6.6 余角和补角（四大题型提分练）数学青岛版2024七年级上册

6.6 余角和补角（四大题型提分练） 题型一 余角的定义 1．下列各组角中，互为余角的是（　） A．与 B．与 C．与 D．与 2．依据下列各角所标数据，其中没有余角的是（    ）． A． B． C． D． 3．锐角的余角一定是（    ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或钝角 D．不能确定 4．如图，已知，，则下列说法错误的是（ ） A．与互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 5．一个角的余角比这个角的少，请你计算出这个角的大小是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，则图中与互余的角有（　 ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若，则与的关系是 ． 8．如图，有海岛A，B，已知海岛A在灯塔O北偏东（）方向上，若与互余，则海岛B在灯塔O北偏西 方向上．（角度用“度、分”表示） 9．如图，点在直线上，，，那么的度数是 ． 10．如图所示，点为直线上一点，，那么图中互为余角的对数为 ． 11．如图，O是直线上一点，平分和互余，则的度数是 度． 12．如图，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=38°19′，求∠AOD的度数． 13．如图，已知、、三点在同一条直线上，平分，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）请写出图中与互余的角． 14．如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 题型二 补角的定义 1．下列图形中的两个角互为补角的是（　 ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④ 2．如图，O为直线上一点，，则是（    ） A．151.88° B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．锐角的补角不一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角 C．直角和它的的补角相等 D．锐角和钝角互补 4．如图，O是直线AB上一点，则图中互为补角的角共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．若一个角的补角比这个角大，求这个角是 ． 6．已知如图直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．如果∠BOE=30°，∠AOD= ． 7．如图，于点，若，则图中互补的角共有 对．    8． 若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少，求这个角． 9．如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 10．如图，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数 题型三 余角和补角的综合运算 1．下列关于余角、补角的说法，正确的是（    ） A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余 B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补 C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余 D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补 2．已知与互补，，则与的关系为（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 3．一个角的余角和这个角的补角互补，则这个角是（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 4．若与互为余角，与互为补角，则下列选项，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．已知和互余，且比大，那么的补角度数为 ． 6．一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是 ． 7．如图，，则，，之间的数量关系为 ．    8．已知与互补，且，代数式①，②，③，④中，可以表示的余角的是 （填序号）． 9．一个角的补角减去后，等于这个角的余角的2倍，求这个角的度数． 10．请你完成定理“同角（等角）的补角相等”的证明． 11．如图，，是的平分线，与互余，求的度数． 12．如图，，，是平角． (1)若，试求的度数． (2)请你找出的补角，若，求出补角度数． (3)若平分，求出余角的度数． 13．已知与互补，射线平分，设，． (1)如图1，在的内部，当与互余时，求的值； (2)如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．（提示：分别用含的式子表示出与的度数） 14．【实践操作】三角尺中的数学问题. (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，． ①若，则 °；若，则 °； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们的锐角顶点重合在一起，，直接写出与之间的数量关系． 题型四 余角和补角的性质 1．由，得到的依据是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 2．如图，直线，相交于点O，下面是推导对顶角相等的过程：因为，，所以，其推理依据是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 3．已知，，若，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 5．如图，是的高，．若，则的度数是（    ）    A．55° B．35° C．30° D．50° 6．如图，直线CD经过点O，若OC平分∠AOB，则，依据是 ． 7．