专项3-4 等腰三角形与尺规作图 勾股定理-2024-2025学年八年级数学上册芸熙百分期末必刷卷（华东师大版）河南专版

考点2 等边三角形的性展与判定 见: 考点3 尺规作图 3.如图.C是线段AB上除点A.B外的任意一点.分别以AC.BC 专项3 等腰三角形与尺规作图 5.如图已短2A0和线段MV.点V分到在对线208上 为边在线段AB的目概作等边三角形ACD和等边三角形C 选结A交DC干点M.连结BD交C于点N.选结V 考点1 等三角形的性与列定 (1)求证:AF-BD: 1.【问题育】某校八年级数学社团在研究等题三角形三线合 (2)求证:V/AB 一“排时发现①如图,在AAC中.若AD1既.=CD. ##.# (1)提作图:作/A0限的平分线和线段的兵直平分规交 有=C②某风学丽势提出一个间题:既然①正确,现么 于点P(保留作阁迹,不写作图步骤 进一步指得A=AC.即AB+=AC+CD若①中的 8D-CD换为AB·-AC4CD.能准出云B-C吗 (2)选结PvP.过点P作P10.P望10.垂足分累为C 基于此,社团成员小军进行了探索研究,发现确实能推出 D.求证:MC=NB请补全下列证明 乙B乙C.抖提供了如下的证明方法 证明一:点P在线段V的承直平分线上 -.MP。P 证明:如图,分别廷长DC至F两点,使得.. ). 【问题解决] ·点P在乙A0B的平分线上PC10A.P10B 4.已短在等边三角形AaC中.点在A上.点P在C的廷长 (1)完①的证明: :PC-PD (2)把②中小军的证明过程补充完整 线上.1:tC (1)!特殊情况.探索结沦 2.△PC和APDV为直角三角形 吾高 加图1.当点E为AB的中点时,确定线段A与DB的大小关 -Bp-p 填“或-): :Af -.MC.D (2)!特倒发,答题目! 6. 阅读下面的“数学活动报告,并完成相应的学习任务 加闻2.当点E为A边上任意一点时,确定线段A与D的 R嫂作图-过一点作已知直线的重线 大小笑,A ()“(“或-). 【语动内容】已知点P在直线7上,过点P作直线/的线 理由如下:过点F作EFB.交AC干点F:(请你完成以下 方案一:过点P作直线I的垂线步:如图1,以点P为圆心。 班 答过程) (3)!拓展结论,设计题! 任意长为率径作,与直线/相交于点A和点B.作线段AB的 在等边三角形ABG中,点在直线A上.点D在线段C的 直平分线CD.赠直线CD就是所求直线1的承线 2.如图,在△ABC中.A=AC.过CA的短长线上一点D.作D1 廷长线上,且t0-FC.若△ABC的近长为1A-2.求CD的 方案二:如图2.把直线1看作平角乙MP,过点P作直线1的项 C.足为E交边AB于点F 长(请你出相应图形,并直接写出结果) 远是作字角的浮分线 (1)求证:AADF是等要三角形 (23若A0-13.-5.F为AB的中点,求FF的长 斑 # 用1 图2 图1 图2 图3 【学习任务] (1)按照方案一民现作图步现,判定AAC经AC的依据是 (2)请按朋方案二的方法在图2中作出图形: 【话用】 (3)如图3.在AC中.过点4作近上的减 看学,人级 上册 第!首 3面 数,八气题 上册 第页 共页 数学入拨上0 第3言 共3页 专项3 字,:% 3.如图.E为AC上一点.AC1BCAC1AD.AB-DFABDE交子 (2)若环在的行的迷度为每分钟50田.环车暖声能响该 点且AD 专项4 勾股定理 校持续的时间有多少分钟 (1)判断线段4的数量关系,并说明理由 考点! 句段定理及其送定理的应用 (2)连结BDB.若设BC=&.AC=$AB=c.利用此测证明句 1.如图,在4x4的正方形网格中.抖个小格的顶点呵做格点、话 股定理 ## 分按下预要既出图形(要求:用无效度直尺和恰笔图 B所画陷形的项点在格点上) (1)在图1中画一个直角三角现,使它的三边长多是有理数 (2)在图2中到一个直角三角形,使它的一边长是有现数,另 斗两边长是无理数: (3)在图3中画一个直角三角形,徒它的三边长那是无理数 (4)在图4中画一个正方形,使它的面相为10 考点3 利用勾股定理解决几何图形的析叠问题 6.学习完《勾股定理》一章,李凯和张亮剪了一张直角三角形科 考点2 利用句定理解块实哪问题 图3 4 一张长方形纸片,进行如下提作 图1 图2 4一样子AC长2.5.如图现样铅靠在一面晓上.样子底炮离 2.“农场小达人”社团计划在春天到来之前整修教学楼顶层的平 提作一:在Bt△AnC中.2C=0AC=3.BC=4如图1.