专题10 函数的应用（知识清单，3清单&5题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期北师大版

专题10函数的应用 【清单01】函数的零点与方程的解 1、函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 【清单02】二分法 1、二分法的概念 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步. 【清单03】函数模型的应用 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 【考点题型一】零点的存在定理 【例1】.函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式1-1】.函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知增函数加增函数为增函数，函数在定义域上单调递增，且， ，所以存在唯一零点，且. 故选：C. 【变式1-2】.函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增， ∵， ， ， 函数的零点所在的区间为. 故选：C 【变式1-3】.函数的零点所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在连续不断，且单调递减， ， 所以零点位于， 故选：C 【考点题型二】零点个数的判断 【例2】.已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称作出函数图象：    因为函数仅有4个零点，所以函数与的图象有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2-1】.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】    设， 设，则. 又，所以1是函数的一个零点； 因为，， 所以，. 又，， 所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得， 即是函数的一个零点； 因为，， 所以，. 又，， 所以，. 根据零点的存在定理，可知，，使得， 即是函数的一个零点. 结合函数图象以及的增长速度可知，当或时，函数没有零点. 综上所述，函数的零点为1，，，共3个零点. 故选：C. 【变式2-2】.函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 【变式2-3】.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，的图象如图所示， 问题转化为与函数 的图象没有交点， 所以或, 解得或, 故选：A. 【变式2-4】.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【答案】A 【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 【变式2-5】.（多选）已知函数关于的方程，下列命题正确的是（    ） A．若，则方程恰有4个不同的解 B．若，则方程恰有5个不同的解 C．若方程恰有2个不同的解，则或 D．若方程恰有3个不同的解，则 【答案】BC 【详解】因为， 所以，所以或， 的图象如图所示，由图可知与有两个交点.    对于A，若且，则方程恰有2个不同的解，故A错误； 对于B，若，则与有3个不同的交点，此时方程恰有5个不同的解，故B正确； 对于C，若方程恰有2个不同的解， 当与没有交点时满足题意，此时； 当时，方程恰有2个不同的解，此时， 故若方程恰有2个不同的解，则或，故C正确； 对于D，若方程恰有3个不同的解，则，则与有1个交点，此时或，故D错误. 故选：BC. 【变式2-6】.若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 【考点题型三】二分法 【例3】.某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（    ） A．是满足精度为的近似值. B．是满足精度为的近似值 C．是满足精度为的近似值 D．是满足精度为的近似值 【答案】B 【详解】，又 A错误； ，又， 满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误； ， C错误. 故选：B. 【变式3-1】.用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：开区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半， 经过此操作后,区间长度变为， 用二分法求函数在区间上近似解, 要求精确度为， ，解得， 故选：C. 【变式3-2】.用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解(精确到0.1)为（    ） (参考数据：，，) A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 【答案】C 【详解】由题意得 因为函数在上连续，所以函数在上有零点， 故选：C 【变式3-3】.用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，则下一个有根区间是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：设， f（2）=-1＜0，f（3）=16＞0， f（2.5）=＞0， f（x）零点所在的区间为[2，2.5]， 方程有根的区间是[2，2.5]， 考点：二分法求方程的近似解 【变式3-4】.利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表： 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程的一个根位于下列区间 A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0） 【答案】C 【详解】构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C 【变式3-5】.利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表： 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程的一个根位于下列区间 A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0） 【答案】C 【详解】构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C 【考点题型四】函数零点的综合应用 【例4】.已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B．28 C． D．14 【答案】A 【详解】先作出的大致图象，如下    令，则， 根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意， 因为，当且仅当时取得等号， 又，易知其定义域内单调递减， 即，此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2， 显然只有符合题意，当时有，则， 解方程得的另一个正根为， 又， 此时五个整数根依次是， 显然最大的根和最小的根和为. 故选：A 【变式4-1】.设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 【变式4-2】.已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．5 D．10 【答案】B 【详解】由题意，知4为函数的一个周期且函数的图象关于直线对称． 当时，由函数的解析式，两出函数的大致图象如图所示． 当时，函数的图象与函数的图象有且仅有一个交点； 当时，总有．而函数在区间上单调递增且，， 所以函数的图象与函数的图象在区间上没有交点． 综上，函数在区间上的零点个数为1． 故选：B． 【变式4-3】.（多选）下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】ACD 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，所以B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，所以C正确； 对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，所以D正确. 故选：ACD 【变式4-4】.（多选）已知定义在R的偶函数对任意的x满足，当，函数，（且），则下列结论正确的有（   ） A．函数图象关于直线对称 B．当时， C．若在R上单调递减，则 D．若方程在R上有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，因为函数对任意的满足，且是偶函数， 故，故图象关于直线对称，A正确； 对于B，当时，则，， 又当时，，所以， 所以当时，，B错误； 对于C，函数，（且） 若在上单调递减，则，解得，故C正确； 对于D，当时，若在上有4个不同的实数根， 则大致图象如下图所示， 所以，解得； 当时，若在上有4个不同的实数根， 则大致图象如下图所示， 所以，解得． 综上所述，实数的取值范围为,,，故D正确． 故选：ACD． 【考点题型五】函数模型的应用 【例5】.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 【答案】(1)，；(2)要等待约分钟. 【详解】（1）依题意，，且当，时，， 则，，解得， 所以. （2）由（1）知，，当时，，即， 整理得，解得， 王大爷要等待约分钟. 【变式5-1】.某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（    ）秒. A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】由题意可得：， 解得：， 设达到50米的高度需要秒. ， 解得：， 所以达到50米的高度需要秒. 故选：C 【变式5-2】.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（   ）（参考数据：） A．33h B．35h C．37h D．39h 【答案】C 【详解】依题意，，解得，即， 当时，，即， 解得， 所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h. 故选：C 【变式5-3】.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间. 故选：. 【变式5-4】.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 【答案】(1)，3.1（秒） (2)汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时． 【详解】（1）由题意得，， 当时，， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶， 则汽车撞上固定障碍物的时间（秒）， 即最短时间为3.1秒； （2）根据题意，要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由得，，即， 解得，（米/秒），（千米/小时）， 汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时． 【变式5-5】.