数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心在垂直于地面的支杆一端上，量角器刻度线与支杆重合．如图2所示，绕点转动量角器，使教学楼顶与直径两端点，在同一条直线上，此时视线与水平线的夹角．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理： ． 8．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是 ．（填序号）    9．如图，和都是直角． (1)如果，那么______． (2)找出图中相等的锐角，如果，它们还会相等吗？请说明理由． (3)在图中，利用能够画直角的工具再画一个与相等的角（请标出你所画的直角，并写出与相等的角）． 1．如图所示，的大小可由量角器测得，则的余角的大小为（   ）    A．60° B．120° C．30° D．90° 2．将一副三角板如图放置，若，则（    ） A．122° B．132° C．142° D．152° 3．下列说法中，①同角的余角相等；②等角的余角相等；③同角的补角相等；④等角的补角相等；其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如果，那么（    ） A．只有余角，没有补角． B．只有补角，没有余角． C．既有余角，又有补角． D．既没有余角，也没有补角． 5．下列说法正确的是（    ） A．锐角的补角一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角 C．锐角和钝角互补 D．一个角的余角一定大于这个角 6．∠A的补角是168°，∠B的余角是68°，则∠A与∠B的大小关系是（　 ） A．∠A=∠B B．∠A＜∠B C．∠A＞∠B D．不能确定 7．如图，直线外有一定点，点是直线上的一个动点，当点从右向左运动时，和的关系是（    ） A．越来越小 B．越来越大 C． D．和均保持不变 8．如图，点O在直线AB上，∠COB=∠EOD=90°，下列说法错误的是（    ） A．相等 B．与互余 C．与互补 D．与互补 9．已知与满足，下列式子表示的角：①；②；③；④中，其中是的余角的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 10．如图，点是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．只有①④ B．只有③④ C．只有①③④ D．①②③④ 11．一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为 ． 12．有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 13．已知，，如果，那么，依据是 ． 14．如图，点在同一条直线上，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （填序号）． 15．如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么的度数为 ． 16．在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 17．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，正确的有 ．(填所有正确式子的序号) 18．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③与互为补角；④；其中正确的是 ．（只填序号） 19．若一个角的补角比它的余角的3倍少，求这个角的度数． 20．如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．    (1)与互余的角是___________，互补的角是___________； (2)若，求的度数． 21．如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系（无需说明理由）． 22．已知和互为补角，并且的一半比小，求，的度数． 亮亮的解答如下： 因为，互为补角，所以． 因为的一半比小，所以， 所以， 解得，所以． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 23．如图，已知，分别是和的角平分线，．    求：(1)的余角的度数是多少？ (2)的补角的度数是多少度？ 24．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 25．如图，已知平分，平分． (1)若与互为余角，且，求的度数； (2)若，其他条件不变，求的度数； (3)若，其他条件不变，求的度数 (4)从（1）（2）（3）中你能看出什么规律？ 26．如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 27．如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图（1），若，则 ； (2)在图（1）中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图（1）中的直角三角板绕顶点O旋转至图（2）的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系，并直接写出你的结论，不必说明理由． 28．综合应用： 三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材． 【数学来源于生活】 动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放． (1)在_________的摆放方式中与互余；在_________的摆放方式中与互补 (2)在哪种摆放方式中与相等？请说明理由． (3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则_________；若，则_________． (4)如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.6 余角和补角（四大题型提分练） 题型一 余角的定义 1．下列各组角中，互为余角的是（　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 2．