将直 0.7m 角边AC沿直线AD折叠.使它落在斜边A上.点C与点f 台,用于建没菜园和花昆,如图,A处是顶层平台自来水的位 (1)这想榜子的阅漏地面有多高 ,C两处分别计划修建菜回和花,是.C两处相20 合请求出CD的: (2)设稿子项燥到水平地如的离为A.陪到垂直墙面的 提作二:如图2.在长方形A2CD中,A8-10.段C-6.在段C边 A.B两处相距16mA.C两处相距12.为了便于用水.小 离为1.若-&.根据经晚可知;当2.765.6时,梳子最校 上取一点P,将ADPC沿直线DP折叠,点C恰好与AB边上的 在图纸上括助没计了两神水管设方案 点重合,求P的长 甲方案:沿线段AAC错设2段水管 定,使用时最安全,若提子的题减下滑了04I,请回这时使用 乙方案:过点A作C的无线.足为D.沿线段ADDDC 是否安全。 段3段水管. (1)判断△AC的形状,并说明理由; 图{ 图2 (2)小华设计的哪一种方案需要铺设的水答更好?为什么? 5.如图有一台环卫车清公路A由点A向点B行献,已知点C为 一所学校,且点C与直线AB上两点A.8的出离分别为150m 和200-.AB-250m.环1车因图130-以内为受声影响 区. (1)学校C会受声响吗?为什么 数学八线上:第百 3 数学:八题上 第页 专项4 数学年线 1 第3页 3音杂·八年级·数学·上册 服云奥 3.解：(1)原式=9a-4a°+5a°=10a. △ABC≌△DEC(S.A.S...AB=DE. (2)原式=xy÷x2y-xy=xy3-xy3=0. (2)可行.理由如下： 4.解：a'=2.a=3. BF⊥AB,DE⊥BF,∴.∠B=∠CDE=90 a2=w"·a2=(a)3.(a)2=22×32=8×9=72 ,∠B=∠CDE=90° e=(00=243=427=分 在△ABC和△EDC中， CB=CD. I∠BCA=∠DCE. 5.解：(1)①原式=a(2-106+25)=a(b-5)2 ∴，△ABC≌△EDG(A.S.A.).,∴.AB=ED 2原式=(4x)2-(x+4)2=[4x+(x+4)][4x-(x+4)]= (3)AB∥DE解析：AB∥DE,∴∠B=∠CDE (4x+x+4)(4x-x-4)=(5x+4)(3x-4). ∠B=∠CDE. (2)原式=101×(1022-982)=101×(102+98)×(102- 在△ABC和△EDC中， CB CD, 98)=101×200×4=80800. ∠BCA=∠DCE 6.解：(1)C(2)没有考虑4=b的情况 ∴，△ABC≌△EDG(A.S.A.).∴.AB=ED (3)△ABC是等腰三角形或直角三角形 4.解：(1)证明：AD⊥DE,BE⊥DE,∴，∠ADC=∠CEB=90 7.解：(1)原式=y2+2y+1-(y2+5y-y-5)=y2+2y+1 '∠ACB=9O°.∴.∠ACD+∠ECB=90°，∠DAC+∠ACD=90 y2-5y+y+5=-2y+6.y的算术平方根是它本身，.y= .∠DAC=∠ECB.在△ADC和△CEB中 1或0..原式=4或6. Y∠ADC=∠CEB (2)原式=[x2-49+4y2-(x2-4y2)-(4y+8y2)]÷ ∠DAC=∠ECB.,△ADC≌△CEB(A.A.S.). 【=2-g+4-+4-4g-8):(-之 LAC =CB, (2),BE⊥CE,AD⊥CE,.∠ADC=∠CEB=90 -g+(-之=16y4…原赋=16x}=4 六.∠CBE+∠ECB=90°. ∠ACB=90°，∴，∠ECB+∠ACD=90. (3)原式=1-a2+a2-3ab+aB÷ab2=1-2+a2-3ab+ .LACD=∠CBE ab =I-2ab. r∠ADC=∠CEB. ,a是/10的整数部分，b是-27的立方根..a=3.b=-3. 在△ADC和△CEB中， ∠ACD=∠CBE. 当m=3,6=-3时，原式=1-2×3×(-3)=1+18=19. AC=CB. 8.解：【教材引入】(a+b)2=a2+2b+ ∴，△ADC≌△CEB(A.A.S.)..AD=CE=2.5,CD=BE 【类比探究】(a+b)2-2ab=a2+b2 BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8. 【应用】(1)90 专项3等腰三角形与尺规作图 (2)(11-x)2+(x-8)2=[(11-x)+(x-8)]2-2(11- 1.解：(1)证明：：AD⊥BC,÷∠ADB=∠ADC=90 x)(x-8)=32-2×2=5. AD=AD. 