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元 【详解】（1）由题意可知：. （2）由（1）可知：， 若，则，可知其图象开口向上，对称轴为， 此时的最大值为； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为； 又因为，可知的最大值为， 所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元. 检测练习 1.已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【详解】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 2.已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（    ） A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时 【答案】C 【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则， 两边同时取对数得，，解得， 所以大约需要小时. 故选：C. 3.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（    ）（参考数据：） A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟 【答案】C 【详解】根据题意得，即； 则，所以，可得， 两边取常用对数得， 故选：C. 4.已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得. 故选：C． 5.设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 可得， 可知与的交点横坐标分别为a,b,c, 在同一坐标系内作出，的图象， 根据图象可知：与有2个交点，但均有， 所以. 故选：A. 6.若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 7.已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为 ． 【答案】 【详解】解：令，其在定义域上单调递增， 且，， ， 由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为． 故答案为：． 8.用二分法研究方程的近似解，借助计算器经过若干次运算得到下表 运算次数 1 … 4 5 6 … 解的范围 … … 若精确到0. 1，至少运算次，则为 . 【答案】5. 3. 【详解】因为， 满足. 且区间长度 所以，，. 故答案为： 9.某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．    (1)请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式； (2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）． （参考数据：） 【答案】(1)；(2)9个小时. 【详解】（1）开始时，血液中-因子浓度呈线性增长时，设， 将代入，得，解得，因此； 当时，，又当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少， 则当时，， 所以所求关系式为. （2）设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即， 整理得，两边取常用对数，得， 则，解得， 所以至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效. 10.已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，即， 所以， 又，所以，因此； 因为，即， 解得； （2）因为分别为的零点，所以， 即，也即， 又因为，所以在上单调递增， 由可得， 与联立可得。 所以. 11.设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析(2) 【详解】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10函数的应用 【清单01】函数的零点与方程的解 1、函数零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 3、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 【清单02】二分法 1、二分法的概念 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 2、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步. 【清单03】函数模型的应用 几种常见函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 【考点题型一】零点的存在定理 【例1】.函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.函数的零点所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】零点个数的判断 【例2】.已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】.函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 【变式2-5】.（多选）已知函数关于的方程，下列命题正确的是（    ） A．若，则方程恰有4个不同的解 B．若，则方程恰有5个不同的解 C．若方程恰有2个不同的解，则或 D．若方程恰有3个不同的解，则 【变式2-6】.若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【考点题型三】二分法 【例3】.某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（    ） A．是满足精度为的近似值. B．是满足精度为的近似值 C．是满足精度为的近似值 D．是满足精度为的近似值 【变式3-1】.用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解(精确到0.1)为（    ） (参考数据：，，) A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 【变式3-3】.用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，则下一个有根区间是 A． B． C． D． 【变式3-4】.利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表： 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程的一个根位于下列区间 A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0） 【变式3-5】.利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表： 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 … 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 … 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 … 那么方程的一个根位于下列区间 A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0） 【考点题型四】函数零点的综合应用 【例4】.已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（    ） A． B．28 C． D．14 【变式4-1】.设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【变式4-2】.已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．5 D．10 【变式4-3】.（多选）下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【变式4-4】.（多选）已知定义在R的偶函数对任意的x满足，当，函数，（且），则下列结论正确的有（   ） A．函数图象关于直线对称 B．当时， C．若在R上单调递减，则 D．若方程在R上有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是 【考点题型五】函数模型的应用 【例5】.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 【变式5-1】.某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（    ）秒. A．15 B．16 C．18 D．20 【变式5-2】.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（   ）（参考数据：） A．33h B．35h C．37h D．39h 【变式5-3】.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 【变式5-5】.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 检测练习 1.已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 2.已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（    ） A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时 3.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（    ）（参考数据：） A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟 4.已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（    ）（，）． A．4 B．5 C．6 D．7 5.设函数 的零点分别为a,b,c, 则（    ） A． B． C． D． 6.若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 7.已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为 ． 8.用二分法研究方程的近似解，借助计算器经过若干次运算得到下表 运算次数 1 … 4 5 6 … 解的范围 … … 若精确到0. 1，至少运算次，则为 . 9.某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．    (1)请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式； (2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）． （参考数据：） 10.已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 11.设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$