24高二下·湖北黄冈·期中）已知数列满足，且，，则 . 题型八 不动点法求数列通项 【例8】已知数列{an}中，a1=2，，求{an}的通项． 【变式8-1】已知，且，求数列的通项． 【变式8-2】已知数列中，，求数列的通项. 【变式8-3】已知数列{an}中，a1=3，，求{an}的通项. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：数列中的递推关系与通项 一、利用与的关系求通项公式 1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： （1） 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式． 二、累加法求通项 1、适用于：…………这是广义的等差数列 2、若 则；……，， 两边分别相加得： 三、累乘法求通项 1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得： 四、构造法求通项 对于不满足，，形式的数列常采用构造法，对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解，常用方法如下： 1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 （1）待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 （2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成 有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式， 再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。 2、形如：（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下三种方法： （1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：， 令，则，然后累加法求通项。 （2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 （3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。 注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。 3、形如（其中，是常数，且） （1）逐项相减法（阶差法） （2）待定系数法 通过配凑可转化为 解题基本步骤： ①确定 ②设等比数列，公比为 ③列出关系式，即 ④比较系数求， ⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。 五、不动点法求通项 1、定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． 2、在数列中，已知，且时，（是常数）， （1）当时，数列为等差数列； （2）当时，数列为常数数列； （3）当时，数列为等比数列； （4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：； 3、形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) 4、设，满足递推关系，初值条件． 令 ，即 ，令此方程的两个根为， (1)若,则有 （其中） (2)若,则有 （其中） 5、设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 题型一 由Sn与an关系求通项 【例1】（24-25高二上·福建莆田·期中）数列的前项和记为，若，则 . 【答案】 【解析】当时，， 当也符合上式， 故 【变式1-1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】由，可得时，； 当时，． 此时，当时，， 综上，可得． 【变式1-2】（23-24高二上·湖北·期中）数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，， 当时，， 当时，由得， 两式相减并整理得， 所以数列从第项起是等比数列，则， 即，所以.故选：D 【变式1-3】（24-25高三上·广东·月考）已知数列满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得①， 所以时，②， ①-②得，所以，所以.故选：B. 题型二 累加法求数列通项 【例2】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【答案】8 【解析】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：8 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【答案】 【解析】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设各层球数构成一个数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知， 所以， 所以, 所以，所以， 当时，符合的情况， 所以，所以，故选：D. 【变式2-3】（24-25高二上·河南新乡·月考）（多选）将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（    ） A．37 B．58 C．67 D．79 【答案】ACD 【解析】不妨设第n（）个“拐弯数”为， 不难发现，，，，…， 所以（）， 利用累加法得， 因而， 当时，也符合上式， 所以（）. 代入选项验算可知A，C，D三个选项正确.故选：ACD. 题型三 累乘法求数列通项 【例3】（23-24高二上·福建漳州·月考）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，上述各式相乘得， 因为，所以， 经检验，满足，所以.故选：D. 【变式3-1】（22-23高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，，，，，， 所以，即， 又，所以；故选：A 【变式3-2】（23-24高二下·吉林·开学考试）在数列中，，则 . 【答案】6 【解析】因，故有， 即得，所以. 故答案为：6. 【变式3-3】（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知数列满足，，则 ， . 【答案】 0 2023 【解析】令可得：，所以， 令可得：，所以， 由可得：， 所以， ， ……， ，以上个式子相加可得： ，所以， 则. 故答案为：0；2023. 题型四 构造法求数列通项 【例4】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，所以， 所以数列是一个等比数列， 所以，所以． 故答案为：． 【变式4-1】（23-24高二上·河北沧州·月考）已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则数列时以为首项 公比为的等比数列，故，所以. 【变式4-2】在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【解析】因为，， 则， 因为，显然， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 故答案为： 题型五 同除法求数列通项 【例5】（24-25高三上·云南昆明·月考）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高二上·黑龙江·期中）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高二上·福建·期中）已知在数列中，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，，所以， 整理得，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，解得． 故答案为：. 题型六 倒数法求数列通项 【例6】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ，故选：D． 【变式6-1】（22-23高二下·浙江杭州·月考）在数列中，已知，，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由， 两边取倒数得，即， 又因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以， 故. 【变式6-2】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【答案】19 【解析】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 【变式6-3】（23-24高二下·云南昆明·月考）已知数列满足，且，则 ． 【答案】 【解析】对两边同时取倒数，所以，则， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列，所以， 所以． 故答案为： 题型七 相邻三项递推求数列通项 【例7】（24-25高三上·天津·月考）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 【答案】 【解析】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高二上·甘肃张掖·月考）数列满足，若，，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，，， 则，， ，， 故选：C. 【变式7-2】（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则 ． 【答案】128 【解析】由题意知，，即，又， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列， 所以， 当时，， 所以. 故答案为：128 【变式7-3】（23-24高二下·湖北黄冈·期中）已知数列满足，且，，则 . 【答案】 【解析】由得， 由，得，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， ，故. 故答案为：. 题型八 不动点法求数列通项 【例8】已知数列{an}中，a1=2，，求{an}的通项． 【答案】 【解析】因为{an}的特征函数为：， 由， 设 ， 即， ∴数列是公比为的等比数列． ∴， ∵a1=2，∴． 【变式8-1】已知，且，求数列的通项． 【答案】 【解析】作函数为，解方程得的不动点为 ，，，．取，，作如下代换： ， 逐次迭代后，得：． 【变式8-2】已知数列中，，求数列的通项. 【答案】 【解析】由于递推式为，对应的递推函数是，令，得不动点， ∴有，， 两式相除得：，两边取对数有， ∴是以为首项，公比为2的等比数列， ∴，从而有， 解得. 【变式8-3】已知数列{an}中，a1=3，，求{an}的通项. 【答案】 【解析】∵{an}的特征函数为：， 由， 设 即， ∴数列是首项为2，公比为的等比数列. ∴， ∵a1=3，∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$