依据下列各角所标数据，其中没有余角的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意知，，没有余角， 故选：D． 3．锐角的余角一定是（    ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或钝角 D．不能确定 【答案】A 【解析】解：锐角的余角一定是锐角； 故选：A． 4．如图，已知，，则下列说法错误的是（ ） A．与互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 【答案】D 【解析】解：∵， ， ∴与互为余角，与互为余角． ∵， ， ∴与互为余角，与互为余角； 故选：D． 5．一个角的余角比这个角的少，请你计算出这个角的大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设这个角的度数为x， 由题意得：， 解得：， 即这个角的大小是 故选：C． 6．如图，，则图中与互余的角有（　 ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：， ， 与互余， ， 与互余， 与互余的角是和，共个， 故选B． 7．若，则与的关系是 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴与互余． 故答案为：互余 8．如图，有海岛A，B，已知海岛A在灯塔O北偏东（）方向上，若与互余，则海岛B在灯塔O北偏西 方向上．（角度用“度、分”表示） 【解析】解：与互余，， ， 故答案为：． 9．如图，点在直线上，，，那么的度数是 ． 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 10．如图所示，点为直线上一点，，那么图中互为余角的对数为 ． 【解析】解：∵， ∴， ， ， ． ∴互余角的对数共有4对． 故答案为：4． 11．如图，O是直线上一点，平分和互余，则的度数是 度． 【解析】解：平分， ， 和互余， ， ， ． 故答案为：90． 12．如图，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=38°19′，求∠AOD的度数． 【解析】解：∵∠BOD=90°，∠BOC=38°19′ ∴∠COD=∠BOD-∠BOC=51°41′ ∵∠AOC=90° ∴∠AOD=∠AOC+∠COD=141°41′ 答：∠AOD的度数为141°41′． 13．如图，已知、、三点在同一条直线上，平分，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）请写出图中与互余的角． 【解析】解：（1）∵平分， ∴， 平分， ， ∴∠DOE=(∠BOC+∠COA)=×180°=90°； （2）由（1）知； （3）∵， ∴∠AOD+∠BOE=90°， ∵∠AOD=∠COD， ∴∠COD+∠BOE=90°， ∴与互余的角有，. 14．如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分． (1)判断和之间满足的数量关系，并说明理由． (2)判断是否平分，并说明理由． 【解析】（1）解：，理由如下： 因为和互余，与互余， 所以，， 所以； （2）解：平分，理由如下： 因为平分，所以， 因为和互余，与互余， 所以，， 即． 所以平分． 题型二 补角的定义 1．下列图形中的两个角互为补角的是（　 ） A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】C 【解析】解：∵①④两个角相加为180°， ∴①④互为补角． 故选：C． 2．如图，O为直线上一点，，则是（    ） A．151.88° B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵O为直线上一点， ∴∠AOB=180°， ∴∠1=180°-∠COB=180°-28°7′12″=151°52′48″， 故选C． 3．下列说法正确的是（    ） A．锐角的补角不一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角 C．直角和它的的补角相等 D．锐角和钝角互补 【答案】C 【解析】解：A、因为锐角的补角与锐角之和为180°，所以锐角的补角一定是钝角，所以本说法不符合题意； B、当这个角为120°时，120°的补角是60°，所以本说法不符合题意； C、根据直角的补角是直角．所以本说法符合题意； D、锐角和钝角的度数不确定，不能确定锐角和钝角是否互补，所以本说法不符合题意； 故选：C． 4．如图，O是直线AB上一点，则图中互为补角的角共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【解析】解：互为补角的角有：∠AOC与∠BOC，∠AOD与∠BOD，共2对， 故选：B． 5．若一个角的补角比这个角大，求这个角是 ． 【解析】解：设这个角为，则它的补角为， 依题意得， 解得． 故答案为：． 6．已知如图直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．如果∠BOE=30°，∠AOD= ． 【解析】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE=30° ， ∴∠BOD=60° 又∵， ∴． 故答案为：． 7．如图，于点，若，则图中互补的角共有 对．    【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴图中互补的角共有5对． 故答案为：5． 8．若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少，求这个角． 【解析】解：设这个角为x， 根据题意可得：， 解得． 答：这个角为． 9．如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 【解析】（1）解：∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ∴的补角是或； （2）∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 10．如图，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数 【解析】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． （2）解：因为与互为补角， 所以． 