江苏省2024-2025学年高一上学期数学期末专题复习讲义05：幂函数、指数函数、对数函数部分

2024-2025学年度江苏省高一上学期数学期末专题复习--幂函数、指数函数、对数函数部分 一、幂函数 1、幂函数的概念 一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2、常见幂函数的图象与性质 在同一平面直角坐标系内，画出函数 (1)y=x；(2)y=；(3)y=x2；(4)y=x-1；(5)y=x3的图象如图所示. 3、常见幂函数的性质 4、幂函数的共同特性 （1）幂函数y=xα(α为常数)的性质 ①当α>0时，函数y=xα的图象都过点(0，0)和(1，1)，在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，+∞)上单调递增. ②当α<0时，函数y=xα的图象都过点(1，1)，在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，+∞)上单调递减. 5、幂函数的图象 （1）根据幂函数在第一象限内的图象可确定幂的指数α与0，1的大小关系.   （2）依据幂函数的图象的高低判断幂的指数的大小，相关结论如下： ①在x∈(0，1)上，幂的指数越大，幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)； ②在x∈(1，+∞)上，幂的指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”) 6、幂函数性质的应用 （1）幂函数的性质与α的相互确定 幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性. 反过来，也可由幂函数的性质去限制α的取值：利用幂函数的单调性求出α的取值范围；由幂函数的奇偶性结合所给条件确定α的值. （2）利用幂函数的单调性比较大小的方法 ①直接法：当幂函数中的幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性比较大小； ②转化法：当幂函数中的幂的指数不同时，可以先转化为相同的幂的指数，再运用幂函数的单调性比较大小； ③中间量法：当幂函数中的底数和幂的指数均不同时，可选取适当的中间值(通常选用0或1)比较大小. 二、指数函数 1.定义：函数叫做指数函数，定义域为. 2.性质： 3、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题 （1）求与指数函数有关的函数的定义域时，要观察函数是y=af(x)(a>0，a≠1)型还是y=f(ax)(a>0，a≠1)型. （2）函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同 （3）求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，先令u=ax(u>0)，然后确定y=f(u)的定义域，即u=ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值集合，即y=f(ax)的定义域. 4、求与指数函数有关的函数的值域时，重点要注意指数函数的值域为(0，+∞). (1)求函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性确定函数y=af(x)的值域. (2)求函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)的值域，先令u=ax(u>0)，然后利用函数u=ax的单调性确定其值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即y=f(ax)的值域. 5、与指数函数有关的函数的单调性 （1）形如y=af(x)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 （2）当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间 (3)当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间. 6、形如y=f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性的判断方法 通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性 三、对数函数 1.定义：函数叫做对数函数，定义域是. 2.性质： 3、对数函数的图象及其应用 （1）对数型函数图象过定点问题 求函数y=m+loga f(x)(a>0，且a≠1， f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m). （2）根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线y=1，与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小. （3）函数图象的变换规律 ①一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. ②含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的. 4、比较对数值的大小 (1)底数相同，真数不同：利用对数函数的单调性进行比较. (2)底数不同，真数相同：利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较. (3)底数不同，真数不同：利用中间量进行比较. (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论 5、解对数不等式 (1)形如loga f(x)>logab(a>0，且a≠1)的不等式，借助函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论； (2)形如loga f(x)>b(a>0，且a≠1)的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，借助函数的单调性求解； (3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解. 6、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题 （1）对数型函数的定义域 求对数型函数的定义域时，除了要遵循前面所学的求函数定义域的方法外，还要保证对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. （2）求对数型函数的值域的常用方法 ①直接法：根据函数解析式的特征，直接得出函数的值域. ②配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠0，a>0，a≠1))时，可以用配方法求函数的值域. ③单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域. ④换元法：求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1， f(x)>0)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau(a>0，且a≠1)的单调性、图象求出y的取值范围. 7、与对数函数有关的函数的单调性的判断方法 （1）形如y=loga f(x)(a>0，a≠1， f(x)>0)的复合函数，当a>1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反. （2）形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数的单调性“同增异减”的规律判断，即令t=logax(a>0，a≠1)，只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可. 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域为，则值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（23-24高一上·江苏淮安·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数是自然对数的底数，记，则（     ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，且，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏南京·期末）在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的递减区间是 C．的图象关于成中心对称 D．函数在上单调递增，则a的取值范围是 10．（23-24高一上·江苏泰州·期末）已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏常州·期末）若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则的定义域为 ． 13．