江苏省2024-2025学年高一上学期数学期末专题复习讲义02：不等式部分

2024-2025学年度江苏省高一上学期数学期末专题复习--不等式部分 知识点一：不等式的主要性质 (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则：； (4)乘法法则：； ， (5) 乘方法则： (6) 开方法则： 要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 知识点二：基本不等式 两个重要不等式 ①，那么（当且仅当时取等号“=”）； ②基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）. 算术平均数和几何平均数 算术平均数：称为的算术平均数； 几何平均数：称为的几何平均数； 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用 ,且（定值），那么当时，有最小值； ,且（定值），那么当时，有最大值. 要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 几个常用变形不等式： ①（当且仅当a=b时等号成立）； ②（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）； ③；特别地：； ④ . 知识点三：三个“二次”的关系 一元二次不等式或的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数： （2）计算判别式，分析不等式的解的情况： ①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）写出解集. 要点诠释：若，可以转化为的情形解决. 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 2．（23-24高一上·江苏连云港·期末）在中，，且，则的面积的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．8 3．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．（23-24高一上·江苏扬州·期末）某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（    ） A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克 8．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 10．（22-23高一上·江苏南京·期末）设，，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值为 D．有最小值为 11．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．点在第二象限 C．的最小值为2 D．关于的不等式的解集为 三、填空题 12．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，且，则的最大值为 . 13．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 14．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)若在区间上最大值为2，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 16．（23-24高一上·江苏南京·期末）设全集，已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 17．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数，当时，；当，. (1)求，的值； (2)解关于的不等式：且. 18．（23-24高一上·江苏南通·期末）设，集合关于的方程无实根. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合； (2)设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围. 参考答案： 1．A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 2．C 【分析】根据题意，结合基本不等式，求得，进而求得的面积的最小值. 【详解】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，解得， 所以的面积的最小值为. 故选：C. 3．A 【分析】由题意将不等式化为，再由基本不等式可得，由绝对值的定义去绝对值即可得出答案. 【详解】因为，则， 则 ， 当且仅当时，等号成立. 当时，； 当时，， 所以的值可能是. 故选：A. 4．C 【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 因此有，所以实数的最小值为， 故选：C 5．B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 6．D 【分析】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案. 【详解】设方程的两根为，则的解集为. 由题有.又，， 则，则的值不可能是16. 故选：D 7．D 【分析】根据已知条件，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设天平的左臂长为，右臂长为（不妨设）， 第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为， 由杠杆平衡的原理，可得，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以顾客所得的黄金不小于20克. 故选：D. 8．B 【分析】根据题意可知“，使得”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即. 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，所以实数a的取值范围为. 故选：B 9．AD 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导即可. 【详解】对A，如果，，则，那么，故A正确； 对B，如果，那么，则，故B错误； 对C，若，，则，故C错误； 对D，如果，，，则，故， 则，，故D正确； 故选：AD 10．AD 【分析】利用基本不等式直接判断与的最值情况. 【详解】，，， 当且仅当即时，等号成立，A选项正确，B选项错误； 又，时，，即， 所以，当且仅当时，等号成立，C选项错误，D选项正确； 故选：AD. 11．ACD 【分析】根据题意，由原不等式的解集可得，，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C. 【详解】原不等式等价于，因为其解集为，所以且 ，，故A正确； 因为，则点在第一象限，故B错误； 由可得，，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确； 由可得，不等式即为，化简可得 ，则其解集为，故D正确； 故选：ACD 12． 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得，即， 因为，可得， 整理得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 13． 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正数，满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 15．(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得. （2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得. 【详解】（1）函数图象的对称轴为， 当，即时，，解得，则； 当，即时，，解得，矛盾， 所以. （2）显然，而， 因此不等式为， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为， 所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 16．(1)或 (2). 【分析】（1）求出集合A，由集合运算列式可得结果， （2）由充分条件得，根据子集关系列式可得结果. 【详解】（1）由，解得，所以. 因为，且，所以或，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据三个二次之间的关系，其中二次不等式解集的端点就是对应二次方程的根，由韦达定理即可求出和的值； （2）解含参二次不等式，可以根据二次函数的图象解不等式. 【详解】（1）由题意可知：的两根为， 故，即得 ， 所以； （2）由（1）可知：， 即， 解方程，即， 解得：， 当 时，即， 所以解集为. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式得到不等式，求出，进而得到，求出并集； （2）根据充分条件得到，参变分离得到，利用基本不等式求出，从而得到. 【详解】（1）因为无实根，所以. 解得，故. 当时，，即，解得或. 故或. 所以. （2）由（1）知，， 因为是的充分条件，所以. 所以对任意的恒成立. 即对任意的. 因为， 当且仅当即时，取“， 所以. 19．(1) (2) 【分析】（1）由题意得和是方程的两根，代入求得，化简所求不等式，求解即可； （2）将是成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 则和是方程的两根， 所以，解得， 所以不等式为不等式， 解得，即集合. （2）因为是成立的必要条件，所以. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$