【拓展】种草区域的面积和为12 在△ADB和△ADC中， ∠ADB=∠ADC, 解桥：AC⊥BD,E=DE,E=CE,S6m=E, BD =CD. .△ADB≌△ADC(S.A.S.).,∴.∠B=∠C Sa一号C.:种花区城的面积和为宁4A松+0心=25 (2)如图，分别延长DB,DC至E,F两点，使 得BE=B附，CF=CA,连结AEAF C7CE(AE+CE)-25]x( ,AB+BD=AC+CD,∴BE+ 25)=12..AE·BE=DF·CF=12..种草区域的面积和 BD CF+CD..".DE DF. AD⊥BC,.∠ADE=∠ADF 为2(AE·BE+DE·CE)=2 =90. 专项2全等三角形模型 AD =AD. 1.解：(1)证明：，AD=BE.,AD+BD=BE+BD.即AB=DE 在△ADE和△ADF中，∠ADE=∠ADF, AB=DE. 【DE=DF 在△ABC和△DEF中，AC=DF,△ABC≌△DEF(S.S.S.) △ADE≌△ADF(S.A.S.)..∠E=∠F BC =EF, BE=BA,CF=CM,∴∠E=∠BAE,∠F=∠CMF (2).△ABC△DEF,∠A=55°，∠E=45°，∴.∠A=∠FDE ,·∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF 55°.∴.∠F=180°-（∠FDE+∠E)=180°-(55°+45）=80° ,∠ABC=∠ACB. 2.证明：(1)：D为BC的中点，BD=CD, 2.解：(1)证明：在△ABC中，AB=AC,∠B=∠C BE∥AC,.∠EBD=∠C,∠E=∠CAD DE⊥BC,∴.∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°. ∠EBD=∠C, ÷∠BFE=D.,·∠BFE=∠AFD, 在△BDE和△CDA中， ∠E=∠CAD. .∠D=∠AFD.∴.AD=AF.∴.△ADF是等腰三角形 BD =CD. (2)F为AB的中点，.AF=BF ∴.△BDE≌△CDA(A.A.S.). :△ADF是等腰三角形，∴.BF=AF=AD=13 (2),D为BC的中点，AD⊥C DE L BC...EF BF-BE =12 ,直线AD为线段BC的垂直平分线，，.BA=CA. 3.证明：(1)，△ACD和△CBE均为等边三角形， 由(1)可知△BDE≌△CDA,.BE=CA..BA=BE AC=CD,CB=CE,∠DCA=∠BCE=60°. 3.解：(1)可行.理由如下： .∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中， AG=DC. AC=DC. 在△ABC和△DEC中 ∠ACB=∠DCE ∠ECM=∠BCcD,∴，△ACE≌△DCB(S.A.S.).∴.AE=BD CB=CE, EC BC. 河洛芸熙·期末考试必刷卷 面底运腿 (2).*△ACE≌△DCB,∴.∠MEC=∠NBC ∠BAC=90°.△ABC是直角三角形. ,∠DCA=∠BCE=60°，∴.∠ECM=60. (2)甲方案需要铺设的水管更短.理由如下： ∠BGN=∠ECM=6O°，CB=CE,∠NBC=∠MEC △BCN≌△ECM(A.S.A.)..CW=CM. ySA版=7AB,AC=BC·AD, CM=CN,∠ECM=60°∴，△CMN是等边三角形. A0=4B:AC=16x12=9.6(m. ..∠MNC=60°..·∠BCE=∠MNC=60°，..MN∥AB. BC 20 4.解：(1）= AB+AC=16+12=28(m), (2)=理由如下：如图1，过点E作EF∥BC,交AC于点 AD+BD+CD=20+9.6=29.6(m) F,则∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠FEC=∠ECD 28m<29.6m.甲方案需要铺设的水管更短 :△ABC是等边三角形，，AB=AC,∠A=∠ABC=∠ACB= 3.解：(1)DA=CE+BC.理由如下： 60°.∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°..△AEF为 AC⊥BC,AG⊥AD,∴∠DAE=∠ACB=90 等边三角形，∠EFC=120°..AE=EF,∠DBE=∠EFC= .·AB⊥DE,..