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 14．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 四、解答题 15．（23-24高一上·江苏盐城·期末）画出下列函数的大致图象： (1)． (2)． 16．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断并证明的奇偶性； (3)讨论的单调性. 17．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 参考答案： 1．A 【分析】根据题意先判断函数单调性，结合单调性求最值和值域. 【详解】因为函数的定义域为， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 可知在内的最小值为，最大值为， 所以值域为. 故选：A. 2．D 【分析】把点代入幂函数的解析式求出的值，进而可得在上单调递减，再结合对数函数的性质可知，从而比较出，，的大小． 【详解】点在幂函数的图象上， ，， ，在上单调递减， ，，， ， ，即 故选：D. 3．B 【分析】根据确定其单调性，然后利用单调性求解不等式即可. 【详解】当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递减； 其中，所以在上单调递减； 因为，所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围或， 故选B. 4．D 【分析】利用函数的奇偶性和函数值域判断即可得出结果. 【详解】函数,即可知函数的定义域为R, 即为偶函数，排除A、C， 又由指数函数性质可以，即，排除B, 故选：D. 5．A 【分析】根据给定条件，探讨其对称性和单调性，再利用性质比较大小. 【详解】函数的定义域为，， 因此函数的图象关于直线对称，当时，，函数在上单调递增， ，显然，即， 所以. 故选：A 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 6．B 【分析】由对数函数不等式解得，记，由条件得，则，构造函数，，利用函数单调性求值域即可求解. 【详解】因为，所以，又，所以， 记，则，从而，， 令，，设， 则， 因为，所以，， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以， 即的取值范围是. 故选：B 7．D 【分析】根据题意中函数的定义可得，由得，结合不等式的性质和对数的运算性质解不等式即可. 【详解】由题意知，，则，得，即. 由，得， 即或，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：D 8．B 【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 9．AC 【分析】 由指数函数的单调性可判断A正确；由复合函数的单调性和对数函数的性质可判断B错误；对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图像的变换规律可得C正确；由复合函数的单调性可判断D错误. 【详解】A：因为，所以，故A正确； B：设，因为在定义域上为增函数，则由复合函数的单调性和对数函数有意义可知，减区间为，故B错误； C：，对称中心为，故C正确； D：函数的对称轴为，因为函数在上单调递增，所以，即，故D错误； 故选：AC. 10．BD 【分析】分别求出值域，根据值域的并集为建立不等式，逐项判断即可. 【详解】当时，单调递增，其值域为， 当时，单调递增，其值域为， 由题意的值域为，所以，所以， 记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：    因为，所以， 又因为，所以， 所以，要使，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 结合选项可知，实数的值可以是，. 故选：BD 11．ACD 【分析】 根据条件得到函数图像应该是上凸的或者是直线，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】对于任意，， 故函数图像应该是上凸的，此时，如图所示： 或者函数图像是一条直线，此时， 画出函数图像，如图所示： 根据图像知：ACD满足条件. 故选：ACD 12． 【分析】先求出函数的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解． 【详解】由题意得，，解得， 令，则， 故的定义域为. 故答案为： 13． 【分析】 根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 易知函数在上单调递增， 函数在上单调递增，则，且有，解得， 所以，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】根据函数的解析式，分析得到函数的奇偶性及单调性，结合性质及题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】函数的定义域为或，关于原点对称， ，所以为偶函数， 又当时，，令， 根据复合函数“同增异减”可知在上单调递增， 任取， ， 因为，所以，，所以， 所以，所以，所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由对称性知，函数在上单调递减， 因为， 所以，解得. 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据函数的奇偶性、单调性的定义证明为偶函数且在上单调递增，再由单调性和奇偶性解不等式即可答案. 15．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由函数为偶函数，结合对数函数的图象，利用对称性作图． （2）利用函数图象的对称变换，把的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称即可. 【详解】（1），易知函数为偶函数， 所以函数的图象如图所示： （2）把的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称，即可得的图象， 如图所示： 16．(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)在上单调递增，在上单调递减； 【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得函数的定义域； （2）判断出函数为偶函数，然后利用函数奇偶性的定义证明即可； （3）利用复合函数的单调性可得出函数的单调性. 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为. （2）函数为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，故函数为偶函数. （3）因为， 令，因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 外层函数为上的增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质求解即可； （2）化简可得恒成立，再根据，结合与基本不等式求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为R， ，解得， 此时 成立， 所以. （2）由题，不等式，所以，即， 有，则，所以 因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 18．(1)；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用指数函数的单调性，得到，得出，再由函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得的最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得， 可得，则，其定义域为， 又由，所以函数为上的奇函数. （2）解：由， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为对恒成立，所以， 即，所以实数的取值范围为. 19．(1)不是“依赖函数”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题中定义，运用特例法进行判断即可； （2）根据题中定义，结合指数函数的单调性、二次函数的性质进行求解即可； （3）根据二次函数对称轴与所给的区间的位置关系，结合对钩函数、一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”. （2）因为在递增，故，即， 由，故，得， 从而，设 当时，函数单调递增， 故； （3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若故在上单调递增， ∴，解得或（舍）. ∴存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由， 得，由，可得， 又在单调递增，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$