所以． 因为平分， 所以． 所以． 题型三 余角和补角的综合运算 1．下列关于余角、补角的说法，正确的是（       ） A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余 B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互补 C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3 互余 D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α，∠β，∠γ互补 【答案】A 【解析】A．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余，此选项符合题意； B．若∠1＋∠2＝90°，则∠1 与∠2 互余，此选项不符合题意； C．3个角不符合互余的定义，此选项不符合题意； D．3个角不符合互补的定义，此选项不符合题意． 故选：A． 2．已知与互补，，则与的关系为（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【解析】解：∵与互补 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的关系为互余 ， 故选：B． 3．一个角的余角和这个角的补角互补，则这个角是（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】A 【解析】解：设这个角的度数为，则余角为，补角为， 由题意得，， 解得：． 故这个角是锐角， 故选：A． 4．若与互为余角，与互为补角，则下列选项，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、∵与互为补角， ∴， 故A选项正确，不符合题意；     B、∵与互为余角，与互为补角， ，， ， 故B选项正确，不符合题意； C、∵与互为余角，与互为补角， ，， ∴， 故C选项正确，不符合题意； D、∵与互为余角， ∴， 故D选项错误，符合题意． 故选：D 5．已知和互余，且比大，那么的补角度数为 ． 【解析】解：∵和互余， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的补角度数为：， 故答案为：． 6．一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是 ． 【解析】解：设这个角为x，则补角为， 由题意可得：， 解得：， 则补角为， ∴补角的余角为：， 故答案为：60°． 7．如图，，则，，之间的数量关系为 ．    【解析】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 8．已知与互补，且，代数式①，②，③，④中，可以表示的余角的是 （填序号）． 【解析】解：，①正确； ②若，则，与矛盾，故②不正确； 由，有，即与互余，所以③正确； 由，有，所以④正确． 故正确的有①③④； 故答案为：①③④． 9．一个角的补角减去后，等于这个角的余角的2倍，求这个角的度数． 【解析】解：设这个角的度数为x， 由题意得． 解得． ∴这个角的度数是． 10．请你完成定理“同角（等角）的补角相等”的证明． 【解析】已知：是的补角，是是补角．求证：． 证明： 是的补角（已知）， （补角的定义）． （等式的性质）． 是是补角（已知）， （补角的定义）． （等式的性质）． （等量代换）． 11．如图，，是的平分线，与互余，求的度数． 【解析】解：∵，平分，         ∴． 又∵与互余， ∴， ∴． 答：的度数为130°． 12．如图，，，是平角． (1)若，试求的度数． (2)请你找出的补角，若，求出补角度数． (3)若平分，求出余角的度数． 【解析】（1）, ， （2）， , 的补角是， 又， ， ∴的补角为和，度数为 （3）平分， ， 故余角的度数为． 13．已知与互补，射线平分，设，． (1)如图1，在的内部，当与互余时，求的值； (2)如图2，在的外部，，求与满足的等量关系．（提示：分别用含的式子表示出与的度数） 【解析】（1）∵与互余， ∴， ∵与互补，延长于F． ， ， ∴， ， ． （2）∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 14．【实践操作】三角尺中的数学问题. (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，． ①若，则 °；若，则 °； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们的锐角顶点重合在一起，，直接写出与之间的数量关系． 【解析】（1）解：①，， ， ， ，， ， ， 故答案为：145，49； ②猜想：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ． 题型四 余角和补角的性质 1．由，得到的依据是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴，是根据同角的余角相等， 故选：． 2．如图，直线，相交于点O，下面是推导对顶角相等的过程：因为，，所以，其推理依据是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】C 【解析】解：由题意得：推理依据是同角的补角相等， 故选：C． 3．已知，，若，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴ ∵ ∴． 故选：B． 4．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，可以推导出，最合理的理由是（    ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴（同角的余角相等）， 故选：A 5．如图，是的高，．若，则的度数是（    ）    A．55° B．35° C．30° D．50° 【答案】B 【解析】解：∵ ∴ ∴ 故选：B 6．如图，直线CD经过点O，若OC平分∠AOB，则，依据是 ． 【解析】解：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC， ∵∠AOC+∠AOD=180°，∠BOC+∠BOD=180°， ∴∠AOD=∠BOD（等角的补角相等）， 故答案为：等角的补角相等． 