∠DFA=∠EFA=90 I20°，，ED=EC.∴.∠D=∠ECD.∴，∠D=∠FEC. .∠BAC+∠BAD=90°，∠EDA+∠BAD=90° ∠DBE=∠EFC=120°， I∠ACB=∠DAE. 在△DBE和△EFC中， ∠D=∠FEC. .,∠BAC=∠EDA.在△ABC和△DEA中，∠BAC=∠EDA. DE EC. AB =DE ∴△DBE≌△EFC(A.A.S.).∴DB=EF,∴AE=DB △ABC≌△DEM(A.A.S.).∴.AC=DA,BC=EA 4 AC=CE+EA,..DA CE+EA=CE +BC. (2)证明：Sau=Sat+Saum=BD·BF+EBD, A=EAB=,=+S=2+8， 图1 图2 (3)如图2，过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F. 2+8=.2+8 同(2)得△AEF是等边三角形.△DBE≌△EFC(A.A.S.). 4.解：(1)由题意可知，∠B=90°，AC=2.5m,BC=0.7m, ∴，AE=EF=2.DB=EF=2.:BC=1.∴.CD=BC+DB= 1+2=3. .AB=√AC-BC=√/2.5-0.7=2.4(m). 5.解：(1)∠AOB的平分线和线段MN的垂直平分线如图. 答：这架梯子的顶端离地面有2.4m高。 (2)这时使用不安全.理由如下： 由题意，得AA'=0.4m,在RI△A'BC'中，A'B=AB-AA'= 2.4-0.4=2(m）,A'C=2.5m, .BC=√AC-A'B=2.5-2=1.5(m). 24 n15=3<2.7 这时使用不安全 (2)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 5.解：(1)学校C会受噪声形响.理由如下： 角平分线上的点到角的两边的距离相等H,L 如图，过点C作CD⊥AB于点D, 6.解：(1)5.5s AC=150m.BC=200m.4B=250m. (2)如图1，直线PD即为所求作 ..AC BC =AB. “△ABC是直角三角形. .AC·BC=CD·AB. B N ÷cD=150,x200=120(m. 250 D ,:环卫车周围130m以内为受噪声影响区城。 图1 图2 ∴学校C会受噪声影响 (3)如图2，线段AD即为所求. (2)如图，在AB上取点E、F,当EC=130m,FC=130m时， 专项4勾股定理 正好影响C学校 1.(1)如图1，△ABC即为所求作.（答案不唯一） ,ED=√EC-CD=130-1202=50(m). (2)如图2，△ABC即为所求作.（答案不唯一） .EF=100m (3)如图3.△ABC即为所求作.（答案不唯一）】 :环卫车的行驶速度为每分钟50米， (4)如图4，正方形ABCD即为所求作.（答案不唯一》 ,∴，100÷50=2（分钟）. 答：环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟， 6.解：操作一：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, 二AB-√3+4=5.由折叠的性质可得，AE=AC=3,CD=DE .BE=AB-AE=5-3=2. 图1 图2 图3 图4 设CD=x,则DE=x,BD=4-x 2.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： 在R△DBE中，∠DEB=90°，由勾股定理，得x2+22=(4-x)月 .BC=20 m.AB =16 m,AC 12 m, :.AB+AC=162+122=202=BC 解得x=子GD=子 5 杂·八年级·数学·上册 派运腿 操作二：在长方形ABCD中，DC=AB=10,AD=BC=6. 18.解：原式=4m2+4mn+n2+m2-n2-5m2+5mn=9mn.当 根据折叠的性质，得DE=DC=10.在R1△ADE中，∠A=90°， m=6-1,n=6+1时，原式-9×(6-1)×(6+1)-9× 由勾股定理，得AE=√DE-AD=8. (6-1)=45. BE=AB-AE=2.设BP=y,则PE=PC=6-y 19.解：(1)由题意，得AB=2.5m,BC=0.7m在Rt△ABC中，由 在R△BPE中，∠B=90°，由勾股定理，得y2+2=(6- 勾股定理，得AC=√AB-BC=2.5-07=2.4(m). )入解得y=8 答：这个梯子的顶端距地面有2.4m 31 (2)不同意理由如下：，DE=AB=2.5m,BC=07m,BD= P的长为号 0.8m,∴.CD=BC+BD=1.5(m).