27.2.1（第4课时）两角分别相等的两个三角形相似（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

第27章 相似 九年级数学下册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.2.1 两角分别相等的 两个三角形相似 （第4课时） BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 D B A C E （2）方法2：平行法 符号语言： ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC A C B E D F （1）方法1：定义法（不常用） 符号语言： ∵∠A=∠D, ∠B= ∠E, ∠C= ∠F ∴△ABC∽△DEF 思考：我们学过哪些判定三角形相似的方法？ BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 ∵ ∴△ABC∽△DEF A C B E D F （3）方法3：三边法（三边成比例的两个三角形相似） 符号语言： ∵ ，∠A=∠D ∴△ABC∽△DEF （4）方法4：两边夹角法（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 符号语言： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 探究：一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′， 使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55° 这两个三角形是 相似的 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上， 截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′. ∵∠B=∠B′， ∴∠A′DE=∠B. 又∵ A′D=AB，∠A=∠A′， ∴△A′DE ≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′ . C A A' B B' C' D E 思考：试证明△ABC∽△A′B′C′. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 特别地，在直角三角形中： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 结论： 一角对应相等的两个三角形不一定相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 B C A D E E B C A D ∴ △ ADE∽ △ABC ∴ △AED∽ △ABC ∵∠A=∠A ∠AED=∠C ∵∠A=∠A ∠AED=∠B ①作DE，使∠AED=∠C ②作DE，使∠AED=∠B 思考：过△ABC(∠C>∠B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形△ADE与△ABC相似，这样的直线有几条？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 如图，C是线段BD上的一点，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥EC. 求证：△ABC∽△CDE. E A 1 B C D 2 证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD ∴∠ABC=∠CDE=90° ∴∠1+∠A=90° ∵AC⊥EC ∴∠1+∠2=90° ∴∠A=∠2(同角的余角相等) ∴△ABC∽△CDE BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°. AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB,垂足为D.求AD的长. 解： ∵ ED⊥AB ∴ ∠ EDA=90 ° 又∵ ∠ C=90 ° ∴ ∠ EDA=∠ C 又∵ ∠ A= ∠ A ∴ △AED ∽ △ABC ，∴ ∴ AD=4 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D， 求证：△ABC∽△BDC. 证明：∵AB=AC，∠A=36°, BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC. 在△ABC和△BDC中, ∠A=∠DBC，∠C=∠C. ∴△ABC∽△BDC. 黄金三角形 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD. 证明:连接AC，DB. ∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角， ∴ ∠A= _______， 同理 ∠C= _______， ∴ △PAC ∽ △PDB， ∴______ 即PA ·PB = PC · PD. ∠D ∠B O D C B A P 相交弦定理 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 你能写出已知和求证吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′. C A A' B B' C' 要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？ 目标： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′. 由 ，得 ∴ ＿＿＿＿＿＿＿＿. ∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′. 勾股定理 ∴ C A A' B B' C' BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. C A A' B B' C' BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证： D C A B E F BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC， ∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O BY YUSHEN BY YUSHEN AB AC 典例精析 例7 解： ∴ △ABD ∽ △ACB. ∴ . ∴ AB2 = ∵ AD=4 ，AC=9 ， ∴ AB2 = 36. ∴ AB =6. 如图， ∠ABD=∠C ， AD=4 ， AC=9，求AB的长. A B C D ∵∠ABD=∠C， ∠ A= ∠ A ， = AB AD AD · AC. BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 运用 直角三角形相似的判定 两角分别相等的 两个三角形相似 利用两角判定三角形相似 内容 C A B A' B' C' BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是(　　) A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 40° 2．已知：如图，∠1=∠2，∠B=40°，当∠E= 时，△ABC∽△AED. A B C D E 1 2 3．如图，在△ABC和△ACD中，需要添加一个条件使△ABC∽△ACD，所添加的条件是 ________________________________． ∠ACD=∠B A B C D (或∠ADC=∠ACB) BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D， DE⊥BC于点E，那么与△ABC相似的三角形有( 　 ) A．1个 　B．2个 C．3个 　D．4个 D B C D E A 5.如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6 O D C B A P BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高. 若AB=4 cm，BC=10 cm，求BD的长. 解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°, ∴∠ADB=∠CAB. ∴△ABD∽△CBA, 解得 BD=1.6(cm). ∴ ， BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16. （1）求证：△ABC∽△DAC; （2）求CD的长. （1）证明： ∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C, ∴△ABC∽△DAC. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16. （1）求证：△ABC∽△DAC; （2）求CD的长. （2）解：∵△ABC∽△DAC， ∴ , ∴CD=4. BY YUSHEN BY YUSHEN $$