江苏省2024-2025学年高一上学期数学期末专题复习讲义03：指数与对数部分

2024-2025学年度江苏省高一上学期数学期末专题复习--指数与对数部分 一、指数及其运算 1、根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． （2）性质： ①(且)； ②当为奇数时，；当为偶数时， 2、分数指数幂 ①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)； ②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)； ③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 3、指数幂的运算性质 ①； ②； ③. 4、指数函数及其性质 （1）指数函数的概念 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． （2）指数函数的图象和性质 二、对数及其运算 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④＝logaM. (2)对数的性质 ①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与性质 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列答案不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江苏盐城·期末）我们知道，任何一个正数可以用科学记数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（    ）（） A．27 B．28 C．29 D．30 5．（22-23高一上·江苏南通·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏南京·期中）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（   ）位数（参考数据：，） A．14 B．15 C．55 D．56 7．（22-23高一上·江苏无锡·期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数．例如； ．已知函数，其中，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）人类是数据的创造者和使用者，自结绳记事起，它就已慢慢产生，随着计算机和互联网的广泛应用，人类产生创造的数据量呈爆炸式增长，中国已成为全球数据总量最大、数据类型最丰富的国家之一，人类采集、存储和处理数据能力大幅提升，使数据应用渗透到我们生活中的每个角落．目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2024年全球产生的数据量是2023年的（    ）倍． A．0.5 B．2.25 C．1.5 D．15 二、多选题 9．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，，且，，则下列等式正确的是 （    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知，，则 .（用数字作答） 13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）设，则 （用来表示．） 14．（24-25高一上·江苏扬州·期中）设为正实数，，，则 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·江苏南京·期末）（1）已知，求的值； （2）求值：. 16．（23-24高一上·江苏常州·期末）（1）计算：； （2）已知，计算的值并证明． 17．（24-25高一上·江苏连云港·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 18．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知，，，，求的值. 19．（24-25高一上·江苏徐州·期中）我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如． (1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）； (2)若，且取，求以及； (3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论． 参考答案： 1．B 【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 2．A 【分析】把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算. 【详解】因为，所以，， 由换底公式得：，. 所以. 故选：A 3．C 【分析】根据题意，，，结合对数性质，基本不等式，指数性质判断四个选项即可. 【详解】依题意，， 所以，. 对于A，，A正确. 对于B，，B正确. 对于C，，C错误. 对于D，，， ,所以，D正确. 故选：C. 4．C 【分析】 通过求，根据已知估值计算即可求解． 【详解】 ， 则的位数是是． 故选：C． 5．A 【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，即， 因为函数是单调递增函数， 所以函数是单调递增函数， 所以当时，有， 因为， 所以有， 由， 因为函数是单调递减函数， 所以函数是单调递减函数， 因为，所以， 因此， 故选：A 【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键. 6．B 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】， 所以是15位数. 故选：B 7．B 【分析】化简，令，，由二次函数的性质求出函数的值域，根据定义求函数的值域. 【详解】因为 ， 令，因为，所以， 所以， 因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 当时，. 所以的值域为. 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以函数的值域为， 故选：B . 8．C 【分析】根据题意数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解. 【详解】由题意，，， 又，解得， . 所以2024年全球产生的数据量是2023年的倍. 故选：C. 9．BCD 【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得. 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 10．BD 【分析】根据指数幂、对数的运算法则逐项判断即可. 【详解】对于A：，故错误； 对于B：，正确； 对于C：，故错误； 对于D：，正确. 故选：BD 11．BC 【分析】由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确答案． 【详解】当时，时，，不等式不恒成立， 故A错误； 当时，不等式即为，当，，时， 原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故B正确； 当时，不等式即为，当，，时， 原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故C正确； 当时，不等式即为，当时，，， 原不等式不恒成立，故D错误． 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点举例解决不等式恒成立问题，以及对数的运算性质的运用． 12．45 【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得. 【详解】由，可得， 又，则. 故答案为：45. 13． 【分析】 根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为 所以，， 两式相减可得：，解得：， . 故答案为： 14．/0.5 【分析】根据题意可得，进一步变形为，再利用基本不等式得，从而得，解出的值，代入即可求解. 【详解】因为为正实数，，则，即， ，故， 因为，所以， 又，，则由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 综上，，则，解得，则. 故答案为：. 15．（1）；（2）4 【分析】（1）将平方，结合指数幂的运算，即可得答案； （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】（1）由于，则， 故， 因为， 所以. （2） . 16．（1）2 （2）；证明见解析 【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解； （2）结合指数与对数的转化及对数的换底公式可求，然后结合基本不等式即可求证. 【详解】（1） （2）因为， 所以，， ， 因为，， 所以，且， 所以，即. 17．（1），（2）1，（3） 【分析】（1）根据指数幂的运算化简求解；（2）将指数式化成对数式得，再根据对数的运算求解；（3）将平方求得，再利用立方和公式化简求解. 【详解】（1） ． （2）依题意有， 所以， 所以． （3）因为， 设， 平方得， 即． ． 18．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用分数指数幂，及分母有理化与根式的化简可求值； （2）利用十字相乘法可因式分解； （3）由已知可求得，利用立方和因式分解可求值. 【详解】（1） （2） ； （3）由，可得，又，所以， 由. 19．(1)3，1， (2)30，，31 (3)猜想，证明见解析 【分析】（1）由新定义得解； （2）利用对数化简，把表示，根据新定义得解； （3）猜想，利用新定义证明即可. 【详解】（1），， 由题意，当时，整数部分的位数为， 当时，的非有效数字的位数为， 所以 （2）由，则， 所以， 故，，. （3）猜想：， 当时，为正整数且不可能是10的倍数， 所以存在，使得，此时， 而，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$