在Rt△DCE中，由勾股定 南阳市2023年秋期期未调研测试试题卷 理，得CE=√D-CD=25-15=2(m),.AE= 一、选择题 AC-CE=24-2=0.4(m),∴梯子的顶端A沿墙垂直下滑了 0.4m,马小虎的说法错误 题号12345678910 20.解：(1)a"=8,.am=(a)2=82=64.a2m-n=a2÷ 答案BDBBDBBCAC a”=16,∴，64÷a"=16,.a"=4. 10.C解析)如图，∠A0B=60°，0C (2)①a”·b=(ab)“(n为正整数) 平分∠AOB,.∠A0C=∠BOC= ②原式=(-4)2@m×0.252m×0.25=(-4×0.25)2m× 0.25=-1×0.25=-0.25. ∠A0B=30°.分三种情况讨论：① 1 0 21.解：(1)如图所示 E1E21 当OE=PE时，此时点E在点E,处， ∴.∠A0C=∠0PE=30°，.∠OEP=180°-∠A0C- ∠0PE=120°；②当OP=OE时，此时点E在点E,处， ∠0PE=∠0BP.∠0BP=2180-∠A0C)=2×(10 B (2)证明：直线MN是PA的垂直平分线，，P0=AO, -30)=75:③当0P=PE时，此时点E在点E,处， ∠POQ=∠A0B=90°.又由作图可知OQ=0B,∴△POQ兰 ∠0EP=∠AOC=30°.综上所述，∠0EP的度数为120或75 △AOB(S.A.S.)..∠OPO=∠BAO..PQ∥L 或30°，即∠OEP的度数不可能是60°.故选C (3)如图所示，直线PM即为所求（作图不唯一，合理即可） 二、填空题 B 11.80012.160 13.(a+b)(a+3b)=a2+4ab+314.20 D 15.8120解析》如图，由作图可知，点 P、P'关于射线OB对称，点P、P”关于 射线OA对称，.∠POB=∠P'OB, 22.解：(1)√17-4I ∠P0A=∠POA.OP=OP=0°. 0 .∠POP=∠P'OB+∠POB+ (2)4<5<9..2<5<3.a=5-2.36<37<49 ∠POA+∠P0A=2(∠POB+∠POA)=2∠AOB=60°， 6<v37<76=6,a+b-5=5-2+6-5=4. △POP"是等边三角形，.Pp=OP=OP=8.连结PN (3)x+√2I-y-3的平方根为±5. PM,则PN=P'N,PM=P产M,∴C△n=PM+PN+MN= 23.解：(1)△CDN△DMN 严M+P"V+AMN≥PP,当P,N,M,P四点共线时，△PMN (2)证明：延长AB至点F,使BF=CV,连结DF,由题意得， 的周长最小，最小值为P'P的长，即△PM周长的最小值 DB=DC,∠ABC=∠ACB=60°，∠BDC=120P,∴.∠DBC= 为8，此时∠MPN=120 ∠DCB=30°，·∠ABC+∠DBC=90°=∠ACB+∠DCB, 三、解答题 .∠DBF=∠DCY=90°.又BF=CY,∴.△BDF≌△CDN 16.解：(1)原式=y(2-1)=(x+1)(x-1). (S.A.S.),.DF=DN.∠BDF=∠CDN..:∠MDW=60°. ∠BDC=120°，.∴.∠BDM+∠CDN=60°，∠BDM+∠BDF= (2)原式=(x+y+7)2. 6O°.∠FDM=∠NDM=60°.又：DM=DM,.△DMF≌ 17.解：(1)300120 △DMN(S.A.S.). (2)补全频数分布直方图如图所示 ,MN=MF,∠DMF=∠DMW,,MD平分∠BMN 人数（频数） 120 .MF=BM BF =BM +CN...MN BM +CN. 即△AMN的周长为AMM+AN+MN=AM+AN+BM+CN= 90 4B+AC=6. (3)△AMN的周长为3.解析》如图，延 60 长BD交AC于点P,延长CD交AB于点 30 Q,令KP=QM,连结DK.,△BDC是等腰 三角形，且∠DC=120°，∴，BD=CD ∠DBC=∠DCB=30°，∠BDQ=∠CDP=60°.：△ABC 60708090100分数（分） 是等边三角形，.∠ABC=∠ACB=60°， (3)360°×40%=144° ∴∠MBD=∠PCD=30°，CQ⊥AB,BP⊥AC, 答：分数在80≤x<90的学生人数对应的扇形圆心角的度 数为144 .40=B-2A2AP-PC-1AC-3 6