数轴上的滚动问题讲义2024-2025学年浙教版数学七年级上册

数轴上的滚动问题 知识概要 本讲主要介绍几何图形在数轴上的滚动问题，对于这类问题，我们通常的步骤是：①确定图形滚动一周时，前进或后退的单位长度（即图形的周长）；②当图形连续滚动时，找到运动过程中图形上的点（或箭头）与数轴上点所表示的数之间的对应关系；③由图形的周长和滚动的距离确定图形滚动的周数，再根据条件得到答案． 例题精选 【例题1】★ 如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿着数轴向右滚动一周，该圆上的最初与原点重合的点到达点，则点对应的数为 ． 【分析】圆沿着数轴滚动一周，滚动的路程刚好是圆的周长，所以，点与点的距离等于圆的周长，由此可得点所对应的数． 【解答】圆的周长等于，，点对应的数为． 【思考】圆在数轴上滚动，每转动一周，前进或后退的单位长度等于圆的周长，推广到其他几何图形也一样． 【例题2】★ 如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆周的等分点处标上字母、、、，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那么数轴上的所对应的点与圆周上字母（ ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【分析】因为圆的周长为个单位长度，所以圆每滚动一周，圆周上的点向左移动4个单位长度，此时只要求出和1的距离，就能求出圆滚动的周数．如果滚动的距离被4整除，则该点刚好与重合；如果有余数，则根据余数来判断与哪个字母重合． 【解答】1与的距离为：，而（周），即刚好向左滚动505周，所以应该与字母所对应的点重合． 故选：D． 【思考】本题出现了这种绝对值较大的数字，没法通过一次次转动来求得结果，此时需要抓住题目本身存在的循环规律：圆每滚动一周，就向左移动4个单位长度，再根据滚动的距离来判断最终与哪个字母重合． 【例题3】★★ 如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上表示1，2，3，4，，所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，，所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）圆周上的数字与数轴上的数字5对应，则 ； （2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周100圈后，落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数为 ． 【分析】数轴每绕着圆转一圈，相当于圆沿着数轴向右滚动一周．因为圆的周长为3个单位长度，则每绕一圈，数轴上与圆周上数字0、1、2重合的点所表示的数就增加3． 【解答】（1）数轴上表示1，2，3，4，5所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，2所对应的点重合，所以圆周上的数字2与数轴上的数字5对应，即． （2）每绕一圈，数轴上与圆周上数字0、1、2重合的点所表示的数就增加3，则绕100圈后，与圆周上数字1重合的点就增加，所以此时与圆周上数字1重合的点所表示的数为． 【思考】此题是数轴环绕在圆上，其本质与圆在数轴上滚动一致，此时只需要找到整数与圆周上的数字的对应关系，即可求得答案． 【例题4】★★ 如图所示，数轴被折成，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，，先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字　　重合． A． B． C． D． 【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上滚动的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0、1、2、3，则分别与圆周上表示数字2、1、0、3的点重合． 【解答】因为圆的初始位置对应数轴上的数3，所以圆滚动到数2018意味着圆滚动的距离为， ∵， ∴数轴上表示数2015的点与圆周上表示数字3重合． 故选：A． 【思考】此题数轴被折成，但圆经过拐点处时与数轴的相对位置没有发生变化，即可以转化成圆在没有弯折的数轴上滚动，同样是找到数轴上的点所对应的数与圆周上的数的对应关系，求得答案． 【例题5】★★★ 如图所示，一数轴被折成长为，宽为的长方形，圆的周长为且圆上刻一指针，若在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与接触的时候，指针的方向是（ ）． 【分析】指针在折叠的数轴上转动的时候方向不太好判断，经过拐点时指针的方向会发生多次改变，此时考虑将指针方向与字母或数字对应起来．比如，可以将圆四等分，分别在四等分处标上字母，，，，此时箭头方向始终指向点．因为圆的周长是4，则转动一周时，，，，刚好与四个整数相对应，再判断圆滚动到7时与圆周上哪个字母重合，最后根据圆上字母与圆上指针相对位置解题即可． 【解答】把圆四等分，分别标上字母、、、．圆从0滚动到7时，滚动了7个单位长度，，余数为3．由图可知如果余数分别是0、1、2、3，则分别与圆周上表示字母、、、的点重合．则圆滚动到数7时，此时与圆周上表示字母的点重合，根据圆上字母的位置，顺时针方向分别为、、、，以及箭头方向始终指向点，可得如图所示的位置，所以选项为C． 【思考】本题单纯观察指针的变化会比较困难，此时把圆进行四等分，分别标上字母，则指针的变化规律可以转化成更易发现的字母的变化规律，再根据圆上指针和圆上字母的相对位置进行求解． 课后作业 1．如图，一个圆柱体，现在它的底面圆周在数轴上滚动，在滚动前圆柱体底面圆周上有一点和数轴上表示的点重合，当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示2的位置，则这个圆柱体的底面周长为（ ） A． B．3 C． D．1 2．如图，半径为1的圆在数轴上滚动，开始在数轴上点处，向右滚动一周至点处，若点对应的数是3，则点对应的数是（ ） A． B． C． D． 3．如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数0的点重合，现该圆在数轴上向左滚动．则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（ ）的点重合 A．0 B．1 C．2 D．3 4．正六边形在数轴上的位置如图，点、对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2，则连续翻转2021次后，数轴上2021这个数所对应的点是（ ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示2021的点与圆周上表示数字（ ）的点重合 A．0 B．1 C．2 D．3 6．等边三角形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0、，若三角形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，则翻转4次后，点所对应的数为 ；翻转100次后，点所对应的数为 ． 7．一个长方形在数轴上的位置如图所示，，，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，求翻转2018次后，点所对应的数　 　． 14 15:8．如图，圆的周长为4个单位长度且圆上刻有一指针，现圆上的指针竖直向下指向数轴上表示的点．将圆沿数轴向右连续滚动，则圆滚动到数轴上表示的点时指针的方向是 （填向左、向右、向上或向下）． 9．如图所示，数轴被折成，圆的周长为个单位长度且圆上刻上指针，指针向上且指向数字1，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与2031接触时，指针的方向是向上、向下、向左或向右中的哪一种？ 10．把一数轴折成如图所示，第段为个单位长度，第段为个单位长度，第段为个单位长度，……，点处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动． （1）当圆与点接触时，指针指向东、南、西、北的哪个方向？ （2）当圆与接触时，指针指向东、南、西、北的哪个方向？． 学科网（北京）股份有限公司 $$