7．数学兴趣小组在测量教学楼高度的活动中需要测量观察教学楼顶的视线与水平线的夹角，他们制作了一个简易测角仪，使用方法如下：如图1所示，量角器的圆心在垂直于地面的支杆一端上，量角器刻度线与支杆重合．如图2所示，绕点转动量角器，使教学楼顶与直径两端点，在同一条直线上，此时视线与水平线的夹角．请用你学过的一个几何知识解释简易测角仪的工作原理： ． 【解析】∵是刻度线， ∴， ∴与互余， ∵支杆垂直地面，是水平线， ∴， ∴与互余， 根据“同角的余角相等”可得． 故答案为：同角的余角相等． 8．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（题中所有角均指小于的角）．给出下列结论：①；②；③．其中结论一定正确的是 ．（填序号）    【解析】解：∵， ∴， 而， ∴，所以①正确； ，所以②正确； ，而，所以③不正确； 故答案为：①②． 9．如图，和都是直角． (1)如果，那么______． (2)找出图中相等的锐角，如果，它们还会相等吗？请说明理由． (3)在图中，利用能够画直角的工具再画一个与相等的角（请标出你所画的直角，并写出与相等的角）． 【解析】（1）∵和都是直角，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）中相等的锐角是：， 会相等，理由： ∵和都是直角， ∴，， ∴， 如果，它们仍相等； （3）如图， 以为边画，再以为边画，由同角的余角相等得． 1．如图所示，的大小可由量角器测得，则的余角的大小为（   ）    A．60° B．120° C．30° D．90° 【答案】C 【解析】解：由图可知：， ∴的余角的大小为； 故选C． 2．将一副三角板如图放置，若，则（    ）    A．122° B．132° C．142° D．152° 【答案】D 【解析】解：由图知与互为补角， ． 故选：D． 3．下列说法中，①同角的余角相等；②等角的余角相等；③同角的补角相等；④等角的补角相等；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：①同角的余角相等，正确； ②等角的余角相等，正确； ③同角的补角相等，正确； ④等角的补角相等，正确； 综上分析可知，正确的有4个，故D正确． 故选：D． 4．如果，那么（    ） A．只有余角，没有补角． B．只有补角，没有余角． C．既有余角，又有补角． D．既没有余角，也没有补角． 【答案】B 【解析】解：∵如果两个角的度数之和为90度，那么这两个角互余，如果两个角的度数之和为180度，那么两个角互补， ∴当时，没有余角，有补角， 故选B． 5．下列说法正确的是（    ） A．锐角的补角一定是钝角 B．一个角的补角一定大于这个角 C．锐角和钝角互补 D．一个角的余角一定大于这个角 【答案】A 【解析】解：∵锐角的补角一定是钝角，∴A正确； ∵如角的补角的度数是，∴说一个角的补角一定大于这个角错误，∴B错误； ∵如，，则两角不互补，∴说锐角和钝角互补错误，∴C错误； ∵如，则其余角，那么它们相等，∴D错误． 故选：A． 6．∠A的补角是168°，∠B的余角是68°，则∠A与∠B的大小关系是（　 ） A．∠A=∠B B．∠A＜∠B C．∠A＞∠B D．不能确定 【答案】B 【解析】解：∵∠A的补角是168°， ∴∠A=180°-168°=12°， ∵∠B的余角是68°， ∴∠B=90°-68°=22°， ∵12°＜22°， ∴∠A＜∠B， 故选：B． 7．如图，直线外有一定点，点是直线上的一个动点，当点从右向左运动时，和的关系是（    ） A．越来越小 B．越来越大 C． D．和均保持不变 【答案】C 【解析】解：由题意可知，∠α+∠β=180°， 而当点从右向左运动时， 越来越大，∠β越来越小， 故A，B，D错误， 故选：C． 8．如图，点O在直线AB上，∠COB=∠EOD=90°，下列说法错误的是（    ） A．相等 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】D 【解析】解：∵∠COB=∠EOD=90°， ∴∠1+∠COD=∠2+∠COD=90°， ∴∠1=∠2，故A选项正确； ∵∠AOE+∠1=90°， ∴∠AOE+∠2=90°，即∠AOE与∠2互余，故B选项正确； ∵∠COB=90°， ∵∠AOD+∠2=180°， ∵∠1=∠2， ∴∠AOD+∠1=180°，即∠AOD与∠1互补，故C选项正确； 无法判断∠AOD与∠COD是否互补，D选项错误； 故选：D． 9．已知与满足，下列式子表示的角：①；②；③；④中，其中是的余角的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解析】解：①∵+=90°，故该项是的余角； ②∵， ∴， ∴+=90°+，故该项不是的余角； ③∵， ∴+=90°，故该项是的余角； ④∵， ∴+=120°，故该项不是的余角； 故选：B． 10．如图，点是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．只有①④ B．只有③④ C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】解： ， ， 与互为余角，故①正确． 平分， ，无法推断得到，故②错误． 设， ， ， 平分， ，则， ， ，即，故③正确． ， ． 平分， ，故④正确． 综上：正确的有①③④． 故选：C． 11．一个角的度数为，则这个角的余角和补角的度数分别为 ． 【解析】解：∵一个角的度数为54°11′23″， ∴这个角的余角的度数为：90°-54°11′23″=35°48′37″； 补角的度数为：180°-54°11′23″=125°48′37″． 故答案为：，． 12．有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 【解析】设这个角是，则它的补角是，它的余角是， 根据题意有： ， 解得 ， 它的余角， 故答案为：． 13．已知，，如果，那么，依据是 ． 【解析】解：∵，， ∴与互余，与互余， 又∵， ∴的余角与的余角相等， 即(等角的余角相等)． 故答案为：等角的余角相等． 14．如图，点在同一条直线上，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （填序号）． 【解析】解：点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴，即 ∴ ∴①②④正确． 故答案为：①②④ 15．