函数的零点与方程的解（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第2部分第8节《函数的零点与方程的解》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　) A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) 3．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) 【知识归纳】 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 常用结论： 1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 【题型展示】 题型一　函数零点所在区间的判定 例1　(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 延伸探究　用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1 跟踪训练1　(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (2)(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 题型二　函数零点个数的判定 例2　(1)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2 023]上根的个数为(　　) A．404 B．405 C．406 D．203 (2)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－|x|的零点个数是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 跟踪训练2　(1)函数f(x)＝·cos x的零点个数为______． (2)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　) A．3 B．7 C．5 D．6 题型三　函数零点的应用 命题点1　根据零点个数求参数 例3　函数f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(　　) A．(2－6,0) B．(2－6,0) C．(－2,0) D．(2－6,0) 命题点2　根据函数零点的范围求参数 例4　已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0) D. 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1,0) B. C. D.∪{－1} (2)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<3 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 基础夯实 1．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A．(－4，－2) B．(－2，－1) C．(1,2) D．(2,4) 2.函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 3.已知x＝a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(　　) A.f(x0)＝0 B.f(x0)＞0 C.f(x0)＜0 D.f(x0)的符号不确定 4.设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　) A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0 5．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．(0,1) D．[1，＋∞) 6．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2 7.若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，2]时，f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)的图象与函数y＝lg|x|的图象交点个数为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 8.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞) 9．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则实数m的取值范围为(　　) A. B.∪(0，＋∞) C.∪(0，＋∞) D. 10.已知函数f(x)＝若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是(　　) A.1 B.2 C. D. 11.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A.，0 B.－2，0 C. D.0 12．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　) A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25) 13．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 14．(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 15．(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝|log2x|－1 16.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论成立的是(　　) A.函数f(x)的周期T＝2 B.f(2 021)＝f(2 022)＝0 C.点(1，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 D.f(x)在[－2，2]上有4个零点 17.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________. 18.函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________. 19.已知函数f(x)＝2lg x＋x－4的零点在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k＝________. 20.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________. 21．已知指数函数为f(x)＝4x，则函数y＝f(x)－2x＋1的零点为________． 22．函数f(x)满足以下条件：①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x∈R，f(x)＝f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2时，>0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式________． 23．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________． 24．已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则＝________. 优化提升 25．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，若关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D．(0，e－1) 26．已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 27.(多选)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1 C.1＜x4＜2 D.0＜x1x2x3x4＜1 28.(多选)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m恰有两个不同解x1，x2(x1＜x2)，则(x2－x1)f(x2)的取值可能是(　　) A.－3 B.－1 C.0 D.2 29已知λ∈R，函数f(x)＝ (1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________. (2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 30.已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________. 31．已知函数f(x)＝－sin x－1，x∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f(x)的所有零点之和为________． 32．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f(x)＝32－x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________． 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．B　2.B　3.A 【知识归纳】 1．(1)f(x)＝0　(2)零点　x轴 (3)f(a)f(b)<0　(a，b)　f(c)＝0 2．f(a)f(b)<0　一分为二　零点 【题型展示】 例1 (1)B 延伸探究 C (2)A 跟踪训练1 (1)A　(2)AD 例2 (1)C (2)D 跟踪训练2 (1)6　(2)B 例3 D 例4 B 跟踪训练3 (1)B　(2)A 基础夯实 1．B　 2.B 3.C 4.A 5．A 6．C 7.C 8.C 9.D 10.D 11.D 12.D　 13.C　 14．ABC 15．BCD 16.ABC 17－ 18.2 19.3 20.1 21．1　 22.f(x)＝x2－1 (答案不唯一) 23．(1，＋∞) 24. 优化提升 25．B 26．A 27.BCD 28.BC 29.(1)(1，4)　(2)(1，3]∪(4，＋∞) 30. 31．0 32. 学科网（北京）股份有限公司 $$