函数模型的应用（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第2部分第9节《函数模型的应用》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的函数模型是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 2．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　) A．y＝5x B．y＝log5x C．y＝x5 D．y＝5x 3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元． 【知识归纳】 1．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随n值的变化而各有不同 、2．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 【题型展示】 题型一　用函数图象刻画变化过程 例1　(1)根据一组试验数据画出的散点图如图所示． 现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号) (2)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 跟踪训练1　如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的(　　) 题型二　已知函数模型的实际问题 例2　(1)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下________%的污染物． (2)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 跟踪训练2　(1)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境温度θ0＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过_______分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 (2)(多选)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者传染人数为(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为(　　) A．45% B．55% C．65% D．75% 题型三　构造函数模型的实际问题 例3　智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且0<v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且1≤k≤2)． 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8秒 t2＝0.2秒 t3 距离 d0＝10米 d1 d2 d3＝米 (1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车在k＝1的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位：米/秒)? 跟踪训练3　(1)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元． (2)嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105) (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 基础夯实 1.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝ －lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在1×10－7.45～1×10－7.35之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是(　　) A.[7.25，7.55] B.[7.25，7.45] C.[7.25，7.35] D.[7.35，7.45] 2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2 B.y＝(x2－1) C.y＝log2x D.y＝logx 3．农业农村部发布2022年农区蝗虫防控技术方案．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1 200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1)(　　) A．122天 B．124天 C．130天 D．136天 4．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声调m0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg ，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为70米，若A同学大喝一声的声强大约相当于100个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为(　　) A．0.7米 B．7米 C．50米 D．60米 5．大气压强p＝，它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126m－1)，p0是海平面大气压强．已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，＝，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(　　) (参考数据：ln 3≈1.099) A．660 m B．2 340 m C．6 600 m D．8 722 m 6.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王族预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.7＝－0.357，ln 0.93＝－0.073)(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 7．某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学骑自行车从家里出发，离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取出入证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是(　　) 8.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12)，不考虑树的粗细.现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　) 9．(多选)目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表： 年份x 2018 2019 2020 2021 包装垃圾生产量y(万吨) 4 6 9 13.5 有下列函数模型：①y＝a·bx－2 018；②y＝sin ＋b. (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 则以下说法正确的是(　　) A．选择模型①，函数模型解析式为y＝4×x－2 018，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 B．选择模型②，函数模型解析式为y＝sin ＋4，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系 C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨 10.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 11.(多选)某工厂一年中各月的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B.结余最高的月份是7月 C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元 12．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________．(保留到个位)(lg 61≈1.79) 13．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 14.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________. 15.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示). 16.据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害.在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大.沙漠蝗虫的繁殖速度很快，迁徙能力很强.已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍.该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过________天，蝗虫数量会达到4 000亿只.(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 17.尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M. (1)已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型； (2)零八年汶川地震为里氏8级，一一年日本地震为里氏9级，问：一一年日本地震所释放的能量是零八年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取＝3.2) 18.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年. (1)当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 19．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋k(p>0，k>0)可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 优化提升 21．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝(其中a为常数)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于(　　) 参考数据：log20.75≈－0.4 参考时间轴： A．宋 B．唐 C．汉 D．战国 22．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln kx＝ln k0＋ln(1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h)．经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为，则该药物的消除速度k的值约为(　　) (参考数据：ln 2≈0.693) A．0.105 5 B．0.106 5 C．0.116 5 D．0.115 5 23.嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： ＋＝(R＋r). 设α＝.由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r的近似值为(　　) A.R B.R C.R D.R 24．已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则m的取值范围是(　　) A．(5,6) B．(6,7) C．(7,8) D．(8,9) 25．(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当x>1时，乙走在最前面 C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 26.中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2(N0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到________年之间.(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48) 27.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．D　2.D　3.150 【知识归纳】 1．y轴　x轴 【题型展示】 例1 (1)④ (2)ABC 跟踪训练1 A 例2 (1)10 (2)C 跟踪训练2 (1)D　(2)ABC 例3 解　(1)由题意知，d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3＝10＋0.8v＋0.2v＋，即d(v)＝10＋v＋， 当k＝2时，d(v)＝10＋v＋， t(v)＝＝＋＋1 ≥2×＋1＝2， 当且仅当v＝20时等号成立， 0<v≤33.3， 即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒． (2)当k＝1时，d(v)<50， 即10＋v＋<50， 即v2＋20v－800<0，－40<v<20，又0<v≤33.3， 故0<v<20， 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下． 跟踪训练3 (1)37.5 (2)C 基础夯实 1.D 2.B 3.A　 4.D　 5.D 6.C 7.C　 8.B 9．AD 10.BD 11.ABC 12．462　 13.6　10 000 14.506 15.a2 16.54 17.解　(1)某次地震释放能量约1012焦耳，即E＝1012代入lg E＝4.8＋1.5M，化简得M＝＝＝4.8. 因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”. (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2. 由题意知，lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8＋1.5×9＝18.3， 即E1＝1016.8，E2＝1018.3， 所以＝101.5＝10，取＝3.2，得＝32. 故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍. 18.解　(1)由题意得当0＜x≤4时，v＝2； 当4＜x≤20时，设v＝ax＋b， 显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数， 由已知得解得 所以v＝－x＋， 故函数v＝ (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得， f(x)＝ 当0＜x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 当4＜x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 19．解　(1)由题意得当，0<x≤4时，v＝2； 当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)， 显然v＝ax＋b在(4,20]内单调递减， 由已知得解得 所以v＝－x＋. 故函数v＝ (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝ 当0<x≤4时，f(x)单调递增， 故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 20．解　(1)由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数， 随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢， 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求． 由题意可得 解得k＝，a＝，故该函数模型的解析式为 y＝·x(x∈N)． (2)当x＝0时，y＝·0＝， 故元旦放入凤眼莲的面积为 m2， 由·x>10×，即x>10， 故x>10＝＝， 由于≈≈5.7，又x∈N，故x≥6. 因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份． 优化提升 21．D 22．D 23．D 24．D 25.CD 26.　6 876 27.解　(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元). 因此，此时公司的总收益为88万元. (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 依题意得解之得80≤x≤160， 当80≤x<120，即120<240－x≤160时， f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16. 当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时， f(x)＝4－6＋(240－x)＋2 ＝－x＋4＋56. 令t＝，则t∈[2，4]， 所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88. 当t＝8，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0， 故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$