第2部分第6节对数与对数函数（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第2部分第6节《对数与对数函数》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　) A．[0,1] B．(0,1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 2．eln 2＋＝________. 3．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 【知识归纳】 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 . 以e为底的对数叫做自然对数，记作 . 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝ ，logaa＝ ，＝ (a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝ ； ②loga＝ ； ③logaMn＝ (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 性 质 过定点 ，即x＝1时，y＝0 当x>1时， ； 当0<x<1时， 当x>1时， ； 当0<x<1时， 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称． 常用结论： 1．logab·logba＝1，＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 【题型展示】 题型一　对数式的运算 例1　(1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　) A．－1 B. C. D．1 (2)计算：log535＋－log5－log514＝________. 跟踪训练1　(1)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________. (2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23＝________. 题型二　对数函数的图象及应用 例2　(1)已知函数f(x)＝|ln x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________． (2)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 跟踪训练2　(1)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(　　) (2)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝的图象可能是(　　) 题型三　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 例3　已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b 命题点2　解对数方程、不等式 例4　若loga(a＋1)<loga(2)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________． 命题点3　对数函数的性质及应用 例5　设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增 跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________． (2)已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,3] B．(1,3) C．(0,1) D．(1，＋∞) 基础夯实 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A. B. C. D．[1，＋∞) 2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1 3.已知函数f(x)＝lg 的值域是全体实数，则实数m的取值范围是(　　) A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞) C.(－∞，－4) D.(－∞，－4] 4.已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－1] B.(－∞，2] C.[2，＋∞) D.[5，＋∞) 5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0) D．∅ 6.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 7．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 8．函数f(x)＝log2(|x|－1)的图象为(　　) 9．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A. B. C. D．2 10.已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 11．(多选)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0) B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减 C．函数f(x)在区间上的最小值为0 D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2] 12.(多选)若10a＝4，10b＝25，则(　　) A.a＋b＝2 B.b－a＝1 C.ab＞8lg22 D.b－a＞lg 6 13．计算：－2＋＝______. 14．函数f(x)＝的最小值为________． 15.若log43＝mlog23，则log m＝________. 16.已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________. 17.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________. 18.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值. 19.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)＞－2. 20．已知f(x)＝ (1)若a＝2，求f(x)的值域； (2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 21．已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数． (1)求k； (2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)． 优化提升 22．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则(　　) A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝ 23．已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为(　　) A．(ln 2，＋∞) B．(－∞，ln 2) C．(ln 2,1) D．(0，ln 2) 24.设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 25．(多选)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为1 B．f(x)在区间(0,2)上为增函数 C．f(x)的图象关于直线x＝2对称 D．f(x)的图象关于点(2,0)对称 26．(多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个解x1，x2，x3，x4且满足x1<x2<x3<x4，则下列命题正确的是(　　) A．0<a<1 B．x1＋2x2∈(3，＋∞) C．x1＋x2＋x3＋x4∈ D．x4∈[4，＋∞) 27.已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： (1)若k＝0，则f(x)有两个零点； (2)∃k<0，使得f(x)有一个零点； (3)∃k<0，使得f(x)有三个零点； (4)∃k>0，使得f(x)有三个零点. 以上正确结论的序号是________. 28.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．A　2.4　3.(3,2) 【知识归纳】 1．x＝logaN　a　N　lg N　ln N 2．(1)0　1　N　(2)①logaM＋logaN　②logaM－logaN　③nlogaM 3．(0，＋∞)　R　(1,0)　y>0　y<0 y<0　y>0　增函数　减函数 4．y＝logax　y＝x 【题型展示】 例1 (1)D　(2)2 跟踪训练1 (1)　(2)－1 例2 (1)(3，＋∞) (2)A 跟踪训练2 (1)D　(2)B 例3 C 例4 例5 A 跟踪训练3 (1)(1，)　(2)A 基础夯实 1．A　 2.A 3.D 4.D 5.B 6.B 7.B　 8.A　 9.B　 10.C 11．ACD　 12.ACD 13．10　 14.－ 15.－2 16. 17.(0，1) 18.解　(1)∵f(1)＝2， ∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)， ∴a＝2.由得－1＜x＜3， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)] ＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈[0，1]时，f(x)单调递增； 当x∈时，f(x)单调递减， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 19.解　(1)当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝log(－x). 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x). 所以x＜0时，f(x)＝log(－x)， 所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝ (2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)＞－2可化为 f(|x2－1|)＞f(4). 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以0＜|x2－1|＜4，解得－＜x＜且x≠±1， 而x2－1＝0时，f(0)＝0＞－2，所以x＝1或x＝－1. 所以－＜x＜. 所以不等式的解集为{x|－＜x＜}. 20．解　(1)当a＝2时，f(x)＝， 令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9， ∴t≥9，f(x)≤＝－2， ∴f(x)的值域为(－∞，－2]． (2)令u(x)＝x2－ax＋5a， ∵y＝(x)为减函数， ∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增， ∴ 解得－<a≤2， ∴a的取值范围是. 21．解　(1)∵f(x)是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， 即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立， ∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33－2x＝－2x， ∴k＝－1. (2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)， 则不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0， 由7·3x－1>0，解得x>－log37； 由3x＋3－x≥7·3x－1， 得6·(3x)2－3x－1≤0， 得0<3x≤， 即x≤－log32， 综上，不等式的解集为(－log37，－log32]． 优化提升 22．A 23．D 24.A 25．BC 26．AC 27.(1)(2)(4) 28.解　(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x ＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]. (2)由f(x2)·f()>k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0，2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15， 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3. 所以k<－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3). 学科网（北京）股份有限公司 $$