精品解析：上海市黄浦区2024-2025学年高三上学期期终调研测试数学试卷

黄浦区2024学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共21道试题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1～6题每题满分4分，第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 若集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据并集的定义运算即可. 【详解】因为，，所以， 故答案为: . 2. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】由，得：， 解得：. 故答案为： 3. 椭圆的焦距是_________. 【答案】2 【解析】 【详解】分析：由椭圆方程可求，然后由可求，进而可求焦距 详解：∵椭圆 ∴. 即答案为2． 点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题 4. 若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得. 【详解】由题意，圆柱的侧面积为：. 故答案为： 5. 的二项展开式的常数项为_______ 【答案】20 【解析】 【详解】的二项展开式的通项为． 令得．所以的二项展开式的常数项为． 6. 若正数x、y满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，再结合二次函数的性质求解即可； 【详解】因为正数x、y满足，所以， 所以， 所以当时，最大值为， 故答案为：. 7. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据组距即可求解. 【详解】第一组下限为151.5，组距为3，所以， 故第11组的下限为181.5，因此组数为11， 故答案为：11 8. 在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 9. 若，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出分段函数的解析式，再求不等式的解集. 【详解】时，， 时，， ， ∴ 由得，，①或② 不等式组①无解； 不等式组②的解集为 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 10. i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，，由题设易得对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，对应的点是直线上一点，进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可. 【详解】设，， 则， 由，得， 即， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内， 设，，则， 由，得， 整理得，， 则复数对应的点是直线上一点， 又， 所以表示点与点之间的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 11. 一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为________cm．（结果精确到0.1cm） 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可. 【详解】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则， 由题意易知， 则， 所以， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：. 12. 设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为，则b＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴在数轴上的位置分类讨论，结合二次函数的性质研究最值，进而求解. 【详解】由题意知， 当，即时，根据二次函数的性质可知，数列在上单调递增， 此时的最小值为，故， 可得，化简得， 因为，所以方程无解，故不符合题意； 当，即时，根据二次函数的性质可知， 的最小值为，故， 即，解得； 综上所述，. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误， 对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确， 对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误， 对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误， 故选：B. 14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案. 【详解】①由题意作图如下： 由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下： 由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为； ③由题意作图如下： 由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 15. 设，满足的x的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】由可得， 即，其中， 所以原方程化为，即， 不妨令，因为，所以， 易知时，成立，即满足题意； 又的周期为，且， 所以在区间上还有一个根，如图所示， 故选：C 16. 设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（ ） A. 数列与均是严格增数列 B. 数列与均是严格减数列 C. 数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D. 数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 【答案】C 【解析】 【分析】由条件易知函数在I上严格递减，构造，因数列的各项均不相同，由的大小比较，利用函数单调性可得的大小关系，即得结论. 【详解】依题意，因在区间I上恒成立，则函数在I上严格递减， 由，，因数列的各项均不相同，且， 若，则，即，即此时数列严格递增，数列严格递减； 若，则，即，即此时数列严格递减，数列严格递增. 综上所述，数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用函数单调性判断数列的单调性的应用，属于难题. 解题思路在于根据选项信息，考虑数列中连续偶数项的差，通过对应的连续奇数项的大小比较，借助于函数单调性得出偶数项的大小关系. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】（1） 证明：连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合正方体的性质易得，，进而求证即可； （2）过作，交于，连接，易得是直线与平面所成的角，进而结合直角三角形中正切的定义求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，交于，连接， 在正方体中，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以是直线与平面所成的角. 由题意，设，则， ，所以， 所以在，， 故直线与平面所成角的大小是. 18. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式化简，合并成的形式，再利用正弦型函数周期的求法可得答案； （2）利用正弦型函数单调性的求法可得答案. 【小问1详解】 . 故该函数的最小正周期为. 【小问2详解】 . 由， 解得. 又因为， 考虑区间与的交集. 只有当时，上述两个集合的交集才非空， 且其交集为. 因此，函数的单调递减区间为. 19. A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高． （1）该校高一学生中男、女生各有多少名？ （2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率； （3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01） 【答案】（1）男、女生各有名 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抽样比即可计算出男女生人数； （2）利用古典概型计算公式可得结果； （3）根据方差定义，利用方差的计算公式进行整体代换即可计算出结果. 【小问1详解】 根据题意可知，抽样比为， 所以该校高一学生中男生有名， 女生有名； 【小问2详解】 从这66名学生中随机抽取两名共有种， 两名都是男生的抽法共有种， 所以这两名都是男生的概率为 【小问3详解】 根据题意可设正确的31个数据为， 易知，可得； 所以原始数据平均值为； 由方差定义可得， 因此，可得； 原始数据的方差为 即原始数据的方差为. 20. 双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【答案】（1） （2） 依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）将值和点坐标代入双曲线方程求出值，即可求得值； （2）设直线，与双曲线方程联立消元，得关于的方程，依题方程有解为，代入整理方程后，借助于，可推得，即得证； （3）利用双曲线定义化简得到，，设，利用余弦定理求出的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于的不等式，解之即得. 【小问1详解】 依题意，将，代入中， 解得，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以， 故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题. 解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决. 21. 函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． （1）设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ （2）设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； （3）设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】（1）函数在上的极值点不偏移 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. 【小问2详解】 因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. 【小问3详解】 由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄浦区2024学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共21道试题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1～6题每题满分4分，第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1. 若集合，，则________． 2. 不等式的解集为__________. 3. 椭圆的焦距是_________. 4. 若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 5. 的二项展开式的常数项为_______ 6. 若正数x、y满足，则的最大值为________． 7. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 8. 在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 9. 若，则不等式的解集为________． 10. i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为______． 11. 一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为________cm．（结果精确到0.1cm） 12. 设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为，则b＝________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13. 掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 15. 设，满足的x的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 16. 设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（ ） A. 数列与均是严格增数列 B. 数列与均是严格减数列 C. 数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D. 数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 18. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间. 19. A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高． （1）该校高一学生中男、女生各有多少名？ （2）若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率； （3）在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01） 20. 双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． （1）若，点的坐标为，求的值； （2）若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； （3）设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 21. 函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． （1）设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ （2）设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； （3）设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $