函数的奇偶性练习-2025届高三数学一轮专题复习

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 函数的奇偶性 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共8小题） 1. 若函数y＝f(x)是奇函数，且函数F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则函数y＝F(x)在(－∞，0)上有(　　) A. 最大值－8 B. 最小值－8 C. 最小值－6 D. 最小值－4 【答案】D 【解析】∵y＝f(x)和y＝x都是奇函数， ∴复合函数T(x)＝af(x)＋bx也为奇函数． 又∵F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8， ∴af(x)＋bx在(0，＋∞)上有最大值6， ∴af(x)＋bx在(－∞，0)上有最小值－6， ∴F(x)＝af(x)＋bx＋2在(－∞，0)上有最小值－4. 2. 已知函数f(x)是R上的偶函数，且对任意的x∈R有f(x＋3)＝－f(x)，当x∈(－3,0)时，f(x)＝2x－5，则f(8)等于(　　) A. －1 　　 B. －9 　　 C. 5 　　 D. 11 【答案】B 【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 则f(8)＝f(2)， 由函数f(x)为偶函数，得f(2)＝f(－2)． 当x∈(－3,0)时，f(x)＝2x－5，则f(－2)＝2×(－2)－5＝－9. 则f(8)＝f(2)＝f(－2)＝－9. 3. 设函数f(x)＝－ ，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A. B. ∪(1，＋∞) C. D. ∪ 【答案】A 【解析】易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数． 当x≥0时，f(x)＝－ ， 易知此时f(x)单调递增， 所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)， 所以|x|>|2x－1|，解得 <x<1.故选A. 4. 若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值6，则f(x)在(－∞，0)上有(　　) A. 最小值－6 B. 最大值－6 C. 最小值－2 D. 最大值－2 【答案】C 【解析】对任意x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，且φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)在(0，＋∞)上有最大值6，所以f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＋2＝－aφ(x)－bg(x)＋2≤6. 所以aφ(x)＋bg(x)≥－4， 所以f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－2， 所以f(x)在(－∞，0)上有最小值－2. 故选C. 5. 已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，f(2 022)＝3，则f(－2 022)等于(　　) A. －7 B. －5 C. －3 D. 3 【答案】A 【解析】∵f(2 022)＝a×2 0223＋b×2 022－2＝3， ∴a×2 0223＋b×2 022＝5， ∴f(－2 022)＝－a×2 0223－b×2 022－2 ＝－5－2＝－7. 6. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x，则f(2 022)的值为(　　) A. －1 　　 B. 0 　　 C. 1　　 D. 2 【答案】D 【解析】根据题意，f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，又由f(4－x)＝f(x)，得直线x＝2为图象的对称轴，且有f(4－x)＝f(－x)，变形可得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，又由x∈[0,2]时，f(x)＝x，则f(x)的图象如图所示，则f(2 022)＝f(2 022－4×505)＝f(2)＝f(2)＝2. 7. 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，f(－2)＝10，则f(2)等于(　　) A. －26 B. －18 C. －10 D. 10 【答案】A 【解析】设g(x)＝x5＋ax3＋bx，函数定义域为R. ∵g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－x5－ax3－bx＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数． ∵f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18， ∴g(2)＝－g(－2)＝－18， ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 8. 定义域为R的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(1)＝2 022，f(2)＝2 023，则f(2 022)＋f(2 022)等于(　　) A. 4 035 B. 4 036 C. 4 045 D. 4 046 【答案】C 【解析】由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， 得f(2－x)＝f(2＋x)， 即f(－x)＝f(4＋x)， 又因为y＝f(x)为奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)， 所以－f(x)＝f(4＋x)， 所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为8. 故f(2 022)＋f(2 023)＝f(2)＋f(3)＝f(2)＋f(1)＝4 045. 二、多选题（共2小题） 9. （2023·重庆市巴蜀中学期中）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 关于对称 C. 的对称中心为 D. 的图象关于对称 【答案】AB 【解析】A选项，，设 ， 为奇函数， 所以的对称中心为，所以A选项正确； B选项，， 设 ， 为偶函数， 所以关于对称，所以B选项正确； C选项，，设， ，所以不是奇函数，所以C选项错误； D选项，，设， ，所以不是奇函数，所以D选项错误. 故选：AB. 10. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋ ，且f ＝0，当x> 时，f(x)>0.给出以下结论，正确的是(　　) A. f(0)＝－ B. f(－1)＝－ C. f(x)为R上的减函数 D. f(x)＋ 为奇函数 【答案】ABD 【解析】由题意和x，y的任意性，取x＝y＝0代入可得f(0)＝f(0)＋f(0)＋ ，即f(0)＝－ ，A正确； 取x＝ ，y＝－ 代入可得f(0)＝f ＋f ＋ ，即－ ＝0＋f ＋2，解得f ＝－1，再令x＝y＝－ 代入可得f(－1)＝f ＋f ＋ ＝－2＋ ＝－ ，B正确； 取y＝－1代入可得f(x－1)＝f(x)＋f(－1)＋ ，即f(x－1)－f(x)＝f(－1)＋ ＝－1<0，即f(x－1)<f(x)，故f(x)为R上的增函数，C错误； 令y＝－x代入可得－ ＝f(x)＋f(－x)＋ ，即f(x)＋ ＋f(－x)＋ ＝0，故f(x)＋ 为奇函数，D正确． 三、填空题（共4小题） 11. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若f(－3)＝0，则 <0的解集为________. 【答案】{x|－3<x<0或x>3} 【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减. ∴f(3)＝f(－3)＝0. 当x>0时，由f(x)<0，解得x>3； 当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0. 故所求解集为{x|－3<x<0或x>3}. 12. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________. 【答案】0 【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0. 又因为函数f(x)关于直线x＝ 对称， ∴f ＝f .① 在①式中，当x＝ 时，f(0)＝f(1)＝0. 在①式中，以 ＋x代替x，得 f ＝f ， 即f(－x)＝f(1＋x)． ∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝0， f(3)＝f(1＋2)＝f(－2)＝－f(2)＝0， f(4)＝f(3+1)＝f(－3)＝－f(3)＝0，f(5)＝f(4+1)＝f(－4)－f(4)＝0. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 13. 若函数f(x)＝(x＋a)·(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式为________． 【答案】f(x)＝－2x2＋4 【解析】因为f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，所以b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，所以－(2a＋ab)＝2a＋ab，即2a＋ab＝0，所以a＝0或b＝－2. 当a＝0时，f(x)＝bx2，因为f(x)的值域为(－∞，4]，而f(x)＝bx2的值域不可能为(－∞，4]，所以a≠0.当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，值域为(－∞，2a2]，所以2a2＝4. 所以所求函数f(x)的解析式为f(x)＝－2x2＋4. 14. 已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，则f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝________，g(3)＝________. 【答案】2　3 【解析】∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， ∴f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝x2－x－2， 又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2， ∴f(x)＝x2－2，g(x)＝x，∴f(－2)＝4－2＝2，g(3)＝3. 四、解答题（共2小题） 15. 判断函数f(x)＝ 的奇偶性． 【答案】解　f(x)的定义域为R，关于原点对称． 当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 16. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ (1)在给定的坐标系中画出函数f(x)在R上的图象(不用列表)； (2)直接写出当x<0时，f(x)的解析式； (3)讨论直线y＝m(m∈R)与y＝f(x)的图象的交点个数． 【答案】解　(1)函数图象如图． (2)f(x)＝ (3)设交点个数为g(m)，当m>5时，g(m)＝0； 当m＝5时，g(m)＝2；当1<m<5时，g(m)＝4；当m＝1时，g(m)＝3；当m<1时，g(m)＝2； 综上所述，g(m)＝ 答案第2页 总2页 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的奇偶性 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题（共8小题） 1. 若函数y＝f(x)是奇函数，且函数F(x)＝af(x)＋bx＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则函数y＝F(x)在(－∞，0)上有(　　) A. 最大值－8 B. 最小值－8 C. 最小值－6 D. 最小值－4 2. 已知函数f(x)是R上的偶函数，且对任意的x∈R有f(x＋3)＝－f(x)，当x∈(－3,0)时，f(x)＝2x－5，则f(8)等于(　　) A. －1 　　 B. －9 　　 C. 5 　　 D. 11 3. 设函数f(x)＝－ ，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A. B. ∪(1，＋∞) C. D. ∪ 4. 若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值6，则f(x)在(－∞，0)上有(　　) A. 最小值－6 B. 最大值－6 C. 最小值－2 D. 最大值－2 5. 已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，f(2 022)＝3，则f(－2 022)等于(　　) A. －7 B. －5 C. －3 D. 3 6. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x，则f(2 022)的值为(　　) A. －1 　　 B. 0 　　 C. 1　　 D. 2 7. 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，f(－2)＝10，则f(2)等于(　　) A. －26 B. －18 C. －10 D. 10 8. 定义域为R的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(1)＝2 022，f(2)＝2 023，则f(2 022)＋f(2 022)等于(　　) A. 4 035 B. 4 036 C. 4 045 D. 4 046 二、多选题（共2小题） 9. （2023·重庆市巴蜀中学期中）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 关于对称 C. 的对称中心为 D. 的图象关于对称 10. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋ ，且f ＝0，当x> 时，f(x)>0.给出以下结论，正确的是(　　) A. f(0)＝－ B. f(－1)＝－ C. f(x)为R上的减函数 D. f(x)＋ 为奇函数 三、填空题（共4小题） 11. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若f(－3)＝0，则 <0的解集为________. 12. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝ 对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________. 13. 若函数f(x)＝(x＋a)·(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式为________． 14. 已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，则f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝________，g(3)＝________. 四、解答题（共2小题） 15. 判断函数f(x)＝ 的奇偶性． 16. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ (1)在给定的坐标系中画出函数f(x)在R上的图象(不用列表)； (2)直接写出当x<0时，f(x)的解析式； (3)讨论直线y＝m(m∈R)与y＝f(x)的图象的交点个数． 试卷第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$