如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么的度数为 ． 【解析】解：∵ ， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 16．在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 【解析】解：，与互余， ． 如图1所示：， 平分， ． 如图2所示： ， 平分， ． 故答案为：13或45． 17．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，正确的有 ．(填所有正确式子的序号) 【答案】①②④ 【解析】解：∵和互补，且， ∴， ∴，的余角是，故①正确； 的余角是，故②正确； ∵， ∴不是的余角，故③错误； ∵， ∴是的余角，故④正确． 18．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①；②；③与互为补角；④；其中正确的是 ．（只填序号） 【解析】解：∵平分，平分， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，∴②正确； ∵， ∴，∴③正确； ∵平分，平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴；∴④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 19．若一个角的补角比它的余角的3倍少，求这个角的度数． 【解析】设这个角是 由题意得： 解得： 答：这个角的度数为. 20．如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．    (1)与互余的角是___________，互补的角是___________； (2)若，求的度数． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴与互余的角是； ∵， ∴与互补的角是． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21．如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系（无需说明理由）． 【解析】（1）解：； 理由：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， 故答案为：； （3）猜想：， 理由：依题意， ． 22．已知和互为补角，并且的一半比小，求，的度数． 亮亮的解答如下： 因为，互为补角，所以． 因为的一半比小，所以， 所以， 解得，所以． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【解析】解：亮亮的解答过程有错误．正确的解答过程如下： 因为，互为补角，所以． 因为的一半比小， 所以， 所以， 解得，所以． 23．如图，已知，分别是和的角平分线，．    求：(1)的余角的度数是多少？ (2)的补角的度数是多少度？ 【解析】（1）解：∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴的余角的度数是：； （2）由（1）得到， ∴的补角的度数是：． 24．如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【解析】（1）解：∵与是邻补角， ∴． ∵与互为余角， ∴． ∵与是邻补角， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：， 设，． ∵与是邻补角， ∴， 即， 解得． ∵与互为余角， ∴． 25．如图，已知平分，平分． (1)若与互为余角，且，求的度数； (2)若，其他条件不变，求的度数； (3)若，其他条件不变，求的度数 (4)从（1）（2）（3）中你能看出什么规律？ 【解析】（1）解：． 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，分别平分，， 所以； （2）解：当， 因为，分别平分，， 所以 ； （3）解：当， 因为，分别平分，， 所以 ； （4）解：从（1）（2）（3）中能看出：的度数为度数的一半，与的大小无关． 26．如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）存在， ∵与互余， ∴， ∵，平分， ∴， 如图， ∵， ∴， 解得； 如图所示， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 27．如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图（1），若，则 ； (2)在图（1）中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图（1）中的直角三角板绕顶点O旋转至图（2）的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系，并直接写出你的结论，不必说明理由． 【解析】（1）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：结论：， 理由如下：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．综合应用： 三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材． 【数学来源于生活】 动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放． (1)在_________的摆放方式中与互余；在_________的摆放方式中与互补 (2)在哪种摆放方式中与相等？请说明理由． (3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若，则_________；若，则_________． (4)如图2所示，若两个同样的三角板，将锐角的顶点A叠放在一起，则与有何数量关系，请说明理由． 【解析】（1）解：甲图中，，丁图中，， 故答案为：甲，丁； （2）解：在乙、丙摆放方式中两角相等，理由如下： 在乙中： ∵， 在丙中： ∵， ， ∴； （3）解：∵， ， ， ， 故答案为：155，50； （4）解： 理由如下： ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$