函数的概念及其表示（基础摸查+基础夯实+优化提升）学案-2025届高三数学一轮复习

第2部分第1节《函数的概念及其表示》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升 基础摸查 【习题导入】 1．已知函数f(x)＝则函数f 等于(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 2．下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1与y＝ B．y＝x－1与y＝－ C．y＝2与y＝2x D．y＝与v＝ 3．(多选)下列所给图象是函数图象的是(　　) 【知识归纳】 1．函数的概念 一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素： 、 、 ． (2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和 ． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 常用结论： 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 【题型展示】 题型一　函数的定义域 例1　(1)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为________． (2)函数y＝的定义域为(　　) A．(－4，－1) B．(－4,1) C．(－1,1) D．(－1,1] 跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　) A．{x|x>2或x<0} B. C．{x|x>2} D. (2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3] C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3) 题型二　函数的解析式 例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 跟踪训练2　(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 (2)已知函数f(x)满足f(x)＋2f ＝3x，则f(2)等于(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 (3)若f ＝，则f(x)＝________. 题型三　分段函数 例3　(1)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________． (2)已知函数f(x)＝则f(2 024)的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为________． (2)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于(　　) A．0或1 B．－1或1 C．0或－2 D．－2或－1 基础夯实 1．函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　) A．(2，＋∞) B．(2,3) C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞) 2．已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是(　　) A．f：x→y＝x＋1 B．f：x→y＝ex C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x| 3.函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(　　) A.(2，3) B.(2，＋∞) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞) 4.函数y＝1＋x－的值域为(　　) A. B. C. D. 5.已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　) A.(－1，0) B.(－2，0) C.(0，1) D. 6．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，若函数f(x)的值域是(－∞，4]，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(1，] D．(1，) 7.下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A.f(x)＝eln x，g(x)＝x B.f(x)＝，g(x)＝x－2 C.f(x)＝，g(x)＝sin x D.f(x)＝|x|，g(x)＝ 8．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为(　　) A．1 B. C. D. 9.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　) 10．函数y＝1＋x－的值域为(　　) A. B. C. D. 11.设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，0)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－1，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0，1) 12.(多选)下列所给图象可以是函数图象的是(　　) 13．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是(　　) A．y＝－x＋1 B． C．y＝ln|x| D．y＝ 14．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有(　　) A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝x C．f(cos x)＝x D．f(ex)＝x 15.已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________. 16.函数y＝(x＞1)的值域是________. 17.已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________. 18．已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________． 19．已知函数f(x)＝则f ＝________. 20．已知f()＝x－1，则f(x)＝________. 21．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为__________． 22.已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)求f，f，f(－1)的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f(x)的最大值. 23.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图. (1)求出y关于x的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度. 优化提升 24．已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于(　　) A．2 B. C．1 D．0 25．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　) A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2) C．[－2,2] D．(－，) 26．已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　) A．－1 B．1 C．－ D. 27．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是(　　) A．F(F(x))＝0 B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立 C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立 D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形 28.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　) A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0) B.y＝x＋ C.y＝－log3x D.y＝ 29.已知函数f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________. 30.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，求函数y＝[f(x)]的值域. 参考答案： 基础摸查 【习题导入】 1．C　2.D　3.CD 【知识归纳】 1．非空的实数集　任意　唯一确定 2．(1)定义域　对应关系　值域 (2)定义域　对应关系 3．解析法　列表法 【题型展示】 例1 (1)[－2，－1) (2)C　 跟踪训练1 (1)B　 (2)B 例2 解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2 ＝2t－t2，t∈[0,2]． 即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]． (2)(配凑法)∵f＝x2＋＝2－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换， 得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 跟踪训练2 (1)A (2)A (3)(x≠0且x≠1)　 例3 (1)－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) (2)C 跟踪训练3 (1) (2)D 基础夯实 1．D　 2.B　 3.D 4.B 5.C 6．B　 7.D 8.C　 9.A　 10.B 11.C 12.CD 13．ABD 14．AD 15.x2＋2x＋1 16.[2＋1，＋∞) 17. 18．1或－3　[－，－1] 19.　 20.x2－1(x≥0)　 21.[－1,0] 22.解　(1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5. ∵0＜＜1，∴f＝＋5＝. ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2. (2)这个函数的图象如图. 在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分. 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象. (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6. 23.解　(1)由题意及函数图象， 得解得m＝，n＝0， ∴y＝＋(x≥0). (2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70. ∵x≥0，∴0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70 km/h. 优化提升 24．B 25．B 26．B 27．BD 28.AD 29.[－5，0] 30.解　f(x)＝＝＝1＋， ∵2x＞0，∴1＋2x＞1，0＜＜1， 则0＜＜2，1＜1＋＜3， 即1＜f(x)＜3. 当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1， 当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2. 综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}. 学科网（北